2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--1--
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--第 5章 目标规划 --
--2--
Goal Programming
第五章 目标规划
线性规划：单一目标
目标规划：多目标、优先次序、
综合规划
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--第 5章 目标规划 --
--3--
5.1 问题的提出和数学模型
一、引例,某企业生产 Ⅰ, Ⅱ 两种产品，其生产的参数
如表中所示。在制定生产计划时要考虑如下内容：
（ 1）依据市场反馈信息,Ⅰ 产品出现滞销，预测表明，
两种产品的生产比例大致保持 1:1为宜；
（ 2）设备能力尚有机动的余地,B设备必要时可以加班，
但希望加班时间愈少愈好； A设备较为重要，所以既希望
能力能够被充分利用，同时又尽量少加班；
（ 3）企业将利润指标定位 12元，并力求超过。
企业认为，在上述考虑的目标中，利润要求最为重
要；产量比例次之； A设备的重要性是 B设备的三倍。
试建立该问题的数学模型。
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--第 5章 目标规划 --
--4--
A B C D 利润
Ⅰ
Ⅱ
2 1 4 0
2 2 0 4
加工能力 12 8 16 12
2
3
二、建立模型
设 x1——Ⅰ 产品的产量
x2——Ⅱ 产品的产量
（ 1） x1-x2 =0+d1-- d1+ min（ d1-+ d1+ ）
（ 2） B,x1+2x2 =8
A,2x1+2x2 =12
（ 3） 2x1+3x2 =12
+d2-- d2+
+d3-- d3+
+d4-- d4+
min d2+
min（ d3-+ d3+）
min d4-
C,4x1?16
D,4x2 ? 12
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--第 5章 目标规划 --
--5--
目标值
d1-
d1+
实际值 实际值
∴ d1-·d1+ =0
∵ d1- ? 0,d1+ ? 0
正偏差变量负偏差变量
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--第 5章 目标规划 --
--6--
x1-x2 +d1-- d1+ =0
x1+2x2 +d2-- d2+ =8
2x1+2x2 +d3-- d3+=12
4x1 ?16
4x2 ? 12
2x1+3x2 +d4-- d4+ =12
Min z=P1d4-+P2(d1-+ d1+ )+3P3(d3-+ d3+)+P3d2+
St.
x1,x2? 0,di-,di+ ? 0,(i=1,2,3,4)
Pi——优先级系数,i越小，则
级别越高。
目标规划模型如下：
①
②
③
④
⑤
⑥
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--第 5章 目标规划 --
--7--
⑴ 引进偏差变量，表示实际值与目标值之间的差距。
其中,di-表示负偏差，体现实际值低于目标的大小；
di+表示正偏差，体现实际值高于目标的大小。
⑵ 约束分两种形式：
系统约束 ——刚性约束，严格限制；可以不出现；
目标约束 ——柔性约束，弹性限制。必须存在。
⑶ 目标函数只出现偏差变量，而不含决策变量。
⑷ 模型引进优先级系数的概念。
三、模型的特点
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--第 5章 目标规划 --
--8--
5.2 目标规划模型的图解分析
① 作平面直角坐标系；
② 作出系统约束所在直线；
③ 作出目标约束所在直线，标出偏差方向；
④ 按优先级次序，确定满意解。
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--第 5章 目标规划 --
--9--
x1
x2
2 4 6 80
2
4
6
①
②
③ ④
⑤
⑥
d1-
d2-
d3-
d4-d
1+
d2+
d3+
d4+A
B
C D
E
F
(3,3)
G
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--第 5章 目标规划 --
--10--
x1+2x2 +d2-- d2+ =8
2x1+2x2 +d1-- d1+=12
4x1 ?16
4x2 ?12
2x1+3x2 ?12
Min z=P1(d1-+ d1+ )+P2(d2-+ d2+)
St.
x1,x2? 0,di-,di+ ? 0,(i=1,2,3)
例：有目标规划模型如下，用图解分析求解
①
②
③
④
⑤
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--第 5章 目标规划 --
--11--
x1
x2
2 4 6 80
2
4
6
①
②
③
④
⑤
d2-
d1-
d2+
d1+
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--第 5章 目标规划 --
--12--
5.3 目标规划的单纯形法
目标规划的单纯形法与线性规划单纯形法
类似。
例,见下例 。
最优性判定准则：
（ 1）所有检验数均 ?0，则该表为最优解
表；
（ 2）若某行具有负值检验数，但负检验
数列较高优先级中具有正检验数，
则该表为最优解表。
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--第 5章 目标规划 --
--13--
x1 +d1-- d1+ =10
2x1+x2 +d2-- d2+ =40
3x1+2x2 +d3-- d3+=100
Min z= P1(d1 ? + d2+ )+P2d3?
St.
x1,x2? 0,di-,di+ ? 0,(i=1,2,3)
例：单纯形法求解下述目标规划模型
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--第 5章 目标规划 --
--14--
Cj →
XB bCB
1 0 1 -1 0 0 0 0
2 1 0 0 1 -1 0 0
3 2 0 0 0 0 1 -1
0 0 p1 0 0 p1 p2 0
10
40
100
d1?
d2?
d3?
p1
0
p2
cj - zj
x1 x2 d1? d1+ d2? d2+ d3? d3+
p1
p2
-1 1 1
-3 –2 1
1 0 1 -1 0 0 0 0
0 1 -2 2 1 -1 0 0
0 2 -3 3 0 0 1 -1
10
20
70
x1
d2?
d3?
0
0
p2
cj - zj p1p2 1 1
0 –2 3 -3 1
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--第 5章 目标规划 --
--15--
Cj →
XB bCB
1 1/2 0 0 1/2 -1/2 0 0
0 1/2 -1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1/2 0 0 -3/2 3/2 1 -1
0 0 p1 0 0 p1 p2 0
20
10
40
x1
d2+
d3?
0
0
p2
cj - zj
x1 x2 d1? d1+ d2? d2+ d3? d3+
p1
p2
1 1
–1/2 3/2 -3/2 1
1 0 1 -1 0 0 0 0
0 1 -2 2 1 -1 0 0
0 0 1 -2 -2 2 1 -1
10
20
30
x1
x2
d3?
0
0
p2
cj - zj p1p
2
1 1
-1 1 2 -2 1
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--第 5章 目标规划 --
--16--
5.3 目标规划模型的程序求解
☆ 使用 LINDO程序求解，按求解线性
模型方法输入约束条件，目标函数按
优先级次序分次输入。
☆ 使用 EXCEL求解时，与 LINDO的处理
方法相同。
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--第 5章 目标规划 --
--17--
例 1,某计算机公司欲制定购买年度所需的计算机芯片（ chip集
成电路块）的策略。公司选择的供应商有三家，芯片按质量的差异
可分为一级、二级和三级，一级最好，三级最低。在本年度里，公
司估计可需要一级芯片 5000块，二级芯片 3000块，三级芯片 1000块。
来自每个供应商的芯片构成情况如表示（芯片成组供应,100块为一
组），公司年度采购芯片的预算为 28000元。若公司没获得足够的各
级芯片，它还需要额外零散购买缺少的芯片，价格为一级芯片 10元，
二级芯片 6元，三级芯片 4元。若采购资金超过预算，则超额部分将
承担 30%的融资费，所以应使融资费尽可能的少。公司欲使用目标规
划模型来帮助决策，优先考虑的顺序为：
（ 1） 预算要求；
（ 2）一级芯片的需求量；
供应商 A
供应商 B
供应商 C
一级 二级 三级
60 20 20
50 35 15
40 20 40
每组价格
400
300
250
芯片组等级数量构成及价格
5.4 目标规划模型的实际应用
（ 3）二级芯片的需求量；
（ 4）三级芯片的需求量。
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--第 5章 目标规划 --
--18--
模型：
设 xj ——购买第 j个供应商芯片组数
约束方程：
一级芯片,60x1+50x2+40x3+d1--d1+=5000
二级芯片,20x1+35x2+20x3+d2--d2+=3000
三级芯片,20x1+15x2+40x3+d3--d3+=1000
预算要求,400x1+300x2+250x3+10d1-+6d2-+4d3-+d4--d4+=28000
目标函数：
Min z= P1d4++P2d1-+P3d2-+P4d3-
变量符号限制：
xj? 0（ j=1,2,3）,di-? 0,di+ ? 0（ i=1,···,4）
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--第 5章 目标规划 --
--19--
5.5 多目标决策方法 ——层次分析法（ AHP）
一、概述
人们在进行对多个方案进行比较选择时，总是要依据一些准则，
这些准则形成了决策时要实现的目标，形成多目标决策。而对决策者
而言，多目标决策下的决策往往是困难的，尤其是对于存在许多需要
定性判断的要素，更是难以抉择。
美国匹兹堡大学教授 Thomas L.Saaty在七十年代末 提出的的层次
分析法（ AHP,Analytic Hierarchy Process）是解决这类问题的一种有
效方法。它将多目标决策问题进行层次化处理，在每一层次上将决策
者的主观判断数量化，然后进行层层加权处理，得出各备选决策方案
的权重，从而实现在多目标下对被选方案的排序。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--20--
二,AHP的基本原理
在对备选方案进行选择时，决策者要按着一定的准则对备选方案的
“优”、“劣”给予判断，当采用的准则超过一个时，则需要综合各准
则下的判断结果。
AHP根据人们心理思维判断的分辨能力，建立相对评价技术（区别
于直接给各方案评分方法），便于操作者使用，并且具有较好的客观性。
这是 AHP能够获得广泛应用的原因。
例：设有 n块石头 A1,A2,···,An，其重量分别是 W1,W2,···,Wn，
要按重量给他们排序，我们按相对比较判断的方法去获得结果。
假如判断是完全准确的，那么可得出如下的对于重量的判断矩阵：
A1 A2 ··· An
A1
A2··
····
An
W1/W1 W1/W2 ······ W1/Wn
W2/W1 W2/W2 ··· W2/Wn
···················································
Wn/W1 Wn/W2 ··· Wn/Wn
A=
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--第 5章 目标规划 --
--21--
设 W=[W1,W2,·······,Wn]T，则
A·W=
W1/W1 W1/W2 ······ W1/Wn
W2/W1 W2/W2 ··· W2/Wn
···················································
Wn/W1 Wn/W2 ··· Wn/Wn
W1
W2···
···
Wn
=
nW1
nW2···
···
nWn
= nW
依据矩阵理论，可知 n是 A的最大特征根（ AW=?maxW）,W是对应
n的特征向量。所以，当已知判断矩阵 A时，就可以求出向量 W。这就
是层次分析法的基本原理。
在 AHP方法中，构造判断矩阵 A是关键问题，它是决策者对客观事
物认识的数量化反映，既具有主观性，又具有客观性。同时，由于对方
案的比较转化为两两比较，使得决策者能够较容易做出判断。
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--第 5章 目标规划 --
--22--
三、标度问题和判断矩阵的构造
判断矩阵是人们根据对客观要素相对差异分辨所做出的心理判断
的标度，所以其取值应符合心理学上定性区分的原理。主要有如下几
个方面：
1,当相比较元素具有相同数量级，或者差异不大时，定性区分是有意
义的；
2,通常人们对两个元素相对重要性的心理上定性区分能力可用 5个属性
很好地表示出来，即相同、稍微重要、比较重要、非常重要、绝对重
要，所以可用 1,3,5,7,9五个数字描述相对重要程度；
3,若需要较高的比较精度，还可引入两个标度中间的数值，即 2,4,6，
8可满足更高精度要求；
4,注意到在进行比较时的心理学限制，我们取 9个元素对其相对重要性
进行比较，而他们之间又稍有差异，则需要有 9个标度来区分相互之间
的差异；
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--第 5章 目标规划 --
--23--
标度及其描述：
标 度 定 义
1
3
5
7
9
2,4,6,8
倒数
两个元素相同重要
一个元素比另一个元素稍微重要
一个元素比另一个元素比较重要
一个元素比另一个元素非常重要
一个元素比另一个元素绝对重要
相邻判断的中间值
上述各判断的倒过来比较
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--第 5章 目标规划 --
--24--
四,AHP的计算处理
线性代数中求特征向量的方法是通过首先求特征值的方式获得的，
但是由于 AHP判断矩阵的特殊构造，使我们可以采取迭代的方法方便地
求出特征向量，主要有和积法和方根法，分别介绍如下：
1,和积法
⑴将判断矩阵规范化
设 A=[aij]，则规范化矩阵 A=
⑵ 计算特征向量 W，
wi = ? aij,（ i=1,2,···,n）
⑷计算最大特征根,?max = ?
aij/ ∑akjk=1
n
j=1
n
= [ aij ]
(nwi)/wi
ni=1
n
n
1
=? (AW)i /wini=1n
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--第 5章 目标规划 --
--25--
∵ AW=nW，故可求出 nwi
计算原理分析如下：设
A=
w1/w1 w1/w2 ······ w1/wn
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··········································
wn/w1 wn/w2 ··· wn/wn
，则
A=
w1/?wi w1/?wi ······ w1/?wi
w2/?wi w2/?wi ··· w2/?wi
···················································
wn/?wi wn/?wi ··· wn/?wi
计算特征向量
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--第 5章 目标规划 --
--26--
W=
nw1/?wi
nw2/?wi
nwn/?wi
w1/ ?wi
w2/ ?wi
wn/ ?wi
····
··
····
··
A·W=
w1/w1 w1/w2 ······ w1/wn
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··········································
wn/w1 wn/w2 ··· wn/wn
w1/ ?wi
w2/ ?wi
wn/ ?wi
·
=
nw1/?wi
nw2/?wi
nwn/?wi
····
··
w1/?wi
w2/?wi
wn/?wi
····
··= n =nW,∴ ?max =
?（ nwi） /wi
n
（取均值）
n
1 ·? =
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--第 5章 目标规划 --
--27--
方根法：
⑴ 计算 wi，
wi= ∏aij,（ i=1,2,·····,n）
⑵规范化 wi，
wi=,（ i=1,2,·····,n）
⑶
√
n
j=1
n
wi
? win
i=1
(nwi)/wi
ni=1
n
?max= ? =?? (AW)i /wini=1
n
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--第 5章 目标规划 --
--28--
计算原理如下：
A=
w1/w1 w1/w2 ······ w1/wn
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··········································
wn/w1 wn/w2 ··· wn/wn
√
n
j=1
n
∏aij= wi/( )wi= √
n
j=1
n
∏wi 规范化 wi= wi / ? wi
i=1
n
与和积法得到的特征向量一致。
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--第 5章 目标规划 --
--29--
五、一致性问题
上述的模型是建立在判断矩阵具有完全一致性的基础上。事实上，由
于人们在对备选方案的相对重要性判别上会出现前后不一致的差别，会使
得构造的判断矩阵出现误差，当误差超过一定范围时，将导致错误的结果。
所以，计算中要对判断矩阵的一致性进行检验。
设由三个元素 A1,A2,A3，令相对重要性的判别标度分别为 A1/A2=a12，
A1/A3=a13,A2/A3=a23，如果前后判断完全一致，则应有 a23=a13/a12，否则称
不具有完全一致性。
依据矩阵理论可以证明，对于 n阶判断矩阵，当其具有完全一致性时，
其最大特征根为单根，且 ?max=n，特征向量 w?0,其余的特征根为 0；当不
具有完全一致性时,?max >n，但若具有近似的一致性时,?max≈n，且对于
其余的 ∑?i≈0。所以在计算中，要检查判断矩阵是否能够较好地满足一致性
要求。
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--第 5章 目标规划 --
--30--
为检查判断矩阵的一致性，引入一致性指数 CI（ Consistency Index）：
CI= n－ 1?max－ n,当 CR= CIRI <0.10 时，
则认为判断矩阵具有较好的一致性。式中 RI——称为平均随机一致性指
数（ Random Index），其 1—9阶矩阵的数值如下表所是：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.51
上述平均随机一致性指标 RI是这样得到的：用随机方法构造 500个
样本判断矩阵，即随机地用 1—9标度中的 1,2,3,4,5,6,7,8,9以及他们的倒
数填满样本判断矩阵的上三角各项，且主对角线各元素的数值均为 1，
对应的转置位置项则采用上述对应位置随机数的倒数，分别对应 n=1~9
阶各 500个样本判断矩阵计算其一致性指标 （ ?max － n） /（ n－ 1）的值，
然后平均，即得到上述各阶 RI的值。
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--第 5章 目标规划 --
--31--
例：张小姐大学毕业，面临抉择工作。现在有三项 A1,A2,A3工作使
她感到可以接受，但究竟选择那一项工作，使她犹豫不决。因为各项
工作都有自己的长处，究竟该选择哪项工作呢？
这里,1—2阶的 RI只是形式上的，因为 1—2阶判断矩阵总是完全一致的。
五,AHP应用示例
一番考虑之后，张小姐决定根据以下指标进行选择：
⊙ 较高的起始薪水
⊙ 工作所在城市的生活质量
⊙ 工作的兴趣
⊙ 工作地点离家的距离
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--第 5章 目标规划 --
--32--
1.建立 AHP的层次关系
最佳工作
起
始
薪
水
城
市
生
活
质
量
工
作
兴
趣
离
家
距
离
工作 A1 工作 A2 工作 A3
目标层
准则层
方案层
C1 C2 C3 C4
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--第 5章 目标规划 --
--33--
首先，构造各准则对总目标的相对重要性判断矩阵。
1 5 2 4
1/5 1 1/2 1/2
1/2 2 1 2
1/4 2 2 1
C1 C2 C3 C4
C1
C2
C3
C4
=A ——对总目标判断矩阵
.5128,5000,5000,5333
.1026,1000,1250,0667
.2564,2000,2500,2667
.1282,2000,1250,1333
A= A的规范化矩阵
[.5115,0986,2433,1466]TW = 各项指标权重
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--第 5章 目标规划 --
--34--
1 2 4
1/2 1 2
1/4 1/2 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B1 ——各方案对于薪水准则的判断矩阵
构造各项工作对于不同指标的判断矩阵如下：
.5714,5714,5714
.2857,2857,2857
.1429,1429,1429
B1= B1的规范化矩阵
W1=[.5714,2857,1429]T 各方案对 薪水的相对分值
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--35--
1 1/2 1/3
2 1 1/3
3 3 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B2 ——各方案对于城市生活质量准则的判断矩阵
.1667,1111,2000,
3333,2222,2000,
5000,6667,6000
B2= B2的规范化矩阵
W2=[.1593,2518,5889]T 各方案对 城市生活质量的相对分值
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--36--
1 1/7 1/3
7 1 3
3 1/3 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B3 ——各方案对于工作兴趣准则的判断矩阵
.0909,0968,0769
.6364,6774,6923
.2727,2258,2308
B3= B3的规范化矩阵
W3=[.0882,6687,2431]T 各方案对工作兴趣的相对分值
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--37--
1 1/4 1/7
4 1 1/2
7 2 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B4 ——各方案对离家距离准则的判断矩阵
.0833,0769,0870
.3333,3077,3043
.5834,6154,6087
B4= B4的规范化矩阵
W4=[.0824,3151,6025]T 各方案对 离家距离的相对分值
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--38--
一致性检验：
对 A矩阵,?max= ? (nwi)/wini=1
n
= ? (AW)i /wini=1
n
,而
1 5 2 4
1/5 1 1/2 1/2
1/2 2 1 2
1/4 2 2 1
.5115
.0986
.2433
.1466
AW= =
2.0744
0.3958
0.9894
0.5933
∴ ?max=
2.0744
.5115
+,3958
.0986
+,9894
.2433 +
.5933
.1466
4
= 4.0477
∴ CI= ?max－ nn－ 1 = 4.0477－ 43 =0.0159
∵ CR=CI/RI=.0159/.90=0.0177<0.10,∴ A具有满意的一致性指标。
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--第 5章 目标规划 --
--39--
同理，可对其它判断矩阵进行一致性检验，其结果如下：
对矩阵 B1,B1·W1=[1.7143 0.8571 0.4286]T,?max= 3.0000，
CI=0,CR=0
对矩阵 B2,B2·W2=[0.4815 0.7667 1.8222]T,?max= 3.0539，
CI=0.0270,CR=0.0485
对矩阵 B3,B3·W3=[0.2648 2.0154 0.7306]T,?max= 3.0070，
CI=0.0035,CR=0.0060
对矩阵 B4,B4·W4=[0.2473 0.9460 1.8096]T,?max= 3.0020，
CI=0.0010.,CR=0.0017
可见，对所有的判断矩阵，都有满意的一致性,∴ 结果有效。
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--第 5章 目标规划 --
--40--
最后，计算各方案的（总排序分）加权平均分值：
WA= [WB1 WB2 WB3 WB4 ]· W
.5714,1593,0882,0824
.2857,2518,6687,3151
.1429,5889,2431,6025
.5115
.0986
.2433
.1466
=
.3415
.3799
.2786
=
（ WB1 WB2 WB3 WB4 W）
公式如下,WAs= ?Wi? WAsi
式中,WAs——方案层中第 As方案的加权分值
Wi——上层（指标层）元素中第 i个元素的权重
WAsi——方案层中第 As个方案相对上层指标 i的权重
m——上层指标个数
本例中，
i=1
m
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--41--
几点说明：
1,多层次指标指标问题,AHP允许有多个指标层次；
2,一致性指标不理想：若构造的判断矩阵一致性指标指数不理想，
则要修改判断矩阵，直到达到具有满意的一致性时为止；
3,数值性指标的效用值：数值性指标虽然可以进行直接比较，但更
多的是采用“效用值”去构造判断矩阵；
4,计算方法的精度 --近似计算：和积法和方根法都是一种近似计算
方法，只是当判断矩阵具有完全一致性时才能得到准确的数值，这
是需要进行一致性检验的理由；
5,与其它定性判断方法的比较：主要是因为相对判断方式只考虑了
两个元素，从心理学的意义上说，具有便于操作及具有较高的准确
度的优点；
6,某一层次元素超过 9阶的处理：一般采用分解的方法。
--第 5章 目标规划 --
--1--
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--第 5章 目标规划 --
--2--
Goal Programming
第五章 目标规划
线性规划：单一目标
目标规划：多目标、优先次序、
综合规划
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--第 5章 目标规划 --
--3--
5.1 问题的提出和数学模型
一、引例,某企业生产 Ⅰ, Ⅱ 两种产品，其生产的参数
如表中所示。在制定生产计划时要考虑如下内容：
（ 1）依据市场反馈信息,Ⅰ 产品出现滞销，预测表明，
两种产品的生产比例大致保持 1:1为宜；
（ 2）设备能力尚有机动的余地,B设备必要时可以加班，
但希望加班时间愈少愈好； A设备较为重要，所以既希望
能力能够被充分利用，同时又尽量少加班；
（ 3）企业将利润指标定位 12元，并力求超过。
企业认为，在上述考虑的目标中，利润要求最为重
要；产量比例次之； A设备的重要性是 B设备的三倍。
试建立该问题的数学模型。
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--第 5章 目标规划 --
--4--
A B C D 利润
Ⅰ
Ⅱ
2 1 4 0
2 2 0 4
加工能力 12 8 16 12
2
3
二、建立模型
设 x1——Ⅰ 产品的产量
x2——Ⅱ 产品的产量
（ 1） x1-x2 =0+d1-- d1+ min（ d1-+ d1+ ）
（ 2） B,x1+2x2 =8
A,2x1+2x2 =12
（ 3） 2x1+3x2 =12
+d2-- d2+
+d3-- d3+
+d4-- d4+
min d2+
min（ d3-+ d3+）
min d4-
C,4x1?16
D,4x2 ? 12
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--第 5章 目标规划 --
--5--
目标值
d1-
d1+
实际值 实际值
∴ d1-·d1+ =0
∵ d1- ? 0,d1+ ? 0
正偏差变量负偏差变量
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--第 5章 目标规划 --
--6--
x1-x2 +d1-- d1+ =0
x1+2x2 +d2-- d2+ =8
2x1+2x2 +d3-- d3+=12
4x1 ?16
4x2 ? 12
2x1+3x2 +d4-- d4+ =12
Min z=P1d4-+P2(d1-+ d1+ )+3P3(d3-+ d3+)+P3d2+
St.
x1,x2? 0,di-,di+ ? 0,(i=1,2,3,4)
Pi——优先级系数,i越小，则
级别越高。
目标规划模型如下：
①
②
③
④
⑤
⑥
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--第 5章 目标规划 --
--7--
⑴ 引进偏差变量，表示实际值与目标值之间的差距。
其中,di-表示负偏差，体现实际值低于目标的大小；
di+表示正偏差，体现实际值高于目标的大小。
⑵ 约束分两种形式：
系统约束 ——刚性约束，严格限制；可以不出现；
目标约束 ——柔性约束，弹性限制。必须存在。
⑶ 目标函数只出现偏差变量，而不含决策变量。
⑷ 模型引进优先级系数的概念。
三、模型的特点
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--第 5章 目标规划 --
--8--
5.2 目标规划模型的图解分析
① 作平面直角坐标系；
② 作出系统约束所在直线；
③ 作出目标约束所在直线，标出偏差方向；
④ 按优先级次序，确定满意解。
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--第 5章 目标规划 --
--9--
x1
x2
2 4 6 80
2
4
6
①
②
③ ④
⑤
⑥
d1-
d2-
d3-
d4-d
1+
d2+
d3+
d4+A
B
C D
E
F
(3,3)
G
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--第 5章 目标规划 --
--10--
x1+2x2 +d2-- d2+ =8
2x1+2x2 +d1-- d1+=12
4x1 ?16
4x2 ?12
2x1+3x2 ?12
Min z=P1(d1-+ d1+ )+P2(d2-+ d2+)
St.
x1,x2? 0,di-,di+ ? 0,(i=1,2,3)
例：有目标规划模型如下，用图解分析求解
①
②
③
④
⑤
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--第 5章 目标规划 --
--11--
x1
x2
2 4 6 80
2
4
6
①
②
③
④
⑤
d2-
d1-
d2+
d1+
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--第 5章 目标规划 --
--12--
5.3 目标规划的单纯形法
目标规划的单纯形法与线性规划单纯形法
类似。
例,见下例 。
最优性判定准则：
（ 1）所有检验数均 ?0，则该表为最优解
表；
（ 2）若某行具有负值检验数，但负检验
数列较高优先级中具有正检验数，
则该表为最优解表。
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--第 5章 目标规划 --
--13--
x1 +d1-- d1+ =10
2x1+x2 +d2-- d2+ =40
3x1+2x2 +d3-- d3+=100
Min z= P1(d1 ? + d2+ )+P2d3?
St.
x1,x2? 0,di-,di+ ? 0,(i=1,2,3)
例：单纯形法求解下述目标规划模型
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--14--
Cj →
XB bCB
1 0 1 -1 0 0 0 0
2 1 0 0 1 -1 0 0
3 2 0 0 0 0 1 -1
0 0 p1 0 0 p1 p2 0
10
40
100
d1?
d2?
d3?
p1
0
p2
cj - zj
x1 x2 d1? d1+ d2? d2+ d3? d3+
p1
p2
-1 1 1
-3 –2 1
1 0 1 -1 0 0 0 0
0 1 -2 2 1 -1 0 0
0 2 -3 3 0 0 1 -1
10
20
70
x1
d2?
d3?
0
0
p2
cj - zj p1p2 1 1
0 –2 3 -3 1
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--第 5章 目标规划 --
--15--
Cj →
XB bCB
1 1/2 0 0 1/2 -1/2 0 0
0 1/2 -1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1/2 0 0 -3/2 3/2 1 -1
0 0 p1 0 0 p1 p2 0
20
10
40
x1
d2+
d3?
0
0
p2
cj - zj
x1 x2 d1? d1+ d2? d2+ d3? d3+
p1
p2
1 1
–1/2 3/2 -3/2 1
1 0 1 -1 0 0 0 0
0 1 -2 2 1 -1 0 0
0 0 1 -2 -2 2 1 -1
10
20
30
x1
x2
d3?
0
0
p2
cj - zj p1p
2
1 1
-1 1 2 -2 1
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--第 5章 目标规划 --
--16--
5.3 目标规划模型的程序求解
☆ 使用 LINDO程序求解，按求解线性
模型方法输入约束条件，目标函数按
优先级次序分次输入。
☆ 使用 EXCEL求解时，与 LINDO的处理
方法相同。
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--第 5章 目标规划 --
--17--
例 1,某计算机公司欲制定购买年度所需的计算机芯片（ chip集
成电路块）的策略。公司选择的供应商有三家，芯片按质量的差异
可分为一级、二级和三级，一级最好，三级最低。在本年度里，公
司估计可需要一级芯片 5000块，二级芯片 3000块，三级芯片 1000块。
来自每个供应商的芯片构成情况如表示（芯片成组供应,100块为一
组），公司年度采购芯片的预算为 28000元。若公司没获得足够的各
级芯片，它还需要额外零散购买缺少的芯片，价格为一级芯片 10元，
二级芯片 6元，三级芯片 4元。若采购资金超过预算，则超额部分将
承担 30%的融资费，所以应使融资费尽可能的少。公司欲使用目标规
划模型来帮助决策，优先考虑的顺序为：
（ 1） 预算要求；
（ 2）一级芯片的需求量；
供应商 A
供应商 B
供应商 C
一级 二级 三级
60 20 20
50 35 15
40 20 40
每组价格
400
300
250
芯片组等级数量构成及价格
5.4 目标规划模型的实际应用
（ 3）二级芯片的需求量；
（ 4）三级芯片的需求量。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--18--
模型：
设 xj ——购买第 j个供应商芯片组数
约束方程：
一级芯片,60x1+50x2+40x3+d1--d1+=5000
二级芯片,20x1+35x2+20x3+d2--d2+=3000
三级芯片,20x1+15x2+40x3+d3--d3+=1000
预算要求,400x1+300x2+250x3+10d1-+6d2-+4d3-+d4--d4+=28000
目标函数：
Min z= P1d4++P2d1-+P3d2-+P4d3-
变量符号限制：
xj? 0（ j=1,2,3）,di-? 0,di+ ? 0（ i=1,···,4）
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--19--
5.5 多目标决策方法 ——层次分析法（ AHP）
一、概述
人们在进行对多个方案进行比较选择时，总是要依据一些准则，
这些准则形成了决策时要实现的目标，形成多目标决策。而对决策者
而言，多目标决策下的决策往往是困难的，尤其是对于存在许多需要
定性判断的要素，更是难以抉择。
美国匹兹堡大学教授 Thomas L.Saaty在七十年代末 提出的的层次
分析法（ AHP,Analytic Hierarchy Process）是解决这类问题的一种有
效方法。它将多目标决策问题进行层次化处理，在每一层次上将决策
者的主观判断数量化，然后进行层层加权处理，得出各备选决策方案
的权重，从而实现在多目标下对被选方案的排序。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--20--
二,AHP的基本原理
在对备选方案进行选择时，决策者要按着一定的准则对备选方案的
“优”、“劣”给予判断，当采用的准则超过一个时，则需要综合各准
则下的判断结果。
AHP根据人们心理思维判断的分辨能力，建立相对评价技术（区别
于直接给各方案评分方法），便于操作者使用，并且具有较好的客观性。
这是 AHP能够获得广泛应用的原因。
例：设有 n块石头 A1,A2,···,An，其重量分别是 W1,W2,···,Wn，
要按重量给他们排序，我们按相对比较判断的方法去获得结果。
假如判断是完全准确的，那么可得出如下的对于重量的判断矩阵：
A1 A2 ··· An
A1
A2··
····
An
W1/W1 W1/W2 ······ W1/Wn
W2/W1 W2/W2 ··· W2/Wn
···················································
Wn/W1 Wn/W2 ··· Wn/Wn
A=
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--21--
设 W=[W1,W2,·······,Wn]T，则
A·W=
W1/W1 W1/W2 ······ W1/Wn
W2/W1 W2/W2 ··· W2/Wn
···················································
Wn/W1 Wn/W2 ··· Wn/Wn
W1
W2···
···
Wn
=
nW1
nW2···
···
nWn
= nW
依据矩阵理论，可知 n是 A的最大特征根（ AW=?maxW）,W是对应
n的特征向量。所以，当已知判断矩阵 A时，就可以求出向量 W。这就
是层次分析法的基本原理。
在 AHP方法中，构造判断矩阵 A是关键问题，它是决策者对客观事
物认识的数量化反映，既具有主观性，又具有客观性。同时，由于对方
案的比较转化为两两比较，使得决策者能够较容易做出判断。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--22--
三、标度问题和判断矩阵的构造
判断矩阵是人们根据对客观要素相对差异分辨所做出的心理判断
的标度，所以其取值应符合心理学上定性区分的原理。主要有如下几
个方面：
1,当相比较元素具有相同数量级，或者差异不大时，定性区分是有意
义的；
2,通常人们对两个元素相对重要性的心理上定性区分能力可用 5个属性
很好地表示出来，即相同、稍微重要、比较重要、非常重要、绝对重
要，所以可用 1,3,5,7,9五个数字描述相对重要程度；
3,若需要较高的比较精度，还可引入两个标度中间的数值，即 2,4,6，
8可满足更高精度要求；
4,注意到在进行比较时的心理学限制，我们取 9个元素对其相对重要性
进行比较，而他们之间又稍有差异，则需要有 9个标度来区分相互之间
的差异；
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--23--
标度及其描述：
标 度 定 义
1
3
5
7
9
2,4,6,8
倒数
两个元素相同重要
一个元素比另一个元素稍微重要
一个元素比另一个元素比较重要
一个元素比另一个元素非常重要
一个元素比另一个元素绝对重要
相邻判断的中间值
上述各判断的倒过来比较
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--第 5章 目标规划 --
--24--
四,AHP的计算处理
线性代数中求特征向量的方法是通过首先求特征值的方式获得的，
但是由于 AHP判断矩阵的特殊构造，使我们可以采取迭代的方法方便地
求出特征向量，主要有和积法和方根法，分别介绍如下：
1,和积法
⑴将判断矩阵规范化
设 A=[aij]，则规范化矩阵 A=
⑵ 计算特征向量 W，
wi = ? aij,（ i=1,2,···,n）
⑷计算最大特征根,?max = ?
aij/ ∑akjk=1
n
j=1
n
= [ aij ]
(nwi)/wi
ni=1
n
n
1
=? (AW)i /wini=1n
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--第 5章 目标规划 --
--25--
∵ AW=nW，故可求出 nwi
计算原理分析如下：设
A=
w1/w1 w1/w2 ······ w1/wn
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··········································
wn/w1 wn/w2 ··· wn/wn
，则
A=
w1/?wi w1/?wi ······ w1/?wi
w2/?wi w2/?wi ··· w2/?wi
···················································
wn/?wi wn/?wi ··· wn/?wi
计算特征向量
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--第 5章 目标规划 --
--26--
W=
nw1/?wi
nw2/?wi
nwn/?wi
w1/ ?wi
w2/ ?wi
wn/ ?wi
····
··
····
··
A·W=
w1/w1 w1/w2 ······ w1/wn
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··········································
wn/w1 wn/w2 ··· wn/wn
w1/ ?wi
w2/ ?wi
wn/ ?wi
·
=
nw1/?wi
nw2/?wi
nwn/?wi
····
··
w1/?wi
w2/?wi
wn/?wi
····
··= n =nW,∴ ?max =
?（ nwi） /wi
n
（取均值）
n
1 ·? =
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--第 5章 目标规划 --
--27--
方根法：
⑴ 计算 wi，
wi= ∏aij,（ i=1,2,·····,n）
⑵规范化 wi，
wi=,（ i=1,2,·····,n）
⑶
√
n
j=1
n
wi
? win
i=1
(nwi)/wi
ni=1
n
?max= ? =?? (AW)i /wini=1
n
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--第 5章 目标规划 --
--28--
计算原理如下：
A=
w1/w1 w1/w2 ······ w1/wn
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··········································
wn/w1 wn/w2 ··· wn/wn
√
n
j=1
n
∏aij= wi/( )wi= √
n
j=1
n
∏wi 规范化 wi= wi / ? wi
i=1
n
与和积法得到的特征向量一致。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--29--
五、一致性问题
上述的模型是建立在判断矩阵具有完全一致性的基础上。事实上，由
于人们在对备选方案的相对重要性判别上会出现前后不一致的差别，会使
得构造的判断矩阵出现误差，当误差超过一定范围时，将导致错误的结果。
所以，计算中要对判断矩阵的一致性进行检验。
设由三个元素 A1,A2,A3，令相对重要性的判别标度分别为 A1/A2=a12，
A1/A3=a13,A2/A3=a23，如果前后判断完全一致，则应有 a23=a13/a12，否则称
不具有完全一致性。
依据矩阵理论可以证明，对于 n阶判断矩阵，当其具有完全一致性时，
其最大特征根为单根，且 ?max=n，特征向量 w?0,其余的特征根为 0；当不
具有完全一致性时,?max >n，但若具有近似的一致性时,?max≈n，且对于
其余的 ∑?i≈0。所以在计算中，要检查判断矩阵是否能够较好地满足一致性
要求。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--30--
为检查判断矩阵的一致性，引入一致性指数 CI（ Consistency Index）：
CI= n－ 1?max－ n,当 CR= CIRI <0.10 时，
则认为判断矩阵具有较好的一致性。式中 RI——称为平均随机一致性指
数（ Random Index），其 1—9阶矩阵的数值如下表所是：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.51
上述平均随机一致性指标 RI是这样得到的：用随机方法构造 500个
样本判断矩阵，即随机地用 1—9标度中的 1,2,3,4,5,6,7,8,9以及他们的倒
数填满样本判断矩阵的上三角各项，且主对角线各元素的数值均为 1，
对应的转置位置项则采用上述对应位置随机数的倒数，分别对应 n=1~9
阶各 500个样本判断矩阵计算其一致性指标 （ ?max － n） /（ n－ 1）的值，
然后平均，即得到上述各阶 RI的值。
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--31--
例：张小姐大学毕业，面临抉择工作。现在有三项 A1,A2,A3工作使
她感到可以接受，但究竟选择那一项工作，使她犹豫不决。因为各项
工作都有自己的长处，究竟该选择哪项工作呢？
这里,1—2阶的 RI只是形式上的，因为 1—2阶判断矩阵总是完全一致的。
五,AHP应用示例
一番考虑之后，张小姐决定根据以下指标进行选择：
⊙ 较高的起始薪水
⊙ 工作所在城市的生活质量
⊙ 工作的兴趣
⊙ 工作地点离家的距离
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--32--
1.建立 AHP的层次关系
最佳工作
起
始
薪
水
城
市
生
活
质
量
工
作
兴
趣
离
家
距
离
工作 A1 工作 A2 工作 A3
目标层
准则层
方案层
C1 C2 C3 C4
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--33--
首先，构造各准则对总目标的相对重要性判断矩阵。
1 5 2 4
1/5 1 1/2 1/2
1/2 2 1 2
1/4 2 2 1
C1 C2 C3 C4
C1
C2
C3
C4
=A ——对总目标判断矩阵
.5128,5000,5000,5333
.1026,1000,1250,0667
.2564,2000,2500,2667
.1282,2000,1250,1333
A= A的规范化矩阵
[.5115,0986,2433,1466]TW = 各项指标权重
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--34--
1 2 4
1/2 1 2
1/4 1/2 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B1 ——各方案对于薪水准则的判断矩阵
构造各项工作对于不同指标的判断矩阵如下：
.5714,5714,5714
.2857,2857,2857
.1429,1429,1429
B1= B1的规范化矩阵
W1=[.5714,2857,1429]T 各方案对 薪水的相对分值
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--35--
1 1/2 1/3
2 1 1/3
3 3 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B2 ——各方案对于城市生活质量准则的判断矩阵
.1667,1111,2000,
3333,2222,2000,
5000,6667,6000
B2= B2的规范化矩阵
W2=[.1593,2518,5889]T 各方案对 城市生活质量的相对分值
2010-5-14
--第 5章 目标规划 --
--36--
1 1/7 1/3
7 1 3
3 1/3 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B3 ——各方案对于工作兴趣准则的判断矩阵
.0909,0968,0769
.6364,6774,6923
.2727,2258,2308
B3= B3的规范化矩阵
W3=[.0882,6687,2431]T 各方案对工作兴趣的相对分值
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--第 5章 目标规划 --
--37--
1 1/4 1/7
4 1 1/2
7 2 1
A1 A2 A3
A1
A2
A3
=B4 ——各方案对离家距离准则的判断矩阵
.0833,0769,0870
.3333,3077,3043
.5834,6154,6087
B4= B4的规范化矩阵
W4=[.0824,3151,6025]T 各方案对 离家距离的相对分值
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--第 5章 目标规划 --
--38--
一致性检验：
对 A矩阵,?max= ? (nwi)/wini=1
n
= ? (AW)i /wini=1
n
,而
1 5 2 4
1/5 1 1/2 1/2
1/2 2 1 2
1/4 2 2 1
.5115
.0986
.2433
.1466
AW= =
2.0744
0.3958
0.9894
0.5933
∴ ?max=
2.0744
.5115
+,3958
.0986
+,9894
.2433 +
.5933
.1466
4
= 4.0477
∴ CI= ?max－ nn－ 1 = 4.0477－ 43 =0.0159
∵ CR=CI/RI=.0159/.90=0.0177<0.10,∴ A具有满意的一致性指标。
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--第 5章 目标规划 --
--39--
同理，可对其它判断矩阵进行一致性检验，其结果如下：
对矩阵 B1,B1·W1=[1.7143 0.8571 0.4286]T,?max= 3.0000，
CI=0,CR=0
对矩阵 B2,B2·W2=[0.4815 0.7667 1.8222]T,?max= 3.0539，
CI=0.0270,CR=0.0485
对矩阵 B3,B3·W3=[0.2648 2.0154 0.7306]T,?max= 3.0070，
CI=0.0035,CR=0.0060
对矩阵 B4,B4·W4=[0.2473 0.9460 1.8096]T,?max= 3.0020，
CI=0.0010.,CR=0.0017
可见，对所有的判断矩阵，都有满意的一致性,∴ 结果有效。
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--第 5章 目标规划 --
--40--
最后，计算各方案的（总排序分）加权平均分值：
WA= [WB1 WB2 WB3 WB4 ]· W
.5714,1593,0882,0824
.2857,2518,6687,3151
.1429,5889,2431,6025
.5115
.0986
.2433
.1466
=
.3415
.3799
.2786
=
（ WB1 WB2 WB3 WB4 W）
公式如下,WAs= ?Wi? WAsi
式中,WAs——方案层中第 As方案的加权分值
Wi——上层（指标层）元素中第 i个元素的权重
WAsi——方案层中第 As个方案相对上层指标 i的权重
m——上层指标个数
本例中，
i=1
m
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--第 5章 目标规划 --
--41--
几点说明：
1,多层次指标指标问题,AHP允许有多个指标层次；
2,一致性指标不理想：若构造的判断矩阵一致性指标指数不理想，
则要修改判断矩阵，直到达到具有满意的一致性时为止；
3,数值性指标的效用值：数值性指标虽然可以进行直接比较，但更
多的是采用“效用值”去构造判断矩阵；
4,计算方法的精度 --近似计算：和积法和方根法都是一种近似计算
方法，只是当判断矩阵具有完全一致性时才能得到准确的数值，这
是需要进行一致性检验的理由；
5,与其它定性判断方法的比较：主要是因为相对判断方式只考虑了
两个元素，从心理学的意义上说，具有便于操作及具有较高的准确
度的优点；
6,某一层次元素超过 9阶的处理：一般采用分解的方法。
