第十五章 GPS高程
水准面：它是一个重力等位能面，是进行水准测量的基准面。
如图，由于地面上的重力加速度和
物质的分布情况有关，因此重力加
速度并不是处处相等的，这就造成
水准面之间是不平行的。
在进行实地的水准测量时，都是以
垂线为基准进行整平的，因此所测
得的高差就是各相邻水准面之间的距离。
由于相邻水准面的不平行性，导致水准测量所经路线不同，水准
测量的结果也将不同。
? 高程系统
? 在测量中常用的高程系统有大地高系统、正高系统和正常高系
统。
? 一,大地高系统,大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程
系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参
考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般
用符号 H表示。大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同
一个点，在不同的基准下，具有不同的大地高。
? 二,正高系统,正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。
某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之
间的距离，正高用符号 Hg表示。
? 三,正常高,正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。
某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交
点之间的距离，正常高用 Hr表示。
? 四,高程系统之间的转换关系
? 大地水准面到参考椭球面的距离，称为大地水准面差距，记
为 hg。
? 似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为 ?。
? 大地高与正高之间的关系可
以表示为,
? 大地高与正常高之间的关系
可以表示为,
gg hHH ??
??? rHH
? GPS 测高程的方法
? 由于采用 GPS观测所得到的是大地高，为了确定出正高或
正常高，需要有大地水准面差距 hg或高程异常数据 ? 。
? 一,等值线图法,从高程异常图或大地水准面差距图分别
查出各点的高程异常 ?或大地水准面差距 hg,然后分别采
用下面两式可计算出正常高 Hr和正高 Hg 。
???
??
HH
hHH
r
gg
? 在采用等值线图法确定点的正常高和正高时要注意以下几个问
题,
? 1、注意等值线图所适用的坐标系统，在求解正常高或正高时，
要采用相应坐标系统的大地高数据。
? 2、采用等值线图法确定正常高或正高，其结果的精度在很大
程度上取决于等值线图的精度。
? 二,多项式平面拟合法
1,基本原理,所谓高程拟合法就是利用在范围不大的区域中，高
程异常具有一定的几何相关性这一原理，采用数学方法，求解
正高、正常高或高程异常。
? 将高程异常表示为下面多项式的形式,
零次多项式,
一次多项式,
二次多项式,
其中,n为 GPS网的点数。
? 利用公共点上 GPS测定的大地高和水准测量测定的正常高计
算出该点上的高程异常 ?，存在一个这样的公共点，就可以
依据上式列出一个方程,
若共存在 m个这样的公共点，则可列出 m个方程。
… …
dLdBadLadBadLadBaa mmmmmm ??????? 52423210?
若 m的个数大于 3个，则可以列出相应的误差方程为
iiiiiiii dLdBadLadBadLadBaaV ???????? 52423210
? 从而组成误差方程组
通过最小二乘法可以求解出多项式的系数,
P为权阵，它可以根据水准高程和 GPS所测得的大地高
的精度来加以确定。
? ?TmvvvV,,,21? ? ?TmL ???,..21?
? 2、注意事项
? （ 1）适用范围：上面介绍的高程拟合的方法，是一种纯几何
的方法，因此，一般仅适用于高程异常变化较为平缓的地区
（如平原地区），其拟合的准确度可达到一个分米以内。对于
高程异常变化剧烈的地区（如山区），这种方法的准确度有限，
这主要是因为在这些地区，高程异常的已知点很难将高程异常
的特征表示出来。
? （ 2）选择合适的高程异常已知点：所谓高程异常的已知点的
高程异常值一般是通过水准测量测定正常高、通过 GPS测量测
定大地高后获得的。在实际工作中，一般采用在水准点上布设
GPS点或对 GPS点进行水准联测的方法来实现，为了获得好的
拟合结果要求采用数量尽量多的已知点，它们应均匀分布，并
且最好能够将整个 GPS网包围起来。
? （ 3）高程异常已知点的数量：若要用零次多项式进行高程
拟合时，要确定 1个参数，因此，需要 1个以上的已知点；
若要采用一次多项式进行高程拟合，要确定 3个参数，需要
3个以上的已知点；若要采用二次多项式进行高程拟合，要
确定 6个参数，则需要 6个以上的已知点。
? （ 4）分区拟合法：若拟合区域较大，可采用分区拟合的方
法，即将整个 GPS网划分为若干区域，利用位于各个区域中
的已知点分别拟合出该区域中的各点的高程异常值，从而确
定出它们的正常高。下图是一个分区拟合的示意图，拟合分
两个区域进行，以虚线为界，位于虚线上的已知点两个区域
都采用。
四、移动曲面法
对待插点建立权函数,
权的引入是为了在移动时根据待插点到已知点的距离给出各已
知点的不同的影响程度，两点越近影响越大、它并不像测量平
差中的权是由误差定义的。目前在 DEM中广泛使用的权函数
有,
一般对某一待插点, 若已知点满足
可利用用这些已知点参加内插，则称以待插点为圆心，半径为
R的圆形移动窗口曲面内插。
设移动到第 J个内插点时，欲利用落入该点移动窗口内的 m个
数据点的高程异常（ i＝ 1,2,…m ），以下列多项式
计算第 j个待插点的高程异常值。
在 m个已知点上建立误差方程
式中,
令,
应用最小二乘原理
可得法方程
据此求出各个系数，进而求得高程异常。
三、地球重力场模型法
地球重力场模型是根据卫星跟踪数据。地面重力数据、卫星
测高数据等重力场信息、由地球扰动位的球谐函数级数展开式
求高程异常。
由物理大地测量学．地面点扰动位 T与该点引力位 V和正常引
力位 U之间的关系为
T＝ V－ U
式中,为地面点的正常重力值。正常重力值和正常引力位 U可
以精确计算，因此只耍给出地面点的引力位 V，就可求出地面
点的高程异常
V一般用球谐级数展开式计算。
?? /T?
?
?
四、重力场模型与 GPS水准相结合
这方法的基本思路是：在 GPS水准点上，将由 GPS大地高程和
水准正常求得的高程异常与由重力场模型求得的高程异常进行
比较，求出该地面点的两种高程异常的差值
然后再采用曲面拟合方法，由公井点的平面坐标和 求其他点
的 ；由此计算 GPS网中未测水准点的正常高程
实验表明：这种重力场模型与 GPS水准相结合的方法是提高高程
精度的一条有效途径。
m???? ??
??
??
??? ??? mr HH
水准面：它是一个重力等位能面，是进行水准测量的基准面。
如图，由于地面上的重力加速度和
物质的分布情况有关，因此重力加
速度并不是处处相等的，这就造成
水准面之间是不平行的。
在进行实地的水准测量时，都是以
垂线为基准进行整平的，因此所测
得的高差就是各相邻水准面之间的距离。
由于相邻水准面的不平行性，导致水准测量所经路线不同，水准
测量的结果也将不同。
? 高程系统
? 在测量中常用的高程系统有大地高系统、正高系统和正常高系
统。
? 一,大地高系统,大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程
系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参
考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般
用符号 H表示。大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同
一个点，在不同的基准下，具有不同的大地高。
? 二,正高系统,正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。
某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之
间的距离，正高用符号 Hg表示。
? 三,正常高,正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。
某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交
点之间的距离，正常高用 Hr表示。
? 四,高程系统之间的转换关系
? 大地水准面到参考椭球面的距离，称为大地水准面差距，记
为 hg。
? 似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为 ?。
? 大地高与正高之间的关系可
以表示为,
? 大地高与正常高之间的关系
可以表示为,
gg hHH ??
??? rHH
? GPS 测高程的方法
? 由于采用 GPS观测所得到的是大地高，为了确定出正高或
正常高，需要有大地水准面差距 hg或高程异常数据 ? 。
? 一,等值线图法,从高程异常图或大地水准面差距图分别
查出各点的高程异常 ?或大地水准面差距 hg,然后分别采
用下面两式可计算出正常高 Hr和正高 Hg 。
???
??
HH
hHH
r
gg
? 在采用等值线图法确定点的正常高和正高时要注意以下几个问
题,
? 1、注意等值线图所适用的坐标系统，在求解正常高或正高时，
要采用相应坐标系统的大地高数据。
? 2、采用等值线图法确定正常高或正高，其结果的精度在很大
程度上取决于等值线图的精度。
? 二,多项式平面拟合法
1,基本原理,所谓高程拟合法就是利用在范围不大的区域中，高
程异常具有一定的几何相关性这一原理，采用数学方法，求解
正高、正常高或高程异常。
? 将高程异常表示为下面多项式的形式,
零次多项式,
一次多项式,
二次多项式,
其中,n为 GPS网的点数。
? 利用公共点上 GPS测定的大地高和水准测量测定的正常高计
算出该点上的高程异常 ?，存在一个这样的公共点，就可以
依据上式列出一个方程,
若共存在 m个这样的公共点，则可列出 m个方程。
… …
dLdBadLadBadLadBaa mmmmmm ??????? 52423210?
若 m的个数大于 3个，则可以列出相应的误差方程为
iiiiiiii dLdBadLadBadLadBaaV ???????? 52423210
? 从而组成误差方程组
通过最小二乘法可以求解出多项式的系数,
P为权阵，它可以根据水准高程和 GPS所测得的大地高
的精度来加以确定。
? ?TmvvvV,,,21? ? ?TmL ???,..21?
? 2、注意事项
? （ 1）适用范围：上面介绍的高程拟合的方法，是一种纯几何
的方法，因此，一般仅适用于高程异常变化较为平缓的地区
（如平原地区），其拟合的准确度可达到一个分米以内。对于
高程异常变化剧烈的地区（如山区），这种方法的准确度有限，
这主要是因为在这些地区，高程异常的已知点很难将高程异常
的特征表示出来。
? （ 2）选择合适的高程异常已知点：所谓高程异常的已知点的
高程异常值一般是通过水准测量测定正常高、通过 GPS测量测
定大地高后获得的。在实际工作中，一般采用在水准点上布设
GPS点或对 GPS点进行水准联测的方法来实现，为了获得好的
拟合结果要求采用数量尽量多的已知点，它们应均匀分布，并
且最好能够将整个 GPS网包围起来。
? （ 3）高程异常已知点的数量：若要用零次多项式进行高程
拟合时，要确定 1个参数，因此，需要 1个以上的已知点；
若要采用一次多项式进行高程拟合，要确定 3个参数，需要
3个以上的已知点；若要采用二次多项式进行高程拟合，要
确定 6个参数，则需要 6个以上的已知点。
? （ 4）分区拟合法：若拟合区域较大，可采用分区拟合的方
法，即将整个 GPS网划分为若干区域，利用位于各个区域中
的已知点分别拟合出该区域中的各点的高程异常值，从而确
定出它们的正常高。下图是一个分区拟合的示意图，拟合分
两个区域进行，以虚线为界，位于虚线上的已知点两个区域
都采用。
四、移动曲面法
对待插点建立权函数,
权的引入是为了在移动时根据待插点到已知点的距离给出各已
知点的不同的影响程度，两点越近影响越大、它并不像测量平
差中的权是由误差定义的。目前在 DEM中广泛使用的权函数
有,
一般对某一待插点, 若已知点满足
可利用用这些已知点参加内插，则称以待插点为圆心，半径为
R的圆形移动窗口曲面内插。
设移动到第 J个内插点时，欲利用落入该点移动窗口内的 m个
数据点的高程异常（ i＝ 1,2,…m ），以下列多项式
计算第 j个待插点的高程异常值。
在 m个已知点上建立误差方程
式中,
令,
应用最小二乘原理
可得法方程
据此求出各个系数，进而求得高程异常。
三、地球重力场模型法
地球重力场模型是根据卫星跟踪数据。地面重力数据、卫星
测高数据等重力场信息、由地球扰动位的球谐函数级数展开式
求高程异常。
由物理大地测量学．地面点扰动位 T与该点引力位 V和正常引
力位 U之间的关系为
T＝ V－ U
式中,为地面点的正常重力值。正常重力值和正常引力位 U可
以精确计算，因此只耍给出地面点的引力位 V，就可求出地面
点的高程异常
V一般用球谐级数展开式计算。
?? /T?
?
?
四、重力场模型与 GPS水准相结合
这方法的基本思路是：在 GPS水准点上，将由 GPS大地高程和
水准正常求得的高程异常与由重力场模型求得的高程异常进行
比较，求出该地面点的两种高程异常的差值
然后再采用曲面拟合方法，由公井点的平面坐标和 求其他点
的 ；由此计算 GPS网中未测水准点的正常高程
实验表明：这种重力场模型与 GPS水准相结合的方法是提高高程
精度的一条有效途径。
m???? ??
??
??
??? ??? mr HH
