第 5章 代数系统的基本概念第 5章 代数系统的基本概念
5.1 二元运算及其性质
5.2 代数系统
5.3 代数系统的同态与同构
5.4 例题选解习 题 五第 5章 代数系统的基本概念
5.1 二元运算及其性质集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数 。
定义 5.1.1 设 A是集合,函数 f:An→ A称为集合 A上的 n元代数运算 （ operators）,整数 n称为运算的阶
（ order） 。
当 n=1时,f:A→ A称为集合 A中的一元运算 。
当 n=2时,f:A× A→ A称为集合 A中的二元运算 。
第 5章 代数系统的基本概念一般地,二元运算用算符 。,*,·,Δ,◇ 等等表示,
并将其写于两个元素之间,如 Z× Z→ Z的加法 。
F(〈 2,3〉 )=+(〈 2,3〉 )=2+3=5
注意到 Ranf A,即运算结果是 A中的元素,这称为运算的封闭性 。 另外,运算是函数,要具备函数所具有的对每一个自变元有唯一的像的特性 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.1】 下面均是一元运算的例子 。
（ 1） 在 Z集合上 （ 或 Q,或 R）,
f:Z→ Z,x∈ Z,f(x)=-x。
（ 2） 在 A={0,1}集合上,f:A→ A,p∈ A,
f(p)=﹁ p,﹁ 表示否定 。
（ 3） 在 R+集合上,f:R+→R +,
x∈ R+,f(x)= 1/2 （ 但在 R上,倒数不是一元运算,因为 0
无像 ） 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.2】 下面均是二元运算的例子 。
（ 1） 在 Z集合上 （ 或 Q,或 R）,f:Z× Z→ Z,
〈 x,y〉 ∈ Z2,f(〈 x,y〉 )=x+y(或 f(〈 x,y〉 )=x-y
或 f(〈 x,y〉 )=x·y),如 f(〈 2,3〉 )=5。
（ 2） A为集合,P(A)为其幂集 。 f:P(A)× P(A)→ P(A)。
f可以是 ∩,∪,-,。
（ 3） A={0,1}。 f:A× A→ A。 f可以是 ∧,∨,→,。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） AA={f|f:A→ A}。 (复合 ） 是 AA上的二元运算 。
当 A是有穷集合时,运算可以用运算表给出 。 如
A={0,1,2,3,4,5},二元运算 。 的定义见表 5.1.1。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.1
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.2
* 0 1
0
1
0 0
0 1
第 5章 代数系统的基本概念事实上,对于表 5.1.1,我们可观察看出其运算为
(〈 x,y〉 )=x·y(mod3)
其中,·是普通乘法 。
而对于表 5.1.2,此时的 *运算应是在集合 {0,1}上的 ∧ （ 逻辑合取运算符 ） 。 下面介绍二元运算的性质 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.2 设 *,。 均为集合 S上的二元运算 。
（ 1 x y z(x,y,z∈ S→ x*(y*z)=(x*y)*z)，
则称 *运算满足结合律。
（ 2） x y(x,y∈ S→ x*y=y*x),则称 *运算满足交换律 。
（ 3 x y z(x,y,z∈ S→ x*(y。 z)=(x*y)。
(x*z))，则称 *运算对 。 运算满足左
x y z(x,y,z∈ S→(y 。 z)x=(y*x)。
(z*x)),则称 *运算对 。 运算满足右分配律 。 若二者均成立,则称 *运算对 。 运算满足分配律 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） 设 *,。 均可交换,x,y∈ A,有
x*(x。 y)=x
x。 (x*y)=x
则称运算 *和 。 运算满足吸收律 。
（ 5） 若 (x∈ A,x*x=x,则称 *运算满足幂等律 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.3】 加法,乘法运算是自然数集上的二元运算,减法和除法便不是 。 但是减法是有理数集,实数集上的二元运算,除法却仍不是 。 加法,乘法满足结合律,交换律,乘法对加法,减法满足分配律,减法不满足这些定律 。 乘法 "。 "对加法 "+"运算满足分配律 （ 对 "-"也满足 ） 。 但加法 "+"对乘法 "。 "运算不满足分配律 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.4】 设 A是集合,在 A的幂集 P(A)上的二元运算并 ∪,交 ∩满足交换律,结合律,吸收律,幂等律且彼此满足分配律 。
【 例 5.1.5】 设 A={a,b},A上的运算 *,。 分别如表
5.1.3,5.1.4所示 。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.3
* a b
a
b
a b
b a
表 5.1.4
* a b
a
b
a a
a b
第 5章 代数系统的基本概念解 从 *运算表可知,*是可交换的 。 因为
(a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b
(a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a
所以 *是可结合的 。
从 。 运算表可知,。 是可交换的 。 因为
(a。 a)。 b=a。 b=a a。 (a。 b)=a。 a=a
(a。 b)。 b=a。 b=a a。 (b。 b)=a。 b=a
所以 。 是可结合的 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 1） b。 (a*b)=b。 b=b (b。 a)*(b。 b)=a*b=b
（ 2） a。 (a*b)=a。 b=a,(a。 a)*(a。 b)=a*a=a
b。 (a*a)=b。 a=a (b。 a)*(b。 a)=a*a=a
b。 (b*b)=b。 a=a (b。 b)*(b。 b)=b*b=a
a。 (a*a)=a。 a=a (a。 a)*(a。 a)=a*a=a
a。 (b*b)=a。 a=a (a。 b)*(a。 b)=a*a=a
所以 。 对 *是可分配的 。 （ 由于 。 运算满足交换律成立,因此右分配也成立 。 ）
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3） b*(a。 b)=b*a=b (b*a)。 (b*b)=b。 a=a
故 *对 。 是不可分配的 。
又由 a*(a。 b)=a*a=a及上面 （ 1） （ 2） （ 3） 式可知 。 和 *满足吸收律 。 由运算表可知,。 满足幂等律,
而 *不满足幂等律 。
下面我们来定义与集合 A中的二元运算有关的集合
A中的特异元素。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.3 设 *是集合 S中的一种二元运算，如果存在 er∈ S(el∈ S) x∈ S 均有
x*er=x(el*x=x) er(el) 为 S中关于运算 (的右幺元 (左幺元 )或右单位元 (左单位元 )。
定理 5.1.1 设 *是 S中的二元运算且 er与 el分别是对于
* er=el=e,使对任意元素 x∈ S
有 x*e=e*x=x，称元素 e为关于运算 *的幺元
(identityelements)且唯一。
第 5章 代数系统的基本概念证明 因为 er和 el分别是 *的右幺元和左幺元,故有
el*er=el,el*er=er,er=el，
令其为 e,有 x*e=e*x=x
设另有一幺元为右幺元 e′,那么
e=e*e′=e′
故 e对 *是唯一的幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.6】 在实数集 R中,对加法 "+"运算,0是幺元；
在实数集 R 中,对乘法 "× "运算,1是幺元；
对于全集 E的子集的并 "∪ "运算,
对于全集 E的子集的交 "∩"运算,E是幺元 ;
在命题集合中,对于吸取 "∨ "运算,矛盾式是幺元；
在命题集合中,对于合取 "∧ "运算,重言式是幺元；
在 AA={f|f:A→ A}中,对于复合 "。 "运算,IA是幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.4 设 *是集合 S中的一种二元运算，如果存在 θr∈ S(θl∈ S)且对任意元素 x∈ S 均有 x*θr=θr(θl(x=θl)，
则称元素 θr(θl)是 S中关于运算 *的右零元 (左零元 )。
定理 5.1.2 设 *是 S中的二元运算且 θr与 θl分别是对于
*的右零元和左零元,则 θr=θl=θ,使对任意元素 x∈ S
有 x*θ=θ*x=θ,称元素 θ是 S中关于运算 *的零元 (zero)且唯一 。
第 5章 代数系统的基本概念证明 因为 θr和 θl分别是 *的右零元和左零元,故有
θl*θr=θl,θl*θr=θr,所以 θr=θl。 θ,有
x*θ=θ*x=θ
设另有一零元为右零元 θ′,那么
θ=θ*θ′=θ′
故 θ对 S中的 *运算是唯一的零元 。 证毕同样,需强调零元是针对于哪个运算的 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.7】 在实数集 R 中,对加法 "+"运算,没有零元；
在实数集 R 中,对乘法 "× "运算,0是零元；
对于全集 E的子集的并 "∪ "运算,E是零元；
对于全集 E的子集的交 "∩"运算,;
在命题集合中,对于吸取 "∨ "运算,重言式是零元；
在命题集合中,对于合取 "∧ "运算,矛盾式是零元 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.8】 设 S＝ ｛ a,b,c｝,S上 *运算由运算表
(如表 5.1.5所示 )确定,那么 b是右零元,a是幺元 。
我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左
（右）幺元，又是右（左）零元，例如表 5.1.5第一行
（不计表头）改为三个 a时，那么 *运算有左零元 a和右幺元 a。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.5
* a b c
a a b c
b b b c
c c b b
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.5 设 *是集合 S中的一种二元运算,且 S中对于 *有 e为幺元,x,y为 S中元素 。 若 x*y＝ e,那么称 x
为 y的左逆元,y为 x的右逆元,若 x对于 *运算既有左逆元又有右逆元,则称 x是左,右可逆的 。 若 x左右均可逆,称 x可逆 。 显然对于二元运算 *,若 *是可交换的,
则任何左 （ 右 ） 可逆的元素均可逆 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.1.3 设 *是集合 S中的一个可结合的二元运算，
且 S中对于 *有 e为幺元，若 x∈ S是可逆的，则其左、右逆元相等，记作 x -1,称为元素 x对运算 *的逆元
（ inverseelements）且是唯一的。（ x的逆元通常记为
x -1 ;但当运算被称为 "加法运算 "（记为 +）时,x的逆元可记为 -x。）
第 5章 代数系统的基本概念证明 设 xr和 xl分别是 x对 *运算的右逆元和左逆元,
故有
xl*x=x*xr=e
由于 *可结合,于是
xl=xl*e=xl*(x*xr)=(xl*x)*xr=e*xr=xr
故 xl=xr。
第 5章 代数系统的基本概念假设均是 x -11,x -12对 *的逆元,则
x -11 = x -11 *e= x -11 *(x* x -12)
= (x -11 *x)* x -12 =e* x -12 = x -12
由 x -1 1=x -1 2,故唯一性成立 。
由逆元定义知,若 x-1 存在,则 x -1 *x=x*x -1 =e。
定理 5.1.4 设 *是集合 S中的一个可结合的二元运算,
且 e为 S中对于 *的幺元,x有逆元 x -1,则 (x -1 ) -1 =x。
第 5章 代数系统的基本概念证明 (x -1 ) -1 =(x -1 ) -1 *e
= (x -1 ) -1 *(x -1 *x)=((x -1 ) -1 *x -1 )*x=e*x=x,得证 。
由以上讨论可得结论：
（ 1） e -1 =e。
（ 2） 并非每个元素均可逆 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.9】
（ 1)在自然数集合 N 上,对于数乘 "·"运算,只有数
1有逆元 1,对于数加 "+"运算,只有数 0有逆元 0。 总之,
任何代数结构其幺元恒有逆元,逆元为其自身 。
（ 2） 在整数集合 I上 （ +,·的定义同上 ）,I上每个元素均有加法逆元,但除 1以外的数都没有乘法逆元 。
对任意 x∈ I,x的逆元是 -x。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3） 在有理数集合 Q上 （ +,·的定义同上 ）,Q上每个元素 x,都有加法逆元 -x,除 0以外的每个元素 x都有乘法逆元 x -1 =1/x。
（ 4） 在 P(A)中,对于 ∪ 运算,,每个元素 B（ B≠ ） 均无逆元；对于 ∩运算,其幺元为 A,每个元素 B（ B≠A） 均无逆元 。
（ 5） 在集合 AA（ 其中 AA＝ ｛ f|f,A→ A｝） 中,。
为函数的合成运算,恒等函数 IA为幺元,从而 A中所有双射函数都有逆元,所有单射函数都有左逆元,所有满射函数都有右逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.1.5 设 *是 S上的二元运算,e为幺元,θ为零元,
并且 |S|≥2,那么 θ无左 （ 右 ） 逆元 。
证明 首先,θ≠e,否则 S中另有元素 a,a不是么元和零元,从而
θ＝ θ*a＝ e*a＝ a
与 a不是零元矛盾,故 θ≠e得证 。
再用反证法证 θ无左 （ 右 ） 逆元,即可设 θ有左 (右 )
逆元 x,那么
θ=x*θ=e (θ=θ*x=e)
与 θ≠e矛盾,故 θ无左（右）逆元。得证。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.10】 有理数集合 Q上的加法 "+"运算与乘法
"·"运算,10的加法逆元是 -10,乘法逆元是 1/10;而 -10的加法逆元是 10,乘法逆元是 -1/10。
当一个集合中每一元素都有逆元时,可以认为该集合上定义了一个一元求逆运算 。 与逆元概念密切相关的是可约性概念 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.6 设 *是集合 S中的一个二元运算,a∈ S，
a≠θ,如果 a满足,对任意 x,y∈ S 均有
（ 1） a*x=a*y x=y
（ 2） x*a=y*a x=y
则称元素 a对 *是可约 （ 可消去 ） 的 (cancelable)，
当 a满足 (1)式时,也称 a是左可约 （ 左可消去 ） 的,当 a满足 (2)式时,也称 a是右可约 （ 右可消去 ） 的 。
第 5章 代数系统的基本概念特别地,若对任意 x,y,z∈ S,有
（ x*y=x*z） ∧ x≠θ y=z
（ y*x=z*x） ∧ x≠θ y=z
则称运算 *满足消去律 （ 可约律 ） 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.1.6 若 *是 S中满足结合律的二元运算,且元素
a有逆元 (左逆元,右逆元 ),则 a必定是可约的 (左可约的,右可约的 )。
证明 设 a的逆元为 a-1,对任意元素 x,y∈ S,设
a*x=a*y及 x*a=y*a,可得
a -1 *(a*x)=a -1 *(a*y) (x*a)*a -1 =(y*a)*a -1
即 (a -1 *a)*x=(a -1 *a)*y x*(a*a -1 )=y*(a*a -1 )
均可推得 x=y。因此,a是可约的。
第 5章 代数系统的基本概念当 S是有穷集合时,其上的二元运算常可用运算表给出,运算的一些性质可直接由运算表看出 。
(1)二元运算满足可交换性的充分必要条件是运算表关于主对角线对称 。
(2)二元运算满足幂等性的充分必要条件是运算表主对角线上的每个元素与它所在行,列的表头元素相同 。
第 5章 代数系统的基本概念
(3)二元运算有幺元的充分必要条件是该元素对应的行和列依次与该表表头的行,列相一致 。
(4)二元运算有零元的充分必要条件是运算表中该元素所对应的行,列元素均与该元素相同 。
(5)二元运算中 a与 b互为逆元素的充分必要条件是运算表中位于 a所在行,b所在列的元素及 b所在行,a
所在列的元素都是幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.11】 N4是整数中模 4同余产生的等价类集合,N4={［ 0］,［ 1］,［ 2］,［ 3］ }，
N4上运算 +4,× 4定义为
［ m］ +4［ n］ =［ (m+n)mod4］
［ m］ × 4［ n］ =［ (m·n)mod4］ m,n∈ {0,1,2,3},
运算表如表 5.1.6,5.1.7所示 。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.6
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.7
第 5章 代数系统的基本概念解 由表 5.1.6可知,［ 0］ 为幺元,
［ 1］ -1 =［ 3］,［ 2］ -1 =［ 2］,无零元 。
由表 5.1.7可知,［ 1］ 为幺元,
［ 3］ -1 =［ 3］,［ 0］,［ 2］ 无逆元,［ 0］ 为零元 。
第 5章 代数系统的基本概念
5.2 代 数 系 统定义 5.2.1 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构：
（ 1） 非空集合 S。
（ 2） 集合 S上的若干运算 。
（ 3） 一组刻画集合上各运算所具有的性质 。
代数结构常用一个多元序组 〈 S,Δ,*,…〉 来表示,其中 S是集合,Δ,*,…为各种运算 。 S称为基集,
各运算组成的集合成为运算集,代数结构也称为代数系统 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.2.1】
（ 1） 以实数集 R 为基集,数加运算 "＋ "为二元,
运算组成一代数系统,记为 〈 R,＋ 〉 。
（ 2） 以全体 n× n实数矩阵组成的集合 M为基集,
矩阵加 "。 "为二元运算,组成一代数系统,记为
〈 M,。 〉 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3）以集合 A的幂集 P(A)为基集，以集合并、交、
补为其二元运算和一元运算，组成一代数结构，记为
〈 P(A),∪,∩,∽ 〉 。有时为了突出全集 E P(A)
中的特殊地位，也可将这一代数结构记为
〈 P(A),∪,∩,∽,A,。这个系统就是常说的幂集代数系统。以上的（ 1），（ 2），（ 3）均称为具体代数系统，其运算满足的性质未列出。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） 设 S为一非空集合,*为 S上满足结合律,交换律的二元运算,那么 〈 S,*〉 为代数结构,称为一个抽象代数系统,即一类具体代数结构的抽象 。 例如 〈 R，
+〉,〈 M,。 〉,〈 P(A),∪ 〉,〈 P(A),∩〉 都是 〈 S,*〉
的具体例子 。
(5)〈 R,+,-,× 〉,〈 Z,+,-,× 〉 均是代数系统,但我们不能写 〈 Z,÷ 〉,〈 R,÷ 〉,〈 N,-〉,因为它们不是代数系统,它们的运算不封闭 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.2.2 如果两个代数系统中运算的个数相同,
对应的阶数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统 。
例如命题代数与幂集代数,〈 P(A),∪,∩,-,A,〉
与 〈 R,+,×,-,0,1〉 (这里 "-"指一元运算 --相反数 )。
定义 5.2.3 设 *是 S上的 n元运算 （ n＝ 1,2,…）,T
S,如果对任意元素 x1,x2,…,xn∈ T,*(x1,x2,…，
xn)∈ T,称 *运算对 T封闭 （ c1osed） 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.2.2】 设 E为非负偶数集,M为非负奇数集,那么定义于 N上的数加运算对 E封闭,对 M不封闭,数乘运算对 E和 M都封闭 。
定义 5.2.4 设 〈 S,*〉 是代数系统,如果有非空集合 T
满足
（ 1） T S
（ 2） 运算 *对 T
则称 〈 T,*〉 为代数系统 〈 S,*〉 的子代数系统,或子代数 （ subalgebra） 。
根据定义,子代数必为一代数系统,*运算所满足的性质显然在子代数中仍能得到满足 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.2.3】 在例 5.2.2中，对 〈 N,+〉 而言，
〈 E,+〉 为其子代数,〈 N，＋ 〉,〈 {0}，＋ 〉 为其平凡子代数,〈 M，＋ 〉 不构成其子代数。
第 5章 代数系统的基本概念
5.3 代数系统的同态与同构定义 5.3.1 设 〈 S,*〉 及 〈 T,。 〉 均为代数系统,如果函数 f:S→ T对 S中任何元素 a,b,有
f（ a*b） ＝ f（ a） 。 f（ b） （ 5.3.1）
称函数 f为 （ 代数系统 S到 T的 ） 同态映射,或同态
（ homomorphism）,当同态 f为单射时,又称 f为单一同态；当 f为满射时,又称 f为满同态；
第 5章 代数系统的基本概念当 f为双射时，又称 f为同构映射，或同构
（ isomorphism）。当两个代数系统间存在同构映射时，
也称这两个代数系统同构，记为 S≌ T。当 f为 〈 S,*〉 到
〈 S,*〉 的同态（同构）时,称 f为 S的自同态（自同构）。
式（ 5.3.1）称为同态 f的同态方程。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.3.1】
（ 1） 设 f,R→ R 为 f（ x） =ex（ R 为实数集 ）,那么,f
为 〈 R,+〉 到 〈 R,·〉 的同态 。 因为对任意实数 x,y,有
f（ x+y） ＝ e x+y =ex·ey=f（ x） ·f（ y）
由 f的定义还可知 f为单一同态 。
但是当 f,R→ R+ 为 f（ x） ＝ ex（ R+ 为正实数集 ）,
那么 f为 〈 R,+〉 到 〈 R+,·〉 的同构映射,换言之
〈 R,+〉 与 〈 R+,·〉 同构 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 2）设 h,R→ R 为 h(x)=2x，那么 h为 〈 R,+〉 到
〈 R,+〉 的自同态，因为对任何实数 x,y，有
h（ x+y） =2（ x+y） ＝ 2x+2y=h（ x） +h（ y）
并且 h为自同构 。
识别和证明两个代数系统是否同构是十分重要的代数学基本技能 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.3.2】 有代数系统 〈 Z,·〉 和代数系统
〈 B,⊙ 〉,其中 ·是普通乘法,⊙ 定义见表 5.3.1，
B={1,0,-1}。定义映射 f:Z→ B,n∈ Z,?
1
( ) 0
1
fn
n＞ 0
n=0
n＜ 0
第 5章 代数系统的基本概念
a,b∈ Z,有?
1
(,) 0
1
f a b
a,b同正或同负
a,b至少有一个为 0
a,b异号
1
( ) ( ) 0
1
f a f b
f(a)=f(b)≠0
f(a),f(b)至少有一个为 0
f(a)≠f(b) 且非 0
1
0
1
a,b同正或同负
a,b至少有一为 0
a,b异号第 5章 代数系统的基本概念所以 f(a·b)=f(a)⊙ f(b)。 f是 〈 Z,·〉 到 〈 B,⊙ 〉 的同态,且 f(Z)=B。
需要指出的是,同态映射并不是唯一的 。 如例 5.3.1
中的 （ 1） 的同态映射可取不同的底数 。
表 5.3.1
⊙ 1 0 -1
1
0
-1
1 0 -1
0 0 0
-1 0 1
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.3.3】 设 A={a,b,c,d}B={0,1,2,3},*,+4定义见表
5.3.2和 5.3.3。 证明,〈 A,*〉 和 〈 B,+4〉 是同构的 。
表 5.3.2
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
第 5章 代数系统的基本概念表 5.3.3
+ 4 0123
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
第 5章 代数系统的基本概念证明 设 f:A→ B,f(a)=0,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=3
显然 f是双射,又 *,+4均是可交换的 。
f(a*b)=f(b)=1 f(a)+4f(b)=0+41=1
f(a*c)=f(c)=2 f(a)+4f(c)=0+42=2
f(a*d)=f(d)=3 f(a)+4f(d)=0+43=3
f(a*a)=f(a)=0 f(a)+4f(a)=0+40=0
f(b*b)=f(c)=2 f(b)+4f(b)=1+41=2
第 5章 代数系统的基本概念
f(b*c)=f(d)=3 f(b)+4f(c)=1+42=3
f(b*d)=f(a)=0 f(b)+4f(d)=1+43=0
f(c*c)=f(a)=0 f(c)+4f(c)=2+42=0
f(c*d)=f(b)=1 f(c)+4f(d)=2+43=1
f(d*d)=f(c)=2 f(d)+4f(d)=3+43=2
故 f是 〈 A,*〉 到 〈 B,+4〉 的同构 。
第 5章 代数系统的基本概念同构是一个重要的概念,由上例可以说明不同形式的代数系统,如果它们之间存在同构,可以抽象地将它们看为本质上是一样的代数系统,不同之处只是所使用的符号不一样 。
注意到例 5.3.3中,A对于 *运算,a是幺元,b,d互逆,a,c均以自身为逆元； B对于 +4运算,0(=f(a))是幺元,1(=f(b)),3(=f(d))互逆,0(=f(a)),2(=f(c))均以自身为逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.3.2 设 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态映射，那么称 f(S)为 f的同态象（ image under
homomorphism）。
定理 5.3.1 设 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态，
那么同态象 f（ S）与。构成 〈 T,。 〉 的一个子代数。
证明 只要证 f(S） 对运算 。 封闭即可 。 为此设 a′,b′
为 f（ S） 中任意两个元素,且 f（ a） =a′,f（ b） =b′,那么
a′。 b′=f（ a） 。 f（ b） =f（ a(b） ∈ f（ S）
故 f（ S） 对运算 。 封闭,〈 f（ S）,。 〉 为 T的子代数 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.3.2 设 f是代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的满同态 （ 这里 *,。 均为二元运算 ）,那么
（ 1） 当运算 *满足结合律,交换律时,T中运算 。 也满足结合律,交换律 。
（ 2） 如果 〈 S,*〉 关于 *有幺元 e,那么 f（ e） 是
〈 T,。 〉 中关于 。 的幺元 。
（ 3） 如果 x -1 是 〈 S,*〉 中元素 x关于 *的逆元,那么
f（ x -1 ） =(f(x)) -1 是 〈 T,。 〉 中元素 f(x)关于 。 的逆元 。
（ 4） 如果 〈 S,*〉 关于 *有零元 θ,那么 f（ θ） 是
〈 T,。 〉 中关于 。 的零元 。
第 5章 代数系统的基本概念证明 仅证 （ 2）,（ 3） 。
（ 2） 设 〈 S,*〉 有关于 *的幺元 e。 考虑 T中任一元素 b,
因为 f是满射,所以必存在一个元素 a∈ S使 b=f(a),那么
b。 f（ e） =f（ a） 。 f（ e） =f（ a*e） =f（ a） =b
f（ e） 。 b=f（ e） 。 f（ a） =f（ e*a） =f（ a） =b
因此 f（ e） 为 T中关于 。 的幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3）设 〈 S,*〉 中元素 x有关于 *的逆元 x -1,考虑
f（ x）与 f（ x -1 ），那么
f（ x） 。 f（ x -1 ） =f（ x*x -1 ） =f（ e）
f（ x -1 ） 。 f(x） =f（ x -1 *x） =f（ e）
这就是说,T中 f（ x） 有关于 。 的逆元 f（ x -1 ）,即
（ f（ x）） -1 ＝ f（ x -1 ）
这表明,同态也是保持一元求逆运算的 。
（ 4） 关于零元的证明可仿上进行,留给读者完成 。
第 5章 代数系统的基本概念需要强调指出,上述定理中满同态的条件是必要的,否则性质只在同态像上有效,决不能随意扩大到
〈 T,。 〉 上,下面将举例说明这一点 。 对于具有多个代数运算的两个同类型系统,同态是指相应的 n个同态方程均成立 。 一般同态无法保持消去律 。 因为同构映射是双射,
所以不仅保持性质而且可逆,此时可将两个代数系统视为一个,只是运算,元素符号不同 。 下面我们要讨论同态核的概念 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.3.3 如果 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态，并且 T中有幺元 e′，那么称下列集合为同态 f的核
（ kernel of homomorphism），记为 K（ f）。
K（ f） ={x|x∈ S∧ f（ x） ＝ e′}
关于同态核我们有定理 5.3.3。
定理 5.3.3 设 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态,
如果 K（ f） ≠,那么 〈 K（ f）,*〉 为 〈 S,*〉 的子代数 。
第 5章 代数系统的基本概念证明 只要证 K（ f）对 *运算封闭即可。设 K（ f）中任意元素 x,y，于是 f（ x） = f（ y） =e′。 考虑
f（ x*y） =f（ x） 。 f（ y） =e′。 e′=e′
因此 x*y∈ K（ f）,故 〈 K（ f）,*〉 为 〈 S,*〉 的子代数 。
至此我们看到,一个同态映射 f可导致两个子代数,
一个是 〈 T,。 〉 的子代数 〈 f（ S）,。 〉,另一个是 〈 S,*〉
的子代数 〈 K（ f）,*〉 。
第 5章 代数系统的基本概念
5.4 例 题 选 解
【 例 5.4.1】 设 *和 +是集合 S上的两个二元运算,并满足吸收律 。
证明,*和 +均满足幂等律 。
证明 x,y∈ S,因为吸收律成立,所以
x*x=x*（ x+（ x*y）） =x
x+x=x+（ x*（ x+y）） =x
因此,*和 +均满足幂等律 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.4.2】 设 *和 +是集合 S上的两个二元运算,
x,y∈ S,均有 x+y=x。
证明,*对于 +是可分配的 。
证明 x,y,z∈ S,因为 x+y=x,所以
x*（ y+z） =x*y
而 （ x*y） +（ x*z） =x*y
故 x*（ y+z） =（ x*y） +（ x*z）
左分配律成立 。
第 5章 代数系统的基本概念又因为 （ y+z） *x=y*x
而 （ y*x） +（ z*x） =y*x
故 （ y+z） *x=（ y*x） +（ z*x）
右分配律成立 。
因此,*对于 +是可分配的 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.4.3】
（ 1） 设 N4=｛ 0,1,2,3｝,f,N4→N 4定义如下,
1
()
0
x
fx
当 x+1≠4
当 x+1=4
令 F={f0,f1,f2,f3}，其中 f0为 N4上的恒等函数。易证
〈 F,。 〉 为一代数系统，且 fi。 fj=f i+ 4j,试证 〈 F,。 〉
与 〈 N 4,+4〉 同构。
（ 2） 证明代数系统 〈 N,+〉 与 〈 N,·〉 不同构 。
第 5章 代数系统的基本概念解 (1)证明：建立双射 h:F→N 4,使
h（ fi） ＝ i（ i=0,l,2,3）
由于对任何 fi,fj∈ F，
故 h为一同构映射,〈 F,。 〉 与 〈 N4,+4〉 同构得证 。
4 44( ) ( ) ( ) ( )jii j i jh f f h f i j h f h f
第 5章 代数系统的基本概念
(2)证明,(用反证法 )设 〈 N,+〉 与 〈 N,·〉 同构,
f为任一同构映射 。 不失一般性,设有 n,n≥2,f(n)为一质数 p。 于是
p=f（ n） =f(n+0)=f(n)·f(0) （ 5.4.1）
p=f（ n） =f(n-1+1)=f(n-1)·f(1) （ 5.4.2）
由 f（ n）为质数，据式（ 5.4.1）,f（ n） =1或 f（ 0）
=1；据式（ 5.4.2）,f（ n-l） =1或 f（ 1） =1。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.4.4】 代数系统 〈 {0,1},∨ 〉 是否是代数系统 〈 N,+〉 的同态象？（说明理由）
解 是 。 理由如下：
作映射 f,N→{ 0,1},n∈ N,令 f（ 0） =0，
f（ n） =1（ n≠0）,则 n,m∈ N
第 5章 代数系统的基本概念当 n,m≠0时,f（ n+m） =1=1∨ 1=f（ n） ∨ f（ m）
当 n=0,m≠0时,f（ n+m） =1=0∨ 1=f（ n） ∨ f（ m）
当 n≠0,m=0时,f（ n+m） =1=1∨ 0=f（ n） ∨ f（ m）
当 n=0,m=0时,f（ n+m） =0=0∨ 0=f（ n） ∨ f（ m）
n,m∈ N,均有 f（ n+m） =f（ n） ∨ f（ m）,
故 f是 〈 N,+〉 到 〈 {0,1},∨ 〉 的同态,因为 f是满射,所以 〈 {0,1},∨ 〉 是 〈 N,+〉 的同态象 。
第 5章 代数系统的基本概念习 题 五
1.设集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},问下面定义的二元运算 *关于集合 S是否封闭？
（ 1） x*y=x-y
（ 2） x*y=x+y-xy
（ 3）
2
xyxy
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） x*y=2xy
（ 5） x*y=min(x,y)
（ 6） x*y=max(x,y)
（ 7） x*y=x
(8)x*y=GCD(x,y),GCD(x,y)是 x与 y的最大公约数
(9)x*y=LCM（ x,y）,LCM（ x,y） 是 x与 y的最小公倍数
(10)x*y=质数 p的个数,其中 x≤p≤y
第 5章 代数系统的基本概念
2,已知 S上运算 (满足结合律与交换律,证明：对 S
中任意元素 a,b,c,d有
（ a*b） *（ c*d） ＝ （（ d*c） *a） *b
3,设 *是集合 S上的可结合的二元运算 。 x,y∈ S，
若 x*y=y*x,则 x=y。 证明,*满足幂等律 （ 对一切 x∈ S
有 x*x=x） 。
4,S及其 S上的运算 *如下定义,问各种定义下 *运算是否满足结合律,交换律,〈 S,*〉 中是否有幺元,零元,S中哪些元素有逆元,哪些元素没有逆元?
第 5章 代数系统的基本概念
（ 1） S为 I（ 整数集 ）,x*y=x-y
（ 2） S为 I（ 整数集 ）,x*y=x+y-xy
（ 3） S为 Q（ 有理数集 ）,
（ 4） S为 N（ 自然数集 ）,x*y=2xy
（ 5） S为 N（ 自然数集 ）,x*y=max(x,y)(min(x,y))
（ 6） S为 N （ 自然数集 ）,x*y=x
2
xyxy
第 5章 代数系统的基本概念
5,下列说法正确吗？ 为什么？
（ 1） 代数系统中的幺元与零元总不相等 。
（ 2） 一代数系统中可能有三个右幺元,而只有一个左幺元 。
（ 3） 代数系统中可能有一个元素,它既是左零元,又是右幺元 。
（ 4） 幺元总有逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念
6,设 A＝ ｛ 0,1｝,S为 AA,即 S={f1,f2,f3,f4},诸 f由表
5.1给出 。
（ 1） 给出 S上函数复合运算 。 的运算表 。
（ 2） 〈 S,。 〉 是否有幺元,零元？
（ 3） 〈 S,。 〉 中哪些元素有逆元?逆元是什么？
表 5.1
第 5章 代数系统的基本概念
7,下面各集合都是 N的子集,它们能否构成代数系统 〈 N,+〉 的子代数?
（ 1） {x|x∈ N∧ x的某次幂可以被 16整除 }
（ 2） {x|x∈ N∧ x与 5互质 }
（ 3） {x|x∈ N∧ x是 30的因子 }
（ 4） {x|x∈ N∧ x是 30的倍数 }
第 5章 代数系统的基本概念
8,证明,f:R+→ R,f(x)=lb2x为代数系统 〈 R+,·〉
到 〈 R,·〉 的同态 （ 这里 R+为正实数集,R为实数集,·为数乘运算 ） 。 它是否为一同构映射？ 为什么？
9,设 f:N→{ 0,l}定义如下,
1()
0fn
当 n=2k(k是自然数 )
否则证明,f为代数系统 〈 N,·〉 到 〈 {0,1},·〉 的同态 。
它是单一同态,满同态吗？
第 5章 代数系统的基本概念
10,设 A={a,b,c}。 问代数系统 〈 {,A},∪,∩〉
和 〈 {{a,b},A},∪,∩〉 是否同构？
11,假定 f是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态,试举例说明：
（ 1） 〈 f（ S）,。 〉 的幺元 （ 零元 ）,可能不是
〈 T,。 〉 的幺元 （ 零元 ） 。
（ 2） 〈 f（ S）,。 〉 的成员的逆元,可能不是它在
〈 T,。 〉 中的逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念
12,设 f,g都是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态,并且 *
与 。 运算均满足交换律和结合律 。 证明,如下定义的函数 N:S→ T
N(x)=f(x)。 g(x)
是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态 。
13,设 f,g分别是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态和
〈 T,。 〉 到 〈 H,〉 的同态 。 证明,f。 g是 〈 S,*〉 到
〈 H,〉 的同态 。
第 5章 代数系统的基本概念
14．设 f是 〈 R,+〉 到 〈 R,·〉 的映射（这里 R为实数集,+为普通加法运算,·为数乘运算），
且 。问 f是否同态？如果是，请写出同态象和同态核。
2:,ixf x e x R
5.1 二元运算及其性质
5.2 代数系统
5.3 代数系统的同态与同构
5.4 例题选解习 题 五第 5章 代数系统的基本概念
5.1 二元运算及其性质集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数 。
定义 5.1.1 设 A是集合,函数 f:An→ A称为集合 A上的 n元代数运算 （ operators）,整数 n称为运算的阶
（ order） 。
当 n=1时,f:A→ A称为集合 A中的一元运算 。
当 n=2时,f:A× A→ A称为集合 A中的二元运算 。
第 5章 代数系统的基本概念一般地,二元运算用算符 。,*,·,Δ,◇ 等等表示,
并将其写于两个元素之间,如 Z× Z→ Z的加法 。
F(〈 2,3〉 )=+(〈 2,3〉 )=2+3=5
注意到 Ranf A,即运算结果是 A中的元素,这称为运算的封闭性 。 另外,运算是函数,要具备函数所具有的对每一个自变元有唯一的像的特性 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.1】 下面均是一元运算的例子 。
（ 1） 在 Z集合上 （ 或 Q,或 R）,
f:Z→ Z,x∈ Z,f(x)=-x。
（ 2） 在 A={0,1}集合上,f:A→ A,p∈ A,
f(p)=﹁ p,﹁ 表示否定 。
（ 3） 在 R+集合上,f:R+→R +,
x∈ R+,f(x)= 1/2 （ 但在 R上,倒数不是一元运算,因为 0
无像 ） 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.2】 下面均是二元运算的例子 。
（ 1） 在 Z集合上 （ 或 Q,或 R）,f:Z× Z→ Z,
〈 x,y〉 ∈ Z2,f(〈 x,y〉 )=x+y(或 f(〈 x,y〉 )=x-y
或 f(〈 x,y〉 )=x·y),如 f(〈 2,3〉 )=5。
（ 2） A为集合,P(A)为其幂集 。 f:P(A)× P(A)→ P(A)。
f可以是 ∩,∪,-,。
（ 3） A={0,1}。 f:A× A→ A。 f可以是 ∧,∨,→,。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） AA={f|f:A→ A}。 (复合 ） 是 AA上的二元运算 。
当 A是有穷集合时,运算可以用运算表给出 。 如
A={0,1,2,3,4,5},二元运算 。 的定义见表 5.1.1。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.1
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.2
* 0 1
0
1
0 0
0 1
第 5章 代数系统的基本概念事实上,对于表 5.1.1,我们可观察看出其运算为
(〈 x,y〉 )=x·y(mod3)
其中,·是普通乘法 。
而对于表 5.1.2,此时的 *运算应是在集合 {0,1}上的 ∧ （ 逻辑合取运算符 ） 。 下面介绍二元运算的性质 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.2 设 *,。 均为集合 S上的二元运算 。
（ 1 x y z(x,y,z∈ S→ x*(y*z)=(x*y)*z)，
则称 *运算满足结合律。
（ 2） x y(x,y∈ S→ x*y=y*x),则称 *运算满足交换律 。
（ 3 x y z(x,y,z∈ S→ x*(y。 z)=(x*y)。
(x*z))，则称 *运算对 。 运算满足左
x y z(x,y,z∈ S→(y 。 z)x=(y*x)。
(z*x)),则称 *运算对 。 运算满足右分配律 。 若二者均成立,则称 *运算对 。 运算满足分配律 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） 设 *,。 均可交换,x,y∈ A,有
x*(x。 y)=x
x。 (x*y)=x
则称运算 *和 。 运算满足吸收律 。
（ 5） 若 (x∈ A,x*x=x,则称 *运算满足幂等律 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.3】 加法,乘法运算是自然数集上的二元运算,减法和除法便不是 。 但是减法是有理数集,实数集上的二元运算,除法却仍不是 。 加法,乘法满足结合律,交换律,乘法对加法,减法满足分配律,减法不满足这些定律 。 乘法 "。 "对加法 "+"运算满足分配律 （ 对 "-"也满足 ） 。 但加法 "+"对乘法 "。 "运算不满足分配律 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.4】 设 A是集合,在 A的幂集 P(A)上的二元运算并 ∪,交 ∩满足交换律,结合律,吸收律,幂等律且彼此满足分配律 。
【 例 5.1.5】 设 A={a,b},A上的运算 *,。 分别如表
5.1.3,5.1.4所示 。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.3
* a b
a
b
a b
b a
表 5.1.4
* a b
a
b
a a
a b
第 5章 代数系统的基本概念解 从 *运算表可知,*是可交换的 。 因为
(a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b
(a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a
所以 *是可结合的 。
从 。 运算表可知,。 是可交换的 。 因为
(a。 a)。 b=a。 b=a a。 (a。 b)=a。 a=a
(a。 b)。 b=a。 b=a a。 (b。 b)=a。 b=a
所以 。 是可结合的 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 1） b。 (a*b)=b。 b=b (b。 a)*(b。 b)=a*b=b
（ 2） a。 (a*b)=a。 b=a,(a。 a)*(a。 b)=a*a=a
b。 (a*a)=b。 a=a (b。 a)*(b。 a)=a*a=a
b。 (b*b)=b。 a=a (b。 b)*(b。 b)=b*b=a
a。 (a*a)=a。 a=a (a。 a)*(a。 a)=a*a=a
a。 (b*b)=a。 a=a (a。 b)*(a。 b)=a*a=a
所以 。 对 *是可分配的 。 （ 由于 。 运算满足交换律成立,因此右分配也成立 。 ）
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3） b*(a。 b)=b*a=b (b*a)。 (b*b)=b。 a=a
故 *对 。 是不可分配的 。
又由 a*(a。 b)=a*a=a及上面 （ 1） （ 2） （ 3） 式可知 。 和 *满足吸收律 。 由运算表可知,。 满足幂等律,
而 *不满足幂等律 。
下面我们来定义与集合 A中的二元运算有关的集合
A中的特异元素。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.3 设 *是集合 S中的一种二元运算，如果存在 er∈ S(el∈ S) x∈ S 均有
x*er=x(el*x=x) er(el) 为 S中关于运算 (的右幺元 (左幺元 )或右单位元 (左单位元 )。
定理 5.1.1 设 *是 S中的二元运算且 er与 el分别是对于
* er=el=e,使对任意元素 x∈ S
有 x*e=e*x=x，称元素 e为关于运算 *的幺元
(identityelements)且唯一。
第 5章 代数系统的基本概念证明 因为 er和 el分别是 *的右幺元和左幺元,故有
el*er=el,el*er=er,er=el，
令其为 e,有 x*e=e*x=x
设另有一幺元为右幺元 e′,那么
e=e*e′=e′
故 e对 *是唯一的幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.6】 在实数集 R中,对加法 "+"运算,0是幺元；
在实数集 R 中,对乘法 "× "运算,1是幺元；
对于全集 E的子集的并 "∪ "运算,
对于全集 E的子集的交 "∩"运算,E是幺元 ;
在命题集合中,对于吸取 "∨ "运算,矛盾式是幺元；
在命题集合中,对于合取 "∧ "运算,重言式是幺元；
在 AA={f|f:A→ A}中,对于复合 "。 "运算,IA是幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.4 设 *是集合 S中的一种二元运算，如果存在 θr∈ S(θl∈ S)且对任意元素 x∈ S 均有 x*θr=θr(θl(x=θl)，
则称元素 θr(θl)是 S中关于运算 *的右零元 (左零元 )。
定理 5.1.2 设 *是 S中的二元运算且 θr与 θl分别是对于
*的右零元和左零元,则 θr=θl=θ,使对任意元素 x∈ S
有 x*θ=θ*x=θ,称元素 θ是 S中关于运算 *的零元 (zero)且唯一 。
第 5章 代数系统的基本概念证明 因为 θr和 θl分别是 *的右零元和左零元,故有
θl*θr=θl,θl*θr=θr,所以 θr=θl。 θ,有
x*θ=θ*x=θ
设另有一零元为右零元 θ′,那么
θ=θ*θ′=θ′
故 θ对 S中的 *运算是唯一的零元 。 证毕同样,需强调零元是针对于哪个运算的 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.7】 在实数集 R 中,对加法 "+"运算,没有零元；
在实数集 R 中,对乘法 "× "运算,0是零元；
对于全集 E的子集的并 "∪ "运算,E是零元；
对于全集 E的子集的交 "∩"运算,;
在命题集合中,对于吸取 "∨ "运算,重言式是零元；
在命题集合中,对于合取 "∧ "运算,矛盾式是零元 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.8】 设 S＝ ｛ a,b,c｝,S上 *运算由运算表
(如表 5.1.5所示 )确定,那么 b是右零元,a是幺元 。
我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左
（右）幺元，又是右（左）零元，例如表 5.1.5第一行
（不计表头）改为三个 a时，那么 *运算有左零元 a和右幺元 a。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.5
* a b c
a a b c
b b b c
c c b b
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.5 设 *是集合 S中的一种二元运算,且 S中对于 *有 e为幺元,x,y为 S中元素 。 若 x*y＝ e,那么称 x
为 y的左逆元,y为 x的右逆元,若 x对于 *运算既有左逆元又有右逆元,则称 x是左,右可逆的 。 若 x左右均可逆,称 x可逆 。 显然对于二元运算 *,若 *是可交换的,
则任何左 （ 右 ） 可逆的元素均可逆 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.1.3 设 *是集合 S中的一个可结合的二元运算，
且 S中对于 *有 e为幺元，若 x∈ S是可逆的，则其左、右逆元相等，记作 x -1,称为元素 x对运算 *的逆元
（ inverseelements）且是唯一的。（ x的逆元通常记为
x -1 ;但当运算被称为 "加法运算 "（记为 +）时,x的逆元可记为 -x。）
第 5章 代数系统的基本概念证明 设 xr和 xl分别是 x对 *运算的右逆元和左逆元,
故有
xl*x=x*xr=e
由于 *可结合,于是
xl=xl*e=xl*(x*xr)=(xl*x)*xr=e*xr=xr
故 xl=xr。
第 5章 代数系统的基本概念假设均是 x -11,x -12对 *的逆元,则
x -11 = x -11 *e= x -11 *(x* x -12)
= (x -11 *x)* x -12 =e* x -12 = x -12
由 x -1 1=x -1 2,故唯一性成立 。
由逆元定义知,若 x-1 存在,则 x -1 *x=x*x -1 =e。
定理 5.1.4 设 *是集合 S中的一个可结合的二元运算,
且 e为 S中对于 *的幺元,x有逆元 x -1,则 (x -1 ) -1 =x。
第 5章 代数系统的基本概念证明 (x -1 ) -1 =(x -1 ) -1 *e
= (x -1 ) -1 *(x -1 *x)=((x -1 ) -1 *x -1 )*x=e*x=x,得证 。
由以上讨论可得结论：
（ 1） e -1 =e。
（ 2） 并非每个元素均可逆 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.9】
（ 1)在自然数集合 N 上,对于数乘 "·"运算,只有数
1有逆元 1,对于数加 "+"运算,只有数 0有逆元 0。 总之,
任何代数结构其幺元恒有逆元,逆元为其自身 。
（ 2） 在整数集合 I上 （ +,·的定义同上 ）,I上每个元素均有加法逆元,但除 1以外的数都没有乘法逆元 。
对任意 x∈ I,x的逆元是 -x。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3） 在有理数集合 Q上 （ +,·的定义同上 ）,Q上每个元素 x,都有加法逆元 -x,除 0以外的每个元素 x都有乘法逆元 x -1 =1/x。
（ 4） 在 P(A)中,对于 ∪ 运算,,每个元素 B（ B≠ ） 均无逆元；对于 ∩运算,其幺元为 A,每个元素 B（ B≠A） 均无逆元 。
（ 5） 在集合 AA（ 其中 AA＝ ｛ f|f,A→ A｝） 中,。
为函数的合成运算,恒等函数 IA为幺元,从而 A中所有双射函数都有逆元,所有单射函数都有左逆元,所有满射函数都有右逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.1.5 设 *是 S上的二元运算,e为幺元,θ为零元,
并且 |S|≥2,那么 θ无左 （ 右 ） 逆元 。
证明 首先,θ≠e,否则 S中另有元素 a,a不是么元和零元,从而
θ＝ θ*a＝ e*a＝ a
与 a不是零元矛盾,故 θ≠e得证 。
再用反证法证 θ无左 （ 右 ） 逆元,即可设 θ有左 (右 )
逆元 x,那么
θ=x*θ=e (θ=θ*x=e)
与 θ≠e矛盾,故 θ无左（右）逆元。得证。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.10】 有理数集合 Q上的加法 "+"运算与乘法
"·"运算,10的加法逆元是 -10,乘法逆元是 1/10;而 -10的加法逆元是 10,乘法逆元是 -1/10。
当一个集合中每一元素都有逆元时,可以认为该集合上定义了一个一元求逆运算 。 与逆元概念密切相关的是可约性概念 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.1.6 设 *是集合 S中的一个二元运算,a∈ S，
a≠θ,如果 a满足,对任意 x,y∈ S 均有
（ 1） a*x=a*y x=y
（ 2） x*a=y*a x=y
则称元素 a对 *是可约 （ 可消去 ） 的 (cancelable)，
当 a满足 (1)式时,也称 a是左可约 （ 左可消去 ） 的,当 a满足 (2)式时,也称 a是右可约 （ 右可消去 ） 的 。
第 5章 代数系统的基本概念特别地,若对任意 x,y,z∈ S,有
（ x*y=x*z） ∧ x≠θ y=z
（ y*x=z*x） ∧ x≠θ y=z
则称运算 *满足消去律 （ 可约律 ） 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.1.6 若 *是 S中满足结合律的二元运算,且元素
a有逆元 (左逆元,右逆元 ),则 a必定是可约的 (左可约的,右可约的 )。
证明 设 a的逆元为 a-1,对任意元素 x,y∈ S,设
a*x=a*y及 x*a=y*a,可得
a -1 *(a*x)=a -1 *(a*y) (x*a)*a -1 =(y*a)*a -1
即 (a -1 *a)*x=(a -1 *a)*y x*(a*a -1 )=y*(a*a -1 )
均可推得 x=y。因此,a是可约的。
第 5章 代数系统的基本概念当 S是有穷集合时,其上的二元运算常可用运算表给出,运算的一些性质可直接由运算表看出 。
(1)二元运算满足可交换性的充分必要条件是运算表关于主对角线对称 。
(2)二元运算满足幂等性的充分必要条件是运算表主对角线上的每个元素与它所在行,列的表头元素相同 。
第 5章 代数系统的基本概念
(3)二元运算有幺元的充分必要条件是该元素对应的行和列依次与该表表头的行,列相一致 。
(4)二元运算有零元的充分必要条件是运算表中该元素所对应的行,列元素均与该元素相同 。
(5)二元运算中 a与 b互为逆元素的充分必要条件是运算表中位于 a所在行,b所在列的元素及 b所在行,a
所在列的元素都是幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.1.11】 N4是整数中模 4同余产生的等价类集合,N4={［ 0］,［ 1］,［ 2］,［ 3］ }，
N4上运算 +4,× 4定义为
［ m］ +4［ n］ =［ (m+n)mod4］
［ m］ × 4［ n］ =［ (m·n)mod4］ m,n∈ {0,1,2,3},
运算表如表 5.1.6,5.1.7所示 。
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.6
第 5章 代数系统的基本概念表 5.1.7
第 5章 代数系统的基本概念解 由表 5.1.6可知,［ 0］ 为幺元,
［ 1］ -1 =［ 3］,［ 2］ -1 =［ 2］,无零元 。
由表 5.1.7可知,［ 1］ 为幺元,
［ 3］ -1 =［ 3］,［ 0］,［ 2］ 无逆元,［ 0］ 为零元 。
第 5章 代数系统的基本概念
5.2 代 数 系 统定义 5.2.1 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构：
（ 1） 非空集合 S。
（ 2） 集合 S上的若干运算 。
（ 3） 一组刻画集合上各运算所具有的性质 。
代数结构常用一个多元序组 〈 S,Δ,*,…〉 来表示,其中 S是集合,Δ,*,…为各种运算 。 S称为基集,
各运算组成的集合成为运算集,代数结构也称为代数系统 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.2.1】
（ 1） 以实数集 R 为基集,数加运算 "＋ "为二元,
运算组成一代数系统,记为 〈 R,＋ 〉 。
（ 2） 以全体 n× n实数矩阵组成的集合 M为基集,
矩阵加 "。 "为二元运算,组成一代数系统,记为
〈 M,。 〉 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3）以集合 A的幂集 P(A)为基集，以集合并、交、
补为其二元运算和一元运算，组成一代数结构，记为
〈 P(A),∪,∩,∽ 〉 。有时为了突出全集 E P(A)
中的特殊地位，也可将这一代数结构记为
〈 P(A),∪,∩,∽,A,。这个系统就是常说的幂集代数系统。以上的（ 1），（ 2），（ 3）均称为具体代数系统，其运算满足的性质未列出。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） 设 S为一非空集合,*为 S上满足结合律,交换律的二元运算,那么 〈 S,*〉 为代数结构,称为一个抽象代数系统,即一类具体代数结构的抽象 。 例如 〈 R，
+〉,〈 M,。 〉,〈 P(A),∪ 〉,〈 P(A),∩〉 都是 〈 S,*〉
的具体例子 。
(5)〈 R,+,-,× 〉,〈 Z,+,-,× 〉 均是代数系统,但我们不能写 〈 Z,÷ 〉,〈 R,÷ 〉,〈 N,-〉,因为它们不是代数系统,它们的运算不封闭 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.2.2 如果两个代数系统中运算的个数相同,
对应的阶数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统 。
例如命题代数与幂集代数,〈 P(A),∪,∩,-,A,〉
与 〈 R,+,×,-,0,1〉 (这里 "-"指一元运算 --相反数 )。
定义 5.2.3 设 *是 S上的 n元运算 （ n＝ 1,2,…）,T
S,如果对任意元素 x1,x2,…,xn∈ T,*(x1,x2,…，
xn)∈ T,称 *运算对 T封闭 （ c1osed） 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.2.2】 设 E为非负偶数集,M为非负奇数集,那么定义于 N上的数加运算对 E封闭,对 M不封闭,数乘运算对 E和 M都封闭 。
定义 5.2.4 设 〈 S,*〉 是代数系统,如果有非空集合 T
满足
（ 1） T S
（ 2） 运算 *对 T
则称 〈 T,*〉 为代数系统 〈 S,*〉 的子代数系统,或子代数 （ subalgebra） 。
根据定义,子代数必为一代数系统,*运算所满足的性质显然在子代数中仍能得到满足 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.2.3】 在例 5.2.2中，对 〈 N,+〉 而言，
〈 E,+〉 为其子代数,〈 N，＋ 〉,〈 {0}，＋ 〉 为其平凡子代数,〈 M，＋ 〉 不构成其子代数。
第 5章 代数系统的基本概念
5.3 代数系统的同态与同构定义 5.3.1 设 〈 S,*〉 及 〈 T,。 〉 均为代数系统,如果函数 f:S→ T对 S中任何元素 a,b,有
f（ a*b） ＝ f（ a） 。 f（ b） （ 5.3.1）
称函数 f为 （ 代数系统 S到 T的 ） 同态映射,或同态
（ homomorphism）,当同态 f为单射时,又称 f为单一同态；当 f为满射时,又称 f为满同态；
第 5章 代数系统的基本概念当 f为双射时，又称 f为同构映射，或同构
（ isomorphism）。当两个代数系统间存在同构映射时，
也称这两个代数系统同构，记为 S≌ T。当 f为 〈 S,*〉 到
〈 S,*〉 的同态（同构）时,称 f为 S的自同态（自同构）。
式（ 5.3.1）称为同态 f的同态方程。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.3.1】
（ 1） 设 f,R→ R 为 f（ x） =ex（ R 为实数集 ）,那么,f
为 〈 R,+〉 到 〈 R,·〉 的同态 。 因为对任意实数 x,y,有
f（ x+y） ＝ e x+y =ex·ey=f（ x） ·f（ y）
由 f的定义还可知 f为单一同态 。
但是当 f,R→ R+ 为 f（ x） ＝ ex（ R+ 为正实数集 ）,
那么 f为 〈 R,+〉 到 〈 R+,·〉 的同构映射,换言之
〈 R,+〉 与 〈 R+,·〉 同构 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 2）设 h,R→ R 为 h(x)=2x，那么 h为 〈 R,+〉 到
〈 R,+〉 的自同态，因为对任何实数 x,y，有
h（ x+y） =2（ x+y） ＝ 2x+2y=h（ x） +h（ y）
并且 h为自同构 。
识别和证明两个代数系统是否同构是十分重要的代数学基本技能 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.3.2】 有代数系统 〈 Z,·〉 和代数系统
〈 B,⊙ 〉,其中 ·是普通乘法,⊙ 定义见表 5.3.1，
B={1,0,-1}。定义映射 f:Z→ B,n∈ Z,?
1
( ) 0
1
fn
n＞ 0
n=0
n＜ 0
第 5章 代数系统的基本概念
a,b∈ Z,有?
1
(,) 0
1
f a b
a,b同正或同负
a,b至少有一个为 0
a,b异号
1
( ) ( ) 0
1
f a f b
f(a)=f(b)≠0
f(a),f(b)至少有一个为 0
f(a)≠f(b) 且非 0
1
0
1
a,b同正或同负
a,b至少有一为 0
a,b异号第 5章 代数系统的基本概念所以 f(a·b)=f(a)⊙ f(b)。 f是 〈 Z,·〉 到 〈 B,⊙ 〉 的同态,且 f(Z)=B。
需要指出的是,同态映射并不是唯一的 。 如例 5.3.1
中的 （ 1） 的同态映射可取不同的底数 。
表 5.3.1
⊙ 1 0 -1
1
0
-1
1 0 -1
0 0 0
-1 0 1
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.3.3】 设 A={a,b,c,d}B={0,1,2,3},*,+4定义见表
5.3.2和 5.3.3。 证明,〈 A,*〉 和 〈 B,+4〉 是同构的 。
表 5.3.2
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
第 5章 代数系统的基本概念表 5.3.3
+ 4 0123
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
第 5章 代数系统的基本概念证明 设 f:A→ B,f(a)=0,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=3
显然 f是双射,又 *,+4均是可交换的 。
f(a*b)=f(b)=1 f(a)+4f(b)=0+41=1
f(a*c)=f(c)=2 f(a)+4f(c)=0+42=2
f(a*d)=f(d)=3 f(a)+4f(d)=0+43=3
f(a*a)=f(a)=0 f(a)+4f(a)=0+40=0
f(b*b)=f(c)=2 f(b)+4f(b)=1+41=2
第 5章 代数系统的基本概念
f(b*c)=f(d)=3 f(b)+4f(c)=1+42=3
f(b*d)=f(a)=0 f(b)+4f(d)=1+43=0
f(c*c)=f(a)=0 f(c)+4f(c)=2+42=0
f(c*d)=f(b)=1 f(c)+4f(d)=2+43=1
f(d*d)=f(c)=2 f(d)+4f(d)=3+43=2
故 f是 〈 A,*〉 到 〈 B,+4〉 的同构 。
第 5章 代数系统的基本概念同构是一个重要的概念,由上例可以说明不同形式的代数系统,如果它们之间存在同构,可以抽象地将它们看为本质上是一样的代数系统,不同之处只是所使用的符号不一样 。
注意到例 5.3.3中,A对于 *运算,a是幺元,b,d互逆,a,c均以自身为逆元； B对于 +4运算,0(=f(a))是幺元,1(=f(b)),3(=f(d))互逆,0(=f(a)),2(=f(c))均以自身为逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.3.2 设 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态映射，那么称 f(S)为 f的同态象（ image under
homomorphism）。
定理 5.3.1 设 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态，
那么同态象 f（ S）与。构成 〈 T,。 〉 的一个子代数。
证明 只要证 f(S） 对运算 。 封闭即可 。 为此设 a′,b′
为 f（ S） 中任意两个元素,且 f（ a） =a′,f（ b） =b′,那么
a′。 b′=f（ a） 。 f（ b） =f（ a(b） ∈ f（ S）
故 f（ S） 对运算 。 封闭,〈 f（ S）,。 〉 为 T的子代数 。
第 5章 代数系统的基本概念定理 5.3.2 设 f是代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的满同态 （ 这里 *,。 均为二元运算 ）,那么
（ 1） 当运算 *满足结合律,交换律时,T中运算 。 也满足结合律,交换律 。
（ 2） 如果 〈 S,*〉 关于 *有幺元 e,那么 f（ e） 是
〈 T,。 〉 中关于 。 的幺元 。
（ 3） 如果 x -1 是 〈 S,*〉 中元素 x关于 *的逆元,那么
f（ x -1 ） =(f(x)) -1 是 〈 T,。 〉 中元素 f(x)关于 。 的逆元 。
（ 4） 如果 〈 S,*〉 关于 *有零元 θ,那么 f（ θ） 是
〈 T,。 〉 中关于 。 的零元 。
第 5章 代数系统的基本概念证明 仅证 （ 2）,（ 3） 。
（ 2） 设 〈 S,*〉 有关于 *的幺元 e。 考虑 T中任一元素 b,
因为 f是满射,所以必存在一个元素 a∈ S使 b=f(a),那么
b。 f（ e） =f（ a） 。 f（ e） =f（ a*e） =f（ a） =b
f（ e） 。 b=f（ e） 。 f（ a） =f（ e*a） =f（ a） =b
因此 f（ e） 为 T中关于 。 的幺元 。
第 5章 代数系统的基本概念
（ 3）设 〈 S,*〉 中元素 x有关于 *的逆元 x -1,考虑
f（ x）与 f（ x -1 ），那么
f（ x） 。 f（ x -1 ） =f（ x*x -1 ） =f（ e）
f（ x -1 ） 。 f(x） =f（ x -1 *x） =f（ e）
这就是说,T中 f（ x） 有关于 。 的逆元 f（ x -1 ）,即
（ f（ x）） -1 ＝ f（ x -1 ）
这表明,同态也是保持一元求逆运算的 。
（ 4） 关于零元的证明可仿上进行,留给读者完成 。
第 5章 代数系统的基本概念需要强调指出,上述定理中满同态的条件是必要的,否则性质只在同态像上有效,决不能随意扩大到
〈 T,。 〉 上,下面将举例说明这一点 。 对于具有多个代数运算的两个同类型系统,同态是指相应的 n个同态方程均成立 。 一般同态无法保持消去律 。 因为同构映射是双射,
所以不仅保持性质而且可逆,此时可将两个代数系统视为一个,只是运算,元素符号不同 。 下面我们要讨论同态核的概念 。
第 5章 代数系统的基本概念定义 5.3.3 如果 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态，并且 T中有幺元 e′，那么称下列集合为同态 f的核
（ kernel of homomorphism），记为 K（ f）。
K（ f） ={x|x∈ S∧ f（ x） ＝ e′}
关于同态核我们有定理 5.3.3。
定理 5.3.3 设 f为代数系统 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态,
如果 K（ f） ≠,那么 〈 K（ f）,*〉 为 〈 S,*〉 的子代数 。
第 5章 代数系统的基本概念证明 只要证 K（ f）对 *运算封闭即可。设 K（ f）中任意元素 x,y，于是 f（ x） = f（ y） =e′。 考虑
f（ x*y） =f（ x） 。 f（ y） =e′。 e′=e′
因此 x*y∈ K（ f）,故 〈 K（ f）,*〉 为 〈 S,*〉 的子代数 。
至此我们看到,一个同态映射 f可导致两个子代数,
一个是 〈 T,。 〉 的子代数 〈 f（ S）,。 〉,另一个是 〈 S,*〉
的子代数 〈 K（ f）,*〉 。
第 5章 代数系统的基本概念
5.4 例 题 选 解
【 例 5.4.1】 设 *和 +是集合 S上的两个二元运算,并满足吸收律 。
证明,*和 +均满足幂等律 。
证明 x,y∈ S,因为吸收律成立,所以
x*x=x*（ x+（ x*y）） =x
x+x=x+（ x*（ x+y）） =x
因此,*和 +均满足幂等律 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.4.2】 设 *和 +是集合 S上的两个二元运算,
x,y∈ S,均有 x+y=x。
证明,*对于 +是可分配的 。
证明 x,y,z∈ S,因为 x+y=x,所以
x*（ y+z） =x*y
而 （ x*y） +（ x*z） =x*y
故 x*（ y+z） =（ x*y） +（ x*z）
左分配律成立 。
第 5章 代数系统的基本概念又因为 （ y+z） *x=y*x
而 （ y*x） +（ z*x） =y*x
故 （ y+z） *x=（ y*x） +（ z*x）
右分配律成立 。
因此,*对于 +是可分配的 。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.4.3】
（ 1） 设 N4=｛ 0,1,2,3｝,f,N4→N 4定义如下,
1
()
0
x
fx
当 x+1≠4
当 x+1=4
令 F={f0,f1,f2,f3}，其中 f0为 N4上的恒等函数。易证
〈 F,。 〉 为一代数系统，且 fi。 fj=f i+ 4j,试证 〈 F,。 〉
与 〈 N 4,+4〉 同构。
（ 2） 证明代数系统 〈 N,+〉 与 〈 N,·〉 不同构 。
第 5章 代数系统的基本概念解 (1)证明：建立双射 h:F→N 4,使
h（ fi） ＝ i（ i=0,l,2,3）
由于对任何 fi,fj∈ F，
故 h为一同构映射,〈 F,。 〉 与 〈 N4,+4〉 同构得证 。
4 44( ) ( ) ( ) ( )jii j i jh f f h f i j h f h f
第 5章 代数系统的基本概念
(2)证明,(用反证法 )设 〈 N,+〉 与 〈 N,·〉 同构,
f为任一同构映射 。 不失一般性,设有 n,n≥2,f(n)为一质数 p。 于是
p=f（ n） =f(n+0)=f(n)·f(0) （ 5.4.1）
p=f（ n） =f(n-1+1)=f(n-1)·f(1) （ 5.4.2）
由 f（ n）为质数，据式（ 5.4.1）,f（ n） =1或 f（ 0）
=1；据式（ 5.4.2）,f（ n-l） =1或 f（ 1） =1。
第 5章 代数系统的基本概念
【 例 5.4.4】 代数系统 〈 {0,1},∨ 〉 是否是代数系统 〈 N,+〉 的同态象？（说明理由）
解 是 。 理由如下：
作映射 f,N→{ 0,1},n∈ N,令 f（ 0） =0，
f（ n） =1（ n≠0）,则 n,m∈ N
第 5章 代数系统的基本概念当 n,m≠0时,f（ n+m） =1=1∨ 1=f（ n） ∨ f（ m）
当 n=0,m≠0时,f（ n+m） =1=0∨ 1=f（ n） ∨ f（ m）
当 n≠0,m=0时,f（ n+m） =1=1∨ 0=f（ n） ∨ f（ m）
当 n=0,m=0时,f（ n+m） =0=0∨ 0=f（ n） ∨ f（ m）
n,m∈ N,均有 f（ n+m） =f（ n） ∨ f（ m）,
故 f是 〈 N,+〉 到 〈 {0,1},∨ 〉 的同态,因为 f是满射,所以 〈 {0,1},∨ 〉 是 〈 N,+〉 的同态象 。
第 5章 代数系统的基本概念习 题 五
1.设集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},问下面定义的二元运算 *关于集合 S是否封闭？
（ 1） x*y=x-y
（ 2） x*y=x+y-xy
（ 3）
2
xyxy
第 5章 代数系统的基本概念
（ 4） x*y=2xy
（ 5） x*y=min(x,y)
（ 6） x*y=max(x,y)
（ 7） x*y=x
(8)x*y=GCD(x,y),GCD(x,y)是 x与 y的最大公约数
(9)x*y=LCM（ x,y）,LCM（ x,y） 是 x与 y的最小公倍数
(10)x*y=质数 p的个数,其中 x≤p≤y
第 5章 代数系统的基本概念
2,已知 S上运算 (满足结合律与交换律,证明：对 S
中任意元素 a,b,c,d有
（ a*b） *（ c*d） ＝ （（ d*c） *a） *b
3,设 *是集合 S上的可结合的二元运算 。 x,y∈ S，
若 x*y=y*x,则 x=y。 证明,*满足幂等律 （ 对一切 x∈ S
有 x*x=x） 。
4,S及其 S上的运算 *如下定义,问各种定义下 *运算是否满足结合律,交换律,〈 S,*〉 中是否有幺元,零元,S中哪些元素有逆元,哪些元素没有逆元?
第 5章 代数系统的基本概念
（ 1） S为 I（ 整数集 ）,x*y=x-y
（ 2） S为 I（ 整数集 ）,x*y=x+y-xy
（ 3） S为 Q（ 有理数集 ）,
（ 4） S为 N（ 自然数集 ）,x*y=2xy
（ 5） S为 N（ 自然数集 ）,x*y=max(x,y)(min(x,y))
（ 6） S为 N （ 自然数集 ）,x*y=x
2
xyxy
第 5章 代数系统的基本概念
5,下列说法正确吗？ 为什么？
（ 1） 代数系统中的幺元与零元总不相等 。
（ 2） 一代数系统中可能有三个右幺元,而只有一个左幺元 。
（ 3） 代数系统中可能有一个元素,它既是左零元,又是右幺元 。
（ 4） 幺元总有逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念
6,设 A＝ ｛ 0,1｝,S为 AA,即 S={f1,f2,f3,f4},诸 f由表
5.1给出 。
（ 1） 给出 S上函数复合运算 。 的运算表 。
（ 2） 〈 S,。 〉 是否有幺元,零元？
（ 3） 〈 S,。 〉 中哪些元素有逆元?逆元是什么？
表 5.1
第 5章 代数系统的基本概念
7,下面各集合都是 N的子集,它们能否构成代数系统 〈 N,+〉 的子代数?
（ 1） {x|x∈ N∧ x的某次幂可以被 16整除 }
（ 2） {x|x∈ N∧ x与 5互质 }
（ 3） {x|x∈ N∧ x是 30的因子 }
（ 4） {x|x∈ N∧ x是 30的倍数 }
第 5章 代数系统的基本概念
8,证明,f:R+→ R,f(x)=lb2x为代数系统 〈 R+,·〉
到 〈 R,·〉 的同态 （ 这里 R+为正实数集,R为实数集,·为数乘运算 ） 。 它是否为一同构映射？ 为什么？
9,设 f:N→{ 0,l}定义如下,
1()
0fn
当 n=2k(k是自然数 )
否则证明,f为代数系统 〈 N,·〉 到 〈 {0,1},·〉 的同态 。
它是单一同态,满同态吗？
第 5章 代数系统的基本概念
10,设 A={a,b,c}。 问代数系统 〈 {,A},∪,∩〉
和 〈 {{a,b},A},∪,∩〉 是否同构？
11,假定 f是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态,试举例说明：
（ 1） 〈 f（ S）,。 〉 的幺元 （ 零元 ）,可能不是
〈 T,。 〉 的幺元 （ 零元 ） 。
（ 2） 〈 f（ S）,。 〉 的成员的逆元,可能不是它在
〈 T,。 〉 中的逆元 。
第 5章 代数系统的基本概念
12,设 f,g都是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态,并且 *
与 。 运算均满足交换律和结合律 。 证明,如下定义的函数 N:S→ T
N(x)=f(x)。 g(x)
是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态 。
13,设 f,g分别是 〈 S,*〉 到 〈 T,。 〉 的同态和
〈 T,。 〉 到 〈 H,〉 的同态 。 证明,f。 g是 〈 S,*〉 到
〈 H,〉 的同态 。
第 5章 代数系统的基本概念
14．设 f是 〈 R,+〉 到 〈 R,·〉 的映射（这里 R为实数集,+为普通加法运算,·为数乘运算），
且 。问 f是否同态？如果是，请写出同态象和同态核。
2:,ixf x e x R
