一、反函数的导数
定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
? ?
??
??? ?
??
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续xf?
),0(0 ????? xy 0)( ?? y?又知
x
yxf
x ?
????
?? 0l i m)(
y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
),0( xIxxx ?????
例 1,a r cs i n 的导数求函数 xy ?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx?
,0c o s)( s i n ??? yy且 内有在 )11( ??? xI
)( s i n
1)( a rc s i n
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??,1
1
2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx ???
)(a rc s in ?x
.1 1)co t( 2xx ????arc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在 ???? xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ?????? yy Iax?
特别地,1)(ln xx ??
二、复合函数的求导法则
定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
证,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ????? ??
)0l i m()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
??
?? 0lim ])([l i m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 limlimlim)(
).()( 00 xuf ? ???
推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
)]}([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 3,s i nln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
例 4,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 5,ar c s i n22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )ar c s i n2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey ?
解 )1( s i n
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s i n
2 xex
x ???
三、小结
反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu ? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu ?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf ?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( ?? 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf ?在 处不可导，0?x ?)1(
取 4)( xxgu ?? 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf ??在 处可导，0?x ?)2(
一,填空题：
1, 设
4
)52( ?? xy,则 y ? = __ _ __ __ _ __ _.
2, 设 xy
2
s i n?,则 y ? = __ _ __ __ _ __ __,
3, 设 )a rcta n(
2
xy ?,则 y ? = __ _ __ __ _ __ __,
4, 设 xy c o sln?,则 y
?
= __ _ __ __ _ __ __,
5, 设
xx
y
2t a n
10?,则 y
?
= _ __ _ __ __ _ __ _.
6, 设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy ?,
则
dx
dy
= __ _ __ __ _ __ _.
7, 设
x
k
exf
t a n
)( ?
,则
)( xf ?
= __ _ __ __ _ __,
若 ef ??
?
?
?
?
?
?
4
?
，则
?k
__ _ __ _ __ __ _,
练 习 题
二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a rc co s? ； 2,
x
x
y
2sin
? ；
3, )l n (
22
xaxy ??? ； 4, )c o tl n ( c s c xxy ?? ；
5,
2
)
2
(a rcs i n
x
y ? ； 6,
x
ey
a r c t a n
? ；
7,
x
x
y
a rc co s
a rc s i n
? ； 8,
x
x
y
?
?
?
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
?? xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy ?? 的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0( ?f, 0)0( ??f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明 ? ?)( xfF 在 0?x 处
也可导,
一,1,
3
)52(8 ?x ； 2, x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x
?；
4, xt a n? ； 5, )2s ec22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx
? ；
6, )(2
2
xfx ? ； 7, xxke
kx
k
21t a n
s e ct a n ??
?
,
2
1
.
二,1,
1
22
?xx
x； 2,
2
2s i n2co s2
x
xxx ?；
3,
22
1
xa ?； 4,
xc s c；
5,
2
4
2
a rcs i n2
x
x
?； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x
?；
练习题答案
7,
22
)(a rcco s12 xx?
?； 8,
)1(2)1(
1
xxx ??
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
?
???
.