一、问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
例如,当 x 很小时,xe x ?? 1,xx ?? )1ln (
[ ??? )()( 0xfxf ]
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf ??????
（如下图）
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
xey ?
xy ?? 1
o
xey ?
o
xy?
)1ln( xy ??
不足,
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?
误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高； 2、误差不能估计,
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 ???????? ?
误差 )()()( xPxfxR nn ??
二,nP 和 nR 的确定
0x
)(xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?得 ),,2,1,0()(
!
1
0
)( nkxf
ka
k
k ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
三、泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的
某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,则当
x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的一个 n
次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? (? 在
0x 与 x 之间 ),
证明, 由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且
两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ?!1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf ????? ?
?
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
注意,1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
?
??
??
???? ?
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
??
?
?
??
??
????
?
?
?
? n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf ?
麦克劳林 (Maclaurin)公式
四、简单的应用
例 1 求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx ????? ?
估计误差 )0( ?x设
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n其误差 )!1( ?? n eR n
).10()!1()!1()( 1 ?????? ? ?
?
n
xx
n xn
e
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
例 2 计算 4
0
3c o s2
lim
2
x
xe x
x
??
?
.
解 )(!211 442
2 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
12
7)(12
7
lim 4
44
0
?
?
?
? x
xox
x
原式
xy?
xy si n?
播放
五、小结
1, T a y l o r 公式在近似计算中的应用 ;
播放
2, T aylor 公式的数学思想 - -- 局部逼近,
思考题
利用泰勒公式求极限 3 )1(s i nl i m x xxxe
x
x
??
??
思
考
题
解
答
)(!3!21 3
32
xoxxxe x ??????
)(!3s i n 3
3
xoxxx ???
????
?? 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
)1()(
!3
)(
!3!2
1
lim
x
xxxo
x
xxo
xx
x
x
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
??
3
3
33
)(
!3!2l i m
x
xoxx
x
??
?
?? 6
1?
一,当 1
0
??x 时，求函数
x
xf
1
)( ? 的 n 阶泰勒公式,
二,求函数
x
xexf ?)( 的 n 阶麦格劳林公式,
三,验证
2
1
0 ?? x 时，按公式
62
1
32
xx
xe
x
???? 计算
x
e
的近似值，可产生的误差小于 0.01,并求 e 的
近似值，使误差小于 0.01,
四,应用三阶泰勒公式求
3
30
的近似值，并估计误差,
五,利用泰勒公式求极限：
1,
x
ex
x
x
4
2
0 sin
co s
lim
2
?
?
?；
2, )]
1
1l n([l i m
2
x
xx
x
??
??
.
练 习 题
一,])1()1()1(1[
1
2 n
xxx
x
????????? ?
)1,0(
)]1(1[
)1(
)1(
2
1
1
?
???
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n
x
x
.
二、
)!1(!2
3
2
?
?????
n
xx
xxxe
n
x
?
)10(,)1(
)!1(
1
1
????
?
?
?
??
? nx
xexn
n
.
三,6 4 5.1?e,
四、
5
3
3
1088.1,10724.330
?
??? R,
五,1,
12
1
,2,
2
1
.
练习题答案