第十六章 标高投影
?16-1 概述
基本概念,P428
标高投影,在形体的水平投影上，以数字注出各处
的高度来表示其形状的图示方法，是单面投影图。
高程 （ 标高 ）：
标高投影图中的基
准面一般为水平面，
水利工程中通常采
用国家统一规定的
水准零点作为基准
面，高度数值称为
高程，单位为米 。
?16-2 点、直线、平面的标高投影
一、点
空间点的标高投影，就是点在 H面上的投影加注点的高
程。基准面以上的高程为正，基准面以下的高程为 负。
二、直线
1,直线的坡度和平距 （ 间距 ）
坡度,直线上两点之间的高差 （ H ） 与水平距离 （ L ） 之比
（ i）,即 i = H / L = tan a。
平距,直线上两点的水平距离 （ L） 与高差 （ H） 之比 （ l）,即
l = L / H = 1 / tan a = 1 / i 。
二、直线
2,直线的表示方法
1） 直线的水平投影和线上两点的高程。
2） 直线上一点的高程和直线的方向 （ 坡度数字和指向下坡
的箭头 ） 。
3,直线上的点
1） 在已知直线上定出任意高程的点。
2） 已知直线上的点，求该点的高程。
例：求直线上点 C的高程。
解：先求出直线 AB的坡度
因为 HAB=(7-3)m=4m
LAB=8m（ 比例尺量取 ）
所以 i = HAB/LAB = 4m/8m = 1/2
又量得 LAC=2m=l,即点 C与点 A的
高差为 1m，则点 C的高程为 1m+3m=4m。
三、平面
1,平面上的等高线和坡度线
等高线,平面上的水平线。
坡度线 （ 最大斜度线 ）, 平
面上与等高线相垂直的直线。
坡度比例尺,坡度线的水平
投影。
2,平面的表示方法
1） 坡度比例尺。
例：两平面平行，
则它们的坡度比例尺
平行，平距相等，而
且高程数字增大或减
小的方向一致。
2） 平面上的一条 等高线和一条坡度线，箭头表明下坡方向。
例：求作平面上高程为 0m的等高线。
解,0m的等高线必与 4m的等
高线平行，且通过坡度线上高程
为 0m的点 B,AB的水平距离
LAB=l? HAB =1.5? 4m=6m,在坡度线
上自 a4向下坡方向量取 6m得 b0，
过 b0作直线与 4m等高线平行即为
所求。画出示坡线。
3,两平面的交线
在标高投影中，两平面 （ 或曲面 ） 的交线，就是两平
面 （ 或曲面 ） 上相同高程等高线交点的连线 。
坡面交线,相邻两坡面的交线。
坡脚线 （ 或开挖线 ）, 坡面与地面的交线。
例,在高程为 2m的地面上开挖一基坑，坑底高程为 -2m，
坑底的形状、大小和各坡面的坡度如图所示，求开挖线和坡
面线。
解,
1） 求开挖线：地面高程为 2m,因此开挖线就是各坡面上
高程为 2m的等高线。它们分别与相应的坑底边线平行，其水
平距离可由 L=l? H求得。其中高差 H=4m，所以 L1=1?4m=4m,L2
=1.5?4m=6m,L3 =2?4m=8m。
2） 求坡面线：分别
连接相邻两坡面相同高
程等高线的交点，即得
四条坡面交线。
3） 画出各坡面的示
坡线。
?16-3 立体的标高投影
一、曲面体
在标高投影中，通常画出立体表面 （ 平面或曲
面 ） 的等高线，以及相邻表面的交线和与地面的交线的方法表示该立体。
1,假设用一系
列整数标高的水平
面切割圆锥，把所
有截交线的 H投影
注上相应的高程
（ 标高 ）,得圆锥
的一系列等高线 。
间距最小的锥面素
线就是锥面的最大
坡度线。
?16-3 立体的标高投影
在河道疏浚、道路护坡等工程中，常将弯曲坡面作成
圆锥面，以保证在转弯处坡面的坡度不变。
例,在高程为 2m的地面上筑一高程为 6m的平台，平台面
的形状及边坡坡度如图所示，求坡脚线和坡面交线。
解,
1） 求坡脚线：平面坡面 L=l? H=1 ?（ 6-2） =4m,曲 平面坡
面 R=r+L=r+ l? H=r+0.6?（ 6-2） = r+2.4m。
2） 求坡面交线：相邻面上相同高程等高线的交点就是
所求交线上的点。用光滑曲线分别连接各点，即为所求的
坡面交线。
3） 画出各坡面的示坡线。
2,地形图,以一系列整数高程的水平面与山地相截，
将所得的截交线投影到水平面上，即得一系列不规则形
状的地形等高线，注上相应的高程，就是山地标高投影
图。地形图中逢 0,5的地形等高线用粗实线画出，称为
计曲线 。等高线上的高程数字的字头按规定指向上坡方
向，相邻等高线之间的高差称为 等高距 。
例,求山地的 1-1断面图。
二、同坡（同斜）曲面
同坡 （ 同斜 ） 曲面,曲面上各处的最大坡度线 （ 最大斜
度线 ） 的坡度均相等。如正圆锥面、弯曲的路堤或路堑的
边坡。
同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程等高线一
定相切，切点在同坡曲面与圆锥面的切线上。作同坡曲
面上的等高线就是作圆锥面等高线的包络线。
例：在高程为 0m的地面上修建一段弯道，路面自 0m逐渐上
升到 3m，两侧坡面及端面坡度均为 1:0.5，求坡脚线及坡面交线。
解,
1） 求 坡脚线。
2） 求坡面线。
3） 画出各坡面
上的示坡线。
?16-4 标高投影的应用
在实际应用中常利用标高投影求解土石方工程的坡面
交线和坡脚线 （ 开挖线 ）,或对挖 （ 填 ） 土方量的计算。
例,在河道上筑一土坝，坝顶的位置、高程及上、下
游坡面的坡度如图所示，求坝顶、上下游坡面与地面的交
线。
分析,因为坝顶高程为 24m，高于河床，所以是填方 。
土坝顶面及上下游坡面与地面都有交线 （ 坡脚线 ） 。由于
地面是不规则，所以交线是不规则曲线。
作图,
1） 坝顶面的高程为 24m的水平面，它与地面的交线是
地面上高程为 24m的等高线。则将坝顶的边界线画到与地
面上高程为 24m的等高线相交处。
2） 上游坡面与地面的交线是不规则的平面曲线。先在土坝
上游坡面上作一系列等高线，坡面与地面上同高程等高线的交
点就是坡脚线上的点。由于坡度为 1:3，因此坡面上相邻等高线
的水平距离为 3m。
坡面高程 18m的等高线与地面高程 18m的等高线不相交，可用
插补的方法求出其交点，见图中的虚线。
将所求的各点依
此连成光滑的曲线，
即为所求的坡脚线。
3） 下游坡面的坡
脚线求法与上游坡面
相同。但由于下游坡
面坡度为 1:2,所以坡
面上相邻等高线的水
平距离为 2m。
4） 画出示坡线。
例：在坡地上修建一高程为 21m的水平场地，已知场地
坡面坡度为 1:1，求场地左侧边界线、坡面与地面的交线。
分析,由于水平场地的高程为 21m,低于地面，为挖方。
场地右侧边界为半圆，坡面是倒圆锥面。场地前后两侧边
界为与半圆相切的直线段，坡面是两个与倒圆锥面相切的
平面，所以没有坡面交线。
作图,
1） 场地为高程 21m水平面，左侧边界应该是地面上高程为
21m的一段等高线。用插补法求得 AB段即为场地的左侧边界线。
2） 作出坡面上与地面等高线高程相应的等高线，由于地
面上相邻等高线的高差是 2m,因此坡面上的相邻等高线的高差
也取 2m，水平距离也是 2m（ 坡度为 1:1） 。找出坡面上等高线与
地面上同高程的交点，并连成光滑的曲线，即为所求的开挖
线。
3） 坡面与地面上高程 26m的两条等高线有两个交点 M,N，
而高程 28m的两条等高线不相交。故在地面和圆锥面上各插补
一条 27m的等高线 （ 虚线 ）,求得 S,T两点。
4） 画出示坡线。
例：在山坡上修建一高程为 25m的水平场地，已知场地
填方坡面坡度为 1:1.5，挖方坡度为 1:1，求场地各坡面与地
面的交线、各坡面的交线。
分析,由于水平场地的高程为 25m, 因此地面上高程为
25m的等高线是填方和 挖方的分界线。地面高于 25m一侧需要
挖方，低于 25m一侧需要填方。挖方部分有三个坡面，产生
三条开挖线和两条坡面线。同样，填方部分也有三个坡面，
产生三条坡脚线和两条坡面线。
由于这
些坡面都是
平面，因此
坡面线都是
直线，坡脚
线和开挖线
都是平面曲
线。
作图,
因为地形图上的等高距为 1m,所以坡面的等高距也应取 1m。
填方坡度为 1:1.5，等高线的平距为 1.5m。挖方坡度为 1:1，等
高线的平距为 1m。
填方部分,
1） 画出 I,II,III坡面上的
等高线。
2）作坡面交线，因相邻坡
面的坡度相等，应是 45?线。
3）分别求出 I,II,III面
的坡脚线。
II坡面,III坡面及地面三
个面交于一点 A，所以 II,III两
个坡面的坡脚线及坡面交线也
应交于一点。
挖方部分的作图同上。
例：在地面上修一条斜坡道，已知路面及路面上等高
线的位置，并知填方、挖方的边坡为 1:2，求各边坡与地面
的交线。
分析,从路面与地面的高程可见，路面西侧比地面高，
应填方。东侧比地面低，应挖方。路南填方、挖方分界点
在路面边缘高程 18m处，路北填、挖方分界点大致在高程
17m与 18m之间，准确位置要通过作图确定。
作图,
1） 作填方两侧坡面的等高线。以路面边界上高程为 16m
的点为圆心,2m为半径作圆弧，此弧可理解为 1:2的圆锥面上
高程为 15m的高程。自路面边界上高程为 15m的点作此圆弧的
切线，即为填方坡面上高程 15m的等高线。其余等高线类推。
2） 作挖方两侧坡面的等高线。
3） 将坡面上等高线与地面同高程等高线的交点依此连接
起来，即为所求的坡脚线和开挖线。
4） 画出示坡线。
例：在如图的地形上修筑道路，已知路面位置及道路
的标准断面，求道路坡面与地面交线。
分析,路面高程为 60m，地面高程低于 60m的一端要填
方，高于 60m的一端要挖方。地面高程 60m的等高程通过路
面一段 （见 b图中的 M6） 是挖方分界线。
求道路坡面与地面的共有点，一般采用水平辅助面的方
法。但本例中有一段道路坡面上等高线与地面等高线接近平
行，用等高线不易求出交点。因此，改用断面法，即用铅垂
面作辅助面。每隔一定距离作一个与道路中线垂直的铅垂面
（ 如 A-A,B-B等 ）,用这个铅垂面剖切地面与道路，地形断面
轮廓与道路断面轮廓的交点就是开挖线或坡脚线上的点。
课 外 作 业
（习题集）
P138,6
P139,9
P140,11
?16-1 概述
基本概念,P428
标高投影,在形体的水平投影上，以数字注出各处
的高度来表示其形状的图示方法，是单面投影图。
高程 （ 标高 ）：
标高投影图中的基
准面一般为水平面，
水利工程中通常采
用国家统一规定的
水准零点作为基准
面，高度数值称为
高程，单位为米 。
?16-2 点、直线、平面的标高投影
一、点
空间点的标高投影，就是点在 H面上的投影加注点的高
程。基准面以上的高程为正，基准面以下的高程为 负。
二、直线
1,直线的坡度和平距 （ 间距 ）
坡度,直线上两点之间的高差 （ H ） 与水平距离 （ L ） 之比
（ i）,即 i = H / L = tan a。
平距,直线上两点的水平距离 （ L） 与高差 （ H） 之比 （ l）,即
l = L / H = 1 / tan a = 1 / i 。
二、直线
2,直线的表示方法
1） 直线的水平投影和线上两点的高程。
2） 直线上一点的高程和直线的方向 （ 坡度数字和指向下坡
的箭头 ） 。
3,直线上的点
1） 在已知直线上定出任意高程的点。
2） 已知直线上的点，求该点的高程。
例：求直线上点 C的高程。
解：先求出直线 AB的坡度
因为 HAB=(7-3)m=4m
LAB=8m（ 比例尺量取 ）
所以 i = HAB/LAB = 4m/8m = 1/2
又量得 LAC=2m=l,即点 C与点 A的
高差为 1m，则点 C的高程为 1m+3m=4m。
三、平面
1,平面上的等高线和坡度线
等高线,平面上的水平线。
坡度线 （ 最大斜度线 ）, 平
面上与等高线相垂直的直线。
坡度比例尺,坡度线的水平
投影。
2,平面的表示方法
1） 坡度比例尺。
例：两平面平行，
则它们的坡度比例尺
平行，平距相等，而
且高程数字增大或减
小的方向一致。
2） 平面上的一条 等高线和一条坡度线，箭头表明下坡方向。
例：求作平面上高程为 0m的等高线。
解,0m的等高线必与 4m的等
高线平行，且通过坡度线上高程
为 0m的点 B,AB的水平距离
LAB=l? HAB =1.5? 4m=6m,在坡度线
上自 a4向下坡方向量取 6m得 b0，
过 b0作直线与 4m等高线平行即为
所求。画出示坡线。
3,两平面的交线
在标高投影中，两平面 （ 或曲面 ） 的交线，就是两平
面 （ 或曲面 ） 上相同高程等高线交点的连线 。
坡面交线,相邻两坡面的交线。
坡脚线 （ 或开挖线 ）, 坡面与地面的交线。
例,在高程为 2m的地面上开挖一基坑，坑底高程为 -2m，
坑底的形状、大小和各坡面的坡度如图所示，求开挖线和坡
面线。
解,
1） 求开挖线：地面高程为 2m,因此开挖线就是各坡面上
高程为 2m的等高线。它们分别与相应的坑底边线平行，其水
平距离可由 L=l? H求得。其中高差 H=4m，所以 L1=1?4m=4m,L2
=1.5?4m=6m,L3 =2?4m=8m。
2） 求坡面线：分别
连接相邻两坡面相同高
程等高线的交点，即得
四条坡面交线。
3） 画出各坡面的示
坡线。
?16-3 立体的标高投影
一、曲面体
在标高投影中，通常画出立体表面 （ 平面或曲
面 ） 的等高线，以及相邻表面的交线和与地面的交线的方法表示该立体。
1,假设用一系
列整数标高的水平
面切割圆锥，把所
有截交线的 H投影
注上相应的高程
（ 标高 ）,得圆锥
的一系列等高线 。
间距最小的锥面素
线就是锥面的最大
坡度线。
?16-3 立体的标高投影
在河道疏浚、道路护坡等工程中，常将弯曲坡面作成
圆锥面，以保证在转弯处坡面的坡度不变。
例,在高程为 2m的地面上筑一高程为 6m的平台，平台面
的形状及边坡坡度如图所示，求坡脚线和坡面交线。
解,
1） 求坡脚线：平面坡面 L=l? H=1 ?（ 6-2） =4m,曲 平面坡
面 R=r+L=r+ l? H=r+0.6?（ 6-2） = r+2.4m。
2） 求坡面交线：相邻面上相同高程等高线的交点就是
所求交线上的点。用光滑曲线分别连接各点，即为所求的
坡面交线。
3） 画出各坡面的示坡线。
2,地形图,以一系列整数高程的水平面与山地相截，
将所得的截交线投影到水平面上，即得一系列不规则形
状的地形等高线，注上相应的高程，就是山地标高投影
图。地形图中逢 0,5的地形等高线用粗实线画出，称为
计曲线 。等高线上的高程数字的字头按规定指向上坡方
向，相邻等高线之间的高差称为 等高距 。
例,求山地的 1-1断面图。
二、同坡（同斜）曲面
同坡 （ 同斜 ） 曲面,曲面上各处的最大坡度线 （ 最大斜
度线 ） 的坡度均相等。如正圆锥面、弯曲的路堤或路堑的
边坡。
同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程等高线一
定相切，切点在同坡曲面与圆锥面的切线上。作同坡曲
面上的等高线就是作圆锥面等高线的包络线。
例：在高程为 0m的地面上修建一段弯道，路面自 0m逐渐上
升到 3m，两侧坡面及端面坡度均为 1:0.5，求坡脚线及坡面交线。
解,
1） 求 坡脚线。
2） 求坡面线。
3） 画出各坡面
上的示坡线。
?16-4 标高投影的应用
在实际应用中常利用标高投影求解土石方工程的坡面
交线和坡脚线 （ 开挖线 ）,或对挖 （ 填 ） 土方量的计算。
例,在河道上筑一土坝，坝顶的位置、高程及上、下
游坡面的坡度如图所示，求坝顶、上下游坡面与地面的交
线。
分析,因为坝顶高程为 24m，高于河床，所以是填方 。
土坝顶面及上下游坡面与地面都有交线 （ 坡脚线 ） 。由于
地面是不规则，所以交线是不规则曲线。
作图,
1） 坝顶面的高程为 24m的水平面，它与地面的交线是
地面上高程为 24m的等高线。则将坝顶的边界线画到与地
面上高程为 24m的等高线相交处。
2） 上游坡面与地面的交线是不规则的平面曲线。先在土坝
上游坡面上作一系列等高线，坡面与地面上同高程等高线的交
点就是坡脚线上的点。由于坡度为 1:3，因此坡面上相邻等高线
的水平距离为 3m。
坡面高程 18m的等高线与地面高程 18m的等高线不相交，可用
插补的方法求出其交点，见图中的虚线。
将所求的各点依
此连成光滑的曲线，
即为所求的坡脚线。
3） 下游坡面的坡
脚线求法与上游坡面
相同。但由于下游坡
面坡度为 1:2,所以坡
面上相邻等高线的水
平距离为 2m。
4） 画出示坡线。
例：在坡地上修建一高程为 21m的水平场地，已知场地
坡面坡度为 1:1，求场地左侧边界线、坡面与地面的交线。
分析,由于水平场地的高程为 21m,低于地面，为挖方。
场地右侧边界为半圆，坡面是倒圆锥面。场地前后两侧边
界为与半圆相切的直线段，坡面是两个与倒圆锥面相切的
平面，所以没有坡面交线。
作图,
1） 场地为高程 21m水平面，左侧边界应该是地面上高程为
21m的一段等高线。用插补法求得 AB段即为场地的左侧边界线。
2） 作出坡面上与地面等高线高程相应的等高线，由于地
面上相邻等高线的高差是 2m,因此坡面上的相邻等高线的高差
也取 2m，水平距离也是 2m（ 坡度为 1:1） 。找出坡面上等高线与
地面上同高程的交点，并连成光滑的曲线，即为所求的开挖
线。
3） 坡面与地面上高程 26m的两条等高线有两个交点 M,N，
而高程 28m的两条等高线不相交。故在地面和圆锥面上各插补
一条 27m的等高线 （ 虚线 ）,求得 S,T两点。
4） 画出示坡线。
例：在山坡上修建一高程为 25m的水平场地，已知场地
填方坡面坡度为 1:1.5，挖方坡度为 1:1，求场地各坡面与地
面的交线、各坡面的交线。
分析,由于水平场地的高程为 25m, 因此地面上高程为
25m的等高线是填方和 挖方的分界线。地面高于 25m一侧需要
挖方，低于 25m一侧需要填方。挖方部分有三个坡面，产生
三条开挖线和两条坡面线。同样，填方部分也有三个坡面，
产生三条坡脚线和两条坡面线。
由于这
些坡面都是
平面，因此
坡面线都是
直线，坡脚
线和开挖线
都是平面曲
线。
作图,
因为地形图上的等高距为 1m,所以坡面的等高距也应取 1m。
填方坡度为 1:1.5，等高线的平距为 1.5m。挖方坡度为 1:1，等
高线的平距为 1m。
填方部分,
1） 画出 I,II,III坡面上的
等高线。
2）作坡面交线，因相邻坡
面的坡度相等，应是 45?线。
3）分别求出 I,II,III面
的坡脚线。
II坡面,III坡面及地面三
个面交于一点 A，所以 II,III两
个坡面的坡脚线及坡面交线也
应交于一点。
挖方部分的作图同上。
例：在地面上修一条斜坡道，已知路面及路面上等高
线的位置，并知填方、挖方的边坡为 1:2，求各边坡与地面
的交线。
分析,从路面与地面的高程可见，路面西侧比地面高，
应填方。东侧比地面低，应挖方。路南填方、挖方分界点
在路面边缘高程 18m处，路北填、挖方分界点大致在高程
17m与 18m之间，准确位置要通过作图确定。
作图,
1） 作填方两侧坡面的等高线。以路面边界上高程为 16m
的点为圆心,2m为半径作圆弧，此弧可理解为 1:2的圆锥面上
高程为 15m的高程。自路面边界上高程为 15m的点作此圆弧的
切线，即为填方坡面上高程 15m的等高线。其余等高线类推。
2） 作挖方两侧坡面的等高线。
3） 将坡面上等高线与地面同高程等高线的交点依此连接
起来，即为所求的坡脚线和开挖线。
4） 画出示坡线。
例：在如图的地形上修筑道路，已知路面位置及道路
的标准断面，求道路坡面与地面交线。
分析,路面高程为 60m，地面高程低于 60m的一端要填
方，高于 60m的一端要挖方。地面高程 60m的等高程通过路
面一段 （见 b图中的 M6） 是挖方分界线。
求道路坡面与地面的共有点，一般采用水平辅助面的方
法。但本例中有一段道路坡面上等高线与地面等高线接近平
行，用等高线不易求出交点。因此，改用断面法，即用铅垂
面作辅助面。每隔一定距离作一个与道路中线垂直的铅垂面
（ 如 A-A,B-B等 ）,用这个铅垂面剖切地面与道路，地形断面
轮廓与道路断面轮廓的交点就是开挖线或坡脚线上的点。
课 外 作 业
（习题集）
P138,6
P139,9
P140,11
