第 6章 几个典型的代数系统第 6章 几个典型的代数系统
6.1 半群与群
6.2 子群
6.3 循环群和置换群
6.4 陪集与拉格朗日定理
6.5 正规子群、商群和同态基本定理
6.6 环和域
6.7 例题选解习 题 六第 6章 几个典型的代数系统
6.1 半群与群半群与群都是具有一个二元运算的代数系统,群是半群的特殊例子 。 事实上,群是历史上最早研究的代数系统,它比半群复杂一些,而半群概念是在群的理论发展之后才引进的 。 逻辑关系见图 6.1.1。
第 6章 几个典型的代数系统图 6.1.1
群半群第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.1 设 〈 S,*〉 是代数系统,*是二元运算,
如果 *运算满足结合律,则称它为半群 （ semigroups） 。
换言之,x,y,z∈ S,若 *是 S上的封闭运算且满足
(x*y） *z=x*（ y*z）,则 〈 S,*〉 是半群 。
许多代数系统都是半群。例如,〈 N,+〉,
〈 Z,×〉,〈 P(S),,〈 SS,（ SS={f|f:S→ S},是复合运算）均是半群。但 〈 Z,-〉 不是半群。
第 6章 几个典型的代数系统再如，设 Σ是有限字母表,Σ+是 Σ中的字母串
Σ*={λ}∪ Σ+，其中 λ是不含字母的空串，运算 τ是字母串的,连接,运算，则 〈 Σ*,τ〉 是半群。如
Com∈ Σ*,puter∈ Σ*,经 τ运算后，得 Computer仍是字母串。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.1】
|,,0 )00abS a b R a
,则 〈 S,·〉 是半群。这里 ·代表普通的矩阵乘法运算。
证明 对任意的
1 1 2 2,
0 0 0 0
a b a bSS
因为
1 1 2 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
a b a b a a b b
且 a1a2≠0,所以
1 2 1 2
00
a a b b S
,因此 ·运算封闭。
·
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.2】
|,,0 }00abS a b R a
,则 〈 S,+〉 不是半群。这里 +代表普通的矩阵加法运算。
证明 对任意的
1 1 2 2,
0 0 0 0
a b a bSS
取 a2=-a1,则
1 1 2 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
a b a b a a b b
且 a1+a2=0，所以
1 2 1 2
00
a a b b
S
因此 *运算不封闭。
所以 〈 S,+〉 不是半群。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.3】
{ |,,}0abS a b c Rc
,则 〈 S,·〉 不是半群 。 这里 ·代表普通的矩阵乘法运算 。
证明 取
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1,,,
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1SS
则所以 21
11 S
,因此 *运算不封闭 。
所以 〈 S,·〉 不是半群 。
第 6章 几个典型的代数系统对于半群中的元素,我们有一种简便的记法 。
设半群 〈 S,*〉 中元素 a（ 简记为 a∈ S） 的 n次幂记为 an,递归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈ Z+
即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来 。
因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明
am*an=amn,(am)
n=amn。
普通乘法的幂,关系的幂,矩阵乘法的幂等具体的代数系统都满足这个幂运算规则 。 如果有 a2=a,则称 a为半群中的幂等元 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.1 若 〈 S,*〉 是半群,S是有限集合,则 S中必含有幂等元 。
证明 因为 〈 S,*〉 是半群,a∈ S,有 a2,a3,…,∈ S。
因为 S是有限集合,所以必定存在 j＞ i,使得 ai=aj。
令 p=j-i,便有 ai=aj=ap*ai,所以 aq=ap*aq(q≥i)。
因为 p≥1,所以可找到 k≥1,使得 kp≥i
akp=ap*akp=ap*(ap*akp)
=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=…=akp*akp
即在 S中存在元素 b=akp,使得 b*b=b。
第 6章 几个典型的代数系统下面介绍一些特殊半群 。
定义 6.1.2 如果半群 〈 S,*〉 中二元运算 *是可交换的，则称 〈 S,*〉 是可交换半群 (commutative
semigroups)。如 〈 Z,+〉,〈 Z,×〉,〈 P(S),均是可交换半群。但 〈 SS,,〈 Σ*,τ〉 不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于 *运算的幺元的半群 〈 S,*〉,
称它为独异点（ monoid），或含幺半群，常记为
〈 S,*,e〉 (e是幺元 )。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.4】
〈 Z,+〉 是独异点,幺元是 0,〈 Z,+,0〉 ;
〈 Z,× 〉 是独异点,幺元是 1,〈 Z,×,1〉 ；
〈 P(S),〉 是独异点,,〈 P(S),,〉 ；
〈 Σ*,τ〉 是独异点,幺元是 λ(空串 ),〈 Σ*,τ,λ〉 ；
〈 SS,〉 是独异点,幺元是 IA,〈 SS,,IA〉 ；
但 〈 ZE,× 〉 不是独异点,因为无幺元,（ 1 ZE,ZE：
偶数集 ） 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.4
(1)设 〈 S,*〉 为一半群,若 T S,*在 T中封闭,则
〈 T,*〉 称为子半群 。
（ 2） 设 〈 S,*〉 为一独异点,若 T S,*在 T中封闭,
且幺元 e∈ T,则 〈 T,*,e〉 称为子独异点 。
我们前面提过,对于有穷集合的二元运算,可用运算表来给出 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.2 一个有限独异点,〈 S,*,e〉 的运算表中不会有任何两行或两列元素相同 。
证明 设 S中关于运算 *的幺元是 e。 因为对于任意的
a,b∈ S且 a≠b时,总有
e*a=a≠b=e*b和 a*e=a≠b=b*e。 所以,在 *的运算表中不可能有两行或两列是相同的 。
该定理容易理解,因为幺元所在的行,列均与表头相同,所以不会出现两行 （ 列 ） 元素完全相同的情况 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.5】 S={a,b,c},*运算的定义如表 6.1.1所示,
判断 〈 S,*〉 的代数结构？
解
（ 1） *是 S上的二元运算,因为 *运算关于 S集合封闭 。
（ 2） 从运算表中可看出 a,b,c均为左幺元
（ 3） x,y,z∈ S,有
x*(y*z)=x*z=z
(x*y)*z=x*z=z
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.1
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.6】 〈 Z4,+4〉,Z4={［ 0］，［ 1］，［ 2］，
［ 3］ }=Z/R(R是 Z上的模 4同余关系 ),Z4上运算 +4，定
m］，［ n］ ∈ Z4，
［ m］ +4［ n］ =［ (m+n)(mod4)］，它由表 6.1.2给出。判断 〈 Z4,+4〉 的代数结构。
第 6章 几个典型的代数系统解
（ 1） +4运算显然封闭 。
（ 2） 由 +4的定义可知 +4可结合 。
（ 3） 从运算表中可知 ［ 0］ 是幺元,所以 〈 Z4,+4〉
是独异点 。 但在该表中没有任意两行 （ 列 ） 元素完全相同 。
半群及独异点的下列性质是明显的。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.2
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.3 设 〈 S,*〉,〈 T,。 〉 是半群,f为 S到 T的同态,这时称 f为半群同态 。 对半群同态有
（ 1） 同态象 〈 f(S),〉 为一半群 。
（ 2） 当 〈 S,*〉 为独异点时,则 〈 f(S),。 〉 为一独异点 。
利用上一章的知识立刻可以得到这些结论 。
独异点中含有幺元 。 前面曾提到,对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元,并不是每个元素均有逆元的,这一点引出了一个特殊的独异点 —— 群 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.5 如果代数系统 〈 G,*〉 满足
（ 1） 〈 G,*〉 为一半群；
（ 2） 〈 G,*〉 中有幺元 e；
（ 3） 〈 G,*〉 中每一元素 x∈ G都有逆元 x-1，
则称代数系统 〈 G,*〉 为群 （ groups） 。 或者说,
群是每个元素都可逆的独异点 。 群的基集常用字母 G表示,因而字母 G也常用于表示群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.7】
（ 1） 〈 Z,+〉 （ 整数集与数加运算 ） 为一群 （ 加群 ）,数 0为其幺元 。 〈 Z,× 〉 不是群 。 因为除幺元 1外所有整数都没有逆元 。
（ 2） 〈 N4,＋ 4〉 为一 4阶群,数 0为其么元 。
（ 3） A≠,〈 P(A),∪ 〉 是半群,,非空集合无逆元,所以不是群 。
(4)A≠,〈 P(A),∩〉 是半群,幺元为 A,非空集合无逆元,所以不是群 。
第 6章 几个典型的代数系统
(5)A≠,〈 P(A),〉,S∈ P(A),S的逆元是 S,所以是群 。
(6)〈 Q+,·〉 （ 正有理数与数乘 ） 为一群,1为其么元 。 〈 Q,·〉 不是群,因为数 0无逆元 。
因为零元无逆元,所以含有零元的代数系统就不会是群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.8】 设 g={a,b,c,d},*为 G上的二元运算,它由表 6.1.3给出,不难证明 G是一个群 。 且 e是 G中的幺元；
G中任何元素的逆元就是它自己,在 a,b,c三个元素中,
任何两个元素运算的结果都等于另一个元素,这个群称为 klein四元群 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.3
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.9】 设 〈 G,*〉 是一个独异点,并且每个元素都有右逆元,证明 〈 G,*〉 为群 。
证明 设 e是 〈 G,*〉 中的幺元。每个元素都有右逆
x∈ G y∈ G使得 x*y=e，而对于此 y
z∈ G使得 y*z=e x∈ G均有 x*e=e*x=e，因此
z=e*z=x*y*z=x*e=x
即
x*y=e=y*z=y*x=e
第 6章 几个典型的代数系统
y既是 x的右逆元,又是 x的左逆元,x∈ G均有逆元,〈 G,*〉 为群 。 对群 〈 G,*〉 的任意元素 a,我们可以同半群一样来定义它的幂,a0=e,对任何正整数 n，
an+1=an*a,群的幂运算有下列性质：
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.4 对群 〈 G,*〉 的任意元素 a,b,有
（ 1） (a-1)-1＝ a
（ 2） (a*b)-1＝ b-1*a-1
（ 3） (an)-1=(a-1)n（ 记为 a-n） （ n为整数 ）
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1） 因为 a-1的逆元是 a,即 a*a-1=a-1*a=e,所以
(a-1)-1＝ a。
（ 2） 因为
(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e
(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e
所以 a*b的逆元为 b-1*a-1,即 (a*b)-1＝ b-1*a-1。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3）对 n进行归纳。群首先是独异点，所以
a n+1=an*a。 n=1时命题显然真。设 n=k时 (a-1)k是 ak的逆元为真,即 (ak)-1=(a-1)k，那么
ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k
＝ ak*(a-1)k=e
(a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak
＝ (a-1)k*ak=e
故 ak+1的逆元为 (a-1)k+1,即 (ak+1)-1=(a-1)k+1。 归纳完成,得证 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.5 对群 〈 G,*〉 的任意元素 a,b,及任何整数 m,n,有
（ 1） am*an=am+n
（ 2） (am） n=amn
证明留给读者 。
群的下列性质是明显的 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.6 设 〈 G,*〉 为群,则
（ 1） G有唯一的幺元,G的每个元素恰有一个逆元 。
（ 2） 方程 a*x＝ b,y*a＝ b都有解且有唯一解 。
（ 3） 当 G≠{e}时,G无零元 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1） 结论是十分明显的 。
(2)先证 a-1*b是方程 a*x＝ b的解 。 将 a-1*b代入方程左边的 x,得
a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b
所以 a-1*b是该方程的解 。 下面证明唯一性 。
假设 c是方程 a*x＝ b的解,必有 a*c=b,从而有
c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b
唯一性得证 。 同理可证 b-1*a是方程 y*a＝ b的唯一解 。
（ 3） 若 G有零元,那么由定理 5.1.5知它没有逆元,与 G
为群矛盾 。 （ 注意,G={e}时,e既是幺元,又是零元 。 ）
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.7 设 〈 G,*〉 为群,则 G的所有元素都是可约的 。 因此,群中适合消去律,即对任意 a,x,y∈ S
a*x=a*y 蕴涵 x=y
x*a=y*a 蕴涵 x=y
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.6 设 G为有限集合时，称 G为有限群
（ finitegroup）,此时 G的元素个数也称 G的阶数
（ order）；否则，称 G为无限群（ infinitegroup）。
由定理 6.1.7可知,特别地,当 G为有限群时,*运算的运算表的每一行 （ 列 ） 都是 G中元素的一个全排列 。
对于有限群,运算可用表给出,称为群表 。 从而有限群
〈 G,*〉 的运算表中没有一行 （ 列 ） 上有两个元素是相同的 。 因此,当 G分别为 1,2,3阶群时,*运算都只有一个定义方式 (即不计元素记号的不同,只有一张定义
*运算的运算表,分别如表 6.1.4,6.1.5和 6.1.6所示 ),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.4
* e
e e
表 6.1.5
* e a
e
a
e a
a e
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.6
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.10】 设 〈 G,*〉 为有限独异点,适合消去律,
证明 〈 G,*〉 为群 。
证明 设 e是 〈 G,*〉 中的幺元 。 由 〈 G,*〉 适合消去律,a,b,c∈ G均有
a*b=a*c b=c
b*a=c*a b=c
又由于 〈 G,*〉 为有限独异点,a∈ G，
n∈ I+使得
an=e a*an-1=e=an-1*a
a∈ G,an-1∈ G是 a的逆元,故 〈 G,*〉 为群 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.8 设 〈 G,*〉 为群,则幺元是 G的唯一的幂等元素 。
证明 设 G中有幂等元 x，那么 x*x=x，又 x=x*e，所以 x*x=x*e。
由定理 6.1.7得 x=e。 故得证 。
设 〈 G,*〉 为群,如果我们用 aG和 Ga分别表示下列集合
aG={a*g|g∈ G} Ga={g*a|g∈ G}
那么我们有以下定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.9 设 〈 G,*〉 为一群,a为 G中任意元素,
那么 aG=G=Ga。
特别地,当 G为有限群时,*运算的运算表的每一行 （ 列 ） 都是 G中元素的一个全排列 。
证明 aG G是显然的 。
设 g∈ G,那么 a-1*g∈ G,从而 a*(a-1*g)∈ aG，
即 g aG。 因此 G Ga。 aG=G得证 。 Ga=G同理可证 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.11】 设 g={a,b,c,d},*为 G上的二元运算,
它由表 6.1.7给出,不难证明 G是一个群,且 e是 G中的幺元； G中元素 b的逆元就是它自己,a与 c互逆 。 在 a,b,c
三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素,这是除了 klein四元群外的另一个四阶群 。 对群还可以引入元素的阶的概念 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.7
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.7 设 〈 G,*〉 为群,a∈ G，满足等式 an=e
的最小正整数 n称为 a的阶 (order)，记作 |a|=n。若不存在这样的正整数 n,称 a是无限阶。
【 例 6.1.12】
(1)任何群 G的幺元 e的阶为 1,且只有幺元 e的阶为 1。
(2)〈 Z,+〉 中幺元 0的阶为 1,而整数 a=10时,a有无限阶 。
(3)〈 Z4,+4〉 中 ［ 1］ 的阶是 4,［ 2］ 的阶是 2,［ 3］
的阶是 4。
关于元素的阶有以下性质 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.10 有限群 G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群 G的阶数 |G|。
证明 设 a为 G的任一元素,考虑 e=a0,a1,a2,…,a|G|这
|G|+1个 G中元素,由于 G中只有 |G|个元素,由鸽巢原理,
它们中至少有两个是同一元素,不妨设
as=at 0≤s＜ t≤|G|
于是 at-s=e,因此 a有有限阶,且其阶数至多是 t-s,不超过群 G的阶数 |G|。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.11 设 〈 G,*〉 为群,G中元素 a的阶为 r,那么,an=e当且仅当 r整除 n。
证明 先证充分性 。
设 ar＝ e,r整除 n,那么设 n=kr（ k为整数 ）,因为
ar＝ e,所以 an=akr=(ar)k=er=e。 再证必要性 。
设 an＝ e,n=mr＋ k,其中 m为 n除以 r的商,k为余数,因此 0≤k＜ r。 于是
e＝ an＝ amr+k＝ amr*ak＝ ak
因此,由 r的最小性得 k=0,r整除 n。
第 6章 几个典型的代数系统理 6.1.12 设 〈 G,*〉 为群,a为 G中任一元素,那么 |a|=|a-1|。
证明 设 a的阶为 n,由 (a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知 a-1的阶是存在的。只要证 a具有阶 n当且仅当 a-1具有阶 n。由于逆元是相互的，即 (a-1)-1＝ a，因此只需证：当 a具有阶
n时,a-1也具有阶 n。
设 a的阶是 n,a-1的阶是 t。 由于
(a-1)n＝ (an)-1＝ e-1＝ e,故 t≤n。 又因为
at＝ ((a-1)t)-1＝ e-1＝ e,故 n≤t。 因此,
n＝ t,即 |a|=|a-1|。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.13】 设 G是 n阶有限群,证明：
（ 1） G中阶大于 2的元素个数一定是偶数；
（ 2） 若 n是偶数,则 G中阶等于 2的元素个数一定是奇数 。
证明
（ 1）设 A={x|x∈ G,x的阶大于 2} a∈ A，
a-1≠a，否则 a2=e与 a∈ A矛盾。
因为 a与 a-1的阶相同,且 a-1相对于 a是唯一的,所
a∈ A,a-1与 a成对出现,故 G中阶大于 2的元素个数一定是偶数 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2）当 n是偶数时，因为 G中阶大于 2的元素个数一定是偶数，所以 G中阶小于等于 2的元素个数是偶数，
由于阶为 1的元素是唯一的幺元 e，因此 G中阶等于 2的元素一定是奇数。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.8 设 〈 G,*〉 为一群。若 *运算满足交换律，则称 G为交换群或阿贝尔群（ Abelgroup）。阿贝尔群又称加群，常表示为 〈 G,+〉 （这里的 +不是数加，而泛指可交换二元运算,*常被称为乘）。加群的幺元常用 0来表示，常用 -x来表示 x的逆元。
如 〈 I,+〉 （整数集与数加运算）为一阿贝尔群
（加群）。 〈 Q,+〉,〈 R,+〉〈 C,+〉 均为交换群。
〈 Q+,·〉 （正有理数与数乘）为一阿贝尔群,1为其幺元。 〈 N4,＋ 4〉 为一 4阶阿贝尔群。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.13 设 〈 G,*〉 为一个群,〈 G,*〉 为阿贝尔群的充分必要条件是对任意 x,y∈ G,有（ x*y）
*(x*y)=(x*x)*(y*y)。
证明 先证必要性 。
设 〈 G,*〉 为阿贝尔群,这对于任意的 x,y∈ G，
有 （ x*y） =(y*x),所以
(x*x)*(y*y)=x*（ x*y)*y=x*（ y*x)*y=（ x*y） *(x*y)
再证充分性 。
第 6章 几个典型的代数系统设对于任意的 x,y∈ G,有
（ x*y） *(x*y)=(x*x)*(y*y)。 因为
x*（ x*y)*y=(x*x)*(y*y)=（ x*y） *(x*y)=x*（ y*x)*y
由消去律可得
（ x*y） =(y*x)
所以 〈 G,*〉 为阿贝尔群。
第 6章 几个典型的代数系统
6.2 子 群定义 6.2.1 设 〈 G,*〉 为群,H≠,如果 〈 H,*〉
为 G的子代数，且 〈 H,*〉 为一群，则称 〈 H,*〉 为
G的子群 (subgroups)，记作 H≤G。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.2.1】 〈 Z,+〉 是 〈 Q,+〉 的子群； 〈 Q,+〉 是 〈 R,+〉
的子群； 〈 R,+〉 是 〈 C,+〉 的子群 。
【 例 6.2.2】 E I,E为偶数集。那么 〈 E,+〉 为 〈 I,+〉 的子群； M I,M为奇数集,但 〈 M,+〉 不是 〈 I,+〉 的子群。
显然,对任何群 G,〈 {e},*〉 及 〈 G,*〉 均为其子群,
它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群 。
第 6章 几个典型的代数系统子群有下列特性定理 6.2.1 设 〈 G,*〉 为群,那么 〈 H,*〉 为
〈 G,*〉 的子群的充分必要条件是
（ 1） G的幺元 e∈ H。
（ 2） 若 a,b∈ H,则 a*b∈ H。
（ 3） 若 a∈ H,则 a-1∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统证明 先证必要性 。 设 H为子群 。
（ 1）设 〈 H,*〉 的幺元为 e′,对于任意 x∈ S G,那么 e′*x=x=e*x。由于在 G中满足消去律,故 e′=e,e∈ H得证。
（ 2） 是显然的 （ 因 H为子代数 ） 。
（ 3） 设 〈 H,*〉 中任一元素 a在 H中逆元为 b,那么
a*b=b*a=e,因为 H∈ G,所以 a,b∈ G由逆元的唯一性,b就是 a在 G中的逆元,即 b=a-1∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统充分性是明显的 。 事实上只要条件 （ 2）,（ 3）
便可使 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群,因为 H不空时条件
（ 2）,（ 3） 蕴涵条件 （ 1）,因此,可用 （ 2）,（ 3）
来判别非空子集 H是否构成 G的子群 〈 H,*〉 。
对于有限群,子群的判别更为简单 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.2.2 设 〈 G,*〉 为群,H为 G的非空有限子集，
且 H对 *运算封闭,那么 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群。
证明 由于 H为有限集,设 |H|=k,a∈ H。 考虑
a1,a2,…,ak+1,…
它们都在 H中 (H对 *运算封闭 ),由鸽巢原理,因此必定有 ai=aj(0≤i＜ j≤k+1),从而 aj-i=e,故 e∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统若 H={e},〈 H,*〉 为 G的子群得证 。
若 H≠{e},设 a为 H中任意一个不同于 e的元素 。 同上可证,有 r≥2使 ar=e,从而有
ar=a*ar-1=ar-1*a=e
因此,a-1=ar-1∈ H。
据定理 6.2.1,〈 H,*〉 为 G的子群得证。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.2.3 设 〈 G,*〉 为群,H是 G的非空子集，
那么 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉
a,b∈ H有 a*b-1∈ H。
证明 先证必要性 。
任取 a,b∈ H,由于 H是 G的子群,必有 b-1∈ H,所以
a*b-1∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统再证充分性 。
因为 H非空,必存在 a∈ H(取 b=a),由已知条件有
a*a-1∈ H,即 e∈ H。
任取 a∈ H,由 e,a∈ H有 e*a-1∈ H,即 a-1∈ H。
任取 a,b∈ H,则 b-1∈ H,由已知条件有 a*(b-1)-1∈ H，
即 ab∈ H。
据定理 6.2.1,〈 H,*〉 为 G的子群得证 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.2.3】 Klein四元群,〈 {e},*〉,〈 {e,a},*〉,
〈 {e,b},*〉,〈 {e,c},*〉 均是其子群 。
【 例 6.2.4】 设 G为群,a∈ G,令 H={ak|k∈ Z},即 a的所有的幂构成的集合，则 H是 G的子群，称为由 a生成的子群，记作 〈 a〉 。 a称为生成元 (generater)。
证明 因为 a∈ 〈 a〉,所以 〈 a〉 ≠ 。任取
am,a1∈ 〈 a〉,有
am(a1)-1=ama-1=am-l∈ 〈 a〉
由定理 6.2.3可知 〈 a〉 ≤G。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.2.5】 〈 Z,+〉 除 〈 0〉 ={0}外,子群都是无限阶 。
〈 1〉 ={0,1,-1,2,-2,…}=Z,称 1是 Z的生成元 。
〈 2〉 ={0,2,-2,4,-4,…}={2 k|k∈ Z}=2Z
【 例 6.2.6】 设 〈 G,*〉 是群,对任一个 a∈ G,令 C是与 G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即
C={y|y*a=a*y,y∈ G}
则 〈 C,*〉 是 G的子群,称为 G的中心 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 由 e与 G中所有元素可交换可知 e∈ C。 C是 G
的非空子集 。
由 y*a=a*y可得 y=a*y*a-1,x,y∈ C,因为
x*y-1=（ a*x*a-1） *（ a*y-1*a-1） =a*x*y-1*a-1
因此 x*y-1*a=a*x*y-1
所以 x*y-1∈ H,故 〈 C,*〉 是 G的子群 。
第 6章 几个典型的代数系统
6.3 循环群和置换群在这一节里我们要介绍两种重要的群 ——循环群和置换群 。
定义 6.3.1 如果 G为群,且 G中存在元素 a,使 G以 a为生成元,称 〈 G,*〉 为循环群 (cyclicgroup),即 G的任何元素都可表示为 a的幂 （ 约定 e=a0） 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.1】
（ 1） 〈 Z,+〉 为循环群,1或 （ － l） 为其生成元 。
（ 2） 令 A={2i|i∈ I},那么 〈 A,·〉 (·为普通的数乘 )
是循环群,2是生成元 。
（ 3） 〈 Z8,+8〉 为循环群,1,3都可以是生成元 。
（ 4）
1 |,
01 nz
n
·〉 (·为矩阵乘法 ),幺元为 10
01
因为 1 1 1
0 1 0 1 0 1
n m m n
,所以逆元为
111
0 1 0 1
nn
，生成元为 10
01
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.1 设 〈 G,*〉 为循环群,a为生成元,则 G
为阿贝尔群 。
证明 对于任意的 x,y∈ G,必有 s,t∈ Z使得 x=as,y=at，
所以
x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*x
所以,〈 G,*〉 为阿贝尔群 。
定理 6.3.2 G为由 a生成的有限循环群,则有
G={e,a,a2,…,an-1}
其中 n=|G|,也是 a的阶,从而 n阶循环群必同构于
〈 Zn,＋ n〉 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 由于 G为有限群,a有有限阶,设为 k,k≤|G|=n。
易证 {e,a,a2,…,ak-1}为 G的子群 （ 只要证其每一元素
ai有逆元 ak-i） 。 现证
G {e,a,a2,…,ak-1}
从而知 n=k,G={e,a,a2,…,an-1}。
第 6章 几个典型的代数系统设有 am∈ G，但 am {e,a,a2,…,ak-1}。令
m=pk+q，其中 p为 k除 m的商,q为余数,0≤q＜ k，于是
am=apk+q=apk*aq=aq
这就是说 aq {e,a,a2,…,ak-1},0≤q＜ k,产生矛盾 。 因此 G={e,a,a2,…,ak-1},命题得证 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.3 设 〈 G,*〉 为无限循环群且 G=〈 a〉,
则 G只有两个生成元 a和 a-1,且 〈 G,*〉 同构于 〈 Z,+〉 。
证明 首先证明 a-1是其生成元,因为
〈 a-1〉 G,须证 G 〈 a-1〉,设 ak∈ G,因为
ak=（ a-1） -k,G=〈 a-1〉 。
第 6章 几个典型的代数系统再证明 G只有两个生成元 a和 a-1。 假设 b是 G的生成元,则 G=〈 b〉,由 a∈ G可知存在整数 s使得 a=bs,又由
b∈ G可知存在整数 t使得 b=at,有
a=bs=(at)s=ats
由消去律得
a ts-1=e
因为 〈 G,*〉 为无限循环群,所以 ts-1=0,从而有
t=s=1或 t=s=-1。 因此 b=a或 b=a-1。
第 6章 几个典型的代数系统上面定理 6.3.2和定理 6.3.3告诉我们,循环群本质上只有两种,一种同构于 〈 Z,+〉,另一种同构于
〈 Zn,+〉,弄清了 〈 Z,+〉 与 〈 Zn,+〉,也就弄清了所有无限的和有限的循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.4 循环群的子群都是循环群 。
证明 设 〈 G,*〉 为 a生成的循环群,〈 H,*〉 为其子群 。 当然,H中元素均可表示为 ar形 。
（ 1） 若 H＝ {e}=〈 e〉,显然 H为循环群 。
（ 2） 若 H≠{e},那么 H中有 ak(k≠0)。 由于 H为子群,
H中必还有 a-k,因此,不失一般性,可设 k为正整数,
并且它是 H中元素的最小正整数指数 。 现证 H为 ak生成的循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统设 am为 H中任一元素,令 m＝ pk+q,其中 p为 k除 m
的商,q为余数,0≤q＜ k。 于是
am=apk+q＝ apk*aq
aq=a-pk*am
由于 am,a-pk∈ H（ 因 apk∈ H）,故 aq∈ H,根据 k的最小性,q＝ 0,从而 am=gpk=(ak)p,H为循环群得证 。 根据上述定理,立即可以推得以下定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.5 设 〈 G,*〉 为 a生成的循环群 。
（ 1） 若 G为无限群,则 G有无限多个子群,它们分别由 a0,a1,a2,a3,…生成 。
（ 2）若 G为有限群,|G|＝ n，且 n有因子 k1,k2,k3,…,kr，
那么 G有 r个循环子群，它们分别由 ak1,ak2,ak3,… 生成。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.2】 〈 Z,＋ 〉 有循环子群：
〈 {0},＋ 〉,〈 2Z,＋ 〉,〈 3Z,＋ 〉,
〈 4Z,＋ 〉,…,〈 Z,＋ 〉
下面考虑置换群 。
定义 6.3.2 任意集合 A上的双射函数称为变换 。 对任意集合 A定义集合 G,即 A≠,G={f|f是 A上的变换 },。
为函数的复合运算,〈 G,。 〉 是群,称为 A的全变换群,
记作 SA,SA的子群称为 A的变换群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.3】 平面上全体平移组成一个变换群 。
解 设 σ1,α→ α+β1（ 一个双射函数 ）,
σ2,α→ α+β2,则 σ2。 σ1,α→ α+（ β1+β2）,。 封闭 。
σe,α→ α是幺元 。 σ1的逆元为 σ-11,α→ α-β1。
面上全体平移组成一个变换群 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.6 每个群均同构于一个变换群 。
证明 设 〈 G,*〉 为任一群,对 G中每一元素 a,定义双射函数 fa,G→ G如下,
fa（ x） ＝ a*x
显然 fa为双射,令
F={fa|a∈ G}
第 6章 几个典型的代数系统下证 〈 F,。 〉 为群 （ 。 为函数复合运算 ） 。
（ 1） F对 。 运算封闭 。
设 fa∈ F,fb∈ F,那么 a∈ G,b∈ G。 考虑 fa。 fb：对任意 x∈ G,有
fa。 fb（ x） ＝ fa(fb(x))＝ a*b*x＝ fa≠b（ x）
即 fa。 fb＝ fa≠b。 由于 a*b∈ G,fa≠b∈ F,故 fa。 fb∈ F。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2） 。 运算显然满足结合律 。
（ 3） 。 运算有幺元 fe∈ F。 e为群 G的幺元 。
（ 4） F中每一元素 fa均有逆元 fa-1。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.4】 设 A={1,2,3},A上有 6个置换：
1 2 3
4 5 6
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 1 3 3 2 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 2 3 1 3 1 2
一般地,A={a1,a2,…,an}时,A上有 n!个置换 。
置换 σ满足 σ(ai)＝ aji时,可表示为
12
12
n
j j j n
a a a
a a a
第 6章 几个典型的代数系统置换的合成运算通常用记号 。 表示之,对置换的独特表示形式计算它们的合成时,可像计算两个关系的合成那样来进行 。 例如：
53
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 2 1 2 1 3
因此,应当注意
(σi。 σj)(x)=σj(σi(x))
第 6章 几个典型的代数系统对于置换的复合运算而言,A上的全体置换中有幺元 ——恒等函数,又称幺置换,且每一置换都有逆置换,
因此置换全体构成一个群 。
定义 6.3.4 将 n个元素的集合 A上的置换全体记为 Sn，
那么称群 〈 Sn,。 〉 为 n次对称群 （ symmetricgroup）,
它的子群又称为 n次置换群 （ permutationgroup） 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.5】 令 A={1,2,3,4},S4=｛ σ|σ为 A上置换 ｝,
因此,〈 S4,。 〉 为四次对称群 。
解
01
23
45
67
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 2 3 4 1
1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 1 2 4 1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
4 3 2 1 2 1 4 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 4 3 2 3 2 1 4
第 6章 几个典型的代数系统表 6.3.1
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.3.5 设 σ是 S={1,2,…,n}上的 n元置换。若
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1且保持 S中的其它元素不变，则称 σ为 S上的 k阶轮换，记作（ i1,i2,…,ik）。若
k=2,这时也称 σ为 S上的对换。
下面介绍置换的轮换表示。 设置换为
1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 5 4 7 2 1 8
其轮换表示为
σ=（ 1357）（ 26）（ 4）（ 8
第 6章 几个典型的代数系统轮换有下面性质：
(1)每个置换均可写成一些轮换的乘积,使得不同轮换中没有公共元素 。 例如,
1 2 3 4 5 6 7 ( 1 ) ( 2 3 ) ( 4 5 6 ) ( 7)
1 3 2 5 6 4 7
长度为 1的轮换往往忽略不写,即上式通常记为
（ 23） （ 456） 。
(2)同一置换中任何不相交轮换可交换,因为不同轮换中没有公共元素,这些轮换的次序可任意改变 。 如上式 （ 23） （ 456） =（ 456） （ 23） 。
第 6章 几个典型的代数系统
(3)如果不计这种次序,每个置换可唯一表成没有公共元素的一些轮换之积 。
(4)每个轮换可表成一些对换之积 。 例如 （ 1,2，
3,…,n） =(1n)(1n-1)…(13)(12),所以每个置换中可表成有限个对换之积 。 这种表达式 （ 甚至对换的个数 ） 显然不唯一 。 但是,同一个置换以多种方式表成对换之积时,其所含对换个数的奇偶性是不变的 。 表成奇
（ 偶 ） 数个对换之积的置换叫做奇 （ 偶 ） 置换 。 显然,
两个奇置换或两个偶置换之积是偶置换,一个奇置换与一个偶置换之积是奇置换 。
第 6章 几个典型的代数系统
6.4 陪集与拉格朗日定理定义 6.4.1 设 〈 G,*〉 为群,A,B G,且 A,B非空，则
AB={a*ba∈ A,b∈ B}称为 A,B的乘积。
【 例 6.4.1】 设 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},
A={(1),(12)},B={(123),(13)},求 AB,BA。
解 AB={（ 123），（ 13），（ 12）（ 123），（ 12）
（ 13） }={（ 123），（ 13） }
第 6章 几个典型的代数系统
BA={（ 123）,（ 13）,（ 123） (12）,（ 13）
（ 12） }={（ 123）,（ 13）,(23),(132)}
一般地,|AB|≠|A||B|,当 G可交换,则 AB=BA。 当
A={a}时,{a}B=aB。 乘积的性质：设 〈 G,*〉 为群,
A,B,C G,且 A,B,C非空,则?
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1）（ AB） C=A(BC)（因为群中所有元素都满足结合律）。
（ 2） eA=Ae=A（因为群中所有元素乘一幺元都等于元素本身）。
定义 6.4.2 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群，那么对任一 g∈ G，称 gH为 H的左陪集 (leftcoset)称 Hg为 H的右陪集 (rightcoset)。这里
gH={g*h|h∈ H},Hg={h*g|h∈ H}
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.4.2】 在 S3中,H={(1),(12)},则
(13） H={(13)(1),(13)(12)}={(13),(132)}
(123)H={(123)(1),(123)(12)}={(123),(23)}
关于左 （ 右 ） 陪集我们有以下定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.1 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群,那么
（ 1） 对任意 g∈ G,|gH|=|H|（ |Hg|=|H|） 。
（ 2） 当 g∈ H时,gH=H（ Hg=H） 。
证明 （ 1） 只要证 H与 gH之间存在双射即可 。
定义函数 f:H→ gH如下,对任何一 h∈ H,有
f（ h） =g*h
第 6章 几个典型的代数系统设 h1≠h2，则 f（ h1） =g*h1,f（ h2） =g*h2，若
f（ h1） =f（ h2），那么由消去律即得 h1=h2，与
h1≠h2矛盾。
f为单射得证。 f为满射是显然的。因此 f为双射。
|gH|=|H|得证。同理可证 |Hg|=|H|。所以一个元素乘以集合使该集合的基数保持不变。
（ 2） 由定理 6.1.9立即可得 。
第 6章 几个典型的代数系统下面几个定理讨论陪集的性质 。
定理 6.4.2 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群,有
（ 1） a∈ aH。
（ 2） 若 b∈ aH,则 bH=aH。
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1）因为 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群，所以 G中的幺元 e一定在子群 H中,所以 a=a*e∈ aH,因此 a∈ aH，
得证。
(2)若 b∈ aH,则存在 h∈ H,使 b=ah,bH=(ah)H=a(hH),
由定理 6.4.1之 （ 2） 可知 hH=H,因此 bH=a(hH)=aH。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.3 任意两陪集或相同或不相交。即设
〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 a,b∈ G，则或者
aH=bH（ Ha=Hb），或者 aH∩bH= （ Ha∩Hb= ）。
证明 我们用否定一个推出另一个的方法 。 只需证明若相交则相同 。
设 aH∩bH≠,那么有 c∈ aH∩bH,因此存在
h1,h2∈ H使得 a*h1=b*h2。 于是 a＝ b*h2*h-11。
第 6章 几个典型的代数系统为证 aH bH，设 x∈ aH，那么有 h3∈ H，使得
x=a*h3=b*(h2*h-11*h3)∈ bH。 aH bH得证。
同理可证 bH aH。 于是 aH=bH得证 。 对于右陪集
Ha,Hb,同上可证平行的命题 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.4 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群，
a,b∈ G有 a,b属于 H a-1*b∈ H。
证明 设 a,b属于 H的同一左陪集,则有 g∈ G,使
a,b∈ gH,因而有 h1,h2∈ H,使得 a=g*h1,b＝ g*h2。
于是
a-1*b=(g*h1)-1*(g*h2)=h-11*h2∈ H
反之,设 a-1*b∈ H,即有 h∈ H 使 a-1*b=h 。 因而
b=a*h∈ aH。 而 a∈ aH显然,故 a,b在同一左陪集 aH中 。
利用陪集还可定义陪集等价关系 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.5 设 〈 H,*〉 为群 〈 G,*〉 的子群,则
R={〈 a,b〉 |a,b∈ G,a-1*b∈ H}是 G上的一个等价关系，
且［ a］ R=aH，称 R为群 G上 H的左陪集等价关系。
证明 首先证明 R是一个等价关系 。
（ 1 ） a∈ G,a-1∈ G,有 a-1*a=e∈ H,所以 〈 a,a〉
∈ R,因此 R是自反的 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2）若 〈 a,b〉 ∈ R,有 a-1*b∈ H，（ a-1*b） -1=
b-1*a,因为 H群 G的子群，所以（ a-1*b） -1∈ H，即
b-1*a∈ R,所以 〈 b,a〉 ∈ R,因此 R是对称的。
（ 3）若 〈 a,b〉,〈 b,c〉 ∈ R,则有 a-1*b∈ H和
b-1*c∈ H,所以 (a-1*b)*(b-1*c)∈ H，而
(a-1 b)*(b-1*c)=a-1*c∈ H,所以 〈 a,c〉 ∈ H,因此 R是传递的。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.6 设 〈 G,*〉 为有限群,H是 G的子群,那么 |H||G|（ H的阶整除 G的阶 ） 。
证明 设 R是 G中的等价关系，将 G分成不同等价类，
由以上讨论知
11
kk
iiR
ii
G a a H
由于这 k个左陪集是两两不相交的,所以有
|G|=|a1H|+|a2H|+…+| akH| (6.4.1)
第 6章 几个典型的代数系统由定理 6.4.1可知 |aiH|=|H|(i=1,2,…,k),将这些式子代入式 (6.4.1)得
|G|=k|H|
其中 k为不同左（右）陪集的数目。定理得证。
第 6章 几个典型的代数系统推论 1：有限群 〈 G,*〉 中任何元素的阶均为 G的阶的因子 。
证明 设 a为 G中任一元素,a的阶为 r,那么令 H=〈 a〉
={e,a,a2,…,ar-1},则 H必为 G的 r阶子群,由定理 6.4.6,
因此 r整除 |G|。
推论 2:质数阶的群没有非平凡子群 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 如果有非平凡子群,则该子群的阶必是原来群的阶的一个因子,则与原来群的阶是质数相矛盾 。
推论 3：设 〈 G,*〉 是群且 ∣ G∣ =4,则 G同构于 4阶循环群 C4或 Klein四元群 D2。
证明 设 G={e,a,b,c},其中 e是幺元。因为元素阶只可能是 1,2,4。若有 4阶元 a，则
|a|=4,〈 a〉 ={e,a,a2,a3}≌ C4(≌ 表示同构 )。
第 6章 几个典型的代数系统若 G中无 4阶元素,则 G中有一个幺元,剩余的 3个均是 2阶元,a2=b2=c2=e。 a*b不可能等于 a,b或 e,否则将导致 b=e,a=e或 a=b的矛盾 。 所以 a*b=c,同样地有
b*a=c及 a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。
因此这个群是 Klein四元群 D2。
第 6章 几个典型的代数系统
6.5 正规子群、商群和同态基本定理定义 6.5.1 设 〈 H,*〉 为群 〈 G,*〉 的子群,如果对任一 g∈ G,有
gH＝ Hg
则称 H为正规子群（ normalsubgroup）。显然，任何群都有正规子群，因为 G的两个平凡子群即 G和 {e}
是 G的两个正规子群。当 G为阿贝尔群时,G的任何子群都是正规子群。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.1 设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的子群，
〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 g∈ G，
h∈ H有 g*h*g-1∈ H。
证明 g∈ G，有 gH=Hg。
任取 g*h∈ gH,由 g*h*g-1∈ H可知，存在 h1∈ H使得
g*h*g-1=h1,从而得 g*h=h1*g∈ Hg,所以 gH Hg。
第 6章 几个典型的代数系统反之,h*g∈ Hg,由 g-1∈ G,(g-1)*h*(g-1)-1∈ H即
g-1*h*g∈ H,所以存在 h1∈ H使得 g-1*h*g=h1,从而得 h*g=g*h1∈ gH,所以 Hg gH。
因此,g∈ G有 gH=Hg。
再证必要性 。
任取 g∈ G,h∈ H,由 gH=Hg,可知存在 h1∈ H使得
g*h=h1*g。 因此有
g*h*g-1=h1*g*g-1=h1∈ H
第 6章 几个典型的代数系统我们知道,G的子群 H的左 （ 右 ） 陪集全体构成 G
的划分,从而导出 G上的一个等价关系 。 那么当 H为正规子群时情况将如何呢？ 此时正规子群的左陪集或右陪集均可称为陪集 。
利用群的正规子群能够按如下方式诱导出一个新的群,这个群比原来的群简单却又保留了原来群的许多重要性质 。
第 6章 几个典型的代数系统设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的正规子群,H在 G中的所有陪集形成一个集合，即 G/H={gH|g∈ G}(或
{Hg|g∈ G}),⊙ 运算定义如下,对任意 g1,g2∈ G，有
［ g1］ ⊙ ［ g2］ =［ g1*g2］
g1H⊙ g2H=(g1*g2)H 或 Hg1⊙ Hg2=H(g1*g2)
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.2 设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的正规子群,
群 G的商代数系统 〈 G/H,⊙ 〉 构成群 。
证明
（ 1） ⊙ 运算满足结合律 。 x,y,z∈ G,有
((xH)⊙ (yH))⊙ (zH) =((x*y)H)⊙ (zH)=((x*y)*z)H
=x*(y*z)H=(xH)⊙ ((y*z)H)=(xH)⊙ ((yH)⊙ (zH))
第 6章 几个典型的代数系统
(2) eH(=H)为关于 ⊙ 运算的幺元。事实上,对任意
g∈ G，有
gH⊙ eH=(g(e)H=gH=eH⊙ gH
(3)对每一 gH有关于 ⊙ 运算的逆元 。 事实上,对任意
g∈ G,有
gH⊙ g-1 H=(g*g-1)H=H=g-1 H⊙ gH
所以 〈 G/H,⊙ 〉 构成群 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.5.2 群 G的正规子群 H的所有陪集在运算
g1H⊙ g2H=(g1* g2)H下形成的群 G/H称为 G关于 H的商群。
显然,当 G为有限群时,有如下关系
G的阶
H的阶
=G/H的阶第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.5.1】 H={0,3}时 〈 H,*〉 为群 〈 Z6,+6〉 的正规子群。由于它们都是加群,我们把左右陪集分别表示为 a+H,H+a。于是 H有左右陪集如下：
0+H=H+0=H:{0,3}
1+H=H+1=H:{1,4}
2+H=H+2=H:{2,5}
〈 Z6,+6〉 有商群 〈 {{0,3},{1,4},{2,5}},〉,而 (a+H)
(b+H)=(a+b)+H。 例如
{1,4} {2,5}=(1+H) (2+H)=3+H={0,3}
我们再来讨论群之间的同态映射 —— 群同态。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.3 群 〈 G,*〉 与它的每个商群 〈 G/H,⊙ 〉 同态 。
证明 只要在 G与 G/H之间建立对应 φ,g→ gH,g∈ G,φ
显然是 G到 G/H上的映射,而且对于任意的 x,y∈ G,有
x*y→( x*y)H=(xH)⊙ (yH)
所以 φ是 G到 G/H上的一个同态映射。
最后介绍同态基本定理,这个定理揭示了两个同态群之间的重要关系 。 为此先讨论同态核的性质 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.4 设 φ为群 〈 G1,*1〉 到群 〈 G2,*2〉 的同态映射,那么 φ的核 K(φ)构成 〈 G1,*1〉 的正规子群。 (为简明起见,以下用 K表示 K(φ)。 )
证明 不难看出 〈 K(φ),*1〉 为 〈 G1,*1〉 的一个子群 。
现对任一 g∈ G,证明 gK=Kg。 为此,设 x∈ gK,那么有
k∈ K,使得 x=g*1k。 考虑到
φ(g*1k*1g-1)=φ(g)*2φ（ e1） * 2φ(g-1)
第 6章 几个典型的代数系统
φ（ g-1)=φ（ g)-1,φ（ e1） =e2
φ(g*1k*1g-1)=φ(g)*2φ（ g)-1=e2
故 g*1k*1g-1∈ K。 由定理 6.5.1知 K为 G的正规子群 。
下面就是重要的同态基本定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.5 设 φ为群 〈 G1,*1〉 到群 〈 G2,*2〉 的同态映射,K=K(φ),那么商群 〈 G/K,⊙ 〉 与同态像 〈 φ(G1),*2〉
同构。
证明 在 G/H与 φ(G1)之间我们建立如下对应,
σ,（ xK） → φ(x) x∈ G
下面表明 σ为 G/H与 φ(G1)之间的同构映射 。 共分四点说明,前三点说明 σ是 G/H与 φ(G1)之间的一一对应,
第四点说明 σ还保持群的运算关系不变 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1） σ把 G/K中的任意元素（ xK）只映射为 φ(G1)中的一个元素。这是因为对于（ xK）中的任意代表元 xk，
有
φ(x*1k)=φ(x)*2φ(k)=φ(x)*2e2=φ(x)
所以在映射 σ下 G/K中的任意元素 （ xK） 在 φ(G1)中只有一个像 。
（ 2） 对于 φ(G1)中的任意元素 b,由于 φ是 G1到 φ(G1)
的满射,故 b在 G中至少有一个像源 a(即
φ（ a） =b),从而对于 σ而言,b在 G/K中就至少有一个像源 aK,这说明 σ是满射 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3） σ也是单射。如果 xK≠yK,则 x-1*1y K,从而 φ(x-
1*1y)≠e2,于是 φ（ x） -1=φ(y)≠e2,即
φ（ x） ≠φ(y)。
（ 4） 在映射 σ之下,我们有
(xK)⊙ (yK)=(x*1y)K→ φ(x*1y)=φ(x)*2φ(y)
左面的等式是根据商群 G/K中的运算,右面的等式是因为 φ为同态映射 。 该式表明 σ是保持运算关系的 。
综上所述,σ为 G/K与 φ(G1)之间的同构映射。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.5.2】 设 h为群 〈 Z6,+6〉 到群 〈 Z3,+3〉 的同态映射,使得
h(x)=2x(mod3)
即 h(0)=h(3)=0,h(1)=h(4)=2,h(2)=h(5)=1
于是 K=K（ h） ={0,3},〈 K,+6〉 为 〈 Z6,+6〉 的正规
〈 Z6/K,〉 =〈 {{0,3},{1,4},{2,5}},〉
它同构于 〈 Z3,+3〉,同构映射 σ:Z6/K→ Z3满足
σ（ {0,3}） =0,σ（｛ 2,5｝） =1,σ（ {1,4}） =2
第 6章 几个典型的代数系统
6.6 环 和 域从这一节起我们要讨论含有两个二元运算的代数结构,首先讨论环 。
定义 6.6.1 〈 R,+,·〉 是代数系统,+,·是二元运算,
如果满足
（ 1） 〈 R,+〉 是阿贝尔群 （ 或加群 ） ;
（ 2） 〈 R,·〉 是半群 ;
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3）乘运算对加运算可分配，即对任意元素
a,b,c∈ R，有
a·（ b＋ c） ＝ a·b+a·c,（ b＋ c)·a=b·a+c·a
则称 〈 R,+,·〉 为环 （ ring） 。
约定,文中符号＋,·表示一般二元运算,分别称为环中的加法,乘法运算 （ 未必是数加和数乘 ）,并对它们沿用数加,数乘的术语及运算,例如,a,b的积表示为 ab,n个 a的和 a+… +a表示为 na,n个 a的积表示为
an等 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.1】
（ 1） 〈 Z,+,·〉,〈 Q,+,·〉,〈 R,+,·〉,〈 C,+,·〉 均为环 (其中 Z为整数集,Q为有理数集,R为实数集,C
为复数集,+,·为数加与数乘运算 )。
（ 2） Mn （ R）表示所有实数分量的 n× n方阵集合与矩阵加运算（ +）及矩阵乘运算（ 。 ）构成一环，即
〈 Mn （ R）,+,。 〉 为环。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3） 〈 P(A),,∩〉 是环。其中 P(A)是集合 A上的幂
,∩为集合上的交运算。
（ 4） 〈 Zk,+k,× k〉 为环，因为我们已知 〈 Zk,+k〉 为加群，,〈 Zk,× k〉 a,b∈ Zk,有
a+kb=(a+b)modk,a× kb=(a·b)modk（＋,·是数加和数乘）。下面用 x（ modk）表示 x除以 k的余数。
第 6章 几个典型的代数系统此外,
a× k（ b+kc） =a× k((b+c)modk)
=（ a·（ b+c） （ modk）） （ modk）
=（ a·（ b+c）） （ modk）
=（ a·b+a·c） （ modk）
=a·b（ modk） +ka·c（ modk）
=a× kb+ka× kc
且同理可证（ b+kc） × ka=b× ka+kc× ka。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 5） R［ x］表示所有实系数多项式（以 x为变元）
的集合与多项式加、乘运算构成环，即 〈 R［ x］,+,·〉
为环。
（ 6） 〈 {0},+,·〉 (其中 0为加法幺元,乘法零元 )为环,称为零环 。 （ 其它环至少有两个元素 。 ）
（ 7） 〈 {0,e},+,·〉 (其中 0为加法幺元,乘法零元,
e为乘法幺元 )为环 。 环 R中,将用 -b表示 b的加法逆元,
a+(-b)记为 a-b。 环有下列基本性质 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.6.1 设 〈 R,+,·〉 为环,0为加法幺元,那么对任意 a,b,c∈ R,有
（ 1） 0·a=a·0=0(加法幺元必为乘法零元 )
（ 2） （ -a） ·b=a·（ -b） =-（ a·b）
（ -a表示 a的加法逆元,下同 ）
（ 3） （ -a） ·（ -b） =a·b
（ 4） （ a-b） ·c＝ a·c-b·c,c·（ a-b） ＝ c·a-c·b
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1） a·0＝ a·（ 0+0） =a·0+a·0因为 〈 R,+〉 是阿贝尔群，所以满足消去律。因此 a·0＝ 0。
同理可证 0·a=0。
（ 2） a·b+(-a)·b=(a+(-a))·b=0·b=0,因为 〈 R,+〉 是阿贝尔群,由逆元的唯一性,有 (-a)·b=-（ a·b） 。
第 6章 几个典型的代数系统同理可证 a·（ -b） =-a·b。
（ 3） （ -a） ·（ -b） =-(a·(-b))=-(-(a·b))=a·b。
（ 4） (a-b)·c＝ (a+(-b))·c=a·c+(-b)·c
＝ a·c+(-b·c)=a·c-b·c。
同理可证 c·(a-b)＝ c·a-c·b。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.2 设 〈 R,+,·〉 是环，若 ·运算可交换，称 R
为交换环（ commutativerings），当 ·运算有么元时，
称 R为含么环（ ringwithunity）。
例 6.5.1中 （ 1）,（ 3）,（ 4）,（ 5） 是含幺交换环,（ 2） 是含幺环,因为矩阵乘法不可交换 。 环不仅必有零元,还可能有下述所谓的零因子 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.3 设 〈 R,+,·〉 为环，若有非零元素 a,b满足 a·b=0，则称 a,b为 R的零因子（ divisorof0），并称 R
为含零因子环，否则称 R为无零因子环。
【 例 6.6.2】
(1)在环 〈 Z8,+8,× 8〉 中,［ 0］ 是零元,［ 2］,［ 4］
为零因子,因为 ［ 2］ × 8［ 4］ ＝ 0。
(2)在环 〈 M2(R),+,。 〉 中有零因子 1 0 0 0
0 0 1 1
和
1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
它是矩阵加的幺元。
第 6章 几个典型的代数系统
(3)在环 〈 P(A),,∩〉 中,取 X A且 X≠,Y=,所以 X∩Y= 。 (是 〈 P(A),〉 的幺元 。
关于零因子我们有定理 6.6.2。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.6.2 设 〈 R,+,·〉 为环,那么 R中无零因子当且仅当 R中乘运算满足消去律 （ 即 R中所有非零元素均可约 ） 。
证明 设 R无零因子,且 a≠0,a·b=a·c,那么
a·b－ a·c＝ 0有 a·(b－ c)＝ 0。
因为 R无零因子,所以 a和 b-c不是零因子,因此或者 a＝ 0或者 b－ c=0。 因为 a≠0,故 b-c＝ 0,即 b＝ c。 a可约得证 。
第 6章 几个典型的代数系统反之，设对任意元素 x,y,z,x≠0，由 x·y=x·z，
可推得 y=z。欲证 R无零因子,反设 R中有零因子 a,b，
a≠0,b≠0,但 a·b=0，于是 a·b＝ a·0，据可约性得 b=0，
与前面矛盾。因此 R无零因子。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.4 设 〈 R,+,·〉 不是零环,如果 〈 R,+,·〉 满足含幺、交换、无零因子环，则称 R为整环
（ integra1domain）。显然，上文中的 〈 Z,+,·〉 是整环，
〈 Z8,+8,× 8〉 及 〈 M2(R),+,。 〉 不是整环。
注意 〈 {0},+,·〉 也不是整环,它是零环。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.5 设 〈 R,+,·〉 为环,如果有集合 S满足
（ 1） 〈 S,+〉 为 〈 R,+〉 的子群 （ 正规子群 ） ;
（ 2） 〈 S,·〉 为 〈 R,·〉 的子半群,
则称代数系统 〈 S,+,·〉 为 R的子环 （ subring） 。
显然,当 〈 S,+,·〉 为 〈 R,+,·〉 的子代数系统,并且 S对 (关于 +的 )求逆运算,－,封闭,那么 〈 S,+,·〉 为
〈 R,+,·〉 的子环 。 另外,由于乘对加的分配律在 〈 S,+,·〉
中沿袭下来,因此子环必定是环 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.6 如果 〈 F,+,·〉 是环,且令 F*=F-{0},
〈 F*,·〉 为阿贝尔群，则称 〈 F,+,·〉 为域（ fields）。
由于群无零因子 （ 因为群满足消去律 ）,因此域必定是整环 。 事实上,域也可以定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.3】 〈 Q，＋,·〉,〈 R，＋,·〉,
〈 C，＋,·〉 均为域，并分别称为有理数域、实数域和复数域。但 〈 Z，＋,·〉 不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元。
〈 Z7,+7,× 7〉 为域,1和 6的逆元是 1和 6,2和 4互为逆元,3
和 5互为逆元 。 但 〈 N8,+8,× 8〉 不是域,它甚至不是整环,
因为它有零因子,例如,4,它们没有乘法逆元 。
域有以下基本性质。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.4】 〈 Zp,+p,× p〉 为域当且仅当 p为素数 。
证明 设 p不是素数,那么由例 6.6.3可知 Zp有零因子
（ p的因子 ）,故 〈 Zp,+p,× p〉 不是域 。
反之,当 p为素数时,只需证 Zp中所有非零元素都有 × p运算的逆元,从而 Zp是含幺交换环,〈 Zp,+p,× p〉
为域 。
第 6章 几个典型的代数系统设 q是 Zp中任一非零元素,那么 q与 p互质 。 据有整数 m,n使 mp+nq=1,从而
(mp+nq)(modp)=1
即 mp(modp)+pnq(modp)=1
0+n(modp)× pq(modp)=1 或 n(modp)× pq=1
因此,q有逆元 n(modp)。 故命题得证 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.6.3 有限整环都是域 。
证明 设 〈 R,＋,·〉 为有限整环,由于 〈 R,·〉
为有限含幺交换半群,据定理 6.2.2的证明,〈 R,·〉 为阿贝尔群,因而 〈 R,＋,·〉 为域 。
定理 6.6.4 设 〈 F,+,·〉 为域,那么 F中的非零元素在
〈 F,+〉 中有相同的阶 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 当 〈 F,+〉 中每个元素都是无限阶时,定理当然真。当 〈 F,+〉 中有非零元素 a具有有限阶 n，欲证
〈 F,+〉 中任一元素 b的阶亦必是 n。
事实上 (nb)·a=b·(na)=0,而 F无零因子,且 a≠0,故
nb=0,因此 b的阶不超过 n(a的阶 ),即 |b|≤|a|。
现设 b的阶为 m。 由 (ma)·b=a·(mb)=0可知 ma=0,因此 a的阶 (n)不超过 m（ b的阶 ）,即 |a|≤|b|。
故 a的阶等于 b的阶 。
第 6章 几个典型的代数系统下面要给出子域的概念 。
定义 6.6.7 设 〈 F,+,·〉 为域,〈 S,+,·〉 为 F的子环,且
〈 S,+,·〉 为一域，那么称 S为 F的子域（ subfields）。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.5】 域 〈 Q,+,·〉 是域 〈 R,+,·〉,
〈 C,+,·〉 的子域。其中 R,C分别表示实数集和复数集。
下面介绍子域的判定法则 。
定理 6.6.5 设 〈 F,+,·〉 为域,F′ F,且 F′中至少有两个元素,那么 〈 F′,+,·〉 为 〈 F,+,·〉 的子域当且仅当
F′满足下列条件,
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1）对任意 a,b∈ F′,a≠b，有 a-b∈ F′（从而 〈 F′,+〉
为 〈 F,+〉 的子群）。
(2） 对任意 a,b∈ F′,a≠b,有 ab-1∈ F′（ 从而 〈 F′-
{0},·〉 为 〈 F-{0},·〉 的子群 ） 。
第 6章 几个典型的代数系统
6.7 例题选解
【 例 6.7.1】 设 〈 A,*〉 是一个独异点,B是 A中所有有逆元的元素集合,证明,〈 B,*〉 构成群 。
证明 设 e是 〈 G,*〉 中的幺元，因为 e-1=e，所以
e∈ B a∈ B必有 a∈ A，因此 a*e=e*a=a*B,B中有幺元 e。
第 6章 几个典型的代数系统
a∈ B,因为 a有逆元 a-1,而 a与 a-1互逆,所以 a-1∈ B。
a,b∈ B,因为
（ a*b） *b-1*a-1=a*b*b-1*a-1=e，
所以 a*b有逆元 b-1*a-1,故 a*b∈ B。
由 *在 A上满足结合律,可知 *在 B上也必满足结合律 。
因此,〈 B,*〉 构成群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.2】 设 〈 G1,。 〉,〈 G2,◇ 〉 均是群,*是定义在 G1× G2上的二元运算,a1,a2∈ G1，
b1,b2∈ G2,有 〈 a1,b1〉 *〈 a2,b2〉 =〈 a1 。 a2,
b1◇ b2〉,证明,〈 G1× G2,*〉 是群 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 a1,a2∈ G1，
b1,b2∈ G2,〈 a1,b1〉,〈 a2,b2〉 ∈ G1× G2,而
a1。 a2∈ G1,b1◇ b2∈ G2,所以
〈 a1。 a2,b1◇ b2〉 ∈ G1× G2,*在 G1× G2上封闭 。
第 6章 几个典型的代数系统因为 （ 〈 a1,b1〉 *〈 a2,b2〉 ） *〈 a3,b3〉
=〈 a1。 a2,b1◇ b2〉 *〈 a3,b3〉
=〈 (a1。 a2)。 a3,(b1◇ b2)◇ b3〉
=〈 a1。 (a2。 a3),b1◇ (b2◇ b3)〉
=〈 a1,b1〉 *(〈 a2,b2〉 *〈 a3,b3〉 )
故 *在 G1× G2上可结合 。
第 6章 几个典型的代数系统设 e1,e2分别是群 〈 G1,。 〉,〈 G2,◇ 〉 上的幺元,
因为
〈 a1,b1〉 *〈 e1,e2〉 =〈 a1。 e1,b1◇ e2〉
=〈 a1,b1〉 =e1,e2〉 *〈 a1,b1〉
因此 *在 G1× G2上有幺元 〈 e1,e2〉 。 又
〈 a1,b1〉 *〈 a-11,b-11〉 =〈 a1。 a-11,b1◇ b-11 〉
=〈 e1,e2〉 =〈 a-11,b-11 〉 *〈 a1,b1
所以 〈 a,b〉 ∈ G1× G2，有逆元 〈 a-1,b-1〉 ∈ G1× G2，
故 〈 G1× G2,*〉 是群。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.3】 在整数集 Z上定义运算 *
a,b∈ Z,a*b=a+b-2。问,〈 Z,*〉 是什么代数系统？（半群、独异点、群、环、域）
解 a,b∈ Z,a*b=a+b-2∈ Z,所以运算
*在整数集 Z上封闭 。 a,b∈ Z,有
（ a*b） *c =（ a+b-2） *c
=（（ a+b-2） +c-2）
=a+（ b+c-2） -2
=a*（ b*c）
因此运算 *在整数集 Z上可结合 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.4】 设 〈 H,*〉 和 〈 G,*〉 均是群 〈 S,*〉 的子群，令 HG={h(g|h∈ H,g∈ G}。证明,〈 HG,*〉 是 S
的子群的充分必要条件是 HG=GH。
证明 先证必要性：假设 〈 HG,*〉 是 S的子群。任取 g*h∈ GH，则（ g*h） -1=h-1*g-1∈ HG，因为 HG是群，
所以 HG上的元素（ h-1*g-1）的逆
（ h-1*g-1） -1=g*h∈ HG，证得 GH HG。
第 6章 几个典型的代数系统任取 h*g∈ HG，因为 HG是群，所以
（ h*g） -1∈ HG，且必存在着 h1∈ H,g1∈ G，
使得（ h*g） -1=h1*g1∈ HG，因为 HG是群，所以,HG上的元素（ h1*g1）的逆（ h1*g1） -1=g-11*h-11∈ GH，证得
HG GH。
综上可得 HG=GH。
第 6章 几个典型的代数系统再证充分性：假设 HG=GH
h1*g1,h2 g2∈ HG，有
（ h1*g1） *(h2*g2） -1
=（ h1*g1） *（ g-12*h-12）
=h1(（ g1*g-12） *h-12
=（ h1*g3） * h-12
（ g3=g1* g-12 ∈ G）
第 6章 几个典型的代数系统由于 GH=HG，所以必有 h4∈ H,g4∈ G，使得
h1*g3=g4*h4。继续上面等式的变换
=g4*（ h4*h-12）
=g4*h5 （ h5=h4* h-12 ∈ H）
=h6*g6∈ HG （ 因为 HG=GH）
因此,HG是 S的子群。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.7】 设有集合 G={1,5,7,11,13,17},*是定义在 G上的模 18 a,b∈ G,a*b=(a× b)(mod18),
其中 × 是普通乘法。 )
(1)构造 〈 G,*〉 的运算表 。
(2)证明 〈 G,*〉 是一个循环群 。
(3)找出 〈 G,*〉 的每一个非平凡子群,并给出其左陪集 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.7.1
第 6章 几个典型的代数系统证明
(1） 〈 G,*〉 的运算表见表 6.7.1。
(2） 证明：由 *的定义可知,*是可结合的 。 由运算表可知,*在 G上是封闭的,可交换的 。 1是幺元 。 5与
11,7与 13互逆,1,17自逆 。 因为 52=7,53=17，
54=13,55=11,56=1,所以 5是一个生成元,故,
〈 G,*〉 是一个循环群 。
(3)非平凡子群,〈 {1,17},*〉,对应的左陪集为
{1,17},{5,13},{7,11};〈 {1,7,13},*〉,对 应的 左陪 集为
{1,7,13},{5,11,17}。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.8】 设 〈 R,+,·〉 是含幺环,对任意 x∈ R，
都有 x·x=x,证明：对任意 x,y∈ R,有
（ 1） x+x=0。
（ 2） x·y=y·x。
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1 x∈ R，由运算的封闭性知,x+x∈ R，由题设
（ x+x） ·（ x+x） =x+x，所以
（ x·x+x·x） +（ x·x+x·x） =x+x
即 （ x+x） +（ x+x） =x+x
因为 〈 R,+〉 是交换群,所以 x+x的逆元是 -
（ x+x）,故
（ x+x） +（ x+x） -（ x+x） =（ x+x） -（ x+x） =0
得 x+x=0
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2） 任取 x,y∈ R,由于 x+y∈ R,所以
（ x+y） ·（ x+y） =x+y
即 x·x+x·y+y·x+y·y=x+y
x+y+x·y+y·x=x+y
推得 x·y+y·x=0
由（ 1）的结果推得 x·y=y·x
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.9】 设 〈 Z,+〉 是整数加群,〈 R*,*〉
是非零实数乘法群 。
f,Z→ R* f(n)=
n为偶数
n为奇数证明,f是群的同态映射,并求出同态核 Ker(f)和同态像 f (Z)。
第 6章 几个典型的代数系统证明
n1,n2∈ Z,当 n1,n2均为偶数或均为奇数时,
f（ n1+n2） =1=f（ n1） *f（ n2）,当 n1,n2为一奇一偶时,
f（ n1+n2） =-1=f（ n1） *f（ n2）,因此 f是群的同态映射 。
因为 1是 〈 R*,*〉 的幺元，所以同态核
Ker(f)={x|x=2n,n∈ Z}，
同态像 f （ Z）为 〈 {1,-1},*〉 。
第 6章 几个典型的代数系统习 题 六
1．证明：含幺半群 〈 S,*〉 的可逆元素集合 inv（ S）
构成一子半群，即 〈 inv（ S）,*〉 为半群 〈 S,*〉 的子半群。
2．设 〈 S,*〉 为一半群,z∈ S为左（右）零元。
证明：对任一 x∈ S,x*z(z*x)亦为左（右）零元。
第 6章 几个典型的代数系统
3,设 〈 S,*〉 为一半群,a,b,c为 S中给定元素 。
证明,若 a,b,c满足
a*c=c*a,b*c=c*b
那么,(a*b)*c=c*(a*b)。
4,设 〈 {a,b},*〉 为一半群,且 a*a=b。 证明,
（ 1） a*b=b*a
（ 2） b*b=b
第 6章 几个典型的代数系统
5．代数系统 〈 {a,b,c,d},*〉 中运算 *如表 6.1规定。
（ 1）已知 *运算满足结合律，证明 〈 {a,b,c,d},*〉 为一循环独异点。
（ 2） 把 {a,b,c,d}中各元素写成生成元的幂 。
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
第 6章 几个典型的代数系统
6．设 〈 S,*〉 为一半群，且对任意 x,y∈ S，若 x≠y
则 x*y≠y*x。
（ 1） 求证 S中所有元素均为等幂元 （ a称为等幂元,
如果 a*a=a） 。
（ 2） 对任意元素 x,y∈ S，
x*y*x=x,y*x*y=y
第 6章 几个典型的代数系统
7,设 Zn={0,1,2,…,n-1},证明 〈 Zn,〉 为群并称其为模 n整数群 。 其中对任意 a,b∈ Zn,有
ab
ab
a b n
a+b＜ n
a+b≥n
第 6章 几个典型的代数系统
8,设 〈 G,*〉 为群,若在 G上定义运算 。,使得对任何元素 x,y∈ G,x。 y=y*x。
证明,〈 G,。 〉 也是群 。
9,设 〈 S,*〉 是有限交换独异点,且 *满足消去律,即对任意 a,b,c∈ S,a*b=a*c蕴涵 b=c。 证明 〈 S,*〉
为一阿贝尔群 。
10,设 〈 G,*〉 为一群,e为幺元 。 证明：
（ 1） 若对任意 x∈ G有 x2=e,则 G为阿贝尔群 。
（ 2） 若对任意 x,y∈ G,有 (x*y)2=x2*y2,则 G为阿贝尔群 。
第 6章 几个典型的代数系统
11．设 〈 G,*〉 为一群 a,b∈ G且 a*b=b*a,如果
|a|=n,|b|=m，且 n与 m互质，证明,|a*b|=mn。
12,设 p为素数 。 求证：在阿贝尔群中,若 a,b的阶都是 p的方幂,那么 a*b的阶也必是 p的方幂 。
13．设 〈 G,*〉 为群，定义集合 s={x|x∈ G∧
y(y∈ G→ x*y=y*x)}。证明 〈 S,*〉 为 〈 G,*〉 的子群。
第 6章 几个典型的代数系统
14,设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的子群,〈 K,*〉 为
〈 H,*〉 的子群 。 求证,
（ 1） 〈 K,*〉 为 〈 G,*〉 的子群 。
（ 2） KH=HK＝ H（ 这里 KH={k*N|k∈ K∧ N∈ H}） 。
15,设 〈 H1,*〉,〈 H2,*〉 都是群 〈 G,*〉 的子群 。 求证：
（ 1） 〈 H1∩H2,*〉 为 〈 G,*〉 的子群 。
（ 2） 〈 H1∪ H2,*〉 为 〈 G,*〉 的子群当且仅当
H1 H2或 H2 H1。?
第 6章 几个典型的代数系统
16,设有集合 G={1,3,4,5,9},*是定义在 G上的模 11乘法 （ a,b∈ G,有 a*b=(a× b)(mod11),× 是普通乘法 ）,问 〈 G,*〉 是循环群吗？ 若是,试找出它的生成元 。
17,一个素数阶的群必定是循环群,并且它的不同于幺元的每个元素均可作生成元 。
18,设 G是 6阶循环群,找出 G的所有生成元和 G的所有子群 。
19,无限循环群的子群除 {e}外均为无限循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统
20,设 G是 n阶循环群,d整除 n,证明,必存在唯一 d
阶子群 。
21,设 G是阿贝尔群,H,K为 G的有限子群,|H|=p，
|K|＝ q。 求证,当 p,q互素时,G有 pq阶循环子群 。
22．设置换 1 2 3 4 5
2 4 3 5 1S
1 2 3 4 5,
2 3 1 4 3T
求 S2,S。 T,T。 S,S-1。 T2。
第 6章 几个典型的代数系统
23,求 〈 S3,。 〉 中各元素的阶,并求出其所有的子群 。
24,证明,S上所有偶置换的集合 An（ n＝ |S|） 与置换的合成运算构成一个置换群 。
25,把置换 σ=（ 456） （ 567） （ 761） 写成不相交轮换的积 。
26．讨论置换 12
11
n
nn?
的奇偶性。
第 6章 几个典型的代数系统
27,设有集合 Z6={［ 0］,［ 1］,［ 2］,［ 3］,
［ 4］,［ 5］ },+6是定义在 Z6上的模 6加法 。
(1) 构造 〈 Z6,+6〉 的运算表 。
(2) 证明 〈 Z6,+6〉 是一个循环群 （ 写明幺元,逆元,生成元 ） 。
(3)找出 〈 Z6,+6〉 的每一个非平凡子群,并给出其左陪集 。
28,求不为零的复数所成的乘法群关于绝对值等于 1的数的子群的陪集 。
29．设 p为素数，证明 pn阶的群中必有 p阶的元素，
从而必有 p阶的子群 (n为正整数 )。
第 6章 几个典型的代数系统
30,设 〈 H,*〉 是 〈 G,*〉 的子群,试证明 H在 G中的所有陪集中有只有一个子群 。
32,证明：对有限群 〈 G,*〉 中任意元素 a,有
a|G|=e,其中 e为 G的幺元 。
33,设 a是群中的无限阶元素,证明：当 m≠n时,
am≠an。
第 6章 几个典型的代数系统
34．设
|,,001rsG r s Q r
,G关于矩阵乘法构成一个群 。 令
11|,|
0 1 0 1
tnt Q K n Z
证明,H是 G的正规子群,K是 H的正规子群 。 问 K
是 G的正规子群吗？
第 6章 几个典型的代数系统
35,设 〈 H,*〉,〈 K,*〉 都是群 〈 G,*〉 的正规子群,证明,〈 H∩K,*〉 必定是群 〈 G,*〉 的正规子群 。
36,设 〈 H,*〉 是 〈 G,*〉 的子群,证明：如果 H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,则 H是 G的正规子群 。
37,设 〈 Z,+〉 是整数加群,H={8k|k∈ Z},求商群
Z/H及其运算表 。
38,设 〈 G,*〉 为循环群,〈 H,*〉 为其正规子群 。 证明：商群 〈 G/H,⊙ 〉 亦为一循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统
39,设 〈 G,*〉 为群,f,G→ G为一同态映射 。 证明,对任一元素 a∈ G,f（ a） 的阶不大于 a的阶 。
40．设 〈 H,*〉 和 〈 K,*〉 都是群 〈 G,*〉 的正规子群，且 H∩K={e}。证明,G与 G/H(G/K的一个子群同构。（其中 〈 G1× G2,。 〉 〈 a1,b1〉 ∈ G1,
〈 a2,b2〉 ∈ G2,*1,*2分别为 G1,G2上的二元运算，
〈 a1,b1〉 。 〈 a2,b2〉 =〈 a1*1a2,b1*2b2〉 。）
第 6章 几个典型的代数系统
41,确定下列集合关于它们各自的运算是否构成环,
整环和域 。 若不是,请说明理由 。
（ 1）,其中运算为整数的加法和乘法 。
（ 2）,其中运算为复数的加法和乘法 。
（ 3）,其中运算为整数的加法和乘法。
（ 4）,其中运算为矩阵的加法和乘法。
{ 2,}R a b a b Z
{,}R a b i b Z
3{ 2,}R a b a b Z
|,5abR a b Qba
第 6章 几个典型的代数系统
42,设 R是实数集,加法取普通数的加法,乘法 *
定义为
a*b=|a|·b
其中 ·为普通乘法运算 。 这时 R是否构成环？
43,设 〈 R,＋ 〉 为加群,R上定义运算 ·,对任意
a,b∈ R,有 a·b＝ θ,其中 θ是加法幺元 。 证明,〈 R,+,·〉
为一环 。
第 6章 几个典型的代数系统
44,证明：代数系统 〈 Z，,〉 是含幺交换环 。
,分别定义如下：对任何整数 a,b∈ Z，
有
a b=a+b-1,a b＝ a＋ b-a·b
这里 +,·分别是整数加和整数乘 。
45,问 〈 {3x|x∈ Z},＋,·〉 是否为环？ 是否为整环？ 其中＋,·分别为整数加和整数乘运算 。
第 6章 几个典型的代数系统
46,若环 〈 R,＋,·〉 中每一元素 a均满足 a2=a，
则称 R为布尔环 。 证明,
（ 1） 布尔环是交换环 。
（ 2） 对布尔环中每一元素 a,有 a＋ a＝ 0。
（ 3） 当 |R|＞ 2时布尔环不是整环 。
47,设环 〈 R,+,·〉 中 〈 R,＋ 〉 为循环群,求证
R是交换环 。
48,设 〈 F,+,·〉 是 一 个 域,F1 F,F2 F,且
〈 F1,+,·〉,〈 F2,+,·〉 都是域,证明,〈 F1∩F2,+,·〉
是一个域 。
6.1 半群与群
6.2 子群
6.3 循环群和置换群
6.4 陪集与拉格朗日定理
6.5 正规子群、商群和同态基本定理
6.6 环和域
6.7 例题选解习 题 六第 6章 几个典型的代数系统
6.1 半群与群半群与群都是具有一个二元运算的代数系统,群是半群的特殊例子 。 事实上,群是历史上最早研究的代数系统,它比半群复杂一些,而半群概念是在群的理论发展之后才引进的 。 逻辑关系见图 6.1.1。
第 6章 几个典型的代数系统图 6.1.1
群半群第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.1 设 〈 S,*〉 是代数系统,*是二元运算,
如果 *运算满足结合律,则称它为半群 （ semigroups） 。
换言之,x,y,z∈ S,若 *是 S上的封闭运算且满足
(x*y） *z=x*（ y*z）,则 〈 S,*〉 是半群 。
许多代数系统都是半群。例如,〈 N,+〉,
〈 Z,×〉,〈 P(S),,〈 SS,（ SS={f|f:S→ S},是复合运算）均是半群。但 〈 Z,-〉 不是半群。
第 6章 几个典型的代数系统再如，设 Σ是有限字母表,Σ+是 Σ中的字母串
Σ*={λ}∪ Σ+，其中 λ是不含字母的空串，运算 τ是字母串的,连接,运算，则 〈 Σ*,τ〉 是半群。如
Com∈ Σ*,puter∈ Σ*,经 τ运算后，得 Computer仍是字母串。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.1】
|,,0 )00abS a b R a
,则 〈 S,·〉 是半群。这里 ·代表普通的矩阵乘法运算。
证明 对任意的
1 1 2 2,
0 0 0 0
a b a bSS
因为
1 1 2 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
a b a b a a b b
且 a1a2≠0,所以
1 2 1 2
00
a a b b S
,因此 ·运算封闭。
·
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.2】
|,,0 }00abS a b R a
,则 〈 S,+〉 不是半群。这里 +代表普通的矩阵加法运算。
证明 对任意的
1 1 2 2,
0 0 0 0
a b a bSS
取 a2=-a1,则
1 1 2 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
a b a b a a b b
且 a1+a2=0，所以
1 2 1 2
00
a a b b
S
因此 *运算不封闭。
所以 〈 S,+〉 不是半群。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.3】
{ |,,}0abS a b c Rc
,则 〈 S,·〉 不是半群 。 这里 ·代表普通的矩阵乘法运算 。
证明 取
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1,,,
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1SS
则所以 21
11 S
,因此 *运算不封闭 。
所以 〈 S,·〉 不是半群 。
第 6章 几个典型的代数系统对于半群中的元素,我们有一种简便的记法 。
设半群 〈 S,*〉 中元素 a（ 简记为 a∈ S） 的 n次幂记为 an,递归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈ Z+
即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来 。
因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明
am*an=amn,(am)
n=amn。
普通乘法的幂,关系的幂,矩阵乘法的幂等具体的代数系统都满足这个幂运算规则 。 如果有 a2=a,则称 a为半群中的幂等元 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.1 若 〈 S,*〉 是半群,S是有限集合,则 S中必含有幂等元 。
证明 因为 〈 S,*〉 是半群,a∈ S,有 a2,a3,…,∈ S。
因为 S是有限集合,所以必定存在 j＞ i,使得 ai=aj。
令 p=j-i,便有 ai=aj=ap*ai,所以 aq=ap*aq(q≥i)。
因为 p≥1,所以可找到 k≥1,使得 kp≥i
akp=ap*akp=ap*(ap*akp)
=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=…=akp*akp
即在 S中存在元素 b=akp,使得 b*b=b。
第 6章 几个典型的代数系统下面介绍一些特殊半群 。
定义 6.1.2 如果半群 〈 S,*〉 中二元运算 *是可交换的，则称 〈 S,*〉 是可交换半群 (commutative
semigroups)。如 〈 Z,+〉,〈 Z,×〉,〈 P(S),均是可交换半群。但 〈 SS,,〈 Σ*,τ〉 不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于 *运算的幺元的半群 〈 S,*〉,
称它为独异点（ monoid），或含幺半群，常记为
〈 S,*,e〉 (e是幺元 )。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.4】
〈 Z,+〉 是独异点,幺元是 0,〈 Z,+,0〉 ;
〈 Z,× 〉 是独异点,幺元是 1,〈 Z,×,1〉 ；
〈 P(S),〉 是独异点,,〈 P(S),,〉 ；
〈 Σ*,τ〉 是独异点,幺元是 λ(空串 ),〈 Σ*,τ,λ〉 ；
〈 SS,〉 是独异点,幺元是 IA,〈 SS,,IA〉 ；
但 〈 ZE,× 〉 不是独异点,因为无幺元,（ 1 ZE,ZE：
偶数集 ） 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.4
(1)设 〈 S,*〉 为一半群,若 T S,*在 T中封闭,则
〈 T,*〉 称为子半群 。
（ 2） 设 〈 S,*〉 为一独异点,若 T S,*在 T中封闭,
且幺元 e∈ T,则 〈 T,*,e〉 称为子独异点 。
我们前面提过,对于有穷集合的二元运算,可用运算表来给出 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.2 一个有限独异点,〈 S,*,e〉 的运算表中不会有任何两行或两列元素相同 。
证明 设 S中关于运算 *的幺元是 e。 因为对于任意的
a,b∈ S且 a≠b时,总有
e*a=a≠b=e*b和 a*e=a≠b=b*e。 所以,在 *的运算表中不可能有两行或两列是相同的 。
该定理容易理解,因为幺元所在的行,列均与表头相同,所以不会出现两行 （ 列 ） 元素完全相同的情况 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.5】 S={a,b,c},*运算的定义如表 6.1.1所示,
判断 〈 S,*〉 的代数结构？
解
（ 1） *是 S上的二元运算,因为 *运算关于 S集合封闭 。
（ 2） 从运算表中可看出 a,b,c均为左幺元
（ 3） x,y,z∈ S,有
x*(y*z)=x*z=z
(x*y)*z=x*z=z
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.1
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.6】 〈 Z4,+4〉,Z4={［ 0］，［ 1］，［ 2］，
［ 3］ }=Z/R(R是 Z上的模 4同余关系 ),Z4上运算 +4，定
m］，［ n］ ∈ Z4，
［ m］ +4［ n］ =［ (m+n)(mod4)］，它由表 6.1.2给出。判断 〈 Z4,+4〉 的代数结构。
第 6章 几个典型的代数系统解
（ 1） +4运算显然封闭 。
（ 2） 由 +4的定义可知 +4可结合 。
（ 3） 从运算表中可知 ［ 0］ 是幺元,所以 〈 Z4,+4〉
是独异点 。 但在该表中没有任意两行 （ 列 ） 元素完全相同 。
半群及独异点的下列性质是明显的。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.2
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.3 设 〈 S,*〉,〈 T,。 〉 是半群,f为 S到 T的同态,这时称 f为半群同态 。 对半群同态有
（ 1） 同态象 〈 f(S),〉 为一半群 。
（ 2） 当 〈 S,*〉 为独异点时,则 〈 f(S),。 〉 为一独异点 。
利用上一章的知识立刻可以得到这些结论 。
独异点中含有幺元 。 前面曾提到,对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元,并不是每个元素均有逆元的,这一点引出了一个特殊的独异点 —— 群 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.5 如果代数系统 〈 G,*〉 满足
（ 1） 〈 G,*〉 为一半群；
（ 2） 〈 G,*〉 中有幺元 e；
（ 3） 〈 G,*〉 中每一元素 x∈ G都有逆元 x-1，
则称代数系统 〈 G,*〉 为群 （ groups） 。 或者说,
群是每个元素都可逆的独异点 。 群的基集常用字母 G表示,因而字母 G也常用于表示群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.7】
（ 1） 〈 Z,+〉 （ 整数集与数加运算 ） 为一群 （ 加群 ）,数 0为其幺元 。 〈 Z,× 〉 不是群 。 因为除幺元 1外所有整数都没有逆元 。
（ 2） 〈 N4,＋ 4〉 为一 4阶群,数 0为其么元 。
（ 3） A≠,〈 P(A),∪ 〉 是半群,,非空集合无逆元,所以不是群 。
(4)A≠,〈 P(A),∩〉 是半群,幺元为 A,非空集合无逆元,所以不是群 。
第 6章 几个典型的代数系统
(5)A≠,〈 P(A),〉,S∈ P(A),S的逆元是 S,所以是群 。
(6)〈 Q+,·〉 （ 正有理数与数乘 ） 为一群,1为其么元 。 〈 Q,·〉 不是群,因为数 0无逆元 。
因为零元无逆元,所以含有零元的代数系统就不会是群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.8】 设 g={a,b,c,d},*为 G上的二元运算,它由表 6.1.3给出,不难证明 G是一个群 。 且 e是 G中的幺元；
G中任何元素的逆元就是它自己,在 a,b,c三个元素中,
任何两个元素运算的结果都等于另一个元素,这个群称为 klein四元群 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.3
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.9】 设 〈 G,*〉 是一个独异点,并且每个元素都有右逆元,证明 〈 G,*〉 为群 。
证明 设 e是 〈 G,*〉 中的幺元。每个元素都有右逆
x∈ G y∈ G使得 x*y=e，而对于此 y
z∈ G使得 y*z=e x∈ G均有 x*e=e*x=e，因此
z=e*z=x*y*z=x*e=x
即
x*y=e=y*z=y*x=e
第 6章 几个典型的代数系统
y既是 x的右逆元,又是 x的左逆元,x∈ G均有逆元,〈 G,*〉 为群 。 对群 〈 G,*〉 的任意元素 a,我们可以同半群一样来定义它的幂,a0=e,对任何正整数 n，
an+1=an*a,群的幂运算有下列性质：
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.4 对群 〈 G,*〉 的任意元素 a,b,有
（ 1） (a-1)-1＝ a
（ 2） (a*b)-1＝ b-1*a-1
（ 3） (an)-1=(a-1)n（ 记为 a-n） （ n为整数 ）
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1） 因为 a-1的逆元是 a,即 a*a-1=a-1*a=e,所以
(a-1)-1＝ a。
（ 2） 因为
(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e
(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e
所以 a*b的逆元为 b-1*a-1,即 (a*b)-1＝ b-1*a-1。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3）对 n进行归纳。群首先是独异点，所以
a n+1=an*a。 n=1时命题显然真。设 n=k时 (a-1)k是 ak的逆元为真,即 (ak)-1=(a-1)k，那么
ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k
＝ ak*(a-1)k=e
(a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak
＝ (a-1)k*ak=e
故 ak+1的逆元为 (a-1)k+1,即 (ak+1)-1=(a-1)k+1。 归纳完成,得证 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.5 对群 〈 G,*〉 的任意元素 a,b,及任何整数 m,n,有
（ 1） am*an=am+n
（ 2） (am） n=amn
证明留给读者 。
群的下列性质是明显的 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.6 设 〈 G,*〉 为群,则
（ 1） G有唯一的幺元,G的每个元素恰有一个逆元 。
（ 2） 方程 a*x＝ b,y*a＝ b都有解且有唯一解 。
（ 3） 当 G≠{e}时,G无零元 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1） 结论是十分明显的 。
(2)先证 a-1*b是方程 a*x＝ b的解 。 将 a-1*b代入方程左边的 x,得
a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b
所以 a-1*b是该方程的解 。 下面证明唯一性 。
假设 c是方程 a*x＝ b的解,必有 a*c=b,从而有
c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b
唯一性得证 。 同理可证 b-1*a是方程 y*a＝ b的唯一解 。
（ 3） 若 G有零元,那么由定理 5.1.5知它没有逆元,与 G
为群矛盾 。 （ 注意,G={e}时,e既是幺元,又是零元 。 ）
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.7 设 〈 G,*〉 为群,则 G的所有元素都是可约的 。 因此,群中适合消去律,即对任意 a,x,y∈ S
a*x=a*y 蕴涵 x=y
x*a=y*a 蕴涵 x=y
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.6 设 G为有限集合时，称 G为有限群
（ finitegroup）,此时 G的元素个数也称 G的阶数
（ order）；否则，称 G为无限群（ infinitegroup）。
由定理 6.1.7可知,特别地,当 G为有限群时,*运算的运算表的每一行 （ 列 ） 都是 G中元素的一个全排列 。
对于有限群,运算可用表给出,称为群表 。 从而有限群
〈 G,*〉 的运算表中没有一行 （ 列 ） 上有两个元素是相同的 。 因此,当 G分别为 1,2,3阶群时,*运算都只有一个定义方式 (即不计元素记号的不同,只有一张定义
*运算的运算表,分别如表 6.1.4,6.1.5和 6.1.6所示 ),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.4
* e
e e
表 6.1.5
* e a
e
a
e a
a e
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.6
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.10】 设 〈 G,*〉 为有限独异点,适合消去律,
证明 〈 G,*〉 为群 。
证明 设 e是 〈 G,*〉 中的幺元 。 由 〈 G,*〉 适合消去律,a,b,c∈ G均有
a*b=a*c b=c
b*a=c*a b=c
又由于 〈 G,*〉 为有限独异点,a∈ G，
n∈ I+使得
an=e a*an-1=e=an-1*a
a∈ G,an-1∈ G是 a的逆元,故 〈 G,*〉 为群 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.8 设 〈 G,*〉 为群,则幺元是 G的唯一的幂等元素 。
证明 设 G中有幂等元 x，那么 x*x=x，又 x=x*e，所以 x*x=x*e。
由定理 6.1.7得 x=e。 故得证 。
设 〈 G,*〉 为群,如果我们用 aG和 Ga分别表示下列集合
aG={a*g|g∈ G} Ga={g*a|g∈ G}
那么我们有以下定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.9 设 〈 G,*〉 为一群,a为 G中任意元素,
那么 aG=G=Ga。
特别地,当 G为有限群时,*运算的运算表的每一行 （ 列 ） 都是 G中元素的一个全排列 。
证明 aG G是显然的 。
设 g∈ G,那么 a-1*g∈ G,从而 a*(a-1*g)∈ aG，
即 g aG。 因此 G Ga。 aG=G得证 。 Ga=G同理可证 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.11】 设 g={a,b,c,d},*为 G上的二元运算,
它由表 6.1.7给出,不难证明 G是一个群,且 e是 G中的幺元； G中元素 b的逆元就是它自己,a与 c互逆 。 在 a,b,c
三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素,这是除了 klein四元群外的另一个四阶群 。 对群还可以引入元素的阶的概念 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.1.7
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.7 设 〈 G,*〉 为群,a∈ G，满足等式 an=e
的最小正整数 n称为 a的阶 (order)，记作 |a|=n。若不存在这样的正整数 n,称 a是无限阶。
【 例 6.1.12】
(1)任何群 G的幺元 e的阶为 1,且只有幺元 e的阶为 1。
(2)〈 Z,+〉 中幺元 0的阶为 1,而整数 a=10时,a有无限阶 。
(3)〈 Z4,+4〉 中 ［ 1］ 的阶是 4,［ 2］ 的阶是 2,［ 3］
的阶是 4。
关于元素的阶有以下性质 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.10 有限群 G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群 G的阶数 |G|。
证明 设 a为 G的任一元素,考虑 e=a0,a1,a2,…,a|G|这
|G|+1个 G中元素,由于 G中只有 |G|个元素,由鸽巢原理,
它们中至少有两个是同一元素,不妨设
as=at 0≤s＜ t≤|G|
于是 at-s=e,因此 a有有限阶,且其阶数至多是 t-s,不超过群 G的阶数 |G|。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.11 设 〈 G,*〉 为群,G中元素 a的阶为 r,那么,an=e当且仅当 r整除 n。
证明 先证充分性 。
设 ar＝ e,r整除 n,那么设 n=kr（ k为整数 ）,因为
ar＝ e,所以 an=akr=(ar)k=er=e。 再证必要性 。
设 an＝ e,n=mr＋ k,其中 m为 n除以 r的商,k为余数,因此 0≤k＜ r。 于是
e＝ an＝ amr+k＝ amr*ak＝ ak
因此,由 r的最小性得 k=0,r整除 n。
第 6章 几个典型的代数系统理 6.1.12 设 〈 G,*〉 为群,a为 G中任一元素,那么 |a|=|a-1|。
证明 设 a的阶为 n,由 (a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知 a-1的阶是存在的。只要证 a具有阶 n当且仅当 a-1具有阶 n。由于逆元是相互的，即 (a-1)-1＝ a，因此只需证：当 a具有阶
n时,a-1也具有阶 n。
设 a的阶是 n,a-1的阶是 t。 由于
(a-1)n＝ (an)-1＝ e-1＝ e,故 t≤n。 又因为
at＝ ((a-1)t)-1＝ e-1＝ e,故 n≤t。 因此,
n＝ t,即 |a|=|a-1|。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.1.13】 设 G是 n阶有限群,证明：
（ 1） G中阶大于 2的元素个数一定是偶数；
（ 2） 若 n是偶数,则 G中阶等于 2的元素个数一定是奇数 。
证明
（ 1）设 A={x|x∈ G,x的阶大于 2} a∈ A，
a-1≠a，否则 a2=e与 a∈ A矛盾。
因为 a与 a-1的阶相同,且 a-1相对于 a是唯一的,所
a∈ A,a-1与 a成对出现,故 G中阶大于 2的元素个数一定是偶数 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2）当 n是偶数时，因为 G中阶大于 2的元素个数一定是偶数，所以 G中阶小于等于 2的元素个数是偶数，
由于阶为 1的元素是唯一的幺元 e，因此 G中阶等于 2的元素一定是奇数。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.1.8 设 〈 G,*〉 为一群。若 *运算满足交换律，则称 G为交换群或阿贝尔群（ Abelgroup）。阿贝尔群又称加群，常表示为 〈 G,+〉 （这里的 +不是数加，而泛指可交换二元运算,*常被称为乘）。加群的幺元常用 0来表示，常用 -x来表示 x的逆元。
如 〈 I,+〉 （整数集与数加运算）为一阿贝尔群
（加群）。 〈 Q,+〉,〈 R,+〉〈 C,+〉 均为交换群。
〈 Q+,·〉 （正有理数与数乘）为一阿贝尔群,1为其幺元。 〈 N4,＋ 4〉 为一 4阶阿贝尔群。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.1.13 设 〈 G,*〉 为一个群,〈 G,*〉 为阿贝尔群的充分必要条件是对任意 x,y∈ G,有（ x*y）
*(x*y)=(x*x)*(y*y)。
证明 先证必要性 。
设 〈 G,*〉 为阿贝尔群,这对于任意的 x,y∈ G，
有 （ x*y） =(y*x),所以
(x*x)*(y*y)=x*（ x*y)*y=x*（ y*x)*y=（ x*y） *(x*y)
再证充分性 。
第 6章 几个典型的代数系统设对于任意的 x,y∈ G,有
（ x*y） *(x*y)=(x*x)*(y*y)。 因为
x*（ x*y)*y=(x*x)*(y*y)=（ x*y） *(x*y)=x*（ y*x)*y
由消去律可得
（ x*y） =(y*x)
所以 〈 G,*〉 为阿贝尔群。
第 6章 几个典型的代数系统
6.2 子 群定义 6.2.1 设 〈 G,*〉 为群,H≠,如果 〈 H,*〉
为 G的子代数，且 〈 H,*〉 为一群，则称 〈 H,*〉 为
G的子群 (subgroups)，记作 H≤G。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.2.1】 〈 Z,+〉 是 〈 Q,+〉 的子群； 〈 Q,+〉 是 〈 R,+〉
的子群； 〈 R,+〉 是 〈 C,+〉 的子群 。
【 例 6.2.2】 E I,E为偶数集。那么 〈 E,+〉 为 〈 I,+〉 的子群； M I,M为奇数集,但 〈 M,+〉 不是 〈 I,+〉 的子群。
显然,对任何群 G,〈 {e},*〉 及 〈 G,*〉 均为其子群,
它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群 。
第 6章 几个典型的代数系统子群有下列特性定理 6.2.1 设 〈 G,*〉 为群,那么 〈 H,*〉 为
〈 G,*〉 的子群的充分必要条件是
（ 1） G的幺元 e∈ H。
（ 2） 若 a,b∈ H,则 a*b∈ H。
（ 3） 若 a∈ H,则 a-1∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统证明 先证必要性 。 设 H为子群 。
（ 1）设 〈 H,*〉 的幺元为 e′,对于任意 x∈ S G,那么 e′*x=x=e*x。由于在 G中满足消去律,故 e′=e,e∈ H得证。
（ 2） 是显然的 （ 因 H为子代数 ） 。
（ 3） 设 〈 H,*〉 中任一元素 a在 H中逆元为 b,那么
a*b=b*a=e,因为 H∈ G,所以 a,b∈ G由逆元的唯一性,b就是 a在 G中的逆元,即 b=a-1∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统充分性是明显的 。 事实上只要条件 （ 2）,（ 3）
便可使 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群,因为 H不空时条件
（ 2）,（ 3） 蕴涵条件 （ 1）,因此,可用 （ 2）,（ 3）
来判别非空子集 H是否构成 G的子群 〈 H,*〉 。
对于有限群,子群的判别更为简单 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.2.2 设 〈 G,*〉 为群,H为 G的非空有限子集，
且 H对 *运算封闭,那么 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群。
证明 由于 H为有限集,设 |H|=k,a∈ H。 考虑
a1,a2,…,ak+1,…
它们都在 H中 (H对 *运算封闭 ),由鸽巢原理,因此必定有 ai=aj(0≤i＜ j≤k+1),从而 aj-i=e,故 e∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统若 H={e},〈 H,*〉 为 G的子群得证 。
若 H≠{e},设 a为 H中任意一个不同于 e的元素 。 同上可证,有 r≥2使 ar=e,从而有
ar=a*ar-1=ar-1*a=e
因此,a-1=ar-1∈ H。
据定理 6.2.1,〈 H,*〉 为 G的子群得证。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.2.3 设 〈 G,*〉 为群,H是 G的非空子集，
那么 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉
a,b∈ H有 a*b-1∈ H。
证明 先证必要性 。
任取 a,b∈ H,由于 H是 G的子群,必有 b-1∈ H,所以
a*b-1∈ H。
第 6章 几个典型的代数系统再证充分性 。
因为 H非空,必存在 a∈ H(取 b=a),由已知条件有
a*a-1∈ H,即 e∈ H。
任取 a∈ H,由 e,a∈ H有 e*a-1∈ H,即 a-1∈ H。
任取 a,b∈ H,则 b-1∈ H,由已知条件有 a*(b-1)-1∈ H，
即 ab∈ H。
据定理 6.2.1,〈 H,*〉 为 G的子群得证 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.2.3】 Klein四元群,〈 {e},*〉,〈 {e,a},*〉,
〈 {e,b},*〉,〈 {e,c},*〉 均是其子群 。
【 例 6.2.4】 设 G为群,a∈ G,令 H={ak|k∈ Z},即 a的所有的幂构成的集合，则 H是 G的子群，称为由 a生成的子群，记作 〈 a〉 。 a称为生成元 (generater)。
证明 因为 a∈ 〈 a〉,所以 〈 a〉 ≠ 。任取
am,a1∈ 〈 a〉,有
am(a1)-1=ama-1=am-l∈ 〈 a〉
由定理 6.2.3可知 〈 a〉 ≤G。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.2.5】 〈 Z,+〉 除 〈 0〉 ={0}外,子群都是无限阶 。
〈 1〉 ={0,1,-1,2,-2,…}=Z,称 1是 Z的生成元 。
〈 2〉 ={0,2,-2,4,-4,…}={2 k|k∈ Z}=2Z
【 例 6.2.6】 设 〈 G,*〉 是群,对任一个 a∈ G,令 C是与 G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即
C={y|y*a=a*y,y∈ G}
则 〈 C,*〉 是 G的子群,称为 G的中心 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 由 e与 G中所有元素可交换可知 e∈ C。 C是 G
的非空子集 。
由 y*a=a*y可得 y=a*y*a-1,x,y∈ C,因为
x*y-1=（ a*x*a-1） *（ a*y-1*a-1） =a*x*y-1*a-1
因此 x*y-1*a=a*x*y-1
所以 x*y-1∈ H,故 〈 C,*〉 是 G的子群 。
第 6章 几个典型的代数系统
6.3 循环群和置换群在这一节里我们要介绍两种重要的群 ——循环群和置换群 。
定义 6.3.1 如果 G为群,且 G中存在元素 a,使 G以 a为生成元,称 〈 G,*〉 为循环群 (cyclicgroup),即 G的任何元素都可表示为 a的幂 （ 约定 e=a0） 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.1】
（ 1） 〈 Z,+〉 为循环群,1或 （ － l） 为其生成元 。
（ 2） 令 A={2i|i∈ I},那么 〈 A,·〉 (·为普通的数乘 )
是循环群,2是生成元 。
（ 3） 〈 Z8,+8〉 为循环群,1,3都可以是生成元 。
（ 4）
1 |,
01 nz
n
·〉 (·为矩阵乘法 ),幺元为 10
01
因为 1 1 1
0 1 0 1 0 1
n m m n
,所以逆元为
111
0 1 0 1
nn
，生成元为 10
01
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.1 设 〈 G,*〉 为循环群,a为生成元,则 G
为阿贝尔群 。
证明 对于任意的 x,y∈ G,必有 s,t∈ Z使得 x=as,y=at，
所以
x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*x
所以,〈 G,*〉 为阿贝尔群 。
定理 6.3.2 G为由 a生成的有限循环群,则有
G={e,a,a2,…,an-1}
其中 n=|G|,也是 a的阶,从而 n阶循环群必同构于
〈 Zn,＋ n〉 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 由于 G为有限群,a有有限阶,设为 k,k≤|G|=n。
易证 {e,a,a2,…,ak-1}为 G的子群 （ 只要证其每一元素
ai有逆元 ak-i） 。 现证
G {e,a,a2,…,ak-1}
从而知 n=k,G={e,a,a2,…,an-1}。
第 6章 几个典型的代数系统设有 am∈ G，但 am {e,a,a2,…,ak-1}。令
m=pk+q，其中 p为 k除 m的商,q为余数,0≤q＜ k，于是
am=apk+q=apk*aq=aq
这就是说 aq {e,a,a2,…,ak-1},0≤q＜ k,产生矛盾 。 因此 G={e,a,a2,…,ak-1},命题得证 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.3 设 〈 G,*〉 为无限循环群且 G=〈 a〉,
则 G只有两个生成元 a和 a-1,且 〈 G,*〉 同构于 〈 Z,+〉 。
证明 首先证明 a-1是其生成元,因为
〈 a-1〉 G,须证 G 〈 a-1〉,设 ak∈ G,因为
ak=（ a-1） -k,G=〈 a-1〉 。
第 6章 几个典型的代数系统再证明 G只有两个生成元 a和 a-1。 假设 b是 G的生成元,则 G=〈 b〉,由 a∈ G可知存在整数 s使得 a=bs,又由
b∈ G可知存在整数 t使得 b=at,有
a=bs=(at)s=ats
由消去律得
a ts-1=e
因为 〈 G,*〉 为无限循环群,所以 ts-1=0,从而有
t=s=1或 t=s=-1。 因此 b=a或 b=a-1。
第 6章 几个典型的代数系统上面定理 6.3.2和定理 6.3.3告诉我们,循环群本质上只有两种,一种同构于 〈 Z,+〉,另一种同构于
〈 Zn,+〉,弄清了 〈 Z,+〉 与 〈 Zn,+〉,也就弄清了所有无限的和有限的循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.4 循环群的子群都是循环群 。
证明 设 〈 G,*〉 为 a生成的循环群,〈 H,*〉 为其子群 。 当然,H中元素均可表示为 ar形 。
（ 1） 若 H＝ {e}=〈 e〉,显然 H为循环群 。
（ 2） 若 H≠{e},那么 H中有 ak(k≠0)。 由于 H为子群,
H中必还有 a-k,因此,不失一般性,可设 k为正整数,
并且它是 H中元素的最小正整数指数 。 现证 H为 ak生成的循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统设 am为 H中任一元素,令 m＝ pk+q,其中 p为 k除 m
的商,q为余数,0≤q＜ k。 于是
am=apk+q＝ apk*aq
aq=a-pk*am
由于 am,a-pk∈ H（ 因 apk∈ H）,故 aq∈ H,根据 k的最小性,q＝ 0,从而 am=gpk=(ak)p,H为循环群得证 。 根据上述定理,立即可以推得以下定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.5 设 〈 G,*〉 为 a生成的循环群 。
（ 1） 若 G为无限群,则 G有无限多个子群,它们分别由 a0,a1,a2,a3,…生成 。
（ 2）若 G为有限群,|G|＝ n，且 n有因子 k1,k2,k3,…,kr，
那么 G有 r个循环子群，它们分别由 ak1,ak2,ak3,… 生成。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.2】 〈 Z,＋ 〉 有循环子群：
〈 {0},＋ 〉,〈 2Z,＋ 〉,〈 3Z,＋ 〉,
〈 4Z,＋ 〉,…,〈 Z,＋ 〉
下面考虑置换群 。
定义 6.3.2 任意集合 A上的双射函数称为变换 。 对任意集合 A定义集合 G,即 A≠,G={f|f是 A上的变换 },。
为函数的复合运算,〈 G,。 〉 是群,称为 A的全变换群,
记作 SA,SA的子群称为 A的变换群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.3】 平面上全体平移组成一个变换群 。
解 设 σ1,α→ α+β1（ 一个双射函数 ）,
σ2,α→ α+β2,则 σ2。 σ1,α→ α+（ β1+β2）,。 封闭 。
σe,α→ α是幺元 。 σ1的逆元为 σ-11,α→ α-β1。
面上全体平移组成一个变换群 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.3.6 每个群均同构于一个变换群 。
证明 设 〈 G,*〉 为任一群,对 G中每一元素 a,定义双射函数 fa,G→ G如下,
fa（ x） ＝ a*x
显然 fa为双射,令
F={fa|a∈ G}
第 6章 几个典型的代数系统下证 〈 F,。 〉 为群 （ 。 为函数复合运算 ） 。
（ 1） F对 。 运算封闭 。
设 fa∈ F,fb∈ F,那么 a∈ G,b∈ G。 考虑 fa。 fb：对任意 x∈ G,有
fa。 fb（ x） ＝ fa(fb(x))＝ a*b*x＝ fa≠b（ x）
即 fa。 fb＝ fa≠b。 由于 a*b∈ G,fa≠b∈ F,故 fa。 fb∈ F。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2） 。 运算显然满足结合律 。
（ 3） 。 运算有幺元 fe∈ F。 e为群 G的幺元 。
（ 4） F中每一元素 fa均有逆元 fa-1。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.4】 设 A={1,2,3},A上有 6个置换：
1 2 3
4 5 6
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 1 3 3 2 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 2 3 1 3 1 2
一般地,A={a1,a2,…,an}时,A上有 n!个置换 。
置换 σ满足 σ(ai)＝ aji时,可表示为
12
12
n
j j j n
a a a
a a a
第 6章 几个典型的代数系统置换的合成运算通常用记号 。 表示之,对置换的独特表示形式计算它们的合成时,可像计算两个关系的合成那样来进行 。 例如：
53
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 2 1 2 1 3
因此,应当注意
(σi。 σj)(x)=σj(σi(x))
第 6章 几个典型的代数系统对于置换的复合运算而言,A上的全体置换中有幺元 ——恒等函数,又称幺置换,且每一置换都有逆置换,
因此置换全体构成一个群 。
定义 6.3.4 将 n个元素的集合 A上的置换全体记为 Sn，
那么称群 〈 Sn,。 〉 为 n次对称群 （ symmetricgroup）,
它的子群又称为 n次置换群 （ permutationgroup） 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.3.5】 令 A={1,2,3,4},S4=｛ σ|σ为 A上置换 ｝,
因此,〈 S4,。 〉 为四次对称群 。
解
01
23
45
67
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 2 3 4 1
1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 1 2 4 1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
4 3 2 1 2 1 4 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 4 3 2 3 2 1 4
第 6章 几个典型的代数系统表 6.3.1
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.3.5 设 σ是 S={1,2,…,n}上的 n元置换。若
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1且保持 S中的其它元素不变，则称 σ为 S上的 k阶轮换，记作（ i1,i2,…,ik）。若
k=2,这时也称 σ为 S上的对换。
下面介绍置换的轮换表示。 设置换为
1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 5 4 7 2 1 8
其轮换表示为
σ=（ 1357）（ 26）（ 4）（ 8
第 6章 几个典型的代数系统轮换有下面性质：
(1)每个置换均可写成一些轮换的乘积,使得不同轮换中没有公共元素 。 例如,
1 2 3 4 5 6 7 ( 1 ) ( 2 3 ) ( 4 5 6 ) ( 7)
1 3 2 5 6 4 7
长度为 1的轮换往往忽略不写,即上式通常记为
（ 23） （ 456） 。
(2)同一置换中任何不相交轮换可交换,因为不同轮换中没有公共元素,这些轮换的次序可任意改变 。 如上式 （ 23） （ 456） =（ 456） （ 23） 。
第 6章 几个典型的代数系统
(3)如果不计这种次序,每个置换可唯一表成没有公共元素的一些轮换之积 。
(4)每个轮换可表成一些对换之积 。 例如 （ 1,2，
3,…,n） =(1n)(1n-1)…(13)(12),所以每个置换中可表成有限个对换之积 。 这种表达式 （ 甚至对换的个数 ） 显然不唯一 。 但是,同一个置换以多种方式表成对换之积时,其所含对换个数的奇偶性是不变的 。 表成奇
（ 偶 ） 数个对换之积的置换叫做奇 （ 偶 ） 置换 。 显然,
两个奇置换或两个偶置换之积是偶置换,一个奇置换与一个偶置换之积是奇置换 。
第 6章 几个典型的代数系统
6.4 陪集与拉格朗日定理定义 6.4.1 设 〈 G,*〉 为群,A,B G,且 A,B非空，则
AB={a*ba∈ A,b∈ B}称为 A,B的乘积。
【 例 6.4.1】 设 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},
A={(1),(12)},B={(123),(13)},求 AB,BA。
解 AB={（ 123），（ 13），（ 12）（ 123），（ 12）
（ 13） }={（ 123），（ 13） }
第 6章 几个典型的代数系统
BA={（ 123）,（ 13）,（ 123） (12）,（ 13）
（ 12） }={（ 123）,（ 13）,(23),(132)}
一般地,|AB|≠|A||B|,当 G可交换,则 AB=BA。 当
A={a}时,{a}B=aB。 乘积的性质：设 〈 G,*〉 为群,
A,B,C G,且 A,B,C非空,则?
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1）（ AB） C=A(BC)（因为群中所有元素都满足结合律）。
（ 2） eA=Ae=A（因为群中所有元素乘一幺元都等于元素本身）。
定义 6.4.2 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群，那么对任一 g∈ G，称 gH为 H的左陪集 (leftcoset)称 Hg为 H的右陪集 (rightcoset)。这里
gH={g*h|h∈ H},Hg={h*g|h∈ H}
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.4.2】 在 S3中,H={(1),(12)},则
(13） H={(13)(1),(13)(12)}={(13),(132)}
(123)H={(123)(1),(123)(12)}={(123),(23)}
关于左 （ 右 ） 陪集我们有以下定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.1 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群,那么
（ 1） 对任意 g∈ G,|gH|=|H|（ |Hg|=|H|） 。
（ 2） 当 g∈ H时,gH=H（ Hg=H） 。
证明 （ 1） 只要证 H与 gH之间存在双射即可 。
定义函数 f:H→ gH如下,对任何一 h∈ H,有
f（ h） =g*h
第 6章 几个典型的代数系统设 h1≠h2，则 f（ h1） =g*h1,f（ h2） =g*h2，若
f（ h1） =f（ h2），那么由消去律即得 h1=h2，与
h1≠h2矛盾。
f为单射得证。 f为满射是显然的。因此 f为双射。
|gH|=|H|得证。同理可证 |Hg|=|H|。所以一个元素乘以集合使该集合的基数保持不变。
（ 2） 由定理 6.1.9立即可得 。
第 6章 几个典型的代数系统下面几个定理讨论陪集的性质 。
定理 6.4.2 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群,有
（ 1） a∈ aH。
（ 2） 若 b∈ aH,则 bH=aH。
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1）因为 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群，所以 G中的幺元 e一定在子群 H中,所以 a=a*e∈ aH,因此 a∈ aH，
得证。
(2)若 b∈ aH,则存在 h∈ H,使 b=ah,bH=(ah)H=a(hH),
由定理 6.4.1之 （ 2） 可知 hH=H,因此 bH=a(hH)=aH。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.3 任意两陪集或相同或不相交。即设
〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 a,b∈ G，则或者
aH=bH（ Ha=Hb），或者 aH∩bH= （ Ha∩Hb= ）。
证明 我们用否定一个推出另一个的方法 。 只需证明若相交则相同 。
设 aH∩bH≠,那么有 c∈ aH∩bH,因此存在
h1,h2∈ H使得 a*h1=b*h2。 于是 a＝ b*h2*h-11。
第 6章 几个典型的代数系统为证 aH bH，设 x∈ aH，那么有 h3∈ H，使得
x=a*h3=b*(h2*h-11*h3)∈ bH。 aH bH得证。
同理可证 bH aH。 于是 aH=bH得证 。 对于右陪集
Ha,Hb,同上可证平行的命题 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.4 设 〈 H,*〉 为 〈 G,*〉 的子群，
a,b∈ G有 a,b属于 H a-1*b∈ H。
证明 设 a,b属于 H的同一左陪集,则有 g∈ G,使
a,b∈ gH,因而有 h1,h2∈ H,使得 a=g*h1,b＝ g*h2。
于是
a-1*b=(g*h1)-1*(g*h2)=h-11*h2∈ H
反之,设 a-1*b∈ H,即有 h∈ H 使 a-1*b=h 。 因而
b=a*h∈ aH。 而 a∈ aH显然,故 a,b在同一左陪集 aH中 。
利用陪集还可定义陪集等价关系 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.5 设 〈 H,*〉 为群 〈 G,*〉 的子群,则
R={〈 a,b〉 |a,b∈ G,a-1*b∈ H}是 G上的一个等价关系，
且［ a］ R=aH，称 R为群 G上 H的左陪集等价关系。
证明 首先证明 R是一个等价关系 。
（ 1 ） a∈ G,a-1∈ G,有 a-1*a=e∈ H,所以 〈 a,a〉
∈ R,因此 R是自反的 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2）若 〈 a,b〉 ∈ R,有 a-1*b∈ H，（ a-1*b） -1=
b-1*a,因为 H群 G的子群，所以（ a-1*b） -1∈ H，即
b-1*a∈ R,所以 〈 b,a〉 ∈ R,因此 R是对称的。
（ 3）若 〈 a,b〉,〈 b,c〉 ∈ R,则有 a-1*b∈ H和
b-1*c∈ H,所以 (a-1*b)*(b-1*c)∈ H，而
(a-1 b)*(b-1*c)=a-1*c∈ H,所以 〈 a,c〉 ∈ H,因此 R是传递的。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.4.6 设 〈 G,*〉 为有限群,H是 G的子群,那么 |H||G|（ H的阶整除 G的阶 ） 。
证明 设 R是 G中的等价关系，将 G分成不同等价类，
由以上讨论知
11
kk
iiR
ii
G a a H
由于这 k个左陪集是两两不相交的,所以有
|G|=|a1H|+|a2H|+…+| akH| (6.4.1)
第 6章 几个典型的代数系统由定理 6.4.1可知 |aiH|=|H|(i=1,2,…,k),将这些式子代入式 (6.4.1)得
|G|=k|H|
其中 k为不同左（右）陪集的数目。定理得证。
第 6章 几个典型的代数系统推论 1：有限群 〈 G,*〉 中任何元素的阶均为 G的阶的因子 。
证明 设 a为 G中任一元素,a的阶为 r,那么令 H=〈 a〉
={e,a,a2,…,ar-1},则 H必为 G的 r阶子群,由定理 6.4.6,
因此 r整除 |G|。
推论 2:质数阶的群没有非平凡子群 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 如果有非平凡子群,则该子群的阶必是原来群的阶的一个因子,则与原来群的阶是质数相矛盾 。
推论 3：设 〈 G,*〉 是群且 ∣ G∣ =4,则 G同构于 4阶循环群 C4或 Klein四元群 D2。
证明 设 G={e,a,b,c},其中 e是幺元。因为元素阶只可能是 1,2,4。若有 4阶元 a，则
|a|=4,〈 a〉 ={e,a,a2,a3}≌ C4(≌ 表示同构 )。
第 6章 几个典型的代数系统若 G中无 4阶元素,则 G中有一个幺元,剩余的 3个均是 2阶元,a2=b2=c2=e。 a*b不可能等于 a,b或 e,否则将导致 b=e,a=e或 a=b的矛盾 。 所以 a*b=c,同样地有
b*a=c及 a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。
因此这个群是 Klein四元群 D2。
第 6章 几个典型的代数系统
6.5 正规子群、商群和同态基本定理定义 6.5.1 设 〈 H,*〉 为群 〈 G,*〉 的子群,如果对任一 g∈ G,有
gH＝ Hg
则称 H为正规子群（ normalsubgroup）。显然，任何群都有正规子群，因为 G的两个平凡子群即 G和 {e}
是 G的两个正规子群。当 G为阿贝尔群时,G的任何子群都是正规子群。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.1 设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的子群，
〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 g∈ G，
h∈ H有 g*h*g-1∈ H。
证明 g∈ G，有 gH=Hg。
任取 g*h∈ gH,由 g*h*g-1∈ H可知，存在 h1∈ H使得
g*h*g-1=h1,从而得 g*h=h1*g∈ Hg,所以 gH Hg。
第 6章 几个典型的代数系统反之,h*g∈ Hg,由 g-1∈ G,(g-1)*h*(g-1)-1∈ H即
g-1*h*g∈ H,所以存在 h1∈ H使得 g-1*h*g=h1,从而得 h*g=g*h1∈ gH,所以 Hg gH。
因此,g∈ G有 gH=Hg。
再证必要性 。
任取 g∈ G,h∈ H,由 gH=Hg,可知存在 h1∈ H使得
g*h=h1*g。 因此有
g*h*g-1=h1*g*g-1=h1∈ H
第 6章 几个典型的代数系统我们知道,G的子群 H的左 （ 右 ） 陪集全体构成 G
的划分,从而导出 G上的一个等价关系 。 那么当 H为正规子群时情况将如何呢？ 此时正规子群的左陪集或右陪集均可称为陪集 。
利用群的正规子群能够按如下方式诱导出一个新的群,这个群比原来的群简单却又保留了原来群的许多重要性质 。
第 6章 几个典型的代数系统设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的正规子群,H在 G中的所有陪集形成一个集合，即 G/H={gH|g∈ G}(或
{Hg|g∈ G}),⊙ 运算定义如下,对任意 g1,g2∈ G，有
［ g1］ ⊙ ［ g2］ =［ g1*g2］
g1H⊙ g2H=(g1*g2)H 或 Hg1⊙ Hg2=H(g1*g2)
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.2 设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的正规子群,
群 G的商代数系统 〈 G/H,⊙ 〉 构成群 。
证明
（ 1） ⊙ 运算满足结合律 。 x,y,z∈ G,有
((xH)⊙ (yH))⊙ (zH) =((x*y)H)⊙ (zH)=((x*y)*z)H
=x*(y*z)H=(xH)⊙ ((y*z)H)=(xH)⊙ ((yH)⊙ (zH))
第 6章 几个典型的代数系统
(2) eH(=H)为关于 ⊙ 运算的幺元。事实上,对任意
g∈ G，有
gH⊙ eH=(g(e)H=gH=eH⊙ gH
(3)对每一 gH有关于 ⊙ 运算的逆元 。 事实上,对任意
g∈ G,有
gH⊙ g-1 H=(g*g-1)H=H=g-1 H⊙ gH
所以 〈 G/H,⊙ 〉 构成群 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.5.2 群 G的正规子群 H的所有陪集在运算
g1H⊙ g2H=(g1* g2)H下形成的群 G/H称为 G关于 H的商群。
显然,当 G为有限群时,有如下关系
G的阶
H的阶
=G/H的阶第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.5.1】 H={0,3}时 〈 H,*〉 为群 〈 Z6,+6〉 的正规子群。由于它们都是加群,我们把左右陪集分别表示为 a+H,H+a。于是 H有左右陪集如下：
0+H=H+0=H:{0,3}
1+H=H+1=H:{1,4}
2+H=H+2=H:{2,5}
〈 Z6,+6〉 有商群 〈 {{0,3},{1,4},{2,5}},〉,而 (a+H)
(b+H)=(a+b)+H。 例如
{1,4} {2,5}=(1+H) (2+H)=3+H={0,3}
我们再来讨论群之间的同态映射 —— 群同态。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.3 群 〈 G,*〉 与它的每个商群 〈 G/H,⊙ 〉 同态 。
证明 只要在 G与 G/H之间建立对应 φ,g→ gH,g∈ G,φ
显然是 G到 G/H上的映射,而且对于任意的 x,y∈ G,有
x*y→( x*y)H=(xH)⊙ (yH)
所以 φ是 G到 G/H上的一个同态映射。
最后介绍同态基本定理,这个定理揭示了两个同态群之间的重要关系 。 为此先讨论同态核的性质 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.4 设 φ为群 〈 G1,*1〉 到群 〈 G2,*2〉 的同态映射,那么 φ的核 K(φ)构成 〈 G1,*1〉 的正规子群。 (为简明起见,以下用 K表示 K(φ)。 )
证明 不难看出 〈 K(φ),*1〉 为 〈 G1,*1〉 的一个子群 。
现对任一 g∈ G,证明 gK=Kg。 为此,设 x∈ gK,那么有
k∈ K,使得 x=g*1k。 考虑到
φ(g*1k*1g-1)=φ(g)*2φ（ e1） * 2φ(g-1)
第 6章 几个典型的代数系统
φ（ g-1)=φ（ g)-1,φ（ e1） =e2
φ(g*1k*1g-1)=φ(g)*2φ（ g)-1=e2
故 g*1k*1g-1∈ K。 由定理 6.5.1知 K为 G的正规子群 。
下面就是重要的同态基本定理 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.5.5 设 φ为群 〈 G1,*1〉 到群 〈 G2,*2〉 的同态映射,K=K(φ),那么商群 〈 G/K,⊙ 〉 与同态像 〈 φ(G1),*2〉
同构。
证明 在 G/H与 φ(G1)之间我们建立如下对应,
σ,（ xK） → φ(x) x∈ G
下面表明 σ为 G/H与 φ(G1)之间的同构映射 。 共分四点说明,前三点说明 σ是 G/H与 φ(G1)之间的一一对应,
第四点说明 σ还保持群的运算关系不变 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1） σ把 G/K中的任意元素（ xK）只映射为 φ(G1)中的一个元素。这是因为对于（ xK）中的任意代表元 xk，
有
φ(x*1k)=φ(x)*2φ(k)=φ(x)*2e2=φ(x)
所以在映射 σ下 G/K中的任意元素 （ xK） 在 φ(G1)中只有一个像 。
（ 2） 对于 φ(G1)中的任意元素 b,由于 φ是 G1到 φ(G1)
的满射,故 b在 G中至少有一个像源 a(即
φ（ a） =b),从而对于 σ而言,b在 G/K中就至少有一个像源 aK,这说明 σ是满射 。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3） σ也是单射。如果 xK≠yK,则 x-1*1y K,从而 φ(x-
1*1y)≠e2,于是 φ（ x） -1=φ(y)≠e2,即
φ（ x） ≠φ(y)。
（ 4） 在映射 σ之下,我们有
(xK)⊙ (yK)=(x*1y)K→ φ(x*1y)=φ(x)*2φ(y)
左面的等式是根据商群 G/K中的运算,右面的等式是因为 φ为同态映射 。 该式表明 σ是保持运算关系的 。
综上所述,σ为 G/K与 φ(G1)之间的同构映射。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.5.2】 设 h为群 〈 Z6,+6〉 到群 〈 Z3,+3〉 的同态映射,使得
h(x)=2x(mod3)
即 h(0)=h(3)=0,h(1)=h(4)=2,h(2)=h(5)=1
于是 K=K（ h） ={0,3},〈 K,+6〉 为 〈 Z6,+6〉 的正规
〈 Z6/K,〉 =〈 {{0,3},{1,4},{2,5}},〉
它同构于 〈 Z3,+3〉,同构映射 σ:Z6/K→ Z3满足
σ（ {0,3}） =0,σ（｛ 2,5｝） =1,σ（ {1,4}） =2
第 6章 几个典型的代数系统
6.6 环 和 域从这一节起我们要讨论含有两个二元运算的代数结构,首先讨论环 。
定义 6.6.1 〈 R,+,·〉 是代数系统,+,·是二元运算,
如果满足
（ 1） 〈 R,+〉 是阿贝尔群 （ 或加群 ） ;
（ 2） 〈 R,·〉 是半群 ;
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3）乘运算对加运算可分配，即对任意元素
a,b,c∈ R，有
a·（ b＋ c） ＝ a·b+a·c,（ b＋ c)·a=b·a+c·a
则称 〈 R,+,·〉 为环 （ ring） 。
约定,文中符号＋,·表示一般二元运算,分别称为环中的加法,乘法运算 （ 未必是数加和数乘 ）,并对它们沿用数加,数乘的术语及运算,例如,a,b的积表示为 ab,n个 a的和 a+… +a表示为 na,n个 a的积表示为
an等 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.1】
（ 1） 〈 Z,+,·〉,〈 Q,+,·〉,〈 R,+,·〉,〈 C,+,·〉 均为环 (其中 Z为整数集,Q为有理数集,R为实数集,C
为复数集,+,·为数加与数乘运算 )。
（ 2） Mn （ R）表示所有实数分量的 n× n方阵集合与矩阵加运算（ +）及矩阵乘运算（ 。 ）构成一环，即
〈 Mn （ R）,+,。 〉 为环。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 3） 〈 P(A),,∩〉 是环。其中 P(A)是集合 A上的幂
,∩为集合上的交运算。
（ 4） 〈 Zk,+k,× k〉 为环，因为我们已知 〈 Zk,+k〉 为加群，,〈 Zk,× k〉 a,b∈ Zk,有
a+kb=(a+b)modk,a× kb=(a·b)modk（＋,·是数加和数乘）。下面用 x（ modk）表示 x除以 k的余数。
第 6章 几个典型的代数系统此外,
a× k（ b+kc） =a× k((b+c)modk)
=（ a·（ b+c） （ modk）） （ modk）
=（ a·（ b+c）） （ modk）
=（ a·b+a·c） （ modk）
=a·b（ modk） +ka·c（ modk）
=a× kb+ka× kc
且同理可证（ b+kc） × ka=b× ka+kc× ka。
第 6章 几个典型的代数系统
（ 5） R［ x］表示所有实系数多项式（以 x为变元）
的集合与多项式加、乘运算构成环，即 〈 R［ x］,+,·〉
为环。
（ 6） 〈 {0},+,·〉 (其中 0为加法幺元,乘法零元 )为环,称为零环 。 （ 其它环至少有两个元素 。 ）
（ 7） 〈 {0,e},+,·〉 (其中 0为加法幺元,乘法零元,
e为乘法幺元 )为环 。 环 R中,将用 -b表示 b的加法逆元,
a+(-b)记为 a-b。 环有下列基本性质 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.6.1 设 〈 R,+,·〉 为环,0为加法幺元,那么对任意 a,b,c∈ R,有
（ 1） 0·a=a·0=0(加法幺元必为乘法零元 )
（ 2） （ -a） ·b=a·（ -b） =-（ a·b）
（ -a表示 a的加法逆元,下同 ）
（ 3） （ -a） ·（ -b） =a·b
（ 4） （ a-b） ·c＝ a·c-b·c,c·（ a-b） ＝ c·a-c·b
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1） a·0＝ a·（ 0+0） =a·0+a·0因为 〈 R,+〉 是阿贝尔群，所以满足消去律。因此 a·0＝ 0。
同理可证 0·a=0。
（ 2） a·b+(-a)·b=(a+(-a))·b=0·b=0,因为 〈 R,+〉 是阿贝尔群,由逆元的唯一性,有 (-a)·b=-（ a·b） 。
第 6章 几个典型的代数系统同理可证 a·（ -b） =-a·b。
（ 3） （ -a） ·（ -b） =-(a·(-b))=-(-(a·b))=a·b。
（ 4） (a-b)·c＝ (a+(-b))·c=a·c+(-b)·c
＝ a·c+(-b·c)=a·c-b·c。
同理可证 c·(a-b)＝ c·a-c·b。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.2 设 〈 R,+,·〉 是环，若 ·运算可交换，称 R
为交换环（ commutativerings），当 ·运算有么元时，
称 R为含么环（ ringwithunity）。
例 6.5.1中 （ 1）,（ 3）,（ 4）,（ 5） 是含幺交换环,（ 2） 是含幺环,因为矩阵乘法不可交换 。 环不仅必有零元,还可能有下述所谓的零因子 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.3 设 〈 R,+,·〉 为环，若有非零元素 a,b满足 a·b=0，则称 a,b为 R的零因子（ divisorof0），并称 R
为含零因子环，否则称 R为无零因子环。
【 例 6.6.2】
(1)在环 〈 Z8,+8,× 8〉 中,［ 0］ 是零元,［ 2］,［ 4］
为零因子,因为 ［ 2］ × 8［ 4］ ＝ 0。
(2)在环 〈 M2(R),+,。 〉 中有零因子 1 0 0 0
0 0 1 1
和
1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
它是矩阵加的幺元。
第 6章 几个典型的代数系统
(3)在环 〈 P(A),,∩〉 中,取 X A且 X≠,Y=,所以 X∩Y= 。 (是 〈 P(A),〉 的幺元 。
关于零因子我们有定理 6.6.2。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.6.2 设 〈 R,+,·〉 为环,那么 R中无零因子当且仅当 R中乘运算满足消去律 （ 即 R中所有非零元素均可约 ） 。
证明 设 R无零因子,且 a≠0,a·b=a·c,那么
a·b－ a·c＝ 0有 a·(b－ c)＝ 0。
因为 R无零因子,所以 a和 b-c不是零因子,因此或者 a＝ 0或者 b－ c=0。 因为 a≠0,故 b-c＝ 0,即 b＝ c。 a可约得证 。
第 6章 几个典型的代数系统反之，设对任意元素 x,y,z,x≠0，由 x·y=x·z，
可推得 y=z。欲证 R无零因子,反设 R中有零因子 a,b，
a≠0,b≠0,但 a·b=0，于是 a·b＝ a·0，据可约性得 b=0，
与前面矛盾。因此 R无零因子。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.4 设 〈 R,+,·〉 不是零环,如果 〈 R,+,·〉 满足含幺、交换、无零因子环，则称 R为整环
（ integra1domain）。显然，上文中的 〈 Z,+,·〉 是整环，
〈 Z8,+8,× 8〉 及 〈 M2(R),+,。 〉 不是整环。
注意 〈 {0},+,·〉 也不是整环,它是零环。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.5 设 〈 R,+,·〉 为环,如果有集合 S满足
（ 1） 〈 S,+〉 为 〈 R,+〉 的子群 （ 正规子群 ） ;
（ 2） 〈 S,·〉 为 〈 R,·〉 的子半群,
则称代数系统 〈 S,+,·〉 为 R的子环 （ subring） 。
显然,当 〈 S,+,·〉 为 〈 R,+,·〉 的子代数系统,并且 S对 (关于 +的 )求逆运算,－,封闭,那么 〈 S,+,·〉 为
〈 R,+,·〉 的子环 。 另外,由于乘对加的分配律在 〈 S,+,·〉
中沿袭下来,因此子环必定是环 。
第 6章 几个典型的代数系统定义 6.6.6 如果 〈 F,+,·〉 是环,且令 F*=F-{0},
〈 F*,·〉 为阿贝尔群，则称 〈 F,+,·〉 为域（ fields）。
由于群无零因子 （ 因为群满足消去律 ）,因此域必定是整环 。 事实上,域也可以定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.3】 〈 Q，＋,·〉,〈 R，＋,·〉,
〈 C，＋,·〉 均为域，并分别称为有理数域、实数域和复数域。但 〈 Z，＋,·〉 不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元。
〈 Z7,+7,× 7〉 为域,1和 6的逆元是 1和 6,2和 4互为逆元,3
和 5互为逆元 。 但 〈 N8,+8,× 8〉 不是域,它甚至不是整环,
因为它有零因子,例如,4,它们没有乘法逆元 。
域有以下基本性质。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.4】 〈 Zp,+p,× p〉 为域当且仅当 p为素数 。
证明 设 p不是素数,那么由例 6.6.3可知 Zp有零因子
（ p的因子 ）,故 〈 Zp,+p,× p〉 不是域 。
反之,当 p为素数时,只需证 Zp中所有非零元素都有 × p运算的逆元,从而 Zp是含幺交换环,〈 Zp,+p,× p〉
为域 。
第 6章 几个典型的代数系统设 q是 Zp中任一非零元素,那么 q与 p互质 。 据有整数 m,n使 mp+nq=1,从而
(mp+nq)(modp)=1
即 mp(modp)+pnq(modp)=1
0+n(modp)× pq(modp)=1 或 n(modp)× pq=1
因此,q有逆元 n(modp)。 故命题得证 。
第 6章 几个典型的代数系统定理 6.6.3 有限整环都是域 。
证明 设 〈 R,＋,·〉 为有限整环,由于 〈 R,·〉
为有限含幺交换半群,据定理 6.2.2的证明,〈 R,·〉 为阿贝尔群,因而 〈 R,＋,·〉 为域 。
定理 6.6.4 设 〈 F,+,·〉 为域,那么 F中的非零元素在
〈 F,+〉 中有相同的阶 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 当 〈 F,+〉 中每个元素都是无限阶时,定理当然真。当 〈 F,+〉 中有非零元素 a具有有限阶 n，欲证
〈 F,+〉 中任一元素 b的阶亦必是 n。
事实上 (nb)·a=b·(na)=0,而 F无零因子,且 a≠0,故
nb=0,因此 b的阶不超过 n(a的阶 ),即 |b|≤|a|。
现设 b的阶为 m。 由 (ma)·b=a·(mb)=0可知 ma=0,因此 a的阶 (n)不超过 m（ b的阶 ）,即 |a|≤|b|。
故 a的阶等于 b的阶 。
第 6章 几个典型的代数系统下面要给出子域的概念 。
定义 6.6.7 设 〈 F,+,·〉 为域,〈 S,+,·〉 为 F的子环,且
〈 S,+,·〉 为一域，那么称 S为 F的子域（ subfields）。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.6.5】 域 〈 Q,+,·〉 是域 〈 R,+,·〉,
〈 C,+,·〉 的子域。其中 R,C分别表示实数集和复数集。
下面介绍子域的判定法则 。
定理 6.6.5 设 〈 F,+,·〉 为域,F′ F,且 F′中至少有两个元素,那么 〈 F′,+,·〉 为 〈 F,+,·〉 的子域当且仅当
F′满足下列条件,
第 6章 几个典型的代数系统
（ 1）对任意 a,b∈ F′,a≠b，有 a-b∈ F′（从而 〈 F′,+〉
为 〈 F,+〉 的子群）。
(2） 对任意 a,b∈ F′,a≠b,有 ab-1∈ F′（ 从而 〈 F′-
{0},·〉 为 〈 F-{0},·〉 的子群 ） 。
第 6章 几个典型的代数系统
6.7 例题选解
【 例 6.7.1】 设 〈 A,*〉 是一个独异点,B是 A中所有有逆元的元素集合,证明,〈 B,*〉 构成群 。
证明 设 e是 〈 G,*〉 中的幺元，因为 e-1=e，所以
e∈ B a∈ B必有 a∈ A，因此 a*e=e*a=a*B,B中有幺元 e。
第 6章 几个典型的代数系统
a∈ B,因为 a有逆元 a-1,而 a与 a-1互逆,所以 a-1∈ B。
a,b∈ B,因为
（ a*b） *b-1*a-1=a*b*b-1*a-1=e，
所以 a*b有逆元 b-1*a-1,故 a*b∈ B。
由 *在 A上满足结合律,可知 *在 B上也必满足结合律 。
因此,〈 B,*〉 构成群 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.2】 设 〈 G1,。 〉,〈 G2,◇ 〉 均是群,*是定义在 G1× G2上的二元运算,a1,a2∈ G1，
b1,b2∈ G2,有 〈 a1,b1〉 *〈 a2,b2〉 =〈 a1 。 a2,
b1◇ b2〉,证明,〈 G1× G2,*〉 是群 。
第 6章 几个典型的代数系统证明 a1,a2∈ G1，
b1,b2∈ G2,〈 a1,b1〉,〈 a2,b2〉 ∈ G1× G2,而
a1。 a2∈ G1,b1◇ b2∈ G2,所以
〈 a1。 a2,b1◇ b2〉 ∈ G1× G2,*在 G1× G2上封闭 。
第 6章 几个典型的代数系统因为 （ 〈 a1,b1〉 *〈 a2,b2〉 ） *〈 a3,b3〉
=〈 a1。 a2,b1◇ b2〉 *〈 a3,b3〉
=〈 (a1。 a2)。 a3,(b1◇ b2)◇ b3〉
=〈 a1。 (a2。 a3),b1◇ (b2◇ b3)〉
=〈 a1,b1〉 *(〈 a2,b2〉 *〈 a3,b3〉 )
故 *在 G1× G2上可结合 。
第 6章 几个典型的代数系统设 e1,e2分别是群 〈 G1,。 〉,〈 G2,◇ 〉 上的幺元,
因为
〈 a1,b1〉 *〈 e1,e2〉 =〈 a1。 e1,b1◇ e2〉
=〈 a1,b1〉 =e1,e2〉 *〈 a1,b1〉
因此 *在 G1× G2上有幺元 〈 e1,e2〉 。 又
〈 a1,b1〉 *〈 a-11,b-11〉 =〈 a1。 a-11,b1◇ b-11 〉
=〈 e1,e2〉 =〈 a-11,b-11 〉 *〈 a1,b1
所以 〈 a,b〉 ∈ G1× G2，有逆元 〈 a-1,b-1〉 ∈ G1× G2，
故 〈 G1× G2,*〉 是群。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.3】 在整数集 Z上定义运算 *
a,b∈ Z,a*b=a+b-2。问,〈 Z,*〉 是什么代数系统？（半群、独异点、群、环、域）
解 a,b∈ Z,a*b=a+b-2∈ Z,所以运算
*在整数集 Z上封闭 。 a,b∈ Z,有
（ a*b） *c =（ a+b-2） *c
=（（ a+b-2） +c-2）
=a+（ b+c-2） -2
=a*（ b*c）
因此运算 *在整数集 Z上可结合 。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.4】 设 〈 H,*〉 和 〈 G,*〉 均是群 〈 S,*〉 的子群，令 HG={h(g|h∈ H,g∈ G}。证明,〈 HG,*〉 是 S
的子群的充分必要条件是 HG=GH。
证明 先证必要性：假设 〈 HG,*〉 是 S的子群。任取 g*h∈ GH，则（ g*h） -1=h-1*g-1∈ HG，因为 HG是群，
所以 HG上的元素（ h-1*g-1）的逆
（ h-1*g-1） -1=g*h∈ HG，证得 GH HG。
第 6章 几个典型的代数系统任取 h*g∈ HG，因为 HG是群，所以
（ h*g） -1∈ HG，且必存在着 h1∈ H,g1∈ G，
使得（ h*g） -1=h1*g1∈ HG，因为 HG是群，所以,HG上的元素（ h1*g1）的逆（ h1*g1） -1=g-11*h-11∈ GH，证得
HG GH。
综上可得 HG=GH。
第 6章 几个典型的代数系统再证充分性：假设 HG=GH
h1*g1,h2 g2∈ HG，有
（ h1*g1） *(h2*g2） -1
=（ h1*g1） *（ g-12*h-12）
=h1(（ g1*g-12） *h-12
=（ h1*g3） * h-12
（ g3=g1* g-12 ∈ G）
第 6章 几个典型的代数系统由于 GH=HG，所以必有 h4∈ H,g4∈ G，使得
h1*g3=g4*h4。继续上面等式的变换
=g4*（ h4*h-12）
=g4*h5 （ h5=h4* h-12 ∈ H）
=h6*g6∈ HG （ 因为 HG=GH）
因此,HG是 S的子群。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.7】 设有集合 G={1,5,7,11,13,17},*是定义在 G上的模 18 a,b∈ G,a*b=(a× b)(mod18),
其中 × 是普通乘法。 )
(1)构造 〈 G,*〉 的运算表 。
(2)证明 〈 G,*〉 是一个循环群 。
(3)找出 〈 G,*〉 的每一个非平凡子群,并给出其左陪集 。
第 6章 几个典型的代数系统表 6.7.1
第 6章 几个典型的代数系统证明
(1） 〈 G,*〉 的运算表见表 6.7.1。
(2） 证明：由 *的定义可知,*是可结合的 。 由运算表可知,*在 G上是封闭的,可交换的 。 1是幺元 。 5与
11,7与 13互逆,1,17自逆 。 因为 52=7,53=17，
54=13,55=11,56=1,所以 5是一个生成元,故,
〈 G,*〉 是一个循环群 。
(3)非平凡子群,〈 {1,17},*〉,对应的左陪集为
{1,17},{5,13},{7,11};〈 {1,7,13},*〉,对 应的 左陪 集为
{1,7,13},{5,11,17}。
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.8】 设 〈 R,+,·〉 是含幺环,对任意 x∈ R，
都有 x·x=x,证明：对任意 x,y∈ R,有
（ 1） x+x=0。
（ 2） x·y=y·x。
第 6章 几个典型的代数系统证明
（ 1 x∈ R，由运算的封闭性知,x+x∈ R，由题设
（ x+x） ·（ x+x） =x+x，所以
（ x·x+x·x） +（ x·x+x·x） =x+x
即 （ x+x） +（ x+x） =x+x
因为 〈 R,+〉 是交换群,所以 x+x的逆元是 -
（ x+x）,故
（ x+x） +（ x+x） -（ x+x） =（ x+x） -（ x+x） =0
得 x+x=0
第 6章 几个典型的代数系统
（ 2） 任取 x,y∈ R,由于 x+y∈ R,所以
（ x+y） ·（ x+y） =x+y
即 x·x+x·y+y·x+y·y=x+y
x+y+x·y+y·x=x+y
推得 x·y+y·x=0
由（ 1）的结果推得 x·y=y·x
第 6章 几个典型的代数系统
【 例 6.7.9】 设 〈 Z,+〉 是整数加群,〈 R*,*〉
是非零实数乘法群 。
f,Z→ R* f(n)=
n为偶数
n为奇数证明,f是群的同态映射,并求出同态核 Ker(f)和同态像 f (Z)。
第 6章 几个典型的代数系统证明
n1,n2∈ Z,当 n1,n2均为偶数或均为奇数时,
f（ n1+n2） =1=f（ n1） *f（ n2）,当 n1,n2为一奇一偶时,
f（ n1+n2） =-1=f（ n1） *f（ n2）,因此 f是群的同态映射 。
因为 1是 〈 R*,*〉 的幺元，所以同态核
Ker(f)={x|x=2n,n∈ Z}，
同态像 f （ Z）为 〈 {1,-1},*〉 。
第 6章 几个典型的代数系统习 题 六
1．证明：含幺半群 〈 S,*〉 的可逆元素集合 inv（ S）
构成一子半群，即 〈 inv（ S）,*〉 为半群 〈 S,*〉 的子半群。
2．设 〈 S,*〉 为一半群,z∈ S为左（右）零元。
证明：对任一 x∈ S,x*z(z*x)亦为左（右）零元。
第 6章 几个典型的代数系统
3,设 〈 S,*〉 为一半群,a,b,c为 S中给定元素 。
证明,若 a,b,c满足
a*c=c*a,b*c=c*b
那么,(a*b)*c=c*(a*b)。
4,设 〈 {a,b},*〉 为一半群,且 a*a=b。 证明,
（ 1） a*b=b*a
（ 2） b*b=b
第 6章 几个典型的代数系统
5．代数系统 〈 {a,b,c,d},*〉 中运算 *如表 6.1规定。
（ 1）已知 *运算满足结合律，证明 〈 {a,b,c,d},*〉 为一循环独异点。
（ 2） 把 {a,b,c,d}中各元素写成生成元的幂 。
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
第 6章 几个典型的代数系统
6．设 〈 S,*〉 为一半群，且对任意 x,y∈ S，若 x≠y
则 x*y≠y*x。
（ 1） 求证 S中所有元素均为等幂元 （ a称为等幂元,
如果 a*a=a） 。
（ 2） 对任意元素 x,y∈ S，
x*y*x=x,y*x*y=y
第 6章 几个典型的代数系统
7,设 Zn={0,1,2,…,n-1},证明 〈 Zn,〉 为群并称其为模 n整数群 。 其中对任意 a,b∈ Zn,有
ab
ab
a b n
a+b＜ n
a+b≥n
第 6章 几个典型的代数系统
8,设 〈 G,*〉 为群,若在 G上定义运算 。,使得对任何元素 x,y∈ G,x。 y=y*x。
证明,〈 G,。 〉 也是群 。
9,设 〈 S,*〉 是有限交换独异点,且 *满足消去律,即对任意 a,b,c∈ S,a*b=a*c蕴涵 b=c。 证明 〈 S,*〉
为一阿贝尔群 。
10,设 〈 G,*〉 为一群,e为幺元 。 证明：
（ 1） 若对任意 x∈ G有 x2=e,则 G为阿贝尔群 。
（ 2） 若对任意 x,y∈ G,有 (x*y)2=x2*y2,则 G为阿贝尔群 。
第 6章 几个典型的代数系统
11．设 〈 G,*〉 为一群 a,b∈ G且 a*b=b*a,如果
|a|=n,|b|=m，且 n与 m互质，证明,|a*b|=mn。
12,设 p为素数 。 求证：在阿贝尔群中,若 a,b的阶都是 p的方幂,那么 a*b的阶也必是 p的方幂 。
13．设 〈 G,*〉 为群，定义集合 s={x|x∈ G∧
y(y∈ G→ x*y=y*x)}。证明 〈 S,*〉 为 〈 G,*〉 的子群。
第 6章 几个典型的代数系统
14,设 〈 H,*〉 是群 〈 G,*〉 的子群,〈 K,*〉 为
〈 H,*〉 的子群 。 求证,
（ 1） 〈 K,*〉 为 〈 G,*〉 的子群 。
（ 2） KH=HK＝ H（ 这里 KH={k*N|k∈ K∧ N∈ H}） 。
15,设 〈 H1,*〉,〈 H2,*〉 都是群 〈 G,*〉 的子群 。 求证：
（ 1） 〈 H1∩H2,*〉 为 〈 G,*〉 的子群 。
（ 2） 〈 H1∪ H2,*〉 为 〈 G,*〉 的子群当且仅当
H1 H2或 H2 H1。?
第 6章 几个典型的代数系统
16,设有集合 G={1,3,4,5,9},*是定义在 G上的模 11乘法 （ a,b∈ G,有 a*b=(a× b)(mod11),× 是普通乘法 ）,问 〈 G,*〉 是循环群吗？ 若是,试找出它的生成元 。
17,一个素数阶的群必定是循环群,并且它的不同于幺元的每个元素均可作生成元 。
18,设 G是 6阶循环群,找出 G的所有生成元和 G的所有子群 。
19,无限循环群的子群除 {e}外均为无限循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统
20,设 G是 n阶循环群,d整除 n,证明,必存在唯一 d
阶子群 。
21,设 G是阿贝尔群,H,K为 G的有限子群,|H|=p，
|K|＝ q。 求证,当 p,q互素时,G有 pq阶循环子群 。
22．设置换 1 2 3 4 5
2 4 3 5 1S
1 2 3 4 5,
2 3 1 4 3T
求 S2,S。 T,T。 S,S-1。 T2。
第 6章 几个典型的代数系统
23,求 〈 S3,。 〉 中各元素的阶,并求出其所有的子群 。
24,证明,S上所有偶置换的集合 An（ n＝ |S|） 与置换的合成运算构成一个置换群 。
25,把置换 σ=（ 456） （ 567） （ 761） 写成不相交轮换的积 。
26．讨论置换 12
11
n
nn?
的奇偶性。
第 6章 几个典型的代数系统
27,设有集合 Z6={［ 0］,［ 1］,［ 2］,［ 3］,
［ 4］,［ 5］ },+6是定义在 Z6上的模 6加法 。
(1) 构造 〈 Z6,+6〉 的运算表 。
(2) 证明 〈 Z6,+6〉 是一个循环群 （ 写明幺元,逆元,生成元 ） 。
(3)找出 〈 Z6,+6〉 的每一个非平凡子群,并给出其左陪集 。
28,求不为零的复数所成的乘法群关于绝对值等于 1的数的子群的陪集 。
29．设 p为素数，证明 pn阶的群中必有 p阶的元素，
从而必有 p阶的子群 (n为正整数 )。
第 6章 几个典型的代数系统
30,设 〈 H,*〉 是 〈 G,*〉 的子群,试证明 H在 G中的所有陪集中有只有一个子群 。
32,证明：对有限群 〈 G,*〉 中任意元素 a,有
a|G|=e,其中 e为 G的幺元 。
33,设 a是群中的无限阶元素,证明：当 m≠n时,
am≠an。
第 6章 几个典型的代数系统
34．设
|,,001rsG r s Q r
,G关于矩阵乘法构成一个群 。 令
11|,|
0 1 0 1
tnt Q K n Z
证明,H是 G的正规子群,K是 H的正规子群 。 问 K
是 G的正规子群吗？
第 6章 几个典型的代数系统
35,设 〈 H,*〉,〈 K,*〉 都是群 〈 G,*〉 的正规子群,证明,〈 H∩K,*〉 必定是群 〈 G,*〉 的正规子群 。
36,设 〈 H,*〉 是 〈 G,*〉 的子群,证明：如果 H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,则 H是 G的正规子群 。
37,设 〈 Z,+〉 是整数加群,H={8k|k∈ Z},求商群
Z/H及其运算表 。
38,设 〈 G,*〉 为循环群,〈 H,*〉 为其正规子群 。 证明：商群 〈 G/H,⊙ 〉 亦为一循环群 。
第 6章 几个典型的代数系统
39,设 〈 G,*〉 为群,f,G→ G为一同态映射 。 证明,对任一元素 a∈ G,f（ a） 的阶不大于 a的阶 。
40．设 〈 H,*〉 和 〈 K,*〉 都是群 〈 G,*〉 的正规子群，且 H∩K={e}。证明,G与 G/H(G/K的一个子群同构。（其中 〈 G1× G2,。 〉 〈 a1,b1〉 ∈ G1,
〈 a2,b2〉 ∈ G2,*1,*2分别为 G1,G2上的二元运算，
〈 a1,b1〉 。 〈 a2,b2〉 =〈 a1*1a2,b1*2b2〉 。）
第 6章 几个典型的代数系统
41,确定下列集合关于它们各自的运算是否构成环,
整环和域 。 若不是,请说明理由 。
（ 1）,其中运算为整数的加法和乘法 。
（ 2）,其中运算为复数的加法和乘法 。
（ 3）,其中运算为整数的加法和乘法。
（ 4）,其中运算为矩阵的加法和乘法。
{ 2,}R a b a b Z
{,}R a b i b Z
3{ 2,}R a b a b Z
|,5abR a b Qba
第 6章 几个典型的代数系统
42,设 R是实数集,加法取普通数的加法,乘法 *
定义为
a*b=|a|·b
其中 ·为普通乘法运算 。 这时 R是否构成环？
43,设 〈 R,＋ 〉 为加群,R上定义运算 ·,对任意
a,b∈ R,有 a·b＝ θ,其中 θ是加法幺元 。 证明,〈 R,+,·〉
为一环 。
第 6章 几个典型的代数系统
44,证明：代数系统 〈 Z，,〉 是含幺交换环 。
,分别定义如下：对任何整数 a,b∈ Z，
有
a b=a+b-1,a b＝ a＋ b-a·b
这里 +,·分别是整数加和整数乘 。
45,问 〈 {3x|x∈ Z},＋,·〉 是否为环？ 是否为整环？ 其中＋,·分别为整数加和整数乘运算 。
第 6章 几个典型的代数系统
46,若环 〈 R,＋,·〉 中每一元素 a均满足 a2=a，
则称 R为布尔环 。 证明,
（ 1） 布尔环是交换环 。
（ 2） 对布尔环中每一元素 a,有 a＋ a＝ 0。
（ 3） 当 |R|＞ 2时布尔环不是整环 。
47,设环 〈 R,+,·〉 中 〈 R,＋ 〉 为循环群,求证
R是交换环 。
48,设 〈 F,+,·〉 是 一 个 域,F1 F,F2 F,且
〈 F1,+,·〉,〈 F2,+,·〉 都是域,证明,〈 F1∩F2,+,·〉
是一个域 。
