一、基本初等函数
1.幂函数 )( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
1 2xy?
xy?
xy
1?
xy ?
2.指数函数 )1,0( ??? aaay x
xay ?
x
ay )
1(?
)1( ?a
)1,0(?
xey ?
3.对数函数 )1,0(l o g ??? aaxy ay ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1( ?a)0,1(?
4.三角函数
正弦函数
xy sin?
xy s in?
xy cos?
xy cos?余弦函数
正切函数 xy ta n?
xy tan?
xy cot?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s ec?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
5.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r cs i n?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r ct a n?
xy a r ct a n?反正切函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数统称为 基本初等函数,
xy co t?反余切函数 arc
xy co t?arc
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
,uy ?设,1 2xu ?? 21 xy ??
定义,
设函数 )( ufy ? 的定义域
f
D,而函数
)( xu ?? 的值域为
?
Z,若 ???
?
ZD
f
,则称
函数 )]([ xfy ?? 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
例设
0x x2
0x x2
2
2
0f ( x ) f ( x )-2
0f ( x ) f ( x )2
0x x
0x x-
0x x2
0x 2x
2
2
{g ( f ( x ) )
2xg ( f ( x ) )
xf ( x )0,即x
0时2 ) 当f ( x )
x2则g ( f ( x ) )
0xf ( x )0,x 即
0时当f ( x ) 1)
{g ( f ( x ) ),解
求g ( f ( x ) ){f ( x ){g ( x )
??
??
?
??
?
?
??
??
??
??
??
?
??
????
?
?
??
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复
合函数的 ;
,a r c s i n uy ?例如 ;2 2xu ?? )2a rcs i n ( 2xy ??
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复
合构成,
,2cot xy ?例如,uy,c o t vu ?,2xv ?
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次
四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
三、双曲函数与反双曲函数
2s i n h
xx ee
x
??
?双曲正弦
xy c osh?
xy si nh?),,(,????D
奇函数,
2cos h
xx ee
x
??
?双曲余弦
),,(,????D
偶函数,
1.双曲函数
xey
2
1?
xey ??
2
1
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
cos h
s i n ht an h双曲正切
奇函数,),(,????D 有界函数,
双曲函数常用公式;s i n hc o s hc o s hs i n h)s i n h ( yxyxyx ???;s i n hs i n hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx;c o s hs i n h22s i n h xxx ?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx ??
2.反双曲函数
奇函数,
),(,????D
.),( 内单调增加在 ????;s i n h xy ?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2 ???
?
xx
xy ar si nhar? xy
.),1[ 内单调增加在 ??
),1[,??D
?y反双曲余弦 co shar
).1l n (
co s h
2 ???
?
xx
xy ar
x
coshar x?y
.11ln21 xx???
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在 ?
?y反双曲正切 tanhar
xy t a n h?ar
x
tanhar x?y
四、小结
函数的分类,
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题
下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy ?,
若能，写出其解析式、定义域、值域．
,)()1( uufy ?? 2)( xxxgu ???
,ln)()2( uufy ?? 1s i n)( ??? xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy ???
},10|{ ???? xxDx ]21,0[)( ?Df
)2( 不能,01s i n)( ??? xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称
对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u ??
.__ __ ___ __ _2lnsi n4 复合而成由、函数 xy ?
._________)0()()(
___________)0)((
__________)(s i n__________
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
????
??
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy ??
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形
出图之间的函数关系，并作千克于行李重量
元元，试建立行李收费出部分每千克
千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2, ],[
3
ee ；
3,
2
x
ey ? ； 4, xvvuuy 2,ln,s i n ??? ；
5, [-1,1 ],[ ???? kk 2,2 ],]1,[ aa ??,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
?
.
三、
?
?
?
?
?
??
?
?
?
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,练习题答案
四、
??
?
?
?
???
??
?
?
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y