北京大学：量子力学：lecture1

量子力学 北京大学 物理学院 程檀生 参考书 a. 量子力学导论 曾 谨 言 b. L. I. Schiff Quantum Mechanics c. A. Messiah Quantum Mechanics d. P. A. M. Dirac The Principles of Quantum Mechanics e. R. P. Feynman Lectures on Physics Vol.3 f. 量子力学 张启仁 安排 a. 期中测验 30% b. 期末考试 70% c. 集体答疑或讲座数次； d. 期末小结 e. 常规答疑两周一次 习题 10% 第一章 绪论 经典物理学的困难 经典物理学的成就 牛顿力学－支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验――确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立――把光和电磁现 象建立在牢固的基础上； 统计力学的建立。 而一旦深入到分子、原子领域，一些 实验事实和经典理论发生矛盾或无法理解。 （ 1） 为什么原子不坍塌； （ 2) 光谱线为什么是分立的； （ 3） 纳蒸汽为什么会发射黄光，即有标 志谱线； （ 4） 重核会发生α衰变。 存在与经典物理学的概念完全不相容 的崭新的实验事实 a. 辐射的微粒性； b. 物质粒子的波动性； c. 物理量的 “量子化 ”，即测量 值取分立值或某些确定值。 必须建立新的规律 据此建立起的新的完全不同于经典物理 学的量子力学（量子物理学）规律已深入到 物理学的各个领域 正成功地应用于天体、化学、生命、地 球和制药等其他领域，成为 有力的理论工具， 解决经典理论范围内无法 解决的问题。 经典物理学的描述仅是一个近似 α衰变 量子物理学不仅支配微观世 界 , 同样也支配宏观世界的 运 动 磁通量量子化 磁通量量子化 将一个用长0.8厘米，截面直径为 厘米的铜线做成的外面镀锡（锡的临界温度 为 3.8 ）的环置于外磁场中。 实验发现，当 时，磁场被排斥 在环外（ meissner效应），而陷于环中的 磁通量是量子化的。 3 1033.1 ? ? c TT< K° n e c 2 2 hπ =Φ 215 102 米忒斯拉 ??= π ? e ch 学习量子力学，其困难在于我们在 接受它时： a. 发现它与我们熟悉的经典物理学中的 习惯或概念不一致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观 的； c. 处理问题时，与经典物理学在手法上 截然不同。它的重要性在状态，算符 和演化。 所以，我们强调 a. 掌握实验事实，及它给我们的启示， 不直接与主观经验联系，不先入为主； b. 掌握和理解量子力学的基本概念。新 的概念的依据和特点，新在什么地方， 如何理解； c. 掌握理论中建立的方程和所用的数学 方法以及处理它们的思路和步骤。 我们应当学习量子力学 事实上，在过去几十年里，基本科学有 大范围的发展。如天体物理，宇宙学，量子 光学，凝聚态物质，化学，材料科学。其它 又如器件，晶体管，激光器，磁共振成像仪 ，扫描隧穿显微镜，光镊子和哈伯望远镜的 制成。使得量子力学成为 现代文明发展的基 石 。 激光，半导体纳米结构的可用性已成为 简单量子力学过程的实验证明。而这在过去 认为是理论论证的对象。它仅能在原子，分子 中被观测到。 所以，有很多理由表明，一个大学生应该了 解量子力学。当然，对于专业物理学生，则必 须要掌握得更多。 锂原子 经典物理学的失败 § 1.1 辐射的微粒性 （ 1）黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全 被吸收，则称该物体为黑体。 G. Kirchhoff（基尔霍夫）在 1859年开始研 究热辐射。他证明，对任何一个物体，辐射本领 与吸收率 之比是一个与组成该 物体的物质无关的普适函数，即 )T,(E ν )T,(A ν （ 与组成物体物质无关）。 辐射本领 ：单位时间内，从辐射体表面的单位 面积上发射出的辐射能量的频率分布，以 表示 。 可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分 布的关系为 （ 单位为 ） )T,(f)T,(A)T,(E ννν = )T,(E ν )T,(u 4 c )T,(E νν = )T,(u ν 秒 米 焦耳 3 )T,(f ν 吸收率 ：照到物体上的辐射能量分布被吸收 的份额。 由于黑体的吸收率为 1，所以它的辐射本 领 因此，若把黑体辐射本领研究清楚了，也 就把普适函数 （对物质而言）弄清楚 了。 我们也可以以 来表征辐射本领 。 )T,(f)T,(E B νν = )T,(f ν )T,(E λ λ λ ν ν=νν ∫∫ d d d )T,(Ed)T,(E ∫ λ λ ν= d c )T,(E 2 =λλ λ ν= ∫ dd c d)T,(E )T,(E c )T,(E ν ν =λ 2 ∴ 秒米焦耳 ? 3 A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 与 的 变 化关系 )T,(E λ λ 在理论上 ， ① 维恩（ Wein）根据热力学第二定律及用一模 型可得出辐射本领 （ k为 Boltzmann常数： ） ② 瑞利―金斯（ Rayleigh-Jeans） 根 据电动力学 及统计力学严格导出辐射本领 λ λ π λ kTch2 5 ec h2 )T,(E ? = K1038.1 23 o 焦耳 ? ? kT c2 )T,(E 4 λ π λ = 对于瑞利-金斯的 ，仅当波 长 足够长，温度足够高时符合。而在 很大，即 很短时，趋于无穷。这即紫外 灾难。 而维恩的 ，在短波长时符合， 高波长时不符合。 所以，这两个公式并不 完全符合实验结果，但理论给出的结论是确 切无疑的。 )T,(E JR λ ? ν λ )T,(E w λ λ B． 斯忒藩－玻尔兹曼定律 （ Stefan- Beltzmann law） 他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单 位面积上发射的能量）是与绝对温度 成正比 （ 事实上， ） 显然，维恩或瑞利－金斯公式都得不出这 样的结果。 4 Td)T,(E ∫ σ=λλ 4 T 2 4 8 23 45 10675 15 2 msK. ch k ???= π =σ ? o 焦耳 C．Wein位移定律 维恩发现，对于一确定的 ，相应地有 一波长 ，使 达极大， 而 即 0 T )T,(E 00 λ 0 λ 常数= 00 Tλ 米??==== ? K102898.0TTT 2 221100 o Lλλλ 这一定律也是无法用维恩或瑞利－金斯公 式给出回答。 总之， 在用经典物理学去解释与黑体的辐射 本领相关的实验规律时，是完全失败了。 （ 2）固体低温比热： 根据经典理论，如一分子有 个原子，则一 克分子固体中有 个自由度（ 为 Avogadro‘s number，阿伏伽德罗数， ） 所以，固体定容比热： （ R为气体常数 ） 实验发现，对单原子固体，在室温下符合， 但在低温下，其定容比热是以 。因而理论 与实验结果不符合。 n 0 nN3 0 N 克分子 23 100226 ?. nR3knN3C 0v == K.R o 克分子焦耳3148= 0T 3 → 如何解决这些问题呢？ 普朗克（ Planck, 1900） 大胆假设：无论是黑体辐 射也好，还是固体中原子 振动也好，它们都是以分 立的能量显示，即能量模 式是不连续的。 （， ） 辐射的平均能量的计算 在 能量范围内，经典的能量分布 几率为 （玻尔兹曼几率分布） 所以对于连续分布的辐射平均能量为 ων hnnh = L,2,1,0n = 秒焦耳 ??= ?34 10626.6h 秒焦耳 ??== ?34 100545.1 2 h π h dEEE +? ∫ ∞ ?? 0 kTEkTE dEedEe 而对于 Planck 假设，能量分布几率则为 ∫∫ ∞ ?? ∞ = 0 kTEkTE 0 dEedEeEE ∫∫ ∞ ? ∞ ? ∞ ? ??= 0 kTE 0 kTE 0 kTE dEe)dEeeE(kT kT= ∑ ∞ = ?? 0n kTnhkTnh ee νν ∑∑ ∞ = ?? ∞ = = 0n kTnhkTnh 0n eenhE νν ν ∑∑ ∞ = ? ∞ = ? ?= 0n nx 0n nx ee dx d hν 1 x1x )e1()e1( dx d h ? ??? ???= ν )1e(h kTh ?= ν ν 于是，用电动力学和统计力学导出的公式 （ Rayleigh–Jeans） 应改为 这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验 完全符合。 kT c2 )T,(E 4 λ π λ = )1e( hc2 )T,(E kThc 5 2 ?= λ λ π λ ① 当 （高频区） Wein公式 当 （低频区） Rayleigh–Jeans公式 hckT <<λ λ λ π λ kThc 5 2 e hc2 )T,(E ? → hckT >>λ kT c2 )T,(E 4 λ π λ = ② Stefan-Boltznmann law ∫ = λλ d)T,(E)T(R λλπ λ d)1e(hc2 1kThc52 ?? ?= ∫ dx)1e(x) h kT ( c h2 1x34 2 ? ?= ∫ π ∑ ∫ ∞ = ? = 1n nx3 32 4 dxex hc )kT(2π ∑ ∞ = ??= 1n 4 4 32 4 n 1 6T hc k2π 4 32 45 T hc15 k2π = ③ 维恩位移定律 由，得 于是 从而有 0) 1e e kT hc 11 5 1e hc2 )T,('E kThc kThc 2 56kThc 2 T = ? +? ? = λ λ λ λ λλ π λ （ 固定 )1e( hc2 )T,(E kThc 5 2 ?= λ λ π λ 5)e1( kT hc kThc =? ? λ λ mK102898.0T 2 00 ??= ? o λ ④ 温度定容比热 由总辐射能量密度（ ） 可推出固体中原子振动能为 低温下，定容比热 3 米焦耳 ) c 2 (T hc15 k4 T hc15 k8 d)T,(E c 4 d)T,(u)T(W 3 4 33 45 4 33 45 ππ λλλλ ==== ∫∫ ) v 1 v 2 (T hc15 k4 3 L 3 T 4 33 45 + π ∴ 3 T∝ 这一公式只适用于低温，因固体中原子振动 有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于 晶格距离 2倍，即 ） 而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽 （推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频 影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。 a2 v > ν a2 v <∴ν 这一非经典的辐射模式的假设，得到如此好 的结果，当然并非偶然，它 含有很深的物理内容 。 （ 3）光电效应： 这种分立能量模式的假设，连 Planck后来也 怀疑是否正确，但 A. Einstein确接受过来了。 A. Einstein 对辐射与粒子的能量交换过程， 认为是以 “微粒 ”形式出现，以解释使人们费解 的光电效应。 光电效应的主要现象：当单色光照射到金 属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特 点）： A．发射光电子依赖于频率，而与光强度无 关。 要有光电子发射， 光频率 就必须大于某一 值，即有一最低频率。 B．当照射光的频率 时，发射出的光 电子动能大小与光强度无关。 这从经典物理学基础去看是非常难以理解 的。经典理论与实验现象绝然相反。 min νν > 1905年， A. Einstein假设一束单色光由辐 射能量大小为 的量子组成，即假设光与物 质粒子交换能量时，是以 “微粒 ”形式出现，这种 “微粒 ”带有能量 。 电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克 服脱出功），所以飞出电子的动能 功函数 而电子要飞离金属，则 应大于等于零 νh νh whE k ?= ν ?w k E ， 即有一最低频率。于 是有 ∴ wh min =ν )(hwhE mink ννν ?=?= 到 1916年， R. A. Millikan才做了非常仔细 和精密的测量（在这之前，对光的频率和逸出电 子动能间的关系一直没有精确测定），从他测量 中推出 。 我们可以看到，核心的问题是一束频率为 的单色光，转移给一个电子的能量 除以频率 为一常数 而这一常数与 ，光强度，电子及金属材料无 关。这一常数并不能由经典 物理学中的常数给出 。 秒焦耳 ??= ?34 1056.6h E ν )h E 常数（= ν ν ν （4）康普顿散射（Compton scattering） 实验发现，单色 x 射线与电子作用而发生散 射，其散射的 x 射线的波长为 )cos1(A' θλλ ?=? 这样一个实验结果和特点也是经典物理无法 解释的。 A. Einstein除了接受Planck 的 “量子 ”假设 外，还认为射线在与电子相互作用时是以 “微粒 ” 形式出现，因此交换能量和动量。而其能量和动 量为 假设电子开始处于静止状态，根据能量，动 量守恒，有 νhE= n h n c h n c E P λ ν === ① ② 于是可得 称为电子的康普顿散射波长，它等于 。 e P'PP =? e 2 e E'hcmh =?+ νν )cos1( cm h ' e θλλ ?=? cm h e m1043.2 12? ? 所以，从黑体辐射，固体低温比热，光电效 应和康普顿散射的实验事实讨论中，我们可以得 出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的 能量和动量的交换时， 还显示出微粒性 ，两者之 间的关系 ， ων h==hE kn h n c h n c E P h==== λ ν 秒焦耳 ??= ?34 10626.6h 秒焦耳 ??= ?34 10054.1h § 1.2 原子结构的稳定性 （ 1）原子行星模型 卢瑟福（ Rutherford）组用 粒子轰击原子 发现， 粒子以一定几率散射到大角度方向上。 每两万个 粒子约有一个粒子返回，飞向源的 方向，从而提出原子的行星模型。 以这一模型计算散射微分截面，与实验符合 得非常好。 α α α 但是根据经典电动力学，带电粒子组成的体 系是不稳定的。按照原子行星模型，原子中电子 绕原子核运动，则电子在进行加速运动。因此会 不断辐射能量。从而应该发生原子坍塌（ 秒 ） 。但事实上没有出现这现象。原子基态是出奇地 稳定，没有辐射发现。 （2）元素的线光谱，即有标志频率 （氢原子） 6 10 ? ) m 1 n 1 (eV6.13h 22 )m,n( ?=ν mn< 经典电动力学因无 法解释上述两点而失败 。 为解释这些现象， N.Bohr（尼 .玻尔）提出二点 假设： ① 原子仅能稳定地处于与分立能量（ ） 相对应的一系列 定态 中，不辐射能量； ② 原子从一个 定态 到另一个 定态 时，也就是 电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，将吸收或发 射电磁辐射，其辐射的能量 等于两定态的能量差 ， 其频率为 L,E,E 21 h)EE( nm ?=ν 为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定 态，玻尔提出了量子化条件，即电子运动的角动 量是量子化的 （ ）（圆形轨道 ）。 后来，索末菲尔德（ Sommerfeld）推广了这一 量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化 条件 （） 为广义坐标， 为广义动量。 hnmvr= L,2,1n = ∫ =nhdqP ii L,2,1n = i q i P 例：考虑一电子绕电荷为 的原子核在一平面 中运动，求其可能的定态能量。 解： 根据有心力下角动量守恒，所以 常数 （ ） 由 Ze r4 Ze ) r P P( m2 1 H 0 2 2 2 2 r πε ? ?+= = ? P 0 H P = ? ? ?= ? ? & hndP ?? ?= ∫ ∴ h ?? nP = r4 Ze mr2 P m2 P E 0 2 2 2 2 r πε ? ?+= 有 从而有 21 0 2 2 2 r ) r4 mZe2 r P mE2(P πε ? +?= ∴ dr) r4 mZe2 r P mE2(drP 21 0 2 2 2 r πε ? +?= ∫∫ E m2 4 Ze P2 0 2 ? +?= πε π π ? hh n)nn( E m2 24 Ze r 0 2 =+=? ? ? πε 2 0 2 n an8 Ze E πε ?= 2 2 0 mZe 4 a hπε ?= 旧量子理论虽然在解释氢原子和类氢原子上 取得一定成功，但对多电子体系，半整数角动量 等等问题无能为力，特别是人为假设：加速不辐 射和量子化条件等。因此，要求在崭新的基础上 来说明客观存在与经典物理学矛盾的事实。