一、齐次方程
)( xyfdxdy ?形如 的微分方程称为 齐次方程,
2.解法,xyu ?作变量代换,xuy ?即
代入原式
,dxduxudxdy ???
),( ufdxduxu ??
.)( x uufdxdu ??即 可分离变量的方程
1.定义
,0)( 时当 ?? uuf,ln)( 1 xCuuf du ???得
,)( uCex ??即 ? ?? ）（ uuf
du
)()(?
,代入将 xyu ?,)( xyCex ??得通解
,0u?当,0)( 00 ?? uuf使,0 是新方程的解则 uu ?
,代回原方程,0 xuy ?得齐次方程的解
例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( ??? dyxyxdxxyyx
，令 xyu ?,则 udxx d udy ??
,0)(c o s)c o s( ???? xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu ??,lns i n Cxu ???
.lns i n Cxxy ???微分方程的解为
解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
??
??
,
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu ?令,u d xxdudy ??则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
??
????
.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程
解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u ?
?
?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy ???
,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????
例 3 抛物线的光学性质
实例, 车灯的反射镜面 ------旋转抛物面
解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL ?
x
y
o
M
T
N
R
L
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT ?斜率为为切线
,1,yMN ??斜率为为法线
,N M RO M N ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
y
N MR
yx
y
x
y
y
O MN
1
t a n
1
1
t a n
,022 ????? yyxyy
得微分方程
.1)( 2 ????? yxyxy即
,t a nt a n N M RO M N ????
由夹
角正
切公
式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，令 xyu ?,11 2
u
u
dx
duxu ?????得
分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
u du ??
???
，令 221 tu ??,)1( x
dx
tt
tdt ??
?
积分得,ln1ln xCt ??,112 ??? xCu即
平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu ??
得代回,xyu ? )2(22 CxCy ?? 抛物线
轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy ???
二、可化为齐次的方程
的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
为齐次方程,,01 时当 ?? cc
，
令
kYy
hXx
??
??,（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx ??,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
????
?????
2.解法
1.定义
?
?
?
???
???
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
??? ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
?
??
得通解代回
?
?
?
??
??
，kyY
hxX,
,0)2( ?? 未必有解,上述方法不能用,
,01 时当 ?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,11 ??? bbaa令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
???
???方程可化为
,byaxz ??令
，则 dxdybadxdz ?? ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b ??
???
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ?? ab若 ),(1 adxdzbdxdy ??
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
???
可分离变量的微分方程,
,01 时当 ?b
,byaxz ??令
可分离变量,
.314 的通解求例 ?? ??? yx yxdxdy
解,0211
11 ??????
??
?
???
???
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 ??? kh
.2,1 ???? YyXx令
,YX YXdXdY ???
代入原方程得
，令 XYu ?
,11 uudXduXu ???? 分离变量法得
,)12( 22 cuuX ???,2 22 CXXYY ???即
代回，将 2,1 ???? yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy ???????
.622 122 Cyxyxyx ?????或
方程变为
利用变量代换求微分方程的解
.)(5 2 的通解求例 yxdxdy ??
解,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy ??,a r c t a n Cxu ??解得
得代回,yxu ??,)a r c t a n ( Cxyx ???
原方程的通解为,)t a n ( xCxy ???
三、小结
齐次方程 ).( x
y
dx
dy ??
齐次方程的解法,xyu ?令
可化为齐次方程的方程
.
,
kYy
hXx
??
??令
思考题
方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy ?????
,22 yyxyx ????,1
2
x
y
x
yy ??
?
??
?
????
原方程 是 齐次方程,
一,求下列齐次方程的通解,
1, 0)(
22
??? x yd ydxyx ；
2, 0)1(2)21( ???? dy
y
x
edxe
y
x
y
x
.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1, 1,02)3(
0
22
????
?x
yx y d xdyxy ；
2,,0)2()2(
2222
?????? dyxxyydxyxyx
1
1
?
?x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
??
??
??
yx
yx
y ；
2,
0)642()352( ?????? dyyxdxyx
.
练 习 题
练习题答案
一,1, )ln2(
22
cxxy ?? ；
2, cyex
y
x
?? 2,
二,1,
322
yxy ?? ；
2, yxyx ???
22
.
三,1, Cyx
x
y
?????
?
?
])2()1l n[ (
2
1
1
2
a rc ta n
22；
2, Cxyxy ?????
2
)32)(34(,