2009-7-28
姜春晓
2005年 10月
Precision and ultraprecision machining
精密和超精密加工技术
2009-7-28
6.1 概述
6.2 在线检测与误差补偿方法
6.3 微位移技术第 6章 在线检测与误差补偿技术
2009-7-28
一、保证零件加工精度的途径保证零件加工精度的途径,1）,蜕化,原则，或称,母性,原则。 2）,进化,原则，
或称,创造性,原则。
提高加工精度的途径,1）隔离和消除误差；
2）误差补偿，用相应的措施去,钝化,,抵消、均化误差，使误差减小。
第 1节 概述
2009-7-28
二、加工精度的检测
1.离线检测工件加工完毕后，从机床上取下，在机床旁或在检测室中进行检测。
2.在位检测工件加工完毕后，在机床上不卸下工件的情况下进行检测。
3.在线检测工件在加工过程中的同时进行检测，又称主动检测、动态检测。
2009-7-28
在线检测特点
1）能够连续检测加工过程中的变化，了解在加工过程中误差分布和发展；
2）检测结果能反映实际加工情况；
3）在线检测的难度较大；
4）在线检测大都用非接触传感器，对传感器的性能要求较高；
5）一般是自动运行，形成在线检测系统。
在线检测类型
1）直接检测系统：直接检测工件的加工误差，并补偿
2）间接检测系统：检测产生加工误差的误差源，并补偿
2009-7-28
三、误差补偿技术
1.误差补偿的概念在机械加工中出现的误差采用 修正、抵消、
均化,,钝化,等措施使误差减小或消除 ——
误差补偿。
从狭义的角度分析,误差修正 （校正）是指对测量、计算、预测所得的误差进行修正（校正 )； 误差分离 是指从综合测量所得的误差中分离出所需的单项误差； 误差抵消 是指两个或更多个误差的相互抵消； 误差补偿 是对一尺寸、
形状、位置差值的补足。
2009-7-28
2.误差补偿的类型
（ 1）实时与非实时误差补偿实时误差补偿 — 加工过程中，实时进行误差检测，并紧接着进行误差补偿，不仅可以补偿系统误差，且可以补偿随机误差。非实时误差补偿 — 只能补偿系统误差。
（ 2）软件与硬件误差补偿软件补偿 — 通过计算机对所建立的数学模型进行运算后，发出运动指令，由数控随动系统完成误差补偿动作。软件与硬件补偿的区分是看补偿信息是由软件还是硬件产生的。
2009-7-28
2.误差补偿的类型
（ 3）单项与综合误差补偿综合误差补偿是同时补偿几项误差，比单项误差补偿要复杂，但效率高、效果好。
（ 4）单维与多维误差补偿多维误差补偿是在多坐标上进行误差补偿，
难度和工作量都比较大，是近几年来发展起来的误差补偿技术。
2009-7-28
3.误差补偿过程过程,1）反复检测出现的误差并分析，找出规律，找出影响误差的主要因素,确定误差项目 。 2）进行误差信号的处理，去除干扰信号，分离不需要的误差信号,找出工件加工误差与在补偿点的补偿量之间的关系，建立相应的数学模型。 3）选择或设计合适的误差补偿控制系统和执行机构,以便在补偿点实现补偿运动。 4）验证误差补偿的效果，进行必要的调试，保证达到预期要求。
2009-7-28
1）误差信号的检测
2）误差信号的处理
3）误差信号的建模
4）补偿控制
5）补偿执行机构
1 2 3 4 5
计算机控制系统误差补偿系统组成示意图
1－误差信号检测 2－误差信号处理
3－误差信号建模 4－补偿控制
5－补偿执行机构
4.误差补偿系统的组成
2009-7-28
5.误差补偿技术的发展
1）预报型补偿
Fore－ casting Compensatory Control－
FCC技术，利用在线随机建模理论、先进的传感技术、计算机技术、微位移技术等，对误差进行建模和预报，对动态误差进行实时补偿。
2）综合型补偿对工件尺寸、形状和位置误差同时进行综合补偿，其中包括对尺寸、形状和位置一种误差中的多项误差进行综合补偿。
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第 2节 在线检测与误差补偿方法一、形状位置误差的在线检测
1.外圆、孔类形状位置误差的测量方法三点法建立如图所示的直角坐标系。
O1点的极坐标为 x(θ )和 y(θ )。
s(θ )为被测工件的轮廓形状误差。测微仪 A,B,C的输出信号分别为 A(θ ),B(θ ),C(θ )，
则
2009-7-28
)()()( xSA
211 s i n)(c o s)()()( yxSB
)s i n ()()c o s ()()()( 212121 yxSC
消去 x(θ )和 y(θ )得三点法误差分离基本方程为
)()()()()()()( 2131232 SCSCSCCBCAP
2212 s i n/)s i n (C
213 s in/co sC
传感器组合信号)(?P
2009-7-28
测量时，若取采样点数为 N，则令
Nk /2
Nm /2 11
Nm /2 22
并将 )()()()( 21312 SCSCSP 离散化
)()()()( 21312 mmkSCmkSCkSkP
最后求得任意时刻机床主轴回转运动误差
)()()( kSkAkx
)/2s i n (
)/2co s ()()()()(
1
11
Nm
NmkxmkSkBky
只有在主轴回转完整一周后，才能求得回转误差
2009-7-28
转位法采用圆光栅测量角度位置，用测微仪（测头传感器）测量工件形状误差和回转轴系运动误差，起点电路提供一个作为角度位置的起始点信号。
2009-7-28
转位法反转法测量时只作一次转位，共测得两组数据
)()()( 11 iii SMV
)()()( 22 iii SMV
轴系运动误差分别为两次测得的回转、
所测得的两组信号分别为测头传感器两次、
)()(
)()(
21
21
ii
ii
MM
VV
中工件形状误差部分测头传感器所测得信号)( iS?
采样点序号i
采样点角度位置i?
式中若整个检测装置的检测重复性好，则 )()()( 21 iii MMM
可得
2/)()()(
2/)()()(
21
21
iii
iii
VVM
VVS
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闭合等角转位法每次转位时，测头不动，工件相对于轴系转 角，共测 m个位置，,可得 m组数据0360m
)/360()()( 0 miSMV ii
运动误差；所测得的一组回转轴系测头传感器在某个位置所测得的一组数据；测头传感器在某个位置
)(
)(
i
i
M
V
件形状误差部分；所测得的一组信号中工测头传感器在某个位置 )/3 6 0( 0 miS?
m1～＝测量位置序号,ii
mVM i /)()(
当 m很大时,的平均值忽略不计，可得回转轴系平均运动误差
)(?iS
2009-7-28
对称转位法在 0度位置测完后，测头不动，工件相对于轴系各作一次,转位角，取转位角等于采样间隔角,
共得 3组数据
)()()(0 iii SMV；～采样序号,n1 ii
位置所测得的信号；、－、＋测头传感器分别在、, 0120 0)()()(iii VVV
轴系运动误差；测头传感器所测得回转)( iM?
中工件形状误差部分。测头传感器所测得信号)( iS?
1)
(2)
(3)
)()()()()( 12 iiiii SMSMV
)()()()()( 11 iiiii SMSMV
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由式（ 1）、（ 3）可得由式（ 1）、（ 2）可得
)()()()()( 111011 iiiiii MMMVV
)()()()()( 121210 iiiiii MMMVV
取平均值
2/)()()( 12111 iiiiii MMM
一般式
2//)(/)()(
1
121
1
11
n
i
iiii
n
i
ii nMnMM
由式（ 4）、（ 5）可得
（ 4）
（ 5）
2/)()()()()( 2110101 iiiiii VVVVM
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2.平面类形状位置误差的测量方法反转法测量分两次进行，在第二次测量时，工件转过 180度，
得到两组数据
)()()( 11 iii xSxMxV
)()()( 22 iii xSxMxV
方向直线位置。采样点采样点序号；
形状误差部分；测头所测得信号中工件直线运动误差；分别为两次测得的机床、
的两组信号；分别为测头两次所测得、
xx
i
xS
xMxM
xVxV
i
i
ii
ii
)(
)()(
)()(
21
21
式中
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若检测装置重复性好，可认为
)()()( 21 iii xMxMxM
可得
2/)()()(
2/)()()(
21
21
iii
iii
xVxVxM
xVxVxS
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平移法测量分两次进行，在第二次测量时，工件平移一个步距 S，得到两组数据
)()()(
)()()(
12
1
iii
iii
xSxMxV
xSxMxV
若机床和检测装置重复性好，可认为
)()()( 21 iii xMxMxM
可得
)()()()( 211 iiii xVxVxSxS
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两点法取步距 S为两测头的间距进行测量，若将机床直线运动部件的角运动误差 忽略不计，则得到
)()()(
)()()(
12
1
iii
iii
xSxMxV
xSxMxV
)( ix?
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三点法用间距为步距 S的三个测头进行测量，则考虑机床直线运动部件角运动误差,得到 3组方程)( ix?
2009-7-28
三点法将式（ 1）与式（ 3）相加后减去 2倍的式（ 2）得
)(2)()()(2)()( 11 iiiiii xSxSxSxBxCxA
)()()()( 1 iiii xxSxMxA
)()()( iii xSxMxB
)()()()( 1 iiii xxSxMxC
（ 1）
（ 2）
（ 3）
2009-7-28
二、在线检测与误差补偿系统应用
1.车削工件圆度和圆柱度的误差补偿工件圆度误差平均减小 40％，
工件圆柱度误差平均减小 23
％
2009-7-28
2.磨削工件圆度的误差补偿工件圆度误差由
0.74μ m
减少到
0.375
μm。
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3.镗削工件内孔圆柱度的误差补偿补偿后的内孔圆柱度误差减少了 56
％～ 64％
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4.立铣工件直线度的误差补偿该系统直线度误差减少了 80％。
2009-7-28
5.数控立铣工件平面度的误差补偿平面度误差减少了
80％
2009-7-28
6.精密丝杠螺距的误差补偿主轴溜板压电陶瓷单个螺距误差可减少 89％
2009-7-28
第 3节 微位移技术一、微位移系统及应用微位移系统由 微位移机构、检测装置和控制系统 组成，为了实现小行程、高灵敏度和高精度的位移。
微位移机构 是实现微位移的执行机构，其核心部分是微位移器件； 检测装置 是用来测量微位移的移动量及其精度，在闭环系统中作为反馈信号；
控制系统 用来控制整个系统的工作，通过控制策略实现需求的技术性能指标。
1）微进给 2）误差补偿 3）精密调整
2009-7-28
二、微位移机构的类型
2009-7-28
2009-7-28
三、典型微位移工作台
1.平行弹性导轨微位移工作台若步进电动机的输入位移为,微动工作台的输出位移为,两个弹簧的刚度分别为,
则
1x
2x Ak Bk
BA
B
kk
kxx
12
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2.电磁控制微位移工作台
2009-7-28
3.磁致伸缩微位移工作台放置于磁场中的材料发生尺寸和形状变化的现象 — 磁致伸缩效应。
磁致伸缩机构是利用铁磁材料在磁场的作用下产生微伸长运动来实现微位移的，
改变磁场强度可控制伸长率，但铁磁材料在磁场的作用下，除了产生磁致伸缩外，
还伴有发热伸长。
2009-7-28
4.电致伸缩微位移工作台电介质在外电场的作用下，由于感应极化的作用而产生应变，其应变大小与电场强度的平方成正比，其应变方向与电场方向无关 — 电致伸缩效应。
电致伸缩材料：铌镁酸铅系列（ PMN）、
弛豫铁电体、双弛豫铁电体,PZT铁电陶瓷系列等。
电致伸缩器件具有结构紧凑、体积小、分辨率高、无发热现象、控制简单等特点。
2009-7-28
5.压电效应微位移工作台电介质受到机械应力作用时，会产生电极化，电极化的大小与施加的机械应力成正比，
电极化的方向随应力的方向而改变 — 正压电效应。
电介质在外电场的作用下，将产生应变，
应变大小与电场大小成正比，应变方向与电场方向有关，当电场的方向改变时，应变的方向也随着改变 — 逆压电效应。
压电材料：铁电晶体和压电晶体两类。常用的压电晶体有钛酸钡压电陶瓷、锆钛酸铅系压电陶瓷（ PZT）。
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尺蠖式压电陶瓷电机
a)原始非工作状态
b)器件 A加电压后缩小夹紧电动机轴
c)器件 C加电压后轴向伸长推动器件 A并使电动机轴向某一轴向方向作步进运动；
d)器件 B加电压后直径缩小夹紧电动机轴；
e)器件 A不加电压后恢复原状松开电动机轴；
f)器件 C不加电后、轴向收缩恢复原状
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三坐标压电微位移工作台
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设 3个管状压电器件的变形量分别为,
，则 x方向的微位移为,y方向的微位移为,绕 z轴的转动 。
x? 1y?
2y? x?
2
21 yyy
L
yy
c 21
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习题 6-2
习题 6-15
课后思考题
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姜春晓
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精密和超精密加工技术
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6.1 概述
6.2 在线检测与误差补偿方法
6.3 微位移技术第 6章 在线检测与误差补偿技术
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一、保证零件加工精度的途径保证零件加工精度的途径,1）,蜕化,原则，或称,母性,原则。 2）,进化,原则，
或称,创造性,原则。
提高加工精度的途径,1）隔离和消除误差；
2）误差补偿，用相应的措施去,钝化,,抵消、均化误差，使误差减小。
第 1节 概述
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二、加工精度的检测
1.离线检测工件加工完毕后，从机床上取下，在机床旁或在检测室中进行检测。
2.在位检测工件加工完毕后，在机床上不卸下工件的情况下进行检测。
3.在线检测工件在加工过程中的同时进行检测，又称主动检测、动态检测。
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在线检测特点
1）能够连续检测加工过程中的变化，了解在加工过程中误差分布和发展；
2）检测结果能反映实际加工情况；
3）在线检测的难度较大；
4）在线检测大都用非接触传感器，对传感器的性能要求较高；
5）一般是自动运行，形成在线检测系统。
在线检测类型
1）直接检测系统：直接检测工件的加工误差，并补偿
2）间接检测系统：检测产生加工误差的误差源，并补偿
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三、误差补偿技术
1.误差补偿的概念在机械加工中出现的误差采用 修正、抵消、
均化,,钝化,等措施使误差减小或消除 ——
误差补偿。
从狭义的角度分析,误差修正 （校正）是指对测量、计算、预测所得的误差进行修正（校正 )； 误差分离 是指从综合测量所得的误差中分离出所需的单项误差； 误差抵消 是指两个或更多个误差的相互抵消； 误差补偿 是对一尺寸、
形状、位置差值的补足。
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2.误差补偿的类型
（ 1）实时与非实时误差补偿实时误差补偿 — 加工过程中，实时进行误差检测，并紧接着进行误差补偿，不仅可以补偿系统误差，且可以补偿随机误差。非实时误差补偿 — 只能补偿系统误差。
（ 2）软件与硬件误差补偿软件补偿 — 通过计算机对所建立的数学模型进行运算后，发出运动指令，由数控随动系统完成误差补偿动作。软件与硬件补偿的区分是看补偿信息是由软件还是硬件产生的。
2009-7-28
2.误差补偿的类型
（ 3）单项与综合误差补偿综合误差补偿是同时补偿几项误差，比单项误差补偿要复杂，但效率高、效果好。
（ 4）单维与多维误差补偿多维误差补偿是在多坐标上进行误差补偿，
难度和工作量都比较大，是近几年来发展起来的误差补偿技术。
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3.误差补偿过程过程,1）反复检测出现的误差并分析，找出规律，找出影响误差的主要因素,确定误差项目 。 2）进行误差信号的处理，去除干扰信号，分离不需要的误差信号,找出工件加工误差与在补偿点的补偿量之间的关系，建立相应的数学模型。 3）选择或设计合适的误差补偿控制系统和执行机构,以便在补偿点实现补偿运动。 4）验证误差补偿的效果，进行必要的调试，保证达到预期要求。
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1）误差信号的检测
2）误差信号的处理
3）误差信号的建模
4）补偿控制
5）补偿执行机构
1 2 3 4 5
计算机控制系统误差补偿系统组成示意图
1－误差信号检测 2－误差信号处理
3－误差信号建模 4－补偿控制
5－补偿执行机构
4.误差补偿系统的组成
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5.误差补偿技术的发展
1）预报型补偿
Fore－ casting Compensatory Control－
FCC技术，利用在线随机建模理论、先进的传感技术、计算机技术、微位移技术等，对误差进行建模和预报，对动态误差进行实时补偿。
2）综合型补偿对工件尺寸、形状和位置误差同时进行综合补偿，其中包括对尺寸、形状和位置一种误差中的多项误差进行综合补偿。
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第 2节 在线检测与误差补偿方法一、形状位置误差的在线检测
1.外圆、孔类形状位置误差的测量方法三点法建立如图所示的直角坐标系。
O1点的极坐标为 x(θ )和 y(θ )。
s(θ )为被测工件的轮廓形状误差。测微仪 A,B,C的输出信号分别为 A(θ ),B(θ ),C(θ )，
则
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)()()( xSA
211 s i n)(c o s)()()( yxSB
)s i n ()()c o s ()()()( 212121 yxSC
消去 x(θ )和 y(θ )得三点法误差分离基本方程为
)()()()()()()( 2131232 SCSCSCCBCAP
2212 s i n/)s i n (C
213 s in/co sC
传感器组合信号)(?P
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测量时，若取采样点数为 N，则令
Nk /2
Nm /2 11
Nm /2 22
并将 )()()()( 21312 SCSCSP 离散化
)()()()( 21312 mmkSCmkSCkSkP
最后求得任意时刻机床主轴回转运动误差
)()()( kSkAkx
)/2s i n (
)/2co s ()()()()(
1
11
Nm
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只有在主轴回转完整一周后，才能求得回转误差
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转位法采用圆光栅测量角度位置，用测微仪（测头传感器）测量工件形状误差和回转轴系运动误差，起点电路提供一个作为角度位置的起始点信号。
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转位法反转法测量时只作一次转位，共测得两组数据
)()()( 11 iii SMV
)()()( 22 iii SMV
轴系运动误差分别为两次测得的回转、
所测得的两组信号分别为测头传感器两次、
)()(
)()(
21
21
ii
ii
MM
VV
中工件形状误差部分测头传感器所测得信号)( iS?
采样点序号i
采样点角度位置i?
式中若整个检测装置的检测重复性好，则 )()()( 21 iii MMM
可得
2/)()()(
2/)()()(
21
21
iii
iii
VVM
VVS
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闭合等角转位法每次转位时，测头不动，工件相对于轴系转 角，共测 m个位置，,可得 m组数据0360m
)/360()()( 0 miSMV ii
运动误差；所测得的一组回转轴系测头传感器在某个位置所测得的一组数据；测头传感器在某个位置
)(
)(
i
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M
V
件形状误差部分；所测得的一组信号中工测头传感器在某个位置 )/3 6 0( 0 miS?
m1～＝测量位置序号,ii
mVM i /)()(
当 m很大时,的平均值忽略不计，可得回转轴系平均运动误差
)(?iS
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对称转位法在 0度位置测完后，测头不动，工件相对于轴系各作一次,转位角，取转位角等于采样间隔角,
共得 3组数据
)()()(0 iii SMV；～采样序号,n1 ii
位置所测得的信号；、－、＋测头传感器分别在、, 0120 0)()()(iii VVV
轴系运动误差；测头传感器所测得回转)( iM?
中工件形状误差部分。测头传感器所测得信号)( iS?
1)
(2)
(3)
)()()()()( 12 iiiii SMSMV
)()()()()( 11 iiiii SMSMV
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由式（ 1）、（ 3）可得由式（ 1）、（ 2）可得
)()()()()( 111011 iiiiii MMMVV
)()()()()( 121210 iiiiii MMMVV
取平均值
2/)()()( 12111 iiiiii MMM
一般式
2//)(/)()(
1
121
1
11
n
i
iiii
n
i
ii nMnMM
由式（ 4）、（ 5）可得
（ 4）
（ 5）
2/)()()()()( 2110101 iiiiii VVVVM
2009-7-28
2.平面类形状位置误差的测量方法反转法测量分两次进行，在第二次测量时，工件转过 180度，
得到两组数据
)()()( 11 iii xSxMxV
)()()( 22 iii xSxMxV
方向直线位置。采样点采样点序号；
形状误差部分；测头所测得信号中工件直线运动误差；分别为两次测得的机床、
的两组信号；分别为测头两次所测得、
xx
i
xS
xMxM
xVxV
i
i
ii
ii
)(
)()(
)()(
21
21
式中
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若检测装置重复性好，可认为
)()()( 21 iii xMxMxM
可得
2/)()()(
2/)()()(
21
21
iii
iii
xVxVxM
xVxVxS
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平移法测量分两次进行，在第二次测量时，工件平移一个步距 S，得到两组数据
)()()(
)()()(
12
1
iii
iii
xSxMxV
xSxMxV
若机床和检测装置重复性好，可认为
)()()( 21 iii xMxMxM
可得
)()()()( 211 iiii xVxVxSxS
2009-7-28
两点法取步距 S为两测头的间距进行测量，若将机床直线运动部件的角运动误差 忽略不计，则得到
)()()(
)()()(
12
1
iii
iii
xSxMxV
xSxMxV
)( ix?
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三点法用间距为步距 S的三个测头进行测量，则考虑机床直线运动部件角运动误差,得到 3组方程)( ix?
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三点法将式（ 1）与式（ 3）相加后减去 2倍的式（ 2）得
)(2)()()(2)()( 11 iiiiii xSxSxSxBxCxA
)()()()( 1 iiii xxSxMxA
)()()( iii xSxMxB
)()()()( 1 iiii xxSxMxC
（ 1）
（ 2）
（ 3）
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二、在线检测与误差补偿系统应用
1.车削工件圆度和圆柱度的误差补偿工件圆度误差平均减小 40％，
工件圆柱度误差平均减小 23
％
2009-7-28
2.磨削工件圆度的误差补偿工件圆度误差由
0.74μ m
减少到
0.375
μm。
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3.镗削工件内孔圆柱度的误差补偿补偿后的内孔圆柱度误差减少了 56
％～ 64％
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4.立铣工件直线度的误差补偿该系统直线度误差减少了 80％。
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5.数控立铣工件平面度的误差补偿平面度误差减少了
80％
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6.精密丝杠螺距的误差补偿主轴溜板压电陶瓷单个螺距误差可减少 89％
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第 3节 微位移技术一、微位移系统及应用微位移系统由 微位移机构、检测装置和控制系统 组成，为了实现小行程、高灵敏度和高精度的位移。
微位移机构 是实现微位移的执行机构，其核心部分是微位移器件； 检测装置 是用来测量微位移的移动量及其精度，在闭环系统中作为反馈信号；
控制系统 用来控制整个系统的工作，通过控制策略实现需求的技术性能指标。
1）微进给 2）误差补偿 3）精密调整
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二、微位移机构的类型
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三、典型微位移工作台
1.平行弹性导轨微位移工作台若步进电动机的输入位移为,微动工作台的输出位移为,两个弹簧的刚度分别为,
则
1x
2x Ak Bk
BA
B
kk
kxx
12
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2.电磁控制微位移工作台
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3.磁致伸缩微位移工作台放置于磁场中的材料发生尺寸和形状变化的现象 — 磁致伸缩效应。
磁致伸缩机构是利用铁磁材料在磁场的作用下产生微伸长运动来实现微位移的，
改变磁场强度可控制伸长率，但铁磁材料在磁场的作用下，除了产生磁致伸缩外，
还伴有发热伸长。
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4.电致伸缩微位移工作台电介质在外电场的作用下，由于感应极化的作用而产生应变，其应变大小与电场强度的平方成正比，其应变方向与电场方向无关 — 电致伸缩效应。
电致伸缩材料：铌镁酸铅系列（ PMN）、
弛豫铁电体、双弛豫铁电体,PZT铁电陶瓷系列等。
电致伸缩器件具有结构紧凑、体积小、分辨率高、无发热现象、控制简单等特点。
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5.压电效应微位移工作台电介质受到机械应力作用时，会产生电极化，电极化的大小与施加的机械应力成正比，
电极化的方向随应力的方向而改变 — 正压电效应。
电介质在外电场的作用下，将产生应变，
应变大小与电场大小成正比，应变方向与电场方向有关，当电场的方向改变时，应变的方向也随着改变 — 逆压电效应。
压电材料：铁电晶体和压电晶体两类。常用的压电晶体有钛酸钡压电陶瓷、锆钛酸铅系压电陶瓷（ PZT）。
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尺蠖式压电陶瓷电机
a)原始非工作状态
b)器件 A加电压后缩小夹紧电动机轴
c)器件 C加电压后轴向伸长推动器件 A并使电动机轴向某一轴向方向作步进运动；
d)器件 B加电压后直径缩小夹紧电动机轴；
e)器件 A不加电压后恢复原状松开电动机轴；
f)器件 C不加电后、轴向收缩恢复原状
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三坐标压电微位移工作台
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设 3个管状压电器件的变形量分别为,
，则 x方向的微位移为,y方向的微位移为,绕 z轴的转动 。
x? 1y?
2y? x?
2
21 yyy
L
yy
c 21
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习题 6-2
习题 6-15
课后思考题
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