第四章 工艺尺寸链
§ 4.1 尺寸链的定义和组成
一、尺寸链
尺寸链指的是在零件加工或机器装配过程中，由相互联系
的尺寸形成的封闭尺寸组。
L1
L2 L3
L4L ∑
L3 L4
L1
L2
L ∑
A1
A2
A3
A
∑
A3
A
A2
A1
∑
1.尺寸链的分类
(1)出现在零件中，称之为 零件尺寸链
(2)由工艺尺寸组成，称之为 工艺尺寸链
(3)出现在装配中，称之为 装配尺寸链
2,尺寸链的含义
尺寸链的含义包含两个意思,
(1)封闭性,尺寸链的各尺寸应构成封闭形式（并且是按照
一定顺序首尾相接的。
(2)关联性,尺寸链中的任何一个尺寸变化都将直接影响其
它尺寸的变化。
二、尺寸链的有关术语
L1
L2
LL3 L4∑
L1
L2
L3 L ∑ L4
在零件加工或机器装配过程
中,最后自然形成（即间接获
得或间接保证）的尺寸。 表示
方法：下标加 ∑，如 A∑,L∑。
1,尺寸键的环 构成尺寸链的每一个尺寸都称为“环”。
可分为
组成环 Ai
封闭环 A∑
增环
减环
?
?
? ??
?
2,封闭环
1A
?
2A
?
(1) 由于封闭环是最后形成的，因此在加工或装配完成前,它
是不存在的。
(2) 封闭环的尺寸自己不能保证，是靠其它相关尺寸来保证
的。
2.1 封闭环的特点,
(1) 体现在尺寸链计算中，若封闭环判断错误，则全部分析
计算之结论，也必然是错误的。
(2) 封闭尺寸通常是精度较高，而且往往是产品技术规范或
零件工艺要求决定的尺寸。
在装配尺寸链中，封闭环往往代表装配中精度要求的尺寸；
而在零件中往往是精度要求最低的尺寸，通常在零件图中不予
标注。
2.2 封闭环的重要性,
L1
L2
L3 L4L ∑
L3 L4
L1
L2
L ∑
A1
A2
A3
A
∑
A3
A
A2
A1
∑
3,组成环
一个尺寸链中，除封闭环以外的其他各环，都是“组成
环”。按其对封闭环的影响可分为增环和减环。
表示为,Ai, Li i=1,2,3……
增环,在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某一组
成环增大，封闭环也随之增大，该组成环即称为“增环”。
L1
L2 LL3 ∑ L4
L1
L2 L3
L5 L ∑
L4
L1为增环 L1,L4为增环
减环,在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某
一组成环增大，封闭环却随之减小，该组成环即称为
“减环”。
L1
L2 LL3 ∑ L4
L1
L2 L3
L5 L ∑
L4
L2,L3, L5为减环 L2,L3, L4为减环
三、尺寸链的分类
1.按不同生产过程来分
(1) 工艺尺寸链,在零件加工工序中，由有关工序尺寸、设
计尺寸或加工余量等所组成的尺寸链。
(2) 装配尺寸链,在机器设计成装配中，由机器或部件内若
干个相关零件构成互相有联系的封闭尺寸链。包含零件尺寸、
间隙、形位公差等。
(3) 工艺系统尺寸链,在零件生产过程中某工序的工艺系统
内，由工件、刀具、夹具、机床及加工误差等有关尺寸所形
成的封闭尺寸链。
(3) 空间尺寸链, 尺寸链全部尺
寸位干几个不平行的平面内。
∑LL2
L1
L3 L4
2．按照各构成尺寸所处的空间位置,可分为,
(1) 直线尺寸链,尺寸链全部尺寸位于两
根或几根平行直线上，称为线性尺寸链。
(2) 平面尺寸链, 尺寸键全部尺
寸位于一个或几个平行平面内。
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
A 7
A
Σ
Σ
A
A
1 A 2
A
3
A
4
A
5
A
6
3．按照构成尺寸链各环的几何特征,可分为,
(1) 长度尺寸链：所有构成尺寸的环，均为直线长度量。
(2) 角度尺寸链：构成尺寸链的各环为角度量，或平行度、
垂直度等。
A
Σ
A
1
2
A 3
A
4．按照尺寸键的相互联系的形态,又可分为,
（ 1）独立尺寸链,所有构成尺寸链的环，在同一尺寸链中。
（ 2）相关尺寸链,具有公共环的两个以上尺寸链组。即构
成尺寸链中的一个或几个环，分布在两个或两个以上的尺寸
链中。
按其尺寸联系形态，又可分为并联、串联、混联三种。
L1
∑A
L2 L3
L5
A2
A1
L4 ∑L
并联
A1
A ∑ A2L1
L3
L2
L ∑
串联
混联
A1
A ∑ A2B1
B3
B2
B ∑
C1
C2
C ∑
共同基面
共同基面
公共环同属于不同尺寸链中，公共环尺寸及公差改变将
同时影响各个尺寸链，所以，在解尺寸链时，一般不轻易改
变公共环尺寸。
§ 4.2 尺寸链的计算方法
(1) 极值解法,这种方法又叫极大极小值解法。它是按误差综
合后的两个最不利情况，即各增环皆为最大极限尺寸而各减
环皆为最小极限尺寸的情况；以及各增环皆为最小极限尺寸
而备减环皆为最大极限尺寸的情况，来计算封闭环极限尺寸
的方法。
尺寸链的计算方法，有如下两种,
(2) 概率解法,又叫统计法。应用概率论原理来进行尺寸键
计算的一种方法。如算术平均、均方根偏差等。
1．已知组成环，求封闭环
根据各组成环基本尺寸及公差（或偏差），来计算封
闭环的基本尺寸及公差（或偏差），称为,尺寸链的正计
算” 。这种计算主要用在审核图纸，验证设计的正确性。
求解尺寸链的情形,
如下例,
?
?
?
1．已知组成环，求封闭环 尺寸链的正计算
2．已知封闭环，求组成环 尺寸链的反计算
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环 尺寸链的中间计算
L1
L4
L3
L2
L
L5
∑
例如齿轮减速箱装配
后，要求轴承左端面
与左端轴套之间的间
隙为 L∑ 。此尺寸可通
过事先检验零件的实
际尺寸 L1,L2,L3、
L4,L5,就可预先知
L∑的实际尺寸是否合
格?
2．已知封闭环，求组成环
根据设计要求的封闭环基本尺寸及公差（或偏差），反
过来计算各组成环基本尺寸及公差（或偏差），称为,尺寸
链的反计算” 。
40
10 ± 0.15
L1 l3L2
零件图 工序一 工序二 工序三
如齿轮零件
轴向尺寸加工，
采用的工序如
图，现需控制
幅板厚度 10土
0.15，如何控
制 L1,L2、
L3
工序 1；车外圆，车两端面后得 L1=40
工序 2；车一端幅板，至深度 L2,
工序 3：车另一端帽板，至深度 L3。并保证 10士 0.15。
由上述工序安排可知，幅板厚度 10士 0.15是按尺寸 L1、
L2,l3加工后间接得到的。因此,为了保证 10士 15，势必对 L1，
L2,L3的尺寸偏差限制在一定范围内。即已知封闭环 L∑ =10
士 0.15，求出各组成环 L1,L2,L3尺寸的上下偏差。
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环
根据封闭环和其他组成环的基本尺寸及公差（或偏差）
来计算尺寸链中某一组成环的基本尺寸及公差（或偏差）。
其实质属于反计算的一种，也可称作,尺寸链的中间计
算” 。这种计算在工艺设计上应用较多，如基准的换算，工
序尺寸的确定等。
总之，尺寸链的基本理论，无论对机器的设计，或零件
的制造、检验，以及机器的部件（组件）装配，整机装配等，
都是一种 很有实用价值 的。如能正确地运用尺寸链计算方法，
可有利于保证产品质量、简化工艺、减少不合理的加工步骤
等。尤其在成批、大量生产中，通过尺寸链计算，能更合理
地确定工序尺寸、公差和余量，从而能减少加工时间，节约
原料，降低废品率，确保机器装配精度。
§ 4.2 尺寸链计算的基本公式
尺寸、偏差及公差之间的关系,
A
A
T/2
T/2
mi
n
A
ma
x
Δ
A
s
A
Δ
x
m
Δ
A
m
A
尺寸链计算所用符号
也即,
尺寸链各环的基本尺寸计算
下图为多环尺寸链
各环的基本尺寸可写成等式为,
A ∑A 1 A 2 A 3
A 6A 5A 4
654321
????
?
?? ?????? AAAAAAA
321654
??????
? ?????? AAAAAAA
由此可以推得多环尺寸链的基本尺寸的一般公式,
上式说明：尺寸链封闭环的基本尺寸，等于各增环基本
尺寸之和，减去各减环基本尺寸立和。
对于任何一个总数为 N的独立尺寸链，若其中增环数为 m，
由于其封闭环只有有一个，则减环数 n为 n=N－ 1－ m。故,
??
?
?
?
?
? ??
n
i
i
m
i
i AAA
11
二、极值解法
当增环为最大极限尺
寸，而减环为最小极
限尺寸时，封闭环为
最大极限尺寸。
1.各环极限尺寸计算
A 2min 2T
2A
2maxA
1minA
1A
1maxA
A
1T
∑A max
A min∑
Δ As 1
2AsΔ2AsΔ
1AsΔ
∑
三环尺寸链极限尺寸计算关系图
m i n2m a x1m a x
??
? ?? AAA
m a x2m i n1m i n
??
? ?? AAA
同理,
当多环尺寸键计算时，则封闭环的极限尺寸可写成一般
公式为,
??
?
?
?
?
? ??
n
i
i
m
i
i AAA
1
m i n
1
m a xm a x
??
?
?
?
?
? ??
n
i
i
m
i
i AAA
1
m a x
1
m i nm i n
2.各环上、下偏差的计算
根据上述的几个式子可得出封闭环上、下偏差计算的一般公式,
因为零件图和工艺卡片中的尺寸和公差，一般均以上、下偏
差的形式标注，所以该式较为简便迅速
)()(
111
m i n
1
m a xm a x ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ???????
n
i
i
m
i
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n
i
i
m
i
is AAAAAAA
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i
ix
m
i
is AA
11
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111
m a x
1
m i nm i n ????
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?
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n
i
i
m
i
i
n
i
i
m
i
ix AAAAAAA
?? ? ?? ? ???? ni ismi ix AA 11
3.各环公差的计算
)()(
1
m a x
1
m i n
1
m i n
1
m a xm i nm a x ????
?
?
?
?
?
?
?
?
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n
i
i
m
i
i
n
i
i
m
i
i AAAAAAT
)()(
1
m i n
1
m a x
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m i n
1
m a x ????
?
?
?
?
?
?
?
? ???? n
i
i
n
i
i
m
i
i
m
i
i AAAA ??
?
?
?
? ?? n
i
i
m
i
i TT
11
即,
封闭环公差等于所有组成环公差之和，它比任何组成环公
差都大。所以应用中应注意,
(1) 在零件设计中，应选择最不重要的环作为封闭环。
(2) 封闭环公差确定后，组成环数愈多，则分到每一环的公
差应愈小。所以 在装配尺寸链中，应尽量减小尺寸链的环数。
即“最短尺寸链原则”。
结论,
??
??
? 1
1
N
i i
TT
三、概率解法
概率解法就可以克服极值解法的缺点，使其应用更为
科学、合理。
极值解法特点,
优点,简便、可靠、可保证不出现不合格品。
缺点,根据 关系式所分配给各组成环公差过于严格。
甚至无法加工。不够科学、不够合理。
???? ? 11Ni iTT
在大批大量生产中，一个尺寸链中的各组成环尺寸的获得，
彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相
互独立的随机变量。经大量实测数据后，从概率的概念来看，
有两个特征数,
（ 1）算术平均值 —— 这数值表示尺寸分布的集中位置。
（ 2）均方根偏差 δ —— 这数值说明实际尺寸分布相对算术平
均值的离散程度。
概率解法的数学依据,
A( 算术平均）
-3 δ δ+3
A
独立随机变量之和的均方差为,
??
??
? 1
1
2N
i i
?? )( AA ii ???其中,
这是用概率法解尺寸链的数学基础，它反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
1,各环公差计算
???? ? 11 2Ni i??
由于尺寸链计算时，不是均方根偏差间的关系，而是以误
差量（或公差）间的关系来计算的，所以上述公式需改写成其
它形式。当零件尺寸为正态分布曲线时，其偶然误差 ε与均方
根误差 ζ间的关系，可表达为,
反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
若尺寸链中各组成环的误差分布，都遵循正态分布规律时，
则其封闭环也将遵循正态分布规律。若取公差带 T=6ζ,则封闭
环的公差与各组成环的公差关系可表示为,
ε=6ζ 即,
6
?? ?
??
??
? 1
1
2N
i i
TT
正态分布各环公差计算公式
当零件尺寸分布下为非正态分布时，封闭环公差计算时须
引入“相对分布系数 K”。 K表示所研究的尺寸分布曲线的不同
分布性质，即曲线的不同分布形状。
非正态分布时各环公差计算,
各种 K值可参考图表,
正态分布时,
非正态分布时,
6,6
TT ?? ??
6
TK ???
???? ?? 11 22Ni ii TKT
所以,封闭环公差的一般公式为,
一些尺寸分布曲线的 K及 e值
若各组成环公差相等，即令 Ti = TM 时，则可求得各环的
平均公差为,
nm
T
N
TT
M ????
??
22
1
在计算同一尺寸链时，用概率解法可将组成环平均公差扩
大 倍。
概率解法与极值解法的比较,
极值解法,
1???? ?? N
T
nm
TT
M
1?N
但实际上，由于各组成环通常未必是正态分布曲线，即
Ki>1,故实际所求得的扩大倍数比 小些。 1?N
极值解法时的,是包括了封闭环尺寸变动时一
切可能出现的尺寸，即尺寸出现在范围内的概率为 100%；而
概率解法时的,是正态分布下取误差范围内的尺寸
变动，即尺寸出现在该范围内的概率为 99.73%，由于超出之外
的概率仅为 0.27%，这个数值很小，实际上可认为不至于出现，
所以取作为封闭环尺寸的实际变动范围是合理的。
用概率解法可将组成环平均公差扩大 倍的原因,1?N
1?? ?N
TT
M
1
2
?? ?NTTM
-3 δ δ+3
99.73% 0.27%
基准不重合时的尺寸换算包括,
①测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算；
②定位基准与设计基准不重合时的尺寸换算。
§ 4.3 工艺过程 尺寸链
工艺尺寸链正确地绘制、分析和计算工艺过程尺寸链，是
编制工艺规程的重要手段。下面就来看看工艺尺寸链的具体运
用。
一、基准不重合时的尺寸换算
1.测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算
测量基准与设计基准不重合的尺寸换算在生产实际中是经
常遇到的。 如图所示,
t
xt
Δ
s
Δ
t
测量基准
（a）
图中要加工三个圆弧槽，设计基准为与 Φ50同心圆上的交点,
若为单件小批生产，通过试切法获得尺寸时，显然在圆弧槽加
工后，尺寸就无法测量，因此，在拟定工艺过程时，就要考虑
选用圆柱表面或选用内孔上母线为测量准来换算出尺寸。
测量基准
Δ
x
Δ
s
hh
（b）
h
设计基准
解：以 Φ50下母线为测量基准时，可画出如下尺寸链,
t
t
s
Δ
x
Δ
t
R5
-
0.
30
0
0
50
-
0.
10
t
x
t
Δ
s
Δ
t
测量基准
R5
-0.30
0
0
50 -0.10
在该尺寸链中，外
径是由上道工序加
工直接保证的，尺
寸 t应在本测量工序
中直接获得，均为
组成环；而 R5是最
后自然形成且满足
零件图设计要求的
封闭环。 故该尺寸链中，外径是增环,t是减环。 求基本尺寸,
?? ?? t505 ∴ t＝ 45
求 t 的上、下偏差,
?? ??? t
x00
?? ????? t
s1.03.0?
?
?
∴ Δx t＝ 0
∴ Δs t＝ +0.2
2.0045?故测量尺寸 t为,验算,T5=T50+T45，即 0.3=0.1+0.2
同理，以选内孔上母线 C为测量基准时，可画出如下尺寸链,
0
20
+0,045
-0.1050
0 h h
Δ
s
h
Δ
x
5
0
-0.05
25
0
-0.30
+0.0225
10
0
h
h h
Δ
s
Δ
x 这时，外
圆半径为增环，
内孔半径及尺
寸 h为减环,R5
仍为封闭环。
计算后可得 h的测量尺寸为, 2 2 7 5.0010 ??h
2．定位基准与设计基准不重合时的尺寸换算
图中：设计尺寸为,350 ± 0.30。设计基准为下底面，为使
镗孔夹具能安置中间导向支承，加工中以箱体顶面作为定位基准。
此时,A为工序尺寸。则 A的计算为,
基本尺寸,A=600-350=250
又因为,6 0 03 5 0 TTT A ?? 40.060.0 ?? AT即,2.0?AT
由于尺寸 350和 600均为对称偏差，故,A＝ 250± 0.10
如果有另一种情况，若箱体图规定 350 ± 0.30（要求不变）
600 ± 0.40,（公差放大）。则因为 T600>T300 （即 0.80＞ 0,60），
就无法满足工艺尺寸键的基本计算式的关系，即使本工序的加
工误差 TA = 0,也无法保证获得 360± 0.30尺寸在允许范围之内。
这时就必须采取措施,
(1) 与设计部门协商，能否将孔心线尺寸 350要求放低（例如
要放大到 T350>T600,往往是难以同意的）；
(2) 改变定位基准，即用底面定位加工（这时虽定位基准与
设计基准重合，但中间导向支承要用吊装式，装拆麻烦）；
分析,
(3) 提高上工序的加工精度，即缩小 600 ± 0.40公差，使
T600<T350 （比如上例中 T350=0.60,而 TA=0.20,T600=0.40是允许
的）；
(4) 适当选择其他加工方法，或采取技术革新，使上工序和
本工序尺寸的加工精度均有所提高（比如使压缩 T600=0.50，
TA=0.10），这样也能保证实现 350土 0.30的技术要求。
二、多工序尺寸换算
在实际生产中，特别当工件形状比较复杂，加工精度要求
较高，各工序的定位基准多变等情况下，其工艺过程尺寸链比
较复杂，有时一下不易辨清，尚需作进一步深入分析。下面介
绍几种常见的多工序尺寸换算。
1.从待加工的设计基准标注尺寸时的计算
40
+0.05
0
+0.3
46
0
039.6
+0.1
A
如图所示的某一带键糟的齿轮孔，按
使用性能，要求有一定耐磨性，工艺上需
淬火后磨削，则键槽深度的最终尺寸不能
直接获得，因其设计基准内孔要继续加工，
所以插键槽时的深度只能作加工中间的工
序尺寸，拟订工艺规程时应把它计算出来。
工序 1, 镗内孔至
工序 2,插键槽至尺寸 A；
工序 3,热处理；
工序 4,磨内孔至 。
现在要求出工艺规程中的工
序尺寸 A及其公差（假定热处
理后内孔的尺寸涨缩较小，
可以忽略不计）。
工序为,
10.009.36 ??
05.0040??
40
+0.05
0
+0.3
46
0
039.6
+0.1
A
19.8 +0.050
A
+0.025
20 0
+0.30
046
按加工路线作
出如图四环工艺
尺寸链。其中尺
寸 46为要保证的
封闭环,A和 20为
增环,19.8为减环。
按尺寸链基本公式进行计算,
解：方法一
??? ??? 8.19)(46 20 A
+0.30＝ (+0.025＋△ sA)－ 0 ∴ △ sA＝ 0.275
+0＝ (0＋△ xA)－（ +0.05） ∴ △ xA＝ 0.050 ???
基本尺寸,
偏差,
因此 A的尺寸为,275.0 050.08.45 ?? 按“入体”原则,A也可写成, 225.008.45 ?
A
19.8+0.050
+0.02520 0
+0.30046
19.8 +0.050
A
+0.02520
0
+0.30
046
40
+0.05
0
+0.3
46
0
039.6
+0.1
A
方法一看不到尺寸
A与加工余量的关
系，为此引进的半
径余量 Z3/2，此时
可把方法一中的尺
解：方法二
在图（ B）中，余量 Z3/2为封闭环，在图（ C）中，则 46为封
闭环，而 Z3/2为组成环。由此可见,要保证尺寸 46，就要控制 Z3
的变化；而要控制 Z3的变化，又要控制它的两个组成环 19.8及 20
的变化。 故工序尺寸 A，既可从图（ A）求出，也可从图（ B,C）
求出。但往往 前者便于计算，后者便于分析 。
19.8 +0.050
+0.02520
0
+0.3046
0
A
3Z
2
Z
2
3
(B) (C)
寸链分解成两个各三环尺寸链。
2,零件进行表面工艺时的工序尺寸换算
机器上有些零件如手柄、罩壳 …… 等需要进行镀铬、镀铜、
镀锌等表面工艺，目的是为美观和防锈，表面没有精度要求，
所以也没有工序尺寸换算的问题；但有些零件则不同，不仅在
表面工艺中要控制镀层厚度，也要控制镀层表面的最终尺寸，
这就需要用工艺尺寸链进行换算了。计算方法按工艺顺序而有
些不同。
例 1：大量生产中，一般采用的工艺：车 —— 磨 —— 镀层。
图（ a）中圆环，外径镀铬，要求保证尺
寸,并希望镀层厚度 0.025～ 0.04
（双边为 0.05～ 0.08），求镀前尺寸 。
0 045.028??
0
-0.045
28
机械加工时，控制镀前尺寸和镀层厚度（由电镀液成份
及电镀时参数决定）直接获得，而零件尺寸是镀后间接保证
的，所以它是封闭环。
列出如图工艺尺寸链，解之得,
解,
0
-0.045
28 28
-0.045
0
A
+
△s
A
-
△x
A
0
.
08
0
-0.03
A＝ 28－ 0.08＝ 27.92
0＝ 0＋△ sA ∴ △ sA＝ 0
-0.045＝ -0.03+△ xA ∴ △ xA＝－ 0.015
0 015.092.27 ??即：镀前尺寸为
??
?
例 2：单件、小批生产中,由于电镀工艺不稳定，或由于对镀层
的精度、表面粗糙度要求很高时，大量生产中采用的工艺：
车 — 磨 — 镀层工艺不能满足要求。故采用工艺：车 — 磨 — 镀
层 — 磨。 图中圆环，外径镀铬，要求保证尺寸,
Ra为 0.2，仍希望镀层厚度 0.025～ 0.04（双边为
0.05～ 0.08），求镀前尺寸 。
0 014.028??
28
-0.014
0
0.2
28
-0.014
0
A
+
△s
A
-
△x
A
0
.
08
0
-0.03
0＝ 0－△ xA ∴ △ xA＝ 0
-0.03＝－ 0.03－△ sA ∴ △ xA＝ 0.016
A＝ 28－ 0.08＝ 27.92
即：镀前尺寸为 016.0092.27 ??
解：根据已知条件，绘出尺寸链
??
?
三、孔系座标尺寸换
算
例如：如图为箱体零件的
工序简图，其中两孔 I－ II之间
的中心距 L∑=100± 0.01,β＝
30°, Lx＝ 86,Ly＝ 50。由于
两孔是在座标镗床上加工，为
了保证满足孔距尺寸 对于座
标尺寸 Lx,Ly,应控制多大公差？
这种尺寸换算通常是属于平面工艺尺寸链的一种应用。
L x
y
y
L
30°
x
100
±
0.1
列出尺寸链图（如图 b），它由
L∑, Lx,Ly 三尺寸组成的封闭图形。
其中 L∑是加工结束后才获得的，故 是
封闭环,Lx,Ly是组成环。若把 Lx、
Ly 向 尺寸线上投影，就将此平面尺寸
链转化为三尺寸组成的线性尺寸链了
（如图 c）。
解,
L x
y
y
L
30°
x
100
±
0.1
30°
L
L
x
y
L
∑
(b)
显然 Lx,Ly均是增环。
此例的解算，实质上就是
一般的反计算问题。
30°
L
L
x
y
(c)
L
∑
L
xcos
β
sin
β
y
L
30°
L
L
x
y
(c)
L
∑
L
xcos
β
sin
β
y
L
由尺寸链基本公式,
若用等公差法分配，即,
而,
TLx ＝ TLy＝ TLM
故,
即,
∴ 如公差带对称分布，可在工序图上标镗孔工艺尺寸为,
此公式的推导见下页
R
R
x
y
R
β
R=Rxcosβ + Rysinβ
dR= d(Rxcosβ) + d(Rysinβ)
= cosβd(Rx) － Rx sinβdβ + sinβd(Ry) + Ry cosβ dβ
= cosβd(Rx) + sinβd(Ry)
∵ － Rx sinβdβ + Ry cosβ dβ
＝ － R cosβ sinβdβ + R sinβ cosβ dβ
＝ 0
若,d(Rx)＝ d(Ry)
则,d(Rx)＝ d(Ry)＝ R/(sinβ+ cosβ)
推导,
四、图表跟踪法
求解尺寸链时，有时 同一方向上有的较多个尺寸，加工时
定位基准又需多次转换,这时，工序尺寸相互联系的关系相当
复杂，其工序尺寸、余量及公差的确定问题，就需要从整个工
艺过程的角度，用工艺过程尺寸链作综合计算。
图表跟踪法便是进行这种综合计算的有效方法。下面结
合实例进行说明。
如图所示 为一轴套零件，零件端面加工时，有关
轴向尺寸的加工顺序为,
工序 1:（ 1） 以大端面 A定位，车小端面 D，保持
全长工序尺寸 A1± TA1/2（留余量 3毫米）；
（ 2） 车小外圆到端面 B，保证尺寸 。
工序 2:（ 1） 以小端面 D定位，精车大端面 A，保
持全长尺寸 A2± TA2/2 (留磨削余量 0.2毫米 )
（ 2） 镗大孔，保持到 C面的孔深尺寸 A3± TA3/2 ；
工艺 3, 以小端面 D定位，磨大端面 A保证最终尺
寸 。
例,
制订工艺过程时，需确定工序尺寸 A1,A2,A3和 A4及其公差，并验
算磨削余量 Z3订得是否恰当。
50 -0,5
0
40 - 0,2 0
0
+0.5
036
A
B
C
D
40-0.200
A =50-0.504
解：从以上加工顺序，可画出工艺过程尺寸链（如图 a）。
Z = 0,203 +0,536 0
A ± TA 323
（b ）
3Z = 0,20
A ±2 22TA
A = 504 -0,50
（c ）
存在着基准转换；磨削余量 Z3既是
直接获得的尺寸 A4的封闭环，又是
封闭环 的组成环，其实际切除
量的大小会影响 的精度。根据
封闭环公差为各组成环公差之和的
性质，故组成环 Z3的变化量必须小
于封闭环 尺寸的公差值 0.50
（图 b）；而 Z3又是封闭环，所以它
的组成环的公差又应小于 Z3的变化
量（图 c）。解算这类复杂工序尺寸
可以应用图表法。
第
二
工
序
TA 3
A ±
第
三
工
序
A = 50
0
+0,5
36
4
3 2
0
-0,5
第
一
工
序
Z =3
Z = 0.203
2
40
A ±
2 2
2TA
-0,20
0
A ±
1 2
TA 1
50 -0,5
0
40 - 0,2 0
0
+0.5
036
A
B
C
D
可以看出：设计尺寸 是间接保证的，是工
艺尺寸链的封闭环；与设计尺寸 相应的工艺尺寸 A3
是一个含有工序间余量的工序尺寸；整个工艺过程
中,
+0.5360
+0.5360
+0.5360
+0.5360
50
-0.5
0
40
-0.20
0
+0.5
0
36
A B
C D
A 1
40
-0.20
0
A 2
3A
A 4
终结尺寸
其具体方法步骤如下,
1.作图表
（ 1）按适当的比例画出工件简图；
（ 2）填写工艺过程及工序间余量；
（ 3）利用图例符号，标定各工序的定位基准、
测量基准、加工表面、工 序尺寸和终结尺寸线。
（ 4）由终结尺寸向上作“迹线”（遇加工表面
转弯，画成工序尺寸的平行线，遇测量基准则继
续沿表面向上），最后汇交于某一表面而得一封
闭图形 —— 构成尺寸链图，确定封闭环为 。
（ 5）为计算方便，均用双向对称偏差标注尺寸
和公差。如
用图表跟踪法计算工序尺寸
25.025.3636,10.09.3940,25.075.4950 5.000 2.00 5.0 ?????? ???
工序号
工序名
称
工序尺
寸
工序公
差
工序间余量
基本
最大
最小
变动量
1
车小端
52.75
± 0.25
3
车台阶
39.90
± 0.10
3
2
车大端
49.95
± 0.10
2.8
镗孔
36.45
± 0.10
6
3
磨大端
49.75
± 0.05
0.2
0.35
0.05
± 0.15
50
-0.5
0
40
-0.20
0
+0.5
0
36
A B C D
A 1
40
-0.20
0
A 2
3A
A 4
终结尺寸
2.计算工序尺寸及公差
（ 1）分配封闭环公差。 对工艺过程和迹线封闭图形
进行分析，可知,A3— A4 — A2 — 36.25四个尺寸
构成尺寸链，且 36.25 ± 0.25 为封闭环。
24325.36 ???? ????? AAAA
把封闭环公差值 ± 0.25分配给各组成环 A2,A3,和 A4，取,
05.02,1.02,1.02 432 ????????? AAA TTT
（ 2）计算工序尺寸的基本尺寸 。按对称偏差的标注方法，先取对称标注的
平均尺寸为 A4的基本尺寸,49.75
加上磨削余量 Z3，得 A2的基本尺寸, 49.75＋ 0.20=49.95
再加上大端面上的车削余量 Z2，得 A1的基本尺寸, 49.95＋ 2.80=52.75
同理，可得 A3的基本尺寸, 36.25＋ 0.20=36.45
A 3
A 4
2A
+0.5
36 0
(4 9,7 5± 0,25)
(3）填写工序尺寸及公差。 按双向对称公差标注，必要时再转标成单向“入
体”公差。由于,A1未参与尺寸链，故可按粗车的经济精度取,
因此可得各工序尺寸,
25.021 ??? AT
)8.49(05.075.49
2
)35.36(10.045.36
2
)05.50(10.095.49
2
)53(25.075.52
2
0
10.0
4
4
20.0
0
3
3
0
20.0
2
2
0
50.0
1
1
?
?
?
?
????
????
????
????
A
A
A
A
T
A
T
A
T
A
T
A
3、验算
（ 1）验算封闭环
（ a）按平均尺寸与双向对称偏差验算,
（ b）按单向入体公差验算,
AΣ = A3＋ A4－ A2 = 36.45＋ 49.75－ 49.95=36.25
TΣ =TA3+TA4+TA2=2× (0.10+0.05+0.10)=2× 0.25=0.5
工序 3中已参照有关工艺资料和生产经验取基本磨削余量 Z3=0.20，由以
上分析可知,Z3是 A2,A4的封闭环，可直接利用该关系进行验算，得,
磨削余量的变动量,
（ 2）验算工序间余量
最大磨削余量,Z3max=（ 49.94+0.10） -（ 49.75-0.05） =50.05-49.75=0.35
最小磨削余量, Z3min=（ 49.95-0.10） -（ 49.75+0.05） =49.85-49.80=0.05
可见，磨削余量是安全的（ Z3min＞ 0），也较合理（ Z3max不过大）。
基本磨削余量, 20.075.4995.49423 ????? ?? AAZ
15.0)05.0()10.0()2()2(2 423 ??????????? AAZ TTT
4.推算毛坯尺寸
利用上表，向下画毛坯轮廓线的延长线，
并取工序 1中小端面的粗车余量和台阶面粗车
余量均为 3；工序 2镗孔时的毛坯余量为 6；再
参照有关手册取出毛坯公差并经圆整后得,
56375.52)75.52(
348.245.36)45.36(
403390.39)90.39(
?
??
?
＋＝
＝
＋－＝
毛
毛
毛
分别标为, 40 ± 1,34 ± 1、
56 ± 1.5
※※※※※※※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※※ ※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
§ 4.4 装配尺寸链
任何机器都由许多零件和部件，按照一定的技术要求组而
合成的，机器装配可分为组装、部装和总装。
组装,由若干零件组合成组件。
部装,若干组件个零件组成部件。
总装,由部件、组件、零件组合。
装配完成的机器，大都必须满足一定的装配精度。 装配精
度是衡量机器质量的一个重要指标。 要达到装配精度，固然与
组成机器的每一个零件的加工精度有关，但与装配的工艺技术
也有很大关系，有时甚至必须依靠装配工艺技术才能达到产品
质量。特别在机器精度要求较高、批量较小时。
在长期的装配实践中，人们根据不同的机器、不同的生产
类型和条件，创造了许多巧妙的装配工艺方法、这些保证装配
精度的工艺方法，可以归纳为四种,
完全互换法
分级选配法
修配法
调节法。 ?
?
?
一、互换装配法
互换法的优点是,
1.装配工作简单、生产率高；
2.有利于组织流水生产；
3.便于将复杂的产品在许多工厂中协作生产；
4.同时也有利于产品的维修和配件供应。
缺点,难以适应装配精度要求很高的场合。
互换装配法，就是机器中每个零件按图纸加工合格以后，
不需再经过任何选择、修配和调节，就达到完全互换要求，
可以把它们装配起来，并能达到规定的装配精度和技术要求。
什么是互换装配法
例,如图所示 为齿轮箱部
件，装配后要求轴向窜动
量为 0.2～ 0.7mm。
即 。已知其他零件
的有关基本尺寸是：
A1=122,A2=28,A3=5,
A4=140,A5=5,试决定其
上下偏差。
互换法常有极值解法和概率解法,
7.0 2.00??? ?A
1.极值解法
（ 1）画出装配尺寸链，校验各环基
本尺寸。
封闭环基本尺寸为,
基本尺寸正确。
A 2 A 1
A 4 A 3A 5
A Σ
（ 2）确定各组成环尺寸的公差大小和分布位置。
为了满足封闭环公差要求 TΣ＝ 0.5,各组成环公差 Ti的累
积值 Σ Ti不得超过此 0.50值，即应满足,
问题,如何既方便又经济合理的分配确定各组成环的公差 Ti。
通常，把封闭环公差（ TΣ＝ 0.5 ）分配到各组成环公差（ Ti）
的方法有三种,
1)等公差
2)等精度
3)按加工难易程度
即将 TΣ平均分摊到各个组成环 Ti；
再按公差分配的“入体原则”，将各环 T；写成偏差,
① 按等公差分配
问题,A4 如何取。
今特意留下一个环 A4作为该尺寸链的“协调环”，即 A4 的
上、下偏差应通过计算获得,
故,
进行验算,TΣ=T1+T2+T3+T4+T5=0.10+0.10+0.10+0.10+0.10=0.50,
计算结果符合装配精度要求。
等公差法计算方便，但未考虑各零件的基本尺寸差异，因此
各零件的精度等级不同，显然不太合理。在同一尺寸链中基本尺
寸大致差不多的情况下，此法应用广泛。
② 按等精度分配
假定这台机器中每个零件都是同样的精度等级，则分配
公差时，凡基本尺寸大的零件给公差较大，反之较小，这较
为合理。
据, 公差与技术测量, 书中知，公差 T=a× I
式中,a—— 公差等级系数；
I—— 公差单位。
而
用等精度法分配公差时，可查表得出该尺寸链中各组成环基
本尺寸相应的公差单位值 (Ij),再求出“平均公差等级系数
(αM)”,
A,B—— 分别为尺寸分段的首尾两个尺寸值
这样，便可得出各组成环公差值,
T1=2.52× 64=0.160mm T2=1.31× 64=0.084mm
T3=0.73× 64=0.048mm T4=2.52× 64=0.160mm
若仍选留 A4为“协调环”，则其他各组成环按“入体原则”
可写出其上下偏差值,即,
协调环（ A4）的偏差值计算得,
故,
进行验算,TΣ=T1+T2+T3+T4+T5
=0.160+0.084+0.048+0.160+0.048=0.50，计算结果符合装配精度
要求。
③ 按加工难易程度分配法,
根据零件要求和加工要求来分配的公差，是更为科学合理的
方法。但需要设计人员有较丰富的经验。
1° A1,A2加工较难，精度等级应略为降低。
2° A3,A5加工方便，可适当提高精度等级。
3° A4加工难度中等。
按等精度中求得平均精度等级为 IT10。
今取 A1,A2大于 10级，而 A3,A5取 9级。
即, TA1=0.17 TA2=0.1 TA3=TA5=0.3
TA4= TΣ－ (T1+T2+T3+T5)=0.17
如上例中,
结果符合装配后封闭环的技术要求。
取 A4为协调环，其余组成环分别为,
则，协调环,
2.概率解法
当装配精度要求较高，而尺寸链的环数又较多（大
于 4环）时，应采用概率解法。
按等精度分配公差的概率解法,
∵,概率解法中的封闭环,2iTT ???
∴ 平均公差等级系数 1 2 773.052.273.031.152.2 5 0 0 222221
1
2
?
????
??
? ?
?
?
N
j
j
M
I
Ta
127≈ 64× 2 几乎是放大了一倍
∴ T1＝ 2.52 × 127=320μm=0.32mm
T2＝ 1.31 × 127=160μm=0.16mm
T3＝ T5 =0.73 × 127=90μm=0.09mm
T4＝ 2.52 × 127=320μm=0.32mm
仍以 A4为“协调环”，按“入体原则”将其余组成环写成偏
差形式，即,
0 09.05316.00232.001 5,28,1 2 2 ??? ???? AAAA
求协调环 A4
A4的平均基本尺寸为,
)()( 54321 MMMMMM AAAAAA ?????? ?????
)95.495.4()08.2816.1 2 2(45.02 5.02.0 4 ??????? MA
即,A4M＝ 139.88
∴
04.0 28.0444 14016.088.139232.088.1392 ????????? TAA M
验算,
222222 09.032.009.016.032.0 ???????? iTT ≤ 0.50
注意,以互换法解尺寸链所允许的公差较小，当再规定
的生产条件下难以加工时，应采用其它装配方法。
§ 4.1 尺寸链的定义和组成
一、尺寸链
尺寸链指的是在零件加工或机器装配过程中，由相互联系
的尺寸形成的封闭尺寸组。
L1
L2 L3
L4L ∑
L3 L4
L1
L2
L ∑
A1
A2
A3
A
∑
A3
A
A2
A1
∑
1.尺寸链的分类
(1)出现在零件中，称之为 零件尺寸链
(2)由工艺尺寸组成，称之为 工艺尺寸链
(3)出现在装配中，称之为 装配尺寸链
2,尺寸链的含义
尺寸链的含义包含两个意思,
(1)封闭性,尺寸链的各尺寸应构成封闭形式（并且是按照
一定顺序首尾相接的。
(2)关联性,尺寸链中的任何一个尺寸变化都将直接影响其
它尺寸的变化。
二、尺寸链的有关术语
L1
L2
LL3 L4∑
L1
L2
L3 L ∑ L4
在零件加工或机器装配过程
中,最后自然形成（即间接获
得或间接保证）的尺寸。 表示
方法：下标加 ∑，如 A∑,L∑。
1,尺寸键的环 构成尺寸链的每一个尺寸都称为“环”。
可分为
组成环 Ai
封闭环 A∑
增环
减环
?
?
? ??
?
2,封闭环
1A
?
2A
?
(1) 由于封闭环是最后形成的，因此在加工或装配完成前,它
是不存在的。
(2) 封闭环的尺寸自己不能保证，是靠其它相关尺寸来保证
的。
2.1 封闭环的特点,
(1) 体现在尺寸链计算中，若封闭环判断错误，则全部分析
计算之结论，也必然是错误的。
(2) 封闭尺寸通常是精度较高，而且往往是产品技术规范或
零件工艺要求决定的尺寸。
在装配尺寸链中，封闭环往往代表装配中精度要求的尺寸；
而在零件中往往是精度要求最低的尺寸，通常在零件图中不予
标注。
2.2 封闭环的重要性,
L1
L2
L3 L4L ∑
L3 L4
L1
L2
L ∑
A1
A2
A3
A
∑
A3
A
A2
A1
∑
3,组成环
一个尺寸链中，除封闭环以外的其他各环，都是“组成
环”。按其对封闭环的影响可分为增环和减环。
表示为,Ai, Li i=1,2,3……
增环,在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某一组
成环增大，封闭环也随之增大，该组成环即称为“增环”。
L1
L2 LL3 ∑ L4
L1
L2 L3
L5 L ∑
L4
L1为增环 L1,L4为增环
减环,在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某
一组成环增大，封闭环却随之减小，该组成环即称为
“减环”。
L1
L2 LL3 ∑ L4
L1
L2 L3
L5 L ∑
L4
L2,L3, L5为减环 L2,L3, L4为减环
三、尺寸链的分类
1.按不同生产过程来分
(1) 工艺尺寸链,在零件加工工序中，由有关工序尺寸、设
计尺寸或加工余量等所组成的尺寸链。
(2) 装配尺寸链,在机器设计成装配中，由机器或部件内若
干个相关零件构成互相有联系的封闭尺寸链。包含零件尺寸、
间隙、形位公差等。
(3) 工艺系统尺寸链,在零件生产过程中某工序的工艺系统
内，由工件、刀具、夹具、机床及加工误差等有关尺寸所形
成的封闭尺寸链。
(3) 空间尺寸链, 尺寸链全部尺
寸位干几个不平行的平面内。
∑LL2
L1
L3 L4
2．按照各构成尺寸所处的空间位置,可分为,
(1) 直线尺寸链,尺寸链全部尺寸位于两
根或几根平行直线上，称为线性尺寸链。
(2) 平面尺寸链, 尺寸键全部尺
寸位于一个或几个平行平面内。
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
A 7
A
Σ
Σ
A
A
1 A 2
A
3
A
4
A
5
A
6
3．按照构成尺寸链各环的几何特征,可分为,
(1) 长度尺寸链：所有构成尺寸的环，均为直线长度量。
(2) 角度尺寸链：构成尺寸链的各环为角度量，或平行度、
垂直度等。
A
Σ
A
1
2
A 3
A
4．按照尺寸键的相互联系的形态,又可分为,
（ 1）独立尺寸链,所有构成尺寸链的环，在同一尺寸链中。
（ 2）相关尺寸链,具有公共环的两个以上尺寸链组。即构
成尺寸链中的一个或几个环，分布在两个或两个以上的尺寸
链中。
按其尺寸联系形态，又可分为并联、串联、混联三种。
L1
∑A
L2 L3
L5
A2
A1
L4 ∑L
并联
A1
A ∑ A2L1
L3
L2
L ∑
串联
混联
A1
A ∑ A2B1
B3
B2
B ∑
C1
C2
C ∑
共同基面
共同基面
公共环同属于不同尺寸链中，公共环尺寸及公差改变将
同时影响各个尺寸链，所以，在解尺寸链时，一般不轻易改
变公共环尺寸。
§ 4.2 尺寸链的计算方法
(1) 极值解法,这种方法又叫极大极小值解法。它是按误差综
合后的两个最不利情况，即各增环皆为最大极限尺寸而各减
环皆为最小极限尺寸的情况；以及各增环皆为最小极限尺寸
而备减环皆为最大极限尺寸的情况，来计算封闭环极限尺寸
的方法。
尺寸链的计算方法，有如下两种,
(2) 概率解法,又叫统计法。应用概率论原理来进行尺寸键
计算的一种方法。如算术平均、均方根偏差等。
1．已知组成环，求封闭环
根据各组成环基本尺寸及公差（或偏差），来计算封
闭环的基本尺寸及公差（或偏差），称为,尺寸链的正计
算” 。这种计算主要用在审核图纸，验证设计的正确性。
求解尺寸链的情形,
如下例,
?
?
?
1．已知组成环，求封闭环 尺寸链的正计算
2．已知封闭环，求组成环 尺寸链的反计算
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环 尺寸链的中间计算
L1
L4
L3
L2
L
L5
∑
例如齿轮减速箱装配
后，要求轴承左端面
与左端轴套之间的间
隙为 L∑ 。此尺寸可通
过事先检验零件的实
际尺寸 L1,L2,L3、
L4,L5,就可预先知
L∑的实际尺寸是否合
格?
2．已知封闭环，求组成环
根据设计要求的封闭环基本尺寸及公差（或偏差），反
过来计算各组成环基本尺寸及公差（或偏差），称为,尺寸
链的反计算” 。
40
10 ± 0.15
L1 l3L2
零件图 工序一 工序二 工序三
如齿轮零件
轴向尺寸加工，
采用的工序如
图，现需控制
幅板厚度 10土
0.15，如何控
制 L1,L2、
L3
工序 1；车外圆，车两端面后得 L1=40
工序 2；车一端幅板，至深度 L2,
工序 3：车另一端帽板，至深度 L3。并保证 10士 0.15。
由上述工序安排可知，幅板厚度 10士 0.15是按尺寸 L1、
L2,l3加工后间接得到的。因此,为了保证 10士 15，势必对 L1，
L2,L3的尺寸偏差限制在一定范围内。即已知封闭环 L∑ =10
士 0.15，求出各组成环 L1,L2,L3尺寸的上下偏差。
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环
根据封闭环和其他组成环的基本尺寸及公差（或偏差）
来计算尺寸链中某一组成环的基本尺寸及公差（或偏差）。
其实质属于反计算的一种，也可称作,尺寸链的中间计
算” 。这种计算在工艺设计上应用较多，如基准的换算，工
序尺寸的确定等。
总之，尺寸链的基本理论，无论对机器的设计，或零件
的制造、检验，以及机器的部件（组件）装配，整机装配等，
都是一种 很有实用价值 的。如能正确地运用尺寸链计算方法，
可有利于保证产品质量、简化工艺、减少不合理的加工步骤
等。尤其在成批、大量生产中，通过尺寸链计算，能更合理
地确定工序尺寸、公差和余量，从而能减少加工时间，节约
原料，降低废品率，确保机器装配精度。
§ 4.2 尺寸链计算的基本公式
尺寸、偏差及公差之间的关系,
A
A
T/2
T/2
mi
n
A
ma
x
Δ
A
s
A
Δ
x
m
Δ
A
m
A
尺寸链计算所用符号
也即,
尺寸链各环的基本尺寸计算
下图为多环尺寸链
各环的基本尺寸可写成等式为,
A ∑A 1 A 2 A 3
A 6A 5A 4
654321
????
?
?? ?????? AAAAAAA
321654
??????
? ?????? AAAAAAA
由此可以推得多环尺寸链的基本尺寸的一般公式,
上式说明：尺寸链封闭环的基本尺寸，等于各增环基本
尺寸之和，减去各减环基本尺寸立和。
对于任何一个总数为 N的独立尺寸链，若其中增环数为 m，
由于其封闭环只有有一个，则减环数 n为 n=N－ 1－ m。故,
??
?
?
?
?
? ??
n
i
i
m
i
i AAA
11
二、极值解法
当增环为最大极限尺
寸，而减环为最小极
限尺寸时，封闭环为
最大极限尺寸。
1.各环极限尺寸计算
A 2min 2T
2A
2maxA
1minA
1A
1maxA
A
1T
∑A max
A min∑
Δ As 1
2AsΔ2AsΔ
1AsΔ
∑
三环尺寸链极限尺寸计算关系图
m i n2m a x1m a x
??
? ?? AAA
m a x2m i n1m i n
??
? ?? AAA
同理,
当多环尺寸键计算时，则封闭环的极限尺寸可写成一般
公式为,
??
?
?
?
?
? ??
n
i
i
m
i
i AAA
1
m i n
1
m a xm a x
??
?
?
?
?
? ??
n
i
i
m
i
i AAA
1
m a x
1
m i nm i n
2.各环上、下偏差的计算
根据上述的几个式子可得出封闭环上、下偏差计算的一般公式,
因为零件图和工艺卡片中的尺寸和公差，一般均以上、下偏
差的形式标注，所以该式较为简便迅速
)()(
111
m i n
1
m a xm a x ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ???????
n
i
i
m
i
i
n
i
i
m
i
is AAAAAAA
??
?
?
?
? ???? n
i
ix
m
i
is AA
11
)()(
111
m a x
1
m i nm i n ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ???????
n
i
i
m
i
i
n
i
i
m
i
ix AAAAAAA
?? ? ?? ? ???? ni ismi ix AA 11
3.各环公差的计算
)()(
1
m a x
1
m i n
1
m i n
1
m a xm i nm a x ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??????
n
i
i
m
i
i
n
i
i
m
i
i AAAAAAT
)()(
1
m i n
1
m a x
1
m i n
1
m a x ????
?
?
?
?
?
?
?
? ???? n
i
i
n
i
i
m
i
i
m
i
i AAAA ??
?
?
?
? ?? n
i
i
m
i
i TT
11
即,
封闭环公差等于所有组成环公差之和，它比任何组成环公
差都大。所以应用中应注意,
(1) 在零件设计中，应选择最不重要的环作为封闭环。
(2) 封闭环公差确定后，组成环数愈多，则分到每一环的公
差应愈小。所以 在装配尺寸链中，应尽量减小尺寸链的环数。
即“最短尺寸链原则”。
结论,
??
??
? 1
1
N
i i
TT
三、概率解法
概率解法就可以克服极值解法的缺点，使其应用更为
科学、合理。
极值解法特点,
优点,简便、可靠、可保证不出现不合格品。
缺点,根据 关系式所分配给各组成环公差过于严格。
甚至无法加工。不够科学、不够合理。
???? ? 11Ni iTT
在大批大量生产中，一个尺寸链中的各组成环尺寸的获得，
彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相
互独立的随机变量。经大量实测数据后，从概率的概念来看，
有两个特征数,
（ 1）算术平均值 —— 这数值表示尺寸分布的集中位置。
（ 2）均方根偏差 δ —— 这数值说明实际尺寸分布相对算术平
均值的离散程度。
概率解法的数学依据,
A( 算术平均）
-3 δ δ+3
A
独立随机变量之和的均方差为,
??
??
? 1
1
2N
i i
?? )( AA ii ???其中,
这是用概率法解尺寸链的数学基础，它反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
1,各环公差计算
???? ? 11 2Ni i??
由于尺寸链计算时，不是均方根偏差间的关系，而是以误
差量（或公差）间的关系来计算的，所以上述公式需改写成其
它形式。当零件尺寸为正态分布曲线时，其偶然误差 ε与均方
根误差 ζ间的关系，可表达为,
反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
若尺寸链中各组成环的误差分布，都遵循正态分布规律时，
则其封闭环也将遵循正态分布规律。若取公差带 T=6ζ,则封闭
环的公差与各组成环的公差关系可表示为,
ε=6ζ 即,
6
?? ?
??
??
? 1
1
2N
i i
TT
正态分布各环公差计算公式
当零件尺寸分布下为非正态分布时，封闭环公差计算时须
引入“相对分布系数 K”。 K表示所研究的尺寸分布曲线的不同
分布性质，即曲线的不同分布形状。
非正态分布时各环公差计算,
各种 K值可参考图表,
正态分布时,
非正态分布时,
6,6
TT ?? ??
6
TK ???
???? ?? 11 22Ni ii TKT
所以,封闭环公差的一般公式为,
一些尺寸分布曲线的 K及 e值
若各组成环公差相等，即令 Ti = TM 时，则可求得各环的
平均公差为,
nm
T
N
TT
M ????
??
22
1
在计算同一尺寸链时，用概率解法可将组成环平均公差扩
大 倍。
概率解法与极值解法的比较,
极值解法,
1???? ?? N
T
nm
TT
M
1?N
但实际上，由于各组成环通常未必是正态分布曲线，即
Ki>1,故实际所求得的扩大倍数比 小些。 1?N
极值解法时的,是包括了封闭环尺寸变动时一
切可能出现的尺寸，即尺寸出现在范围内的概率为 100%；而
概率解法时的,是正态分布下取误差范围内的尺寸
变动，即尺寸出现在该范围内的概率为 99.73%，由于超出之外
的概率仅为 0.27%，这个数值很小，实际上可认为不至于出现，
所以取作为封闭环尺寸的实际变动范围是合理的。
用概率解法可将组成环平均公差扩大 倍的原因,1?N
1?? ?N
TT
M
1
2
?? ?NTTM
-3 δ δ+3
99.73% 0.27%
基准不重合时的尺寸换算包括,
①测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算；
②定位基准与设计基准不重合时的尺寸换算。
§ 4.3 工艺过程 尺寸链
工艺尺寸链正确地绘制、分析和计算工艺过程尺寸链，是
编制工艺规程的重要手段。下面就来看看工艺尺寸链的具体运
用。
一、基准不重合时的尺寸换算
1.测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算
测量基准与设计基准不重合的尺寸换算在生产实际中是经
常遇到的。 如图所示,
t
xt
Δ
s
Δ
t
测量基准
（a）
图中要加工三个圆弧槽，设计基准为与 Φ50同心圆上的交点,
若为单件小批生产，通过试切法获得尺寸时，显然在圆弧槽加
工后，尺寸就无法测量，因此，在拟定工艺过程时，就要考虑
选用圆柱表面或选用内孔上母线为测量准来换算出尺寸。
测量基准
Δ
x
Δ
s
hh
（b）
h
设计基准
解：以 Φ50下母线为测量基准时，可画出如下尺寸链,
t
t
s
Δ
x
Δ
t
R5
-
0.
30
0
0
50
-
0.
10
t
x
t
Δ
s
Δ
t
测量基准
R5
-0.30
0
0
50 -0.10
在该尺寸链中，外
径是由上道工序加
工直接保证的，尺
寸 t应在本测量工序
中直接获得，均为
组成环；而 R5是最
后自然形成且满足
零件图设计要求的
封闭环。 故该尺寸链中，外径是增环,t是减环。 求基本尺寸,
?? ?? t505 ∴ t＝ 45
求 t 的上、下偏差,
?? ??? t
x00
?? ????? t
s1.03.0?
?
?
∴ Δx t＝ 0
∴ Δs t＝ +0.2
2.0045?故测量尺寸 t为,验算,T5=T50+T45，即 0.3=0.1+0.2
同理，以选内孔上母线 C为测量基准时，可画出如下尺寸链,
0
20
+0,045
-0.1050
0 h h
Δ
s
h
Δ
x
5
0
-0.05
25
0
-0.30
+0.0225
10
0
h
h h
Δ
s
Δ
x 这时，外
圆半径为增环，
内孔半径及尺
寸 h为减环,R5
仍为封闭环。
计算后可得 h的测量尺寸为, 2 2 7 5.0010 ??h
2．定位基准与设计基准不重合时的尺寸换算
图中：设计尺寸为,350 ± 0.30。设计基准为下底面，为使
镗孔夹具能安置中间导向支承，加工中以箱体顶面作为定位基准。
此时,A为工序尺寸。则 A的计算为,
基本尺寸,A=600-350=250
又因为,6 0 03 5 0 TTT A ?? 40.060.0 ?? AT即,2.0?AT
由于尺寸 350和 600均为对称偏差，故,A＝ 250± 0.10
如果有另一种情况，若箱体图规定 350 ± 0.30（要求不变）
600 ± 0.40,（公差放大）。则因为 T600>T300 （即 0.80＞ 0,60），
就无法满足工艺尺寸键的基本计算式的关系，即使本工序的加
工误差 TA = 0,也无法保证获得 360± 0.30尺寸在允许范围之内。
这时就必须采取措施,
(1) 与设计部门协商，能否将孔心线尺寸 350要求放低（例如
要放大到 T350>T600,往往是难以同意的）；
(2) 改变定位基准，即用底面定位加工（这时虽定位基准与
设计基准重合，但中间导向支承要用吊装式，装拆麻烦）；
分析,
(3) 提高上工序的加工精度，即缩小 600 ± 0.40公差，使
T600<T350 （比如上例中 T350=0.60,而 TA=0.20,T600=0.40是允许
的）；
(4) 适当选择其他加工方法，或采取技术革新，使上工序和
本工序尺寸的加工精度均有所提高（比如使压缩 T600=0.50，
TA=0.10），这样也能保证实现 350土 0.30的技术要求。
二、多工序尺寸换算
在实际生产中，特别当工件形状比较复杂，加工精度要求
较高，各工序的定位基准多变等情况下，其工艺过程尺寸链比
较复杂，有时一下不易辨清，尚需作进一步深入分析。下面介
绍几种常见的多工序尺寸换算。
1.从待加工的设计基准标注尺寸时的计算
40
+0.05
0
+0.3
46
0
039.6
+0.1
A
如图所示的某一带键糟的齿轮孔，按
使用性能，要求有一定耐磨性，工艺上需
淬火后磨削，则键槽深度的最终尺寸不能
直接获得，因其设计基准内孔要继续加工，
所以插键槽时的深度只能作加工中间的工
序尺寸，拟订工艺规程时应把它计算出来。
工序 1, 镗内孔至
工序 2,插键槽至尺寸 A；
工序 3,热处理；
工序 4,磨内孔至 。
现在要求出工艺规程中的工
序尺寸 A及其公差（假定热处
理后内孔的尺寸涨缩较小，
可以忽略不计）。
工序为,
10.009.36 ??
05.0040??
40
+0.05
0
+0.3
46
0
039.6
+0.1
A
19.8 +0.050
A
+0.025
20 0
+0.30
046
按加工路线作
出如图四环工艺
尺寸链。其中尺
寸 46为要保证的
封闭环,A和 20为
增环,19.8为减环。
按尺寸链基本公式进行计算,
解：方法一
??? ??? 8.19)(46 20 A
+0.30＝ (+0.025＋△ sA)－ 0 ∴ △ sA＝ 0.275
+0＝ (0＋△ xA)－（ +0.05） ∴ △ xA＝ 0.050 ???
基本尺寸,
偏差,
因此 A的尺寸为,275.0 050.08.45 ?? 按“入体”原则,A也可写成, 225.008.45 ?
A
19.8+0.050
+0.02520 0
+0.30046
19.8 +0.050
A
+0.02520
0
+0.30
046
40
+0.05
0
+0.3
46
0
039.6
+0.1
A
方法一看不到尺寸
A与加工余量的关
系，为此引进的半
径余量 Z3/2，此时
可把方法一中的尺
解：方法二
在图（ B）中，余量 Z3/2为封闭环，在图（ C）中，则 46为封
闭环，而 Z3/2为组成环。由此可见,要保证尺寸 46，就要控制 Z3
的变化；而要控制 Z3的变化，又要控制它的两个组成环 19.8及 20
的变化。 故工序尺寸 A，既可从图（ A）求出，也可从图（ B,C）
求出。但往往 前者便于计算，后者便于分析 。
19.8 +0.050
+0.02520
0
+0.3046
0
A
3Z
2
Z
2
3
(B) (C)
寸链分解成两个各三环尺寸链。
2,零件进行表面工艺时的工序尺寸换算
机器上有些零件如手柄、罩壳 …… 等需要进行镀铬、镀铜、
镀锌等表面工艺，目的是为美观和防锈，表面没有精度要求，
所以也没有工序尺寸换算的问题；但有些零件则不同，不仅在
表面工艺中要控制镀层厚度，也要控制镀层表面的最终尺寸，
这就需要用工艺尺寸链进行换算了。计算方法按工艺顺序而有
些不同。
例 1：大量生产中，一般采用的工艺：车 —— 磨 —— 镀层。
图（ a）中圆环，外径镀铬，要求保证尺
寸,并希望镀层厚度 0.025～ 0.04
（双边为 0.05～ 0.08），求镀前尺寸 。
0 045.028??
0
-0.045
28
机械加工时，控制镀前尺寸和镀层厚度（由电镀液成份
及电镀时参数决定）直接获得，而零件尺寸是镀后间接保证
的，所以它是封闭环。
列出如图工艺尺寸链，解之得,
解,
0
-0.045
28 28
-0.045
0
A
+
△s
A
-
△x
A
0
.
08
0
-0.03
A＝ 28－ 0.08＝ 27.92
0＝ 0＋△ sA ∴ △ sA＝ 0
-0.045＝ -0.03+△ xA ∴ △ xA＝－ 0.015
0 015.092.27 ??即：镀前尺寸为
??
?
例 2：单件、小批生产中,由于电镀工艺不稳定，或由于对镀层
的精度、表面粗糙度要求很高时，大量生产中采用的工艺：
车 — 磨 — 镀层工艺不能满足要求。故采用工艺：车 — 磨 — 镀
层 — 磨。 图中圆环，外径镀铬，要求保证尺寸,
Ra为 0.2，仍希望镀层厚度 0.025～ 0.04（双边为
0.05～ 0.08），求镀前尺寸 。
0 014.028??
28
-0.014
0
0.2
28
-0.014
0
A
+
△s
A
-
△x
A
0
.
08
0
-0.03
0＝ 0－△ xA ∴ △ xA＝ 0
-0.03＝－ 0.03－△ sA ∴ △ xA＝ 0.016
A＝ 28－ 0.08＝ 27.92
即：镀前尺寸为 016.0092.27 ??
解：根据已知条件，绘出尺寸链
??
?
三、孔系座标尺寸换
算
例如：如图为箱体零件的
工序简图，其中两孔 I－ II之间
的中心距 L∑=100± 0.01,β＝
30°, Lx＝ 86,Ly＝ 50。由于
两孔是在座标镗床上加工，为
了保证满足孔距尺寸 对于座
标尺寸 Lx,Ly,应控制多大公差？
这种尺寸换算通常是属于平面工艺尺寸链的一种应用。
L x
y
y
L
30°
x
100
±
0.1
列出尺寸链图（如图 b），它由
L∑, Lx,Ly 三尺寸组成的封闭图形。
其中 L∑是加工结束后才获得的，故 是
封闭环,Lx,Ly是组成环。若把 Lx、
Ly 向 尺寸线上投影，就将此平面尺寸
链转化为三尺寸组成的线性尺寸链了
（如图 c）。
解,
L x
y
y
L
30°
x
100
±
0.1
30°
L
L
x
y
L
∑
(b)
显然 Lx,Ly均是增环。
此例的解算，实质上就是
一般的反计算问题。
30°
L
L
x
y
(c)
L
∑
L
xcos
β
sin
β
y
L
30°
L
L
x
y
(c)
L
∑
L
xcos
β
sin
β
y
L
由尺寸链基本公式,
若用等公差法分配，即,
而,
TLx ＝ TLy＝ TLM
故,
即,
∴ 如公差带对称分布，可在工序图上标镗孔工艺尺寸为,
此公式的推导见下页
R
R
x
y
R
β
R=Rxcosβ + Rysinβ
dR= d(Rxcosβ) + d(Rysinβ)
= cosβd(Rx) － Rx sinβdβ + sinβd(Ry) + Ry cosβ dβ
= cosβd(Rx) + sinβd(Ry)
∵ － Rx sinβdβ + Ry cosβ dβ
＝ － R cosβ sinβdβ + R sinβ cosβ dβ
＝ 0
若,d(Rx)＝ d(Ry)
则,d(Rx)＝ d(Ry)＝ R/(sinβ+ cosβ)
推导,
四、图表跟踪法
求解尺寸链时，有时 同一方向上有的较多个尺寸，加工时
定位基准又需多次转换,这时，工序尺寸相互联系的关系相当
复杂，其工序尺寸、余量及公差的确定问题，就需要从整个工
艺过程的角度，用工艺过程尺寸链作综合计算。
图表跟踪法便是进行这种综合计算的有效方法。下面结
合实例进行说明。
如图所示 为一轴套零件，零件端面加工时，有关
轴向尺寸的加工顺序为,
工序 1:（ 1） 以大端面 A定位，车小端面 D，保持
全长工序尺寸 A1± TA1/2（留余量 3毫米）；
（ 2） 车小外圆到端面 B，保证尺寸 。
工序 2:（ 1） 以小端面 D定位，精车大端面 A，保
持全长尺寸 A2± TA2/2 (留磨削余量 0.2毫米 )
（ 2） 镗大孔，保持到 C面的孔深尺寸 A3± TA3/2 ；
工艺 3, 以小端面 D定位，磨大端面 A保证最终尺
寸 。
例,
制订工艺过程时，需确定工序尺寸 A1,A2,A3和 A4及其公差，并验
算磨削余量 Z3订得是否恰当。
50 -0,5
0
40 - 0,2 0
0
+0.5
036
A
B
C
D
40-0.200
A =50-0.504
解：从以上加工顺序，可画出工艺过程尺寸链（如图 a）。
Z = 0,203 +0,536 0
A ± TA 323
（b ）
3Z = 0,20
A ±2 22TA
A = 504 -0,50
（c ）
存在着基准转换；磨削余量 Z3既是
直接获得的尺寸 A4的封闭环，又是
封闭环 的组成环，其实际切除
量的大小会影响 的精度。根据
封闭环公差为各组成环公差之和的
性质，故组成环 Z3的变化量必须小
于封闭环 尺寸的公差值 0.50
（图 b）；而 Z3又是封闭环，所以它
的组成环的公差又应小于 Z3的变化
量（图 c）。解算这类复杂工序尺寸
可以应用图表法。
第
二
工
序
TA 3
A ±
第
三
工
序
A = 50
0
+0,5
36
4
3 2
0
-0,5
第
一
工
序
Z =3
Z = 0.203
2
40
A ±
2 2
2TA
-0,20
0
A ±
1 2
TA 1
50 -0,5
0
40 - 0,2 0
0
+0.5
036
A
B
C
D
可以看出：设计尺寸 是间接保证的，是工
艺尺寸链的封闭环；与设计尺寸 相应的工艺尺寸 A3
是一个含有工序间余量的工序尺寸；整个工艺过程
中,
+0.5360
+0.5360
+0.5360
+0.5360
50
-0.5
0
40
-0.20
0
+0.5
0
36
A B
C D
A 1
40
-0.20
0
A 2
3A
A 4
终结尺寸
其具体方法步骤如下,
1.作图表
（ 1）按适当的比例画出工件简图；
（ 2）填写工艺过程及工序间余量；
（ 3）利用图例符号，标定各工序的定位基准、
测量基准、加工表面、工 序尺寸和终结尺寸线。
（ 4）由终结尺寸向上作“迹线”（遇加工表面
转弯，画成工序尺寸的平行线，遇测量基准则继
续沿表面向上），最后汇交于某一表面而得一封
闭图形 —— 构成尺寸链图，确定封闭环为 。
（ 5）为计算方便，均用双向对称偏差标注尺寸
和公差。如
用图表跟踪法计算工序尺寸
25.025.3636,10.09.3940,25.075.4950 5.000 2.00 5.0 ?????? ???
工序号
工序名
称
工序尺
寸
工序公
差
工序间余量
基本
最大
最小
变动量
1
车小端
52.75
± 0.25
3
车台阶
39.90
± 0.10
3
2
车大端
49.95
± 0.10
2.8
镗孔
36.45
± 0.10
6
3
磨大端
49.75
± 0.05
0.2
0.35
0.05
± 0.15
50
-0.5
0
40
-0.20
0
+0.5
0
36
A B C D
A 1
40
-0.20
0
A 2
3A
A 4
终结尺寸
2.计算工序尺寸及公差
（ 1）分配封闭环公差。 对工艺过程和迹线封闭图形
进行分析，可知,A3— A4 — A2 — 36.25四个尺寸
构成尺寸链，且 36.25 ± 0.25 为封闭环。
24325.36 ???? ????? AAAA
把封闭环公差值 ± 0.25分配给各组成环 A2,A3,和 A4，取,
05.02,1.02,1.02 432 ????????? AAA TTT
（ 2）计算工序尺寸的基本尺寸 。按对称偏差的标注方法，先取对称标注的
平均尺寸为 A4的基本尺寸,49.75
加上磨削余量 Z3，得 A2的基本尺寸, 49.75＋ 0.20=49.95
再加上大端面上的车削余量 Z2，得 A1的基本尺寸, 49.95＋ 2.80=52.75
同理，可得 A3的基本尺寸, 36.25＋ 0.20=36.45
A 3
A 4
2A
+0.5
36 0
(4 9,7 5± 0,25)
(3）填写工序尺寸及公差。 按双向对称公差标注，必要时再转标成单向“入
体”公差。由于,A1未参与尺寸链，故可按粗车的经济精度取,
因此可得各工序尺寸,
25.021 ??? AT
)8.49(05.075.49
2
)35.36(10.045.36
2
)05.50(10.095.49
2
)53(25.075.52
2
0
10.0
4
4
20.0
0
3
3
0
20.0
2
2
0
50.0
1
1
?
?
?
?
????
????
????
????
A
A
A
A
T
A
T
A
T
A
T
A
3、验算
（ 1）验算封闭环
（ a）按平均尺寸与双向对称偏差验算,
（ b）按单向入体公差验算,
AΣ = A3＋ A4－ A2 = 36.45＋ 49.75－ 49.95=36.25
TΣ =TA3+TA4+TA2=2× (0.10+0.05+0.10)=2× 0.25=0.5
工序 3中已参照有关工艺资料和生产经验取基本磨削余量 Z3=0.20，由以
上分析可知,Z3是 A2,A4的封闭环，可直接利用该关系进行验算，得,
磨削余量的变动量,
（ 2）验算工序间余量
最大磨削余量,Z3max=（ 49.94+0.10） -（ 49.75-0.05） =50.05-49.75=0.35
最小磨削余量, Z3min=（ 49.95-0.10） -（ 49.75+0.05） =49.85-49.80=0.05
可见，磨削余量是安全的（ Z3min＞ 0），也较合理（ Z3max不过大）。
基本磨削余量, 20.075.4995.49423 ????? ?? AAZ
15.0)05.0()10.0()2()2(2 423 ??????????? AAZ TTT
4.推算毛坯尺寸
利用上表，向下画毛坯轮廓线的延长线，
并取工序 1中小端面的粗车余量和台阶面粗车
余量均为 3；工序 2镗孔时的毛坯余量为 6；再
参照有关手册取出毛坯公差并经圆整后得,
56375.52)75.52(
348.245.36)45.36(
403390.39)90.39(
?
??
?
＋＝
＝
＋－＝
毛
毛
毛
分别标为, 40 ± 1,34 ± 1、
56 ± 1.5
※※※※※※※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※※ ※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
※
§ 4.4 装配尺寸链
任何机器都由许多零件和部件，按照一定的技术要求组而
合成的，机器装配可分为组装、部装和总装。
组装,由若干零件组合成组件。
部装,若干组件个零件组成部件。
总装,由部件、组件、零件组合。
装配完成的机器，大都必须满足一定的装配精度。 装配精
度是衡量机器质量的一个重要指标。 要达到装配精度，固然与
组成机器的每一个零件的加工精度有关，但与装配的工艺技术
也有很大关系，有时甚至必须依靠装配工艺技术才能达到产品
质量。特别在机器精度要求较高、批量较小时。
在长期的装配实践中，人们根据不同的机器、不同的生产
类型和条件，创造了许多巧妙的装配工艺方法、这些保证装配
精度的工艺方法，可以归纳为四种,
完全互换法
分级选配法
修配法
调节法。 ?
?
?
一、互换装配法
互换法的优点是,
1.装配工作简单、生产率高；
2.有利于组织流水生产；
3.便于将复杂的产品在许多工厂中协作生产；
4.同时也有利于产品的维修和配件供应。
缺点,难以适应装配精度要求很高的场合。
互换装配法，就是机器中每个零件按图纸加工合格以后，
不需再经过任何选择、修配和调节，就达到完全互换要求，
可以把它们装配起来，并能达到规定的装配精度和技术要求。
什么是互换装配法
例,如图所示 为齿轮箱部
件，装配后要求轴向窜动
量为 0.2～ 0.7mm。
即 。已知其他零件
的有关基本尺寸是：
A1=122,A2=28,A3=5,
A4=140,A5=5,试决定其
上下偏差。
互换法常有极值解法和概率解法,
7.0 2.00??? ?A
1.极值解法
（ 1）画出装配尺寸链，校验各环基
本尺寸。
封闭环基本尺寸为,
基本尺寸正确。
A 2 A 1
A 4 A 3A 5
A Σ
（ 2）确定各组成环尺寸的公差大小和分布位置。
为了满足封闭环公差要求 TΣ＝ 0.5,各组成环公差 Ti的累
积值 Σ Ti不得超过此 0.50值，即应满足,
问题,如何既方便又经济合理的分配确定各组成环的公差 Ti。
通常，把封闭环公差（ TΣ＝ 0.5 ）分配到各组成环公差（ Ti）
的方法有三种,
1)等公差
2)等精度
3)按加工难易程度
即将 TΣ平均分摊到各个组成环 Ti；
再按公差分配的“入体原则”，将各环 T；写成偏差,
① 按等公差分配
问题,A4 如何取。
今特意留下一个环 A4作为该尺寸链的“协调环”，即 A4 的
上、下偏差应通过计算获得,
故,
进行验算,TΣ=T1+T2+T3+T4+T5=0.10+0.10+0.10+0.10+0.10=0.50,
计算结果符合装配精度要求。
等公差法计算方便，但未考虑各零件的基本尺寸差异，因此
各零件的精度等级不同，显然不太合理。在同一尺寸链中基本尺
寸大致差不多的情况下，此法应用广泛。
② 按等精度分配
假定这台机器中每个零件都是同样的精度等级，则分配
公差时，凡基本尺寸大的零件给公差较大，反之较小，这较
为合理。
据, 公差与技术测量, 书中知，公差 T=a× I
式中,a—— 公差等级系数；
I—— 公差单位。
而
用等精度法分配公差时，可查表得出该尺寸链中各组成环基
本尺寸相应的公差单位值 (Ij),再求出“平均公差等级系数
(αM)”,
A,B—— 分别为尺寸分段的首尾两个尺寸值
这样，便可得出各组成环公差值,
T1=2.52× 64=0.160mm T2=1.31× 64=0.084mm
T3=0.73× 64=0.048mm T4=2.52× 64=0.160mm
若仍选留 A4为“协调环”，则其他各组成环按“入体原则”
可写出其上下偏差值,即,
协调环（ A4）的偏差值计算得,
故,
进行验算,TΣ=T1+T2+T3+T4+T5
=0.160+0.084+0.048+0.160+0.048=0.50，计算结果符合装配精度
要求。
③ 按加工难易程度分配法,
根据零件要求和加工要求来分配的公差，是更为科学合理的
方法。但需要设计人员有较丰富的经验。
1° A1,A2加工较难，精度等级应略为降低。
2° A3,A5加工方便，可适当提高精度等级。
3° A4加工难度中等。
按等精度中求得平均精度等级为 IT10。
今取 A1,A2大于 10级，而 A3,A5取 9级。
即, TA1=0.17 TA2=0.1 TA3=TA5=0.3
TA4= TΣ－ (T1+T2+T3+T5)=0.17
如上例中,
结果符合装配后封闭环的技术要求。
取 A4为协调环，其余组成环分别为,
则，协调环,
2.概率解法
当装配精度要求较高，而尺寸链的环数又较多（大
于 4环）时，应采用概率解法。
按等精度分配公差的概率解法,
∵,概率解法中的封闭环,2iTT ???
∴ 平均公差等级系数 1 2 773.052.273.031.152.2 5 0 0 222221
1
2
?
????
??
? ?
?
?
N
j
j
M
I
Ta
127≈ 64× 2 几乎是放大了一倍
∴ T1＝ 2.52 × 127=320μm=0.32mm
T2＝ 1.31 × 127=160μm=0.16mm
T3＝ T5 =0.73 × 127=90μm=0.09mm
T4＝ 2.52 × 127=320μm=0.32mm
仍以 A4为“协调环”，按“入体原则”将其余组成环写成偏
差形式，即,
0 09.05316.00232.001 5,28,1 2 2 ??? ???? AAAA
求协调环 A4
A4的平均基本尺寸为,
)()( 54321 MMMMMM AAAAAA ?????? ?????
)95.495.4()08.2816.1 2 2(45.02 5.02.0 4 ??????? MA
即,A4M＝ 139.88
∴
04.0 28.0444 14016.088.139232.088.1392 ????????? TAA M
验算,
222222 09.032.009.016.032.0 ???????? iTT ≤ 0.50
注意,以互换法解尺寸链所允许的公差较小，当再规定
的生产条件下难以加工时，应采用其它装配方法。
