一、无穷小的比较
例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
sinlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x ?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0??,不存在
观
察
各
极
限
);(
,,0l i m)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(lim)3(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCC
k
??
?
?
???
例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx ?
4
3
0
t a n4l i m
x
xx
x ?
3
0
)t a n(l i m4 x x
x ?
?,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx ?
例 2,s int a n,0 的阶数关于求时当 xxxx ??
解 3
0
s int a nlim
x
xx
x
?
?
? )c o s1t a n(lim 2
0 x
x
x
x
x
???
?,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx ??
常用等价无穷小,,0时当 ?x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim ????,0lim ?? ???? ),( ????? o即
).( ????? o于是有
例如,),(s in xoxx ?? ).(211co s 22 xoxx ???
.
2
1
~cos1,~1,~)1l n (
,~arct an,~t an
,~arcs i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
???
二、等价无穷小替换
定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 则存在且设
证 ??lim )l i m ( ?? ??? ?? ??? ???
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?? l i ml i ml i m,lim
??
???
例 3,c os1 2t anl i m
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2t a n,21~c os1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
l i m
x
x
x ?
?原式
.8?
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
注意
例 4,2s i n s i nt anl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(l i m x
xx
x
??
?
原式,0?
解,0时当 ?x
)c o s1(t a ns i nt a n xxxx ???,21~ 3x
,2~2s in xx
3
3
0 )2(
2
1
l i m
x
x
x ?
?原式,
16
1?
错
?
例 5,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(5t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
l i m
2
0
?
???
?
?,
3
5?
三、小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能,例当 时???x
,1)( xxf ? x xxg s i n)( ? 都是无穷小量
但 ???? )( )(lim xf xgx x
x s inlim???
不存在且不为无穷大
故当 时???x )( xf 和 )( xg 不能比较,
一,填空题：
1,
x
x
x 2s i n
3ta n
lim
0?
=__ ___ ___ __.
2,
m
n
x
x
x
)(s i n
a rcs i n
l i m
0?
=__ ___ ___,
3,
x
x
x
)21l n(
l i m
0
?
?
=__ ___ ___ _.
4,
xx
xx
x
a r c ta n
1s i n1
l i m
2
0
??
?
=__ ___ ___,
5,
n
n
n
x
2
s i n2l i m
??
=__ ___ ___,
6, xax
n
x
1)1(lim
1
0
??
?
= _ _ _ _ _ _ _ _ _,
练 习 题
7,当 0?x 时,)0(
3
??? aaxa
对于 x 是 __ _ __ __ 阶无穷小,
8,当 0?x 时，无穷小 xc o s1 ? 与
n
mx 等价，则
._ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _,nm ?
二、求下列各极限：
1,
x
xx
x
3
0
s i n
s i nta n
lim
?
?；
2,
??
??
??
?
?
?
ee
l i m ；
3,
x
xx
x
?? s i ns i n
l i m
0
?
?；
4,
ax
ax
ax
?
?
?
ta nta n
lim ；
三,证明：若 ??,是无穷小，则 )(0~ ????? ???,
四、设 f(x)=
1
)co s (
2
s i n
lim
2
12
?
??
?
??
n
n
n x
bxaxx
?
求,1, )( xf 的表达式,
2,确定 ba,的值,使得 )1()(l i m
1
fxf
x
?
?
，
)1()(l i m
1
??
??
fxf
x
,
一,1,
2
3； 2,
?
?
?
?
?
??
?
?
nm
nm
nm
,
,1
,0； 3, 2 ； 4, ? ；
5, x ； 6,
n
a； 7, 3 ； 8,
2
1
,2.
二,1,
2
1； 2,
?
e； 3,
?? ?； 4,
a
2
s e c
.
练习题答案
四,1,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
?
1),co s (
1,
2
)co s (1
1,
2
)co s (1
1,
2
s i n
xbxa
x
ba
x
ba
x
x
x；
2, 0,),1,0(2 ????? bkka ?,