一、渐近线
定义,
.
)(,
,
)(
一条渐近线
的就称为曲线那么直线趋向于零
的距离到某定直线如果点移向无穷点时
沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
?
?
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么
或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
??
????
?? ??
例如,)3)(2( 1 ??? xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 ??? xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么
为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
??
??
??????
例如,a r c ta n xy ?
有水平渐近线两条,
.2,2 ????? yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([lim
0)]()([lim
的一条斜渐近线就是那么
为常数或
如果
xfybaxy
babaxxf
baxxf
x
x
???
???
???
???
???
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
?
??,])([lim baxxfx ????
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy ???
注意,;
)(
lim)1( 不存在
如果
x
xf
x ??
,])([l i m,)(l i m)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
??
????
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy ?
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 ? ??? x xxxf
解 ).,1()1,(,???? ?D
??? )(lim 1 xfx?,?? ??? )(lim 1 xfx,??
.1 是曲线的铅直渐近线?? x
?
?? x
xf
x
)(l i m?又
)1(
)3)(2(2lim
?
??
?? xx
xx
x,2?
]2)1( )3)(2(2[l i m xxx xx
x
?? ??
??
1
)1(2)3)(2(2lim
?
?????
?? x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线??? xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( ? ??? x xxxf
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形,
第一步
第二步
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在函数定义
域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数
不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐
近线以及其他变化趋势 ;
第五步
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
三、作图举例
例 2,2)1(4)( 2 的图形作函数 ??? xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf ????,)3(8)( 4xxxf ????
,0)( ?? xf令,2??x得驻点
,0)( ??? xf令,3??x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 ??? ???? xxxf xx,2?? ;2??y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 ??? ?? xxxf xx,???
.0?x得铅直渐近线
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ??? ),0( ??)2,3( ??3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
? ?
?
0
0)(xf ??
2? 0
? ?
? ??
不存在
拐点 极值点 间
断
点3?)9
26,3( ??
:补充点 );0,31(),0,31( ??
),2,1( ??A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 ??? xxxf
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex ????
解 ),,(,????D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx ????? ?
,0)( ??? x令,0?x得驻点
,0)( ?? ?? x令,1,1 ??? xx得特殊点
.4.021)(0,????? xW
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx ?? ????? ??
2
2
2
1l i m)(l i m x
xx
ex ?
???? ?
???,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ??? ),1( ??)0,1(?1? )1,0(
)(x??
)(x?
? ?
?
0
0)(x???
0 1
?
?
?
? ?
拐点 极大值
?2
1)
21,1( e??
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex ?
???
例 4,1)( 23 的图形作函数 ???? xxxxf
解 ),,(,????D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( ???? xxxf ).13(2)( ???? xxf
,0)( ?? xf令,1,31 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
x )31,( ??? ),1( ??)31,31(?31? )1,31(
? ?
?
0
3
1 1
?
?
?
??
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf ??
极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )
85,23(C
11? 3131?
123 ???? xxxy
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导
数应用的综合考察,
x
y
oa b
最
大
值
最
小
值
极
大
值 极
小
值
拐
点
凹的
凸的
单增
单减)( xfy ?
思考题
两坐标轴 0?x, 0?y 是否都是
函数
x
x
xf
si n
)( ? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim ?
?? x
x
x
?
0?? y 是 其图象的渐近线,
0?? x 不是 其图象的渐近线,
???
?
1s i nl i m
0 x
x
x
?
x
xy sin?
一,填空题：
1, 曲线
x
ey
1
? 的水平渐近线为 __ __ __ __ __ _ __ __,
2, 曲线
1
1
?
?
x
y 的水平渐近线为 __ __ __ __ __ _ __ _,
铅直渐近线为 __ __ __ _ __ __ __ _,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
?? ；
2,
22
)1( ?? xxy ；
3,
xy s i nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
?? 的渐近线并画图,
练 习 题
一,1, 1?y ； 2, 1,0 ?? xy,
练习题答案