§ 1–1 轴向拉压的概念及实例
§ 1–2 内力、截面法,轴力及轴力图
§ 1–3 截面上的应力及强度条件
第一章 轴向拉伸和压缩（ Axial Tension）
§ 1-4 拉压杆的变形 ? 弹性定律
§ 1-5 拉压杆的弹性应变能
§ 1-6 拉压超静定问题及其处理方法
§ 1-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能
§ 1–1 轴向拉压的概念及实例
轴向拉压的外力特点,外力的合力作用线与杆的轴线重合 。
一、概念
轴向拉压的变形特点,杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
轴向压缩，对应的力称为压力。
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
力学模型如图
PP
PP
一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内
力系的合成（附加内力）。
§ 1–2 内力 · 截面法 · 轴力及轴力图
二、截面法 · 轴力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1,截面法的基本步骤：
① 截开,在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替,任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡,对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力
对所留部分而言是外力）。
2,轴力 ——轴向拉压杆的内力，用 N 表示。
例如,截面法求 N。
0?? X 0?? NP NP ?
AP P
简图
AP P
P
A
N
截开：
代替：
平衡：
① 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
②确定出最大轴力的数值
及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
三,轴力图 —— N (x) 的图象表示。
3,轴力的正负规定,
N 与外法线同向,为正轴力 (拉力 )
N与外法线反向,为负轴力 (压力 )
N > 0NN
N<0NN
N
x
P
+
意
义
[例 1] 图示杆的 A,B,C,D点分别作用着大小为 5P,8P,4P、
P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
解,求 OA段内力 N1：设置截面如图
A B C D
PA PB PC PD
O
A B C D
PA PB PC PD
N1
0?? X 0
1 ????? DCBA PPPPN
04851 ????? PPPPN PN 21 ?
同理，求得 AB、
BC,CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图
B C D
PB PC PD
N2
C D
PC PD
N3
D
PD
N4
N
x2P
3P
5P
P++
–
轴力 (图 )的简便求法,自左向右,
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
遇到向左的 P?,轴力 N 增量为正；
遇到向右的 P?,轴力 N 增量为负。
5kN 8kN 3kN
+
– 3kN
5kN
8kN
解,x 坐标向右为正，坐标原点在
自由端。
取左侧 x 段为对象，内力 N(x)为：
q
qL
xO
2
0 2
1d)( kxxkxxN x ??? ??
2
m a x 2
1)( kLxN ??
[例 2] 图示杆长为 L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。
L
q(x)
Nx
x
q(x)
N x
O
–
2
2kL
一、应力的概念
§ 1–3 截面上的应力及强度条件
问题提出,P P
P P
1,内力大小不能衡量构件强度的大小。
2,强度：①内力在截面分布集度 ? 应力；
②材料承受荷载的能力。
1,定义,由外力引起的内力 集度 。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定
义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集
度最大处开始。
?P
?A
M① 平均应力：
② 全应力（总应力）：
A
Pp
M Δ
Δ?
A
P
A
Pp
AM d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
2,应力的表示：
③ 全应力分解为：
p ?
M?
A
N
A
N
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
?
A
T
A
T
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
??
?
?
垂直于截面的应力称为,正应力” (Normal Stress)；
位于截面内的应力称为,剪应力” (Shearing Stress)。
变形前
1,变形规律试验及平面假设：
平面假设,原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
a b
c d
受载后 P Pd ′a′c′ b′
二、拉（压）杆横截面上的应力
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2,拉伸应力：
? N(x)P
A
xN )( ??
轴力引起的正应力 ——?,在横截面上均布。
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
3,危险截面及最大工作应力：
))( )(m a x ( m a x xA xN??
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
4,公式的应用条件：
6,应力集中（ Stress Concentration）：
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
5,Saint-Venant原理：
离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。 )
变形示意图,a b cP P
应力分布示意图：
7,强度设计准则（ Strength Design）：
? ? ))( )(m a x( m a x ?? ?? xA xN
其中,[?]--许用应力,?max--危险点的最大工作应力。
② 设计截面尺寸：
][ m a xm in ?
NA ?
? ? ; m a x ?AN ? ? ? )N(fP i?
依强度准则可进行三种强度计算：
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
? ? m a x ?? ?
① 校核强度：
③ 许可载荷：
[例 3] 已知一圆杆受拉力 P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[?]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解,① 轴力,N = P =25kN
M P a1 6 20 1 40143 102544 232m a x ?? ?????,.π d PAN?
② 应力：
③ 强度校核,? ?
1 7 0 M P a1 6 2 M P am a x ??? ??
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
[例 4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布
集度为,q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
应力 [?]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。
钢拉杆
q
8.5m
① 整体平衡求支反力解：
钢拉杆
8.5m
q
RA RB
HA
kN519 0
0 0
.Rm
HX
AB
A
?? ?
?? ?
③ 应力：
④ 强度校核与结论,? ? M P a 170 M P a 131
m a x ??? ??
此杆满足强度要求，是安全的。
M P a131
0160143
103264
d
4
2
3
2m a x
?
?
??
?
??
..
.
P
A
N
?
?
② 局部平衡求 轴力：
q
RA
HA
RC
HC
N
kN326 0,Nm C ?? ?
? ?
。 s in;
?
?
/hL
/NA
BD
BBD
?
?
[例 5] 简易起重机构如图,AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为 P，为使 BD杆最轻，角 ?应为何值？ 已知 BD 杆的 许用应力
为 [?]。;BDBD LAV ?
分析：xL
h
? P
A B
C
D
PxhNm BDA ??? ? )c t g() s i n(,0 ??
?c o sh
PLN
BD ?
? ??/NA BD??BD杆面积 A：
解,? BD杆 内力 N(? ),取 AC为研究对象，如图
YA
XA
?
NB
x
L
P
A B
C
YA
XA
?
NB
x
L
P
A B
C
③ 求 VBD 的 最小值：;2s i n ][ 2s i n ??? PL/AhALV BD ???
][
2 45
m i n
o
??
PLV,??? 时
三、拉 (压 )杆斜截面上的应力
设有一等直杆受拉力 P作用。
求：斜截面 k-k上的应力。
P P
k
ka解：采用截面法
由平衡方程,Pa=P
则：
a
a
a A
Pp ? Aa,斜截面面积； Pa：斜截面上内力。
由几何关系：
aa aa co s co s
AA
A
A ??? 代入上式，得：
a?a
a
a
a co sco s 0???? A
P
A
Pp 斜截面上全应力,a?a c o s0?p
P
k
ka
Pa
P P
k
ka
斜截面上全应力,a?a c o s0?p
P
k
ka
Pa
分解：
pa? a?a? aa 20 co sco s ?? p
a?aa?a? aa 2s i n2s i nc o ss i n 00 ??? p
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
当 a = 90° 时,0)(
m in ?a?
当 a = 0,90° 时,0||
m in ?a?
当 a = 0° 时,)(
0m a x ?? a ?
(横截面上存在最大正应力 )
当 a = ± 45° 时，
2||
0
m a x
??
a ?
(45 ° 斜截面上剪应力达到最大 )
?a
?a
a
2、单元体,?单元体 —构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
?单元体的性质 —a、平行面上，应力均布；
b、平行面上，应力相等。
3、拉压杆内一点 M 的应力单元体,
1.一点的应力状态,过一点有无数的截面，这一点的各个截面
上的应力情况，称为这点的应力状态。
补充：
?P M
?? ??
?
?
?
?
?
aa??
a??
a
a
c o ss i n
c o s
0
2
0
取分离体如图 3,a 逆时针为正；
? a 绕研究对象顺时针转为正；
由分离体平衡得：
?
?
?
??
?
?
?
??
a
?
?
a
?
?
a
a
2s i n
2
)2c o s(1
2
:
0
0
或
4、拉压杆斜截面上的应力
?? ??
a a
x
图 3
M P a7.632/4.1 2 72/0m a x ??? ??
M P a5.95)60c o s1(2 4.127)2c o s1(2 0 ????? a?? a
M P a2.5560s i n2 4.1 272s i n2 0 ??? a?? a
M P a4.1 27 1014.3 1 00 0 04 20 ????? AP?
例 6 直径为 d =1 cm 杆受拉力 P =10 kN的作用，试求最大剪应力，
并求与横截面夹角 30° 的斜截面上的正应力和剪应力 。
解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
?
例 7图示拉杆沿 mn由两部分胶合而成,受力 P，设胶合面的许用拉
应力为 [?]=100MPa ；许用剪应力为 [?]=50MPa,并设杆的强
度由胶合面控制,杆的横截面积为 A= 4cm2，试问,为使杆承受最
大拉力,a角值应为多大?(规定, a在 0~60度之间 )。
?
kN50,6.26 ??? BB Pa
联立 (1),(2)得：
P P
m
na
解：
)1( ][c o s 2 ???a? a ?? AP
)2( ][c o ss i n ???aa? a ?? AP
P
a6030
B
? ? kN2.463/41050460s i n/60/ c o s 260 ?????? ?AP
kN50m a x?? P
(1),(2)式的曲线如图 (2)，显然,B点左 侧由剪应力控制杆的强
度,B点右侧由正应力控制杆的强度，当 a=60° 时，由 (2)式得
? ? kN44.553/41060460s i n/60/c o s 260,1 ???????? ?AP B
kN44.55m a x?? P
解 (1),(2)曲线交点处：
kN4.54;31 11 ??? BB Pa;M P a60][ m a x?? P?讨论：若
? ?P
a6030
B1
1、杆的纵向总变形：
3、平均线应变：
L
LL
L
L ??? 1d?
2、线应变：单位长度的线变形。
一、拉压杆的变形及应变
LLL ?? 1d
§ 1－ 4 拉压杆的变形 ? 弹性定律
a b
c d
x?
L
4,x点处的纵向线应变：
x
x
x ?
??
??
dlim
0?
6,x点处的横向线应变：
5、杆的横向变形：
accaac ?????
ac
ac????
P P
d ′
a′
c′
b′
xx ??? d
L1
二、拉压杆的弹性定律
A
PLL ?d
EA
NL
EA
PLL ??d
1、等内力拉压杆的弹性定律
2、变内力拉压杆的弹性定律
)(
d)()d(
xEA
xxNx ??
?? ??? LL xEA xxNxL )( d)( )d(d
?
?
?
n
i ii
ii
AE
LNL
1
d
内力在 n段中分别为常量时
※,EA” 称为杆的抗拉压刚度。
PP
N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
1)( )(1)d( ?? ExA xNEdx x ????
3、单向应力状态下的弹性定律
1,?? E?即
4、泊松比（或横向变形系数）
??? ??, ??? ???或
C'
1、怎样画小变形放大图？
?变形图严格画法，图中弧线；
?求各杆的变形量△ Li,如图；
?变形图近似画法，图中弧之切线。
例 6 小变形放大图与位移的求法。
A B
C
L1 L
2
P 1L?2L?
C"
2、写出图 2中 B点位移与两杆变形间的关系
A B
C
L1
L2
a
1L?
2L?
Bu
Bv
B'
1Lu B ??
解：变形图如图 2,B点位移至 B'点，由图知：
aa s i nc t g
2
1
LLv
B
????
? ????? 060s i n6.12.18.060s i n ooA TPTm
kN55.113/ ??? PT
M P a1511036.76 55.11 9 ???? AT?
例 7 设横梁 ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm2的钢索绕过
无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直
位移。设刚索的 E =177GPa。
解：方法 1：小变形放大图法
1）求钢索内力：以 ABCD为对象
2) 钢索的应力和伸长分别为：
800 400 400
D
C P
A B 60° 60°
P
A B
C
DT T
YA
XA
mm36.1m17736.76 6.155.11 ?????? EATLL
C P
A B 60° 60°
800 400 400
D
A B 60° 60° D
B' D'
1?
2?
C?
C 3）变形图如左图,
C点的垂直位移为：
2
60s i n60s i n
2
21 ????
???
??
DDBB
L C
mm79.0
60s in2
36.1
60s in2
?
??? oL
§ 1－ 5 拉压杆的弹性应变能
一, 弹性应变能,杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存
与杆内，这种能成为应变能（ Strain Energy）用,U” 表示。
二,拉压杆的应变能计算：
不计能量损耗时，外力功等于应变能 。
) d)(d ( xEA xNx ???
xxNWU d)(21dd ????
xEA xNU d2 )(d
2
?
?? L xEA xNU d2 )(
2
?
?
?
n
i ii
ii
AE
LNU
1
2
2
内力为分
段常 量 时
N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
三,拉压杆的比能 u：
单位体积内的应变能 。
??21d d)(21dd ???? xA xxNVUu
N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
dx
xx dd ??
N(x) N(x)
xd?
)(xN
kN55.113/ ??? PT
解：方法 2,能量法：
（外力功等于变形能）
（ 1）求钢索内力：以 ABD为对象：
? ????? 060s i n6.12.18.060s i n ooA TPTm
例 7 设横梁 ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm2的钢索绕过
无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直
位移。设刚索的 E =177GPa。
800 400 400
C P
A B 60° 60°
P
A B
C
DT T
YA
XA
EA
LTP C
22
2
??
mm79.0
36.761 7 720
6.155.11
2
2
?
??
?
?
???
P E A
LT
C
M P a1511036.76 55.11 9 ???? AT?
（ 2) 钢索的应力为：
（ 3) C点位移为：
800 400 400
C P
A B 60° 60°
能量法,利用应变能的概念解决与结构物
或构件的弹性变形有关的问题，这种方法
称为能量法。
§ 1－ 6 拉压超静定问题及其处理方法
1、超静定问题,单凭静平衡方程不能确定出全部未知力
（外力、内力、应力）的问题。
一、超静定问题及其处理方法
2、超静定的处理方法,平衡方程、变形协调方程、物理
方程相结合，进行求解。
例 8 设 1,2,3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
L1=L2,L3 =L ；各杆面积为 A1=A2=A,A3 ；各杆弹性模量
为,E1=E2=E,E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
C
P
A
B D
aa
1 2
3
解,?、平衡方程,
? ??? 0s i ns i n 21 aa NNX
? ????? 0c o sc o s 321 PNNNY aa
P
A
aaN1
N3
N2
11
11
1 AE
LNL ??
33
33
3 AE
LNL ??
?几何方程 ——变形协调方程：
?物理方程 ——弹性定律：
?补充方程：由几何方程和物理方程得。
?解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得,
aco s31 LL ???
aco s
33
33
11
11
AE
LN
AE
LN ?
33
3
11
33
3
33
3
11
2
11
21 c o s2 ; c o s2
c o s
AEAE
PAEN
AEAE
PAENN
????? aa
a
C
A
B D
aa
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
?平衡方程；
?几何方程 ——变形协调方程；
?物理方程 ——弹性定律；
?补充方程：由几何方程和物理方程得；
?解由平衡方程和补充方程组成的方程组 。
3、超静定问题的方法步骤：
例 9 木制短柱的四角用四个 40?40?4的等边角钢加固，角钢和木
材的许用应力分别为 [?]1=160M Pa和 [?]2=12MPa,弹性模量分
别为 E1=200GPa 和 E2 =10GPa； 求许可载荷 P。
? ???? 04 21 PNNY
21 LL ???
2
22
22
11
11
1 LAE
LN
AE
LNL ?????
?几何方程
?物理方程及 补充方程,
解,?平衡方程,P P
y
4N1
N2
P P
y
4N1
N2
? 解平衡方程和补充方程，得,
PNPN 72.0 ; 07.0 21 ??
? ?111 07.0 ?APN ??
?求结构的许可载荷：
方法 1:
角钢面积由型钢表查得, A1=3.086cm2
? ?222 72.0 ?APN ??
? ? ? ? kN104272.0/1225072.0/ 2222 ????? ?AP
? ? ? ? kN4.70507.0/1606.30807.0/111 ????? ?AP
? ? ? ? mm8.0/ 111 ??? EL ?
? ? ? ? mm2.1/ 222 ??? EL ?
所以在 △ 1=△ 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，
即角钢决定最大载荷。
?求结构的许可载荷：
? ? ? ?07.0 07.0 111 ANP ??? kN4.70507.0 6.308160 ???
另外：若将钢的面积增大 5倍，怎样？
若将木的面积变为 25mm,又 怎样？
结构的最大载荷永远由钢控制着 。
方法 2:
?、几何方程
解,?、平衡方程,
2,静不定问题存在装配应力 。
? ??? 0s i ns i n 21 aa NNX
? ???? 0c o sc o s 321 NNNY aa
13 c o s)( LL ???? a?
二、装配应力 ——预应力
1、静定问题无装配应力。
如图,3号杆的尺寸误差为 ?，求各杆
的装配内力 。A
B C
1 2
A
B C
1 2
D
A1
3
a a
?
a? co s)(
33
33
11
11
AE
LN
AE
LN ??
?、物理方程及 补充方程,
?,解平衡方程和补充方程，得,
/ c os21 c os
3311
3
2
11
3
21 AEAE
AE
LNN a
a?
????
/ c os21 c os2
3311
3
3
11
3
3 AEAE
AE
LN a
a?
???
?
A1
a aN1 N2
N3
A
A13L?
2L?1L?
1、静定问题无温度应力。
三,装配温度
如图,1,2号杆的尺寸及材料都相
同，当结构温度由 T1变到 T2时,求各杆
的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别
为 ai ; △ T= T2 -T1)
A
B C
1 2
C
A
B D
??
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
2、静不定问题存在温度应力。
C
A
B D
??
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
?、几何方程
解,?、平衡方程, ?
??? 0s i ns i n 21 ?? NNX
? ???? 0c o sc o s 321 NNNY ??
?c o s31 LL ???
ii
ii
ii
i LTAE
LNL a????
?、物理方程：
P
A
aaN1
N3
N2
C
A
B D
??
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
?,补充方程
?aa co s)( 33
33
33
11
11
11 LT
AE
LNLT
AE
LN ?????
解平衡方程和补充方程，得,
/ c o s21 )c o s(
3311
3
2
3111
21 AEAE
TAENN
?
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?
?????
/ c os21
c os)c os(2
3311
3
2
3111
3 AEAE
TAEN
?
??aa
?
???
a
a
a
a
N1
N2
例 10 如图，阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃
时被固定,杆的上下两段的面积分别
??=?cm2, ??=??cm2，当温度升至 T2
=25℃ 时,求各杆的温度应力。
(线膨胀系数 a=12.5× ；
弹性模量 E=200GPa)
C?110 6?
?、几何方程：
解,?、平衡方程：
? ??? 021 NNY
0?????? NT LLL
?、物理方程
解平衡方程和补充方程，得, k N 3.3321 ?? NN
?,补充方程
2
2
1
1 ; 2
EA
aN
EA
aNLTaL
NT ?????? a
2
2
1
12
EA
N
EA
NT ??? a
?、温度应力
M P a 7.66
1
1
1 ?? A
N? MP a 3.33
2
2
2 ?? A
N?
§ 1－ 7 材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温 (20℃) ；静载（及其缓慢地加载）；
标准试件。
d
h
力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。
EEA
P
L
L ?? ????
二、低碳钢试件的拉伸图 (P--?L图 )
三、低碳钢试件的应力 --应变曲线 (?--?图 )
EA
PLL ??
(一 ) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段 )
1,op -- 比例段,
?p -- 比例极限
E
?? ?
atg?E
2,pe --曲线段,
?e -- 弹性极限
)( nf ?? ?
(二 ) 低碳钢拉伸的屈服 (流动）阶段 (es 段 )
e s --屈服 段, ?s ---屈服极限
滑移线：
塑性材料的失效应力,?s 。
２、卸载定律：
１,?ｂ ---强度 极限
３、冷作硬化：
４、冷拉时效：
(三 )、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段 )
1、延伸率,?
00
1 100???
L
LL?
2、面缩率,?
00
1 1 0 0???
A
AA?
3、脆性、塑性及相对性
为界以 005??
(四 )、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段 )
? ?
?
四、无明显屈服现象的塑性材料
?.?
? 0.2
名义屈服应力,
? 0.2,即此类材料的失效应力。
五、铸铁拉伸时的机械性能
?ｂ L ---铸铁拉伸强度 极限（失效应力）
割线斜率 ; tg a?E
?
?
bL?
六、材料压缩时的机械性能
?ｂ y ---铸铁压缩强度 极限；
?ｂ y ?（ 4 — 6） ?ｂ L
七、安全系数、容许应力、极限应力
? ?
n
jx?? ?
? ?bsjx ????,,2.0?
n
1、容许应力：
2、极限应力：
3、安全系数：
006500/30 ???
N5 0 24/1 6 0214.3 2 ?????? ?AP
解：变形量可能已超出了“线弹性”
范围，故，不可 再 应用 ―弹性 定律,
。 应如下计算：
M P a160??
例 11 铜丝直径 d=2mm，长 L=500mm,材料的 拉伸 曲线如 图
所示。如欲使铜丝的伸长为 30mm,则大约需加多大的力 P？
0 5 10 15 20 （ ?? ）
100 200 300
? （ M Pa ）
由拉伸图知,
? (MPa)
?(%)