洛必达法则型未定式解法型及一,:00 ??
定义
.
0
0
)(
)(
lim
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为
那末极限大都趋于零或都趋于无穷与
两个函数时或如果当
?
?
???
??
? xF
xf
xF
xfxax
x
ax
例如,,tanlim0 x xx ?,s inln s inlnlim 0 bxaxx ?)00( )(?
?
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,0)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfx
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于零及函数时当设
定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,,,该法则仍然成立时以及时当 ????? xaxx
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1
??
?
?
??
ax
axxfxf,
,0
),()(
1 ??
?
?
??
ax
axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在 ?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
?
?
F
f
?
??
)( 之间与在 ax?
,,aax ?? ?时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(lim AFfa ???? ? ???
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? ???
例 1
解
.ta nlim
0 x
x
x ?
求
)(
)( t a nlim
0 ?
??
? x
x
x
原式 1s e clim
2
0
x
x
?,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式 26 6lim
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a rc t a n
2l i m
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
例 4
解
.s inln s inlnlim
0 bx
ax
x ?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0 ?
??
?
原式,1?
)00(
)(??
ax
bx
x c o s
c o slim
0?
?
例 5
解
.3t ant anlim
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s ec3
s eclim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
cos
3coslim
3
1
??
?
xx
xx
x s inc os2
3s in3c os6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s in
6s inlim
2
??
?
x
x
x 2c os2
6c os6lim
2
??
?,3?
)(??
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 6
解
.t a nt a nlim 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nlim
x
xx
x
??
?
原式
x
xx
x 6
t ans e c2lim 2
0?
?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
?
x
x
x
ta nlim
3
1
0?
?,31?
型未定式解法二,00,1,0,,0 ?????? ?
例 7
解
.lim 2 xx ex ????求 )0( ??
x
e x
x 2
lim
???
?原式 2lim
x
x
e
??
? 2lim
x
x
e
???
?,???
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型,),00( )(??
型??0.1
步骤,,10 ??????,0100 ???或
例 8
解
).1s in1(lim
0 xxx
?
?
求 )( ???
0
1
0
1 ?????,
00
00
?
??
xx
xx
x s in
s inlim
0 ?
??
?
原式
xxx
x
x co ss in
co s1lim
0 ?
??
?,0?
型???.2
步骤,
步骤,
型00,1,0.3 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0 ???
例 9
解
.lim0 xx x??求 )0( 0
xx
x e
ln
0lim ???原式
xxxe lnlim0 ???
2
0 1
1
lim
x
x
x
e
???
? 0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x
x ?
?
求 )1( ?
xx
x
e ln1
1
1
lim ?
?
?原式 xxxe ??? 1lnlim1
1
lim
1???
x
xe,1??e
例 11
解
.)( c otl i m ln
1
0
x
x
x?
?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex ??取对数得
)ln ( co tln 1lim
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
cot
1
lim
2
0
??
?
??
xx
x
x s inco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
例 12
解
.co slim x xx
x
?
??
求
1
s in1lim x
x
??
??
原式 ).s in1(lim xx ?? ??
极限不存在
洛必达法则失效。
)co s11(lim xx
x
??
??
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
三、小结
洛必达法则
型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型?? gfgf 1?? fg fggf 11 11 ????
取对数
令 gfy?
思考题
设
)(
)(
l i m
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
?
?
的极
限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答
不一定．
例,s in)( xxxf ?? xxg ?)(
显然 ???
?? )(
)(lim
xg
xf
x 1
c os1lim x
x
?
?? 极限不存在．
但 ?
?? )(
)(lim
xg
xf
x x
xx
x
s inlim ?
?? 1?
极限存在．
一,填空题：
1, 洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
?
?
”两种
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___, _ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___,等型的未定式
的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n(
l i m
0
?
?
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
lim
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题
二,用洛必达法则求下列极限：
1,
2
2
)2(
si nln
l i m
x
x
x
??
?
?； 2,
x
x
x
a rcta n
)
1
1l n(
lim
?
???；
3,
xx
x
2c o tl i m
0?； 4, )
1
1
1
2
(lim
2
1
?
?
?
?
xx
x；
5,
x
x
x
s i n
0
l i m
??； 6,
x
x
x
t a n
0
)
1
(l i m
??；
7,
x
x
x )ar c t an
2
(l i m
????
,
三,讨论函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当
当
,
在 处点 0?x 的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0 ??????
?； 2, 1 ； 3, 1.
二,1,
8
1； 2, 1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5, 1 ；
6, 1 ； 7,
?
?
2
e,
三、连续,
练习题答案