定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
? 为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ?
的侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含曲面 ? 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数,则有公式
一、斯托克斯 (stokes)公式
dxdy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
n?
?
?
是有向曲面 的
正向边界曲线
? ?
右手法则
x
y
z
o
),(,yxfz ??
xyD
?
C
n?证明
设 Σ 与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点,并 Σ 取
上侧,有向曲线 C 为 Σ 的正
向边界曲线 ? 在 x o y 的投
影, 且所围区域
xy
D,
如图
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分1 2
dsyPzPdxdyyPdz dxzP )c osc os( ?? ??????????? ????
??
?
代入上式得又,c osc os ???? yf?
dsfzPyPdxdyyPdz dxzP y ?c os)( ???????????? ????
??
dxdyfzPyPdxdyyPd z d xzP y )( ???????????? ????
??
即
,)],(,,[ dxdyyxfyxP
y
dxdy
y
P
dz dx
z
P
xyD
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
yfz
P
y
PyxfyxP
y ??
??
?
??
?
? )],(,,[
1
??? ???? c
D
dxyxfyxPdxdyyxfyxP
y
xy
)],(,,[)],(,,[
dxyxfyxPdxdyyPd z d xzP
c???
??????
?
)],(,,[即
根椐格林公式
平面有向曲线
2
,),,( dxzyxPdxdyyPd z d xzP ??? ?
?
??????
空间有向曲线
,),,( dyzyxQd ydzzQd x d yxQ ??? ?
?
??????
同理可证
,),,( dzzyxRd z d xxRd ydzyR ??? ?
?
??????
dxd y
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx,.
故有结论成立,
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
?
R dzQdyP dx
RQP
zyx
dxdydz dxdydz
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
?
R dzQdyP dxds
RQP
zyx
??? c o sc o sc o s
另一种形式
}co s,co s,{c o s ????n?其中
便于记忆形式
Stokes公式的实质,
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式特殊情形
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
例 1 计算曲线积分 ydzxdyz dx ???
?
,
其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成 的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则,
二、简单的应用
0
xyD
x
y
z
n
1
1
1解 按斯托克斯公式,有
dzyx d yz d x?? ??
??
?
??? dxdydz dxdydz
??
?
?? dxdydz dxdydz ?? ??
xyD
d3
x
y
o
1
1
xyD
2
3?
弦都为正，的法向量的三个方向余由于 ?
再由对称性知：
如图xyD
dzyx d yz d x?? ??
例 2 计算曲线积分
dzyxdyxzdxzy )()()(
222222
??????
?
其中 ? 是平面
2
3
??? zyx 截立方体, 10 ?? x,
10 ?? y,10 ?? z 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向,
解
取 Σ 为平面
2
3
??? zyx
的上侧被 ? 所围成的部分,
则 }1,1,1{31?n?
z
x
yo
?
n?
?
即,31c osc osc os ??? ???
ds
yxxzzy
zyx
I ??
?
???
?
?
?
?
?
?
??
222222
3
1
3
1
3
1
??
?
???? dszyx )(34
??
?
??? ds2334 ????
xyD
dxdy332,29??
)23( ???? zyx上在?
xyD 2
3?? yx
21?? yx
三、物理意义 ---环流量与旋度
.
),,(),,(),,(),,(
按所取方向的环流量沿曲线称为向量场
上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场
设向量场
CA
R d zQ d yP d xsdA
CA
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
CC
?
??
?
????
?? ??????
???
1,环流量的定义,
sd
RQP
zyx
kji
sdA
C
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
???? ???
?
环流量
利用 stokes公式,有
2,旋度的定义,
.)( Ar o t
RQP
zyx
kji
?
???
为向量场的旋度称向量
?
?
?
?
?
?
.)()()( kyPxQjxRzPizQyR ??? ??????????????????
RQP
zyx
kji
Ar o t
?
?
?
?
?
?
?
???
?
旋度
斯托克斯公式的又一种形式
其中
,c o sc o sc o s kjin ???? ??? ???? 的单位法向量为
kjit ???? ??? c o sc o sc o s ???? 的单位切向量为
dSyPxQxRzPzQyR ]co s)(co s)(co s)[( ??? ???????????????????
?
dsRQP )c o sc o sc o s( ????
?
???
斯托克斯公式的向量形式
?? ?
? ?
??? dstAdSnAr ot ???? ?? ?
? ?
? dsAdSAr ot tn)( ?或
其中
??? cos)(cos)(cos)(
)(
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
nAr otAr ot n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??? c o sc o sc o s RQPnAA t ????? ??
Stokes公式的物理解释,
向量场 A
?
沿有向闭曲线 ? 的环流量等于向量场
A
?
的旋度场通过 ? 所张的曲面的通量,( ? 的正
向与 ? 的侧符合右手法则 )
??? ?
?
????? dsAsdAr o t t??环流量
M
v?
?
L
o
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个
轴转动,其角速度 ),,(
321
???? ?
?
,
刚体上每一点处的线速度构成一个
线速场,则向量 OMr ?
?
? ?zyx,,? 在点 M 处的线速度
??? rv ??? ?
zyx
kji
321 ???
???
解 由力学知道点 的线速度为M
? ?,22,2,2 321 ???? ???观察旋度 vrot?
由此可看出旋
度与旋转角速
度的关系,
四、小结
斯托克斯公式的物理意义
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
?
Rd zQd yPd x
RQP
zyx
dxdyd z d xd y d z ?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
ds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
?? ?
? ?
???? dstAdSnAr o t ????
一,计算
?
?
?? dzyzx z d yyd x
2
3,其中 ? 是 圆 周
2,2
22
??? zzyx 若从 z 轴正向看去,这圆周是
逆时针方向,
二,计算 ?
?
?? dzxdyzdxy
222
,其中
?
是 球 面
2222
azyx ??? 和园柱面 axyx ??
22
的交线
)0,0( ?? za,从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向,
三,求向量场 jyxziyzA
??
)co s()sin( ???? 的旋度,
练 习 题
四、利用斯托克斯公式把曲面积分
??
?
? dsnAr o t 化成曲
线积分,并计算积分值,其中 A,? 及 n 分别如下,
kxzjxyiyA ???
2
,? 为上半个球面
22
1 yxz ??? 的上侧,n 是 ? 的单位法向量,
五、求向量场 kxyjyzxizxA
23
3)()( ????? 沿闭曲
线
为圆?
周 0,2
22
???? zyxz
( 从
轴z
正向看
依逆?
时针方向 ) 的环流量,
六、设
),,( zyxuu ?
具有二阶连续偏导数,求
)( g r a d ur o t
.
练习题答案
一,?? 20, 二、
3
4
a
?
?,
三,jiAr o t
???
??, 四,0.
五,?12, 六,0.