一、初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns ec)( sec
s ec)( t a n
co s)( si n
0)(
2
??
??
??
??
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
co tcs c)( cs c
cs c)( cot
s i n)( cos
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
2
2
1
1
)( arct an
1
1
)( arcsi n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)cot(
1
1
)( arcco s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 )(),( xvvxuu ?? 可导，则
（ 1） vuvu ????)(,（ 2） uccu ???)(
（ 3） vuvuuv ?????)(,（ 4） )0()( 2 ?????? vv vuvuvu,
( 是常数 )C? ?
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
例 1,的导数求函数 xxxy ???
解 )(2 1 ??????? xxxxxxy
))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx ??????
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
????
????
例 2,)]( s in[ 的导数求函数 nnn xfy ??
解 )]( s in[)]( s in[1 nnnnn xfxnfy ?????? ?
)( s in)( s in1 nnn xxn ? ???? ? 1c o s ??? n nxx
).( s in)]( s in[)( s in
)]( s in[c o s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
? ??????
?????
?
??
二、双曲函数与反双曲函数的导数
xx co s h)( s i n h ?? xx s i n h)( co s h ??
x
xx
c os h
s i nht anh ??
x
xxx
2
22
cos h
s i nhcos h)( t anh ????
即 xx 2c o s h
1)( t an h ??
同理
)11(11 22 xxxx ????? 21 1 x??
1
1
2 ?? x
21
1
x??
)1l n (s i n h 2xxx ???? ar
2
2
1
)1()s i nh(
xx
xxx
??
??????
ar
ar )cos h( ?x
ar )t an h( ?x
例 3,)ha r c t a n ( t a n 的导数求函数 xy ?
解 )( t an ht an h1 1 2 ????? xxy
xx 22 cos h
1
t an h1
1 ?
??
x
x
x 2
2
2 c os h
1
c os h
s i nh
1
1
?
?
?
xx 22 s i n hcos h
1
??,s i n h21
1
2 x??
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初
等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键, 正确分解初等函数的复合结构,
思考题
幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf ? ),( ?????x
在 处不可导，0?x ?)1(
2)( xxf ? ),( ?????
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题：
1, 设
n
x
x
y
ln
?,则 y ? = _ __ _ __ __ _ _.
2, 设
x
y
1
co sln?,则 y ? = _ __ _ __ __ _ _.
3, 设 xxy ??,则 y ? = _ __ _ __ __ _ _.
4, 设
tt
tt
ee
ee
y
?
?
?
?
?,则 y
?
= _ __ _ __ __ _,
5, 设
)999()2)(1()( ???? xxxxxf ??
则
)0(f ?
= __ __ __ __ _ _.
二,求下列函数的导数：
1, )1t a n h ( 2xy ?? ；
2, ?y s in har )1( 2 ?x ；
练 习 题
3, ?y c o s har )(
2 x
e ；
4,
x
xey
c o s h
s i n h? ；
5,
2
)
2
(a rc ta n
x
y ? ；
6,
x
ey
1
s i n
2
?
? ；
7,
2
1
2
a rc s i n
t
t
y
?
?,
一,1,
1
ln1
?
?
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
?
?
4
12；
4,
t
2
co s h
1； 5, -99 9!.
二,1,
)1(co s h
2
22
x
x
?； 2,
22
2
24
?? xx
x；
3,
1
2
4
2
?
x
x
e
e； 4, )s i nh(co s h
2co s h
xxe
x
? ；
5,
2
a rc ta n
4
4
2
x
x?； 6,
x
e
xx
1
s i n
2
2
2
sin
1 ?
? ；
练习题答案
7,
?
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??
?
?
?
?
?
?
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??
1,
1
2
1,
1
2
2
2
2
2
t
t
t
t
y,