一、以 2L为周期 的傅氏级数
,2 lT ??,2 lT ??????
定理
式为则它的傅里叶级数展开定理的条件
满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????? ??
?
)s i nco s(2
1
0 xnbxnaa
n
n
n ???
?
?
??
代入傅氏级数中
为其中系数 nn ba,
),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln
,)()1( 为奇函数如果 xf则有
,s i n)(
1
??
?
??
n
n l
xnbxf
,s i n)(2 0 dxl xnxflbb lnn ? ??为其中系数 ),2,1( ??n
,)()2( 为偶函数如果 xf则有
,c o s2)(
1
0 ?
?
?
???
n
n l
xnaaxf
dxl xnxflaa lnn ? ?? 0 co s)(2为其中系数
),2,1,0( ??n
证明,lxz ??令 lxl ???,?????? z
),()()( zFlzfxf ???设,2)( 为周期以 ?zF
),s i nc o s(2)(
1
0 nzbnzaazF
n
n
n ??? ?
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)s i nc o s(2)(
1
0 x
l
nbx
l
naaxf
n
n
n
????? ??
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.s i n)(
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,cos)(
1
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n z d zzFb
n z d zzFa
n
n其中
.s i n)(
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l
l
n
l
l
n
x d x
l
n
xf
l
b
x d x
l
n
xf
l
a其中 )()( xfzFl
xz ????
二、典型例题
k
2? x
y
20 44?
例 1 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[ ?
上的表达式为
?
?
?
??
???
?
20
020
)(
xk
x
xf,将其展
成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
?? ?? ? 200 20 21021 kd xdxa,k?
? ??20 2co s21 xdxnk,0?
? ??? 20 2s i n21 xdxnkb n )co s1( ???? nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
2
??
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n
n
n
k
当
当
)25s i n5123s i n312( s i n22)( ??????????? xxxkkxf
),4,2,0;( ?????????? xx
?na ),2,1( ??n
例 2 将函数 ? ?10510)( ???? xxxf 展开成
傅氏级数,
解,10?? xz作变量代换
105 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s i n)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
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???????
1
)]10(5s i n [)1(1010
n
n
xnnx
.5s i n)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
另解 ? ??? 155 5c os)10(51 dxxnxa n
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
? ??? ?? 155155 5c o s515c o s2 dxxnxdxxn,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
,10)1( ?nn?? ),2,1( ??n
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故
)155( ?? x
),2,1( ??n
三、小结
利用变量代换求傅氏展开式 ;
求傅氏展开式的步骤 ;
1.画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );
2.求出傅氏系数 ;
3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf
以 2L为周期的傅氏系数 ;
一,设周期为 2 的周期函数 )( xf 在一个周期内的表达式
为
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?
?
?
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???
??
???
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1
2
1
,1
2
1
0,1
01,
)(
x
x
xx
xf,试将其展开成傅里叶级 数,
二,试将函数
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???
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lx
l
xl
l
xx
xf
2
,
2
0,
)( 展开成正弦级数和余
弦级数,
练 习 题
三,将函数
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2
3
2
,
22
,
)(
xx
xx
xf 展开成
傅里叶级数,
练习题答案
一,?
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4
)( xf
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co s21
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2
s i n2
)1(1
[
n
n
xn
n
n
xn
n
n
n
),2,1,0,
2
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2,2( ??????? kkxkx,
二,)0(sin
2
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