一、高阶导数的定义
问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
二,高阶导数求法举例
例 1 ).0(),0(,a r ct a n ffxy ?????? 求设
解 21 1xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2xx???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny n,0?
例 3,),1ln ( )( nyxy 求设 ??
解
注意,
xy ??? 1
1
2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 4,,s in )( nyxy 求设 ?
解 xy c os?? )2s in ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),,(s in )( nax ybabxey 求为常数设 ?
解 bxbebxaey axax c o ss in ???
)c o ss in( bxbbxae ax ??
)a r ct a n()s i n (22 abbxbae ax ???????
)]c o s ()s in ([22 ?????????? bxbebxaebay axax
)2s in (2222 ??????? bxbaeba ax
??
)s i n ()( 222)( ????? nbxebay axnn )a r ct a n( ab??
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( ln)5( 1)( ??? ?
)2s i n ()( s i n)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7,,11 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
例 8,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设 ??
解 3232 )( c o s)( s i n xxy ??
)c o sc o ss i n) ( s i nc o s( s i n 422422 xxxxxx ????
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n ???
x2s i n431 2?? 2 4c os1431 x????
x4co s8385 ??
).24co s (483)( ??????? nxy nn
三、小结
高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题
设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf ??
求,)(af ??
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf ???????
)( xg ??? 不一定存在 故用定义求 )(af ??
)(af ?? ax afxfax ? ???? ? )()(lim 0)( ?? af
ax
xf
ax ?
??
?
)(li m
)]()()(2[l i m xgaxxgax ???? ? )(2 ag?
一,填空题：
1, 设
t
e
t
y
s i n
? 则 y ?? =__ __ __ ___,
2, 设
xy t an?
,则 y ?? = ___ __ ___ _.
3, 设 xxy a rcta n)1(
2
??,则 y ?? = _ ___ __ __.
4, 设
2
x
xey ?,则 y ?? = ___ __ ___ _.
5, 设 )(
2
xfy ?,)( xf
??
存在，则
y ??
= __ ___ __ __,
6, 设
6
)10()( ?? xxf,则 )2(f
???
=___ __ ___ _.
7, 设
nn
nnn
axaxaxax ?????
?
??
1
2
2
1
1
?
( n
aaa,,,
21
?
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf ???? ?
,
则 )(
)1(
xf
n ?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题
二,求下列函数的二阶导数：
1,
x
xx
y
42
3
??
? ；
2, xxy lnco s
2
? ；
3, )1l n (
2
xxy ???,
三,试从
ydy
dx
?
?
1
，导出：
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
?
??
?? ；
2,
6
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
?
????????
?,
五、验证函数 xx ececy ?? ??? 21 ( ?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 ???? yy ?,
六,求下列函数的 n 阶导数：
1, xey
x
co s? ；
2,
x
x
y
?
?
?
1
1；
3,
23
2
3
??
?
xx
x
y ;
4, xxxy 3s i n2s i ns i n?,
一,1, te
t
c o s2
?
? ； 2, xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c ta n2
x
x
x
?
? ； 4, )23(2
2
2
xxe
x
? ；
5, )(4)(2
222
xfxxf ???? ； 6, 20 736 0 ；
7, !n ； 8, )!1( ?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
?
?
?? xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ???? ；
3,
2
3
2
)1( x
x
?
.
练习题答案
六,1, )
4
co s ()2(
?
nxe
xn
? ；
2,
1
)1(
!2
)1(
?
?
?
?
n
n
x
n；
3, )2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
?
?
?
?
?
??
n
xx
n
nn
n；
4, )
2
2s i n (2[
4
1 ?
?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
?
??
?
?
n
x
n
x
nn
.