一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
??
?
?
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
?? ???? nsss 212.正项级数收敛的充要条件,
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
且 ),2,1( ??? nvu
nn
,若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛；
反之，若 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 ?
?
? 1n
n
v 发散,
证明
nn uuus ???? ?21且
??
?
??
1
)1(
n
nv设,nn vu ??
,??
即部分和数列有界,
1
收敛?
?
?
?
n
nu
均为正项级数，和设 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv ???? ?2
nn s??则
)()2( ???? ns n设,nn vu ?且
?? 不是有界数列
.
1
发散?
?
?
?
n
nv
推论, 若 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv ???,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便, 须有参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
?? ??????
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性, )0( ?p
解,1?p设,11 nn p ??,级数发散则 ?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 ?? pxy p
1 2 3 4
由图可知 ? ?? nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11 ????? ?
?? ????? nn pp xdxxdx 1211 ?
??? n pxdx11 )11(111 1????? pnp 111 ??? p
,有界即 ns,级数收敛则 ?P
?
?
?
?
??
发散时当
收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数, 几何级数,P-级数,调和级数,
例 2 证明级数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 ??? nnn?
,11
1
??
? ?n n
发散而级数
.)1( 1
1
??
? ?
?
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设 ?
?
?1n
nu 与 ?
?
?1n
nv 都是正项级数,如果
则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若 ?
?
?1n
nv 发散,则 ?
?
?1n
nu 发散 ;
,lim lvu
n
n
n
?
??
???? l0
0?l
???l
?
?
?1n
nv ?
?
?1n
nu
证明 lvu
n
n
n
?
??
lim)1( 由,0
2 ??
l?对于
,N?,时当 Nn ? 22
ll
v
ull
n
n ????
)(232 Nnvluvl nnn ???即
由比较审敛法的推论,得证,
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
5,极限审敛法：
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1) ?
?
? 1
1
si n
n n; (2) ?
?
? ?1 3
1
n
n n ;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
lim ?
??
? n
n
n 1
1
s in
lim
??
?
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
??
?
n
n n
3
1
1
lim
?
?
??,1?
,31
1
收敛?
?
?n
n? 故原级数收敛,
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(lim
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
证明,为有限数时当 ?,0???对
,N?,时当 Nn ?,1 ?????
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
,1时当 ??
,1时当 ??
,1 ????取,1?????r使
,11 ??? ? NmmN uru
,12 ?? ? NN ruu,1223 ??? ?? NNN urruu,?
,
1
1
1??
?
?
?
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛?? ?
??
?
?
? ??
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1?? ??取,1??? ??r使
,时当 Nn ?,1 nnn uruu ???,0lim ??? nn u 发散
比值审敛法的优点, 不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1?? 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例 ?
?
?n n
,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
)1( ?
??
? ?
,2 32 )1(2 nnn
n
n vu ??
????例
,2 )1(2
11
收敛级数 ??
?
?
?
?
????
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u ?
??
??? ??但,
6
1lim
2 ??? nn a
,23l i m 12 ??
?? nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
??
?
??
??
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1) ?
?
? 1 !
1
n n; (2) ?
?
? 1 10
!
n
n
n; (3) ?
?
? ??1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n ????
1
1
?? n ),(0 ??? n
.!1
1
收敛故级数 ?
?
?n n
),( ???? n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n ???
?
??
10
1?? n
.10 !
1
发散故级数 ?
?
?n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
???
???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
?,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn ????,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
?
.)12(2 1
1
收敛故级数 ?
?
? ??n nn
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 ??
??
n
n
n
ulim
)( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ;
,1,
1
??
?n
nn设级数例如
n nn n
nu
1??
n
1? )(0 ??? n 级数收敛,
1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
二、交错级数及其审敛法
定义, 正、负项相间的级数称为交错级数,
?n
n
n
n
n
n uu ??
?
?
?
?
? ??
11
1 )1()1( 或
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
???
?
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim ?
??
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us ?,其余项
n
r 的绝对值
1?
?
nn
ur,
)0( ?nu其中
证明
nnnn uuuuuus 212223212 )()( ??????? ???又
)()()( 21243212 nnn uuuuuus ??????? ???
1u?
,01 ??? nn uu?
.l i m 12 uss nn ??? ??,0lim 12 ???? nn u?
,2 是单调增加的数列 ns
,2 是有界的数列 ns
)(limlim 12212 ?????? ??? nnnnn uss,s?
.,1uss ?? 且级数收敛于和
),( 21 ????? ?? nnn uur余项
,21 ???? ?? nnn uur
满足收敛的两个条件,.1??? nn ur
定理证毕,
例 5 判别级数 ?
?
? ?
?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1( ?
????
? xx
x
x
x?
)2(0 ?? x
,1 单调递减故函数 ?x x,1??? nn uu
1limlim ?? ???? n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
三、绝对收敛与条件收敛
定义, 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,
定理 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 ???? nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv ?且,
1
收敛?
?
?
?
n
nv
),2(
11
?? ?
?
?
?
??
n
nn
n
n uvu?又 ?
?
?
?
1n
nu 收敛,
上定理的作用：
任意项级数 正项级数
定义, 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
例 6 判别级数 ?
?
? 1
2
si n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n ??,1
1
2 收敛而 ?
?
?n n
,s i n
1
2?
?
?
?
n n
n 收敛
故由定理知原级数绝对收敛,
四、小结
正 项 级 数 任意项级数
审
敛
法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
思考题
设正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,能否推得 ?
?
? 1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 ?
?
? 1n
nu 收敛，可以推得 ?
?
? 1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
??
?
nn u??? lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
?
?1
2
n
nu
反之不成立, 例如,?
?
?1
2
1
n n
收敛,?
?
?1
1
n n
发散,
一,填空题,
1, ?p 级数当 ____ __ _ 时收敛,当 __ __ ___ 时发散；
2,若正项级数 ?
?
? 1n
n
u 的后项与前项之比值的根 ?等于,
则当 _ ___ __ __ 时级数收敛； __ __ __ _ _ 时级数发散；
__ __ __ ___ __ _ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性,
1, ?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2, )0(
1
1
1
?
?
?
?
?
a
an
n
,
练 习 题
三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2, ?
?
?
?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?
?
?
?
1
)]1[l n(
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
?
?
?
?
?
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
???
n
n 1
2
3
2 ；
2, ?
?
? 1
3
s i n2
n
n
n
?； 3, )0(
)
1
(
)2l n(
1
?
?
?
?
?
?
a
n
a
n
n n
.
六,判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收
敛还是条件收敛?
1, ?
?
?
?
?
?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2, ?????
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3, ?
?
?
?
?
2
ln
)1(
n
n
nn
.
七、若
n
n
un
2
lim
???
存在,证明, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,
八、证明,
0
!
l i m
3
?
??
n
n
n
an
b
.
练习题答案
一,1, 1,1 ?? pp ；
2, 1),lim(1,1
1
?????
?
??
???
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
?
?
?
?
?
?
??
?
.,1;,10;,1
发散
发散
收敛
a
a
a
六,1,绝对收敛； 2,条件收敛； 3,条件收敛,
