基本电路理论
上海交通大学本科学位课程
2003年 7月
§ 2.3 电路元件及其约束方程
本节所讨论的电路元件都是理想化的二端元件，
电路元件的参数反映了不同基本变量之间的相互
关系，而且只决定于元件的性质，反映电路元件
上电压与电流之间关系的数学表示式，称为元件
的约束方程。
一、电阻器
定义：一个两端元件在任一瞬间
t 的电压 v(t)和电流 i(t)之间的关系
能由 vi平面 （ 或 iv平面 ） 上的伏
安特性曲线所决定, 称此二端元
件为电阻器 。
iv0
电阻器的分类 按时间：定常与时变 按 vi关系：线性与非线性
1、线性定常电阻器
定义：伏安特性曲线是
与时间变化无关的过原
点的直线。
()vtit
解析式 ( ) ( )
( ) ( )
v t R i t
i t G v t
RG
? ?
??????
? ?
欧姆定律
=1/
电阻器的电阻值 R（曲线的斜率）是常数，单位欧
姆，符号 Ω，电导 G的国际单位是西门子，符号 S
0vi
线性定常电阻器的电压 -电流关系是线性函
数关系
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
v f i f i i f i f i
i g v g v v g v g v
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
齐次性和可加性称线性元件判据
伏安曲线对原点为对称，称具有双向性
（实际意义：双向性电阻器在使用时不必
区别二端钮的极性，可随意接入电路）
凡线性元件、线性电路，与之相对应的电
路变量间的关系，都是线性函数关系。
开路和短路是线性定常电阻器的特殊情况 v0 0R?
短 路i
不管支路电流为多
少，支路电压为 0
不管支路电压为多
少，支路电流为 0
2、线性时变电阻器
伏安特性曲线是随时间
而变化的过原点的直线。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v t R t i t
i t G t v t
?
?
v0G?开 路iv0i
2()Ri1
实验装置电阻器的解析式为
aRbRbR
( ) ( 2 ) ( ) 0a b a bv t R R C o s f t i t R R?? ? ????? ? ?
电压 -电流的关系仍然是线性关系 即满足奇次
性、可加性。
每一时刻 t都有 R(t),且仍服从欧姆定律。
具有双向性。
2abR R Co s ft?? tabRR??a()Rt0 2
abR R Co s ft??
RR??0vi
电压线性定常电阻器和线性时变电阻器的区别
若有正弦信号
对线性定常电阻而言，输入和输出是同频率的正弦
量，对线性时变电阻器而言，其输出中包含有输入
信号的频率，还包含有新的频率（电阻器时变频率
与输入频率的和、差频率），这种性质在通讯系统
中称之为, 调制, 。
1( ) 2i t A C o s f t??
,A,f1为常数
则
1( ) ( ) 2v t R i t R A C o s f t???
1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2
2 2 ( ) 2 ( )
22
ab
bb
a
v t R t i t R R C o s f t A C o s f t
R A R A
R A C o s f t C o s f f t C o s f f t
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、非线性电阻器
定义：凡不是线性的电阻器就称为非线性
电阻器，或伏安特性曲线不是过原点的直
线的电阻器，称非线性电阻器。
解析式,? ?
? ?
( ) ( )
( ) ( )
v t f i t
i t g v t
?
?
0vi0vi
二极管
单调型电阻
()vtit0vi
隧道二极管
电流是电压的单值函数
充气二极管
电压是电流的单值函数
1
()
( ) ( )
i f v
v g i f i?
?
??
()i f v?
电压控制型电阻
()v f i?
电流控制型电阻
既然是非线性元件，也就失去了线性元件所具有
的线性性质（不遵循欧姆定律，没有奇次性、可
加性，只有单向性）。
()vt()it0 vi()vtit0i
非线性电阻元件的电阻有两种表示方式：静态电
阻和动态电阻。
P ( v,i ) v?
?i0 v 非线性元件在某一工作状态下的静态电阻 R等于该点的电压值 v与电流值 i之比，即R= v / i。如右图中 P点所示。R正比于 tg?。 非线性电阻元件在某一工作状态下的动态电阻 R
d是电压增量与电
流增量之比的极限（也就是电压
对电流的导数）即 Rd=dv/di，如左
图中的 P点所示。
P ( v,i )
?i0 v
右图中 P点所在的位置正是特
性曲线的下降部分, 动态电阻
为负值 。 这一区域称负阻区,
这样的元件称负阻元件 。
从伏安曲线看，独立电压源可视为非线性电阻器
（这样在理论上使无源电阻器与电源统一起来）
且是电流控制型元件。其电导由 -∞→0→∞ 。
独立电流源可视为非线性电阻器，且是电压控制
型元件。其电阻由 -∞→0→∞ 。
对非线性问题，经常采用分段线性化近似方法来
分析。
P ( v,i ) v?
?i0 v
例：理想二极管（是对实际二极管分段线性化的结
果） ()vtit0iv
当 v<0,i=0,相当于开路,RD =∞
当 i>0,v=0,相当于短路,RD =0
例：求下列电路的伏安特性曲线
当 v1>0,R=R1+0；
当 v1<0,R=R1+∞ 1 Sv v V??
1v1RSVi SV1R0ivSV0ivSVR0i
例：根据右图伏安特性曲线进行
有源电路的等效变换（或根据伏
安曲线设计电路）
将曲线看成两电
压之和，即在电
压方向上分解。
将曲线看成两电
流之和，即在电
流方向上分解。
iSRSVvvi
SRSISRSIvi0
SVSRvi0 SVvi0
§ 2.4 电容器
定义：一个二端元件, 它任
一时刻 t的端电压 v(t)和元件
上的电荷 q(t)能用 vq 平面
（ 或 qv平面 ） 上的曲线表示,
称该二端元件为电容器, 该
曲线称库伏特性曲线 。
电容器能储存电荷, 说明它能储存电能,
称 储能元件 。
()vtitqtvq0
电容器的分类 按时间：定常与时变 按 qv关系：线性与非线性
1、线性定常电容器
定义：库伏特性曲线是
与时间变化无关的过原
点的直线。
解析式
其中 C是电容（特性曲线的斜率，常数）。
S=1/C（称倒电容）。
( ) ( )
( ) ( )
q t C v t
v t S q t
?
?
斜率Cvq0
电容器中的电流和电压之间的关系
( ) ( ) ( )() d q t d C v t d v ti t C
d t d t d t
? ? ? ( ) 1 ( )() d v t d v ti t C
d t S d t
??
电流 - 电压关系通过微分方程建立，即电流取决于电容器
两端电压的变化快慢，因此，称之为 动态元件。
电流是电荷或电压的线性函数，且某时刻的电流由该时刻
电压的变化率决定，与该时刻的电压或电压的历史无关。
0
00
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( )t t tv t i t d t i t d t i t d t v i t d t
C C C C? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
由上式可知，只有当 v(0)=0时，电容电压才是电流的线性
函数。另外，某时刻 t 的电压值并不取决于同时刻的电流
值，而取决于从 -∞到 t的所有时刻的电流值，即与电流的
全部历史有关，电容有记忆电流的作用，称为 记忆元件。
上式还指出，只有当电容值 C和电压 v(0)均给定时，一个
线性定常电容元件才算完全确定。
0
00
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( )t t tv t i t d t i t d t i t d t v i t d t
C C C C? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
v(0)是研究问题一开始电容器就有的电压值，它对 t=0以
后的电容器电压有影响，称 v(0)是电容器电压的初始值
（起始值），具有初始电压的电容可以等效成无初始电
压的电容与电压源的串联（认为电压源是在 t=0时作用到
电路上的）。 Cv
0(0)CvV?Cv (0) 0Cv ?0 ()Sv V u t?
关于电容电压增量 △ v
在 t 时刻
0
1( ) ( 0 ) ( ') 'tv t v i t d t
C?? ?
在 t+△ t 时刻
0
1( ) ( 0 ) ( ') 'ttv t t v i t d t
C
??? ? ? ? ?
1( ) ( ) ( ') 'tt
t
v v t t v t i t d tC ??? ? ? ? ? ? ?
当 |i(t)|≤M（ M为有限常数）,△ t→0 时 △ v→0,
这说明只要电流是有界函数，电压就是连续函数，
即电容电压值是不会发出跳变的。 0t ?SV RC ( 0 ) 0
Cv ? ? ∵ v(t)是连续的∴ v(0
+)=v(0-)=0
从线性电容的特性曲线可知，电容是一种单调
元件，即是荷控的，又是压控的。
电容和电压源串联与电容和电流源并联的等效 C()vt(0) 0
Cv ?()Svtit 01( ) ( ) ( ) ( ') ' ( )tC S Sv t v t v t i t d t v tC? ? ? ??
()() () Sd v td v tC i t C
d t d t??
()()( ) ( ) ( )S
CS
d v td v ti t C C i t i t
d t d t? ? ? ? ?
()SitC(0 ) 0Cv ?()it
并联等效成串联
串联等效成并联
()( ) ( ) ( )
CS
d v ti t i t i t C
dt? ? ?
00
11( ) ( ') ' ( ') ' ( ) ( )tt
S C Sv t i t d t i t d t v t v tCC? ? ? ? ???
上海交通大学本科学位课程
2003年 7月
§ 2.3 电路元件及其约束方程
本节所讨论的电路元件都是理想化的二端元件，
电路元件的参数反映了不同基本变量之间的相互
关系，而且只决定于元件的性质，反映电路元件
上电压与电流之间关系的数学表示式，称为元件
的约束方程。
一、电阻器
定义：一个两端元件在任一瞬间
t 的电压 v(t)和电流 i(t)之间的关系
能由 vi平面 （ 或 iv平面 ） 上的伏
安特性曲线所决定, 称此二端元
件为电阻器 。
iv0
电阻器的分类 按时间：定常与时变 按 vi关系：线性与非线性
1、线性定常电阻器
定义：伏安特性曲线是
与时间变化无关的过原
点的直线。
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解析式 ( ) ( )
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欧姆定律
=1/
电阻器的电阻值 R（曲线的斜率）是常数，单位欧
姆，符号 Ω，电导 G的国际单位是西门子，符号 S
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线性定常电阻器的电压 -电流关系是线性函
数关系
1 2 1 2
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齐次性和可加性称线性元件判据
伏安曲线对原点为对称，称具有双向性
（实际意义：双向性电阻器在使用时不必
区别二端钮的极性，可随意接入电路）
凡线性元件、线性电路，与之相对应的电
路变量间的关系，都是线性函数关系。
开路和短路是线性定常电阻器的特殊情况 v0 0R?
短 路i
不管支路电流为多
少，支路电压为 0
不管支路电压为多
少，支路电流为 0
2、线性时变电阻器
伏安特性曲线是随时间
而变化的过原点的直线。
( ) ( ) ( )
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实验装置电阻器的解析式为
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电压 -电流的关系仍然是线性关系 即满足奇次
性、可加性。
每一时刻 t都有 R(t),且仍服从欧姆定律。
具有双向性。
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电压线性定常电阻器和线性时变电阻器的区别
若有正弦信号
对线性定常电阻而言，输入和输出是同频率的正弦
量，对线性时变电阻器而言，其输出中包含有输入
信号的频率，还包含有新的频率（电阻器时变频率
与输入频率的和、差频率），这种性质在通讯系统
中称之为, 调制, 。
1( ) 2i t A C o s f t??
,A,f1为常数
则
1( ) ( ) 2v t R i t R A C o s f t???
1
1 1 1
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3、非线性电阻器
定义：凡不是线性的电阻器就称为非线性
电阻器，或伏安特性曲线不是过原点的直
线的电阻器，称非线性电阻器。
解析式,? ?
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二极管
单调型电阻
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隧道二极管
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电压控制型电阻
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的线性性质（不遵循欧姆定律，没有奇次性、可
加性，只有单向性）。
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非线性电阻元件的电阻有两种表示方式：静态电
阻和动态电阻。
P ( v,i ) v?
?i0 v 非线性元件在某一工作状态下的静态电阻 R等于该点的电压值 v与电流值 i之比，即R= v / i。如右图中 P点所示。R正比于 tg?。 非线性电阻元件在某一工作状态下的动态电阻 R
d是电压增量与电
流增量之比的极限（也就是电压
对电流的导数）即 Rd=dv/di，如左
图中的 P点所示。
P ( v,i )
?i0 v
右图中 P点所在的位置正是特
性曲线的下降部分, 动态电阻
为负值 。 这一区域称负阻区,
这样的元件称负阻元件 。
从伏安曲线看，独立电压源可视为非线性电阻器
（这样在理论上使无源电阻器与电源统一起来）
且是电流控制型元件。其电导由 -∞→0→∞ 。
独立电流源可视为非线性电阻器，且是电压控制
型元件。其电阻由 -∞→0→∞ 。
对非线性问题，经常采用分段线性化近似方法来
分析。
P ( v,i ) v?
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例：理想二极管（是对实际二极管分段线性化的结
果） ()vtit0iv
当 v<0,i=0,相当于开路,RD =∞
当 i>0,v=0,相当于短路,RD =0
例：求下列电路的伏安特性曲线
当 v1>0,R=R1+0；
当 v1<0,R=R1+∞ 1 Sv v V??
1v1RSVi SV1R0ivSV0ivSVR0i
例：根据右图伏安特性曲线进行
有源电路的等效变换（或根据伏
安曲线设计电路）
将曲线看成两电
压之和，即在电
压方向上分解。
将曲线看成两电
流之和，即在电
流方向上分解。
iSRSVvvi
SRSISRSIvi0
SVSRvi0 SVvi0
§ 2.4 电容器
定义：一个二端元件, 它任
一时刻 t的端电压 v(t)和元件
上的电荷 q(t)能用 vq 平面
（ 或 qv平面 ） 上的曲线表示,
称该二端元件为电容器, 该
曲线称库伏特性曲线 。
电容器能储存电荷, 说明它能储存电能,
称 储能元件 。
()vtitqtvq0
电容器的分类 按时间：定常与时变 按 qv关系：线性与非线性
1、线性定常电容器
定义：库伏特性曲线是
与时间变化无关的过原
点的直线。
解析式
其中 C是电容（特性曲线的斜率，常数）。
S=1/C（称倒电容）。
( ) ( )
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电容器中的电流和电压之间的关系
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电流 - 电压关系通过微分方程建立，即电流取决于电容器
两端电压的变化快慢，因此，称之为 动态元件。
电流是电荷或电压的线性函数，且某时刻的电流由该时刻
电压的变化率决定，与该时刻的电压或电压的历史无关。
0
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由上式可知，只有当 v(0)=0时，电容电压才是电流的线性
函数。另外，某时刻 t 的电压值并不取决于同时刻的电流
值，而取决于从 -∞到 t的所有时刻的电流值，即与电流的
全部历史有关，电容有记忆电流的作用，称为 记忆元件。
上式还指出，只有当电容值 C和电压 v(0)均给定时，一个
线性定常电容元件才算完全确定。
0
00
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（起始值），具有初始电压的电容可以等效成无初始电
压的电容与电压源的串联（认为电压源是在 t=0时作用到
电路上的）。 Cv
0(0)CvV?Cv (0) 0Cv ?0 ()Sv V u t?
关于电容电压增量 △ v
在 t 时刻
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当 |i(t)|≤M（ M为有限常数）,△ t→0 时 △ v→0,
这说明只要电流是有界函数，电压就是连续函数，
即电容电压值是不会发出跳变的。 0t ?SV RC ( 0 ) 0
Cv ? ? ∵ v(t)是连续的∴ v(0
+)=v(0-)=0
从线性电容的特性曲线可知，电容是一种单调
元件，即是荷控的，又是压控的。
电容和电压源串联与电容和电流源并联的等效 C()vt(0) 0
Cv ?()Svtit 01( ) ( ) ( ) ( ') ' ( )tC S Sv t v t v t i t d t v tC? ? ? ??
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