一、弧微分
N
RTA
0x
M
x xx ??
.
),()(
内具有连续导数
在区间设函数 baxf
x
y
o
),,(,00 yxA基点
,),( 为任意一点yxM
规定,;)1( 增大的方向一致曲线的正向与 x
,)2( sAM ?
.,,,取负号相反时取正号一致时
的方向与曲线正向当
ss
AM
).( xss ?单调增函数
),,( yyxxN ????设 如图，
NTMTMNMN ???,0 时当 ?? x
22 )()( yxMN ???? xxy ????? 2)(1,1 2 dxy??
sMN ??,ds?
22 )()( dydxMT ??,1 2 dxy???
dyyNT ???,0?,1 2 dxyds ???故
,)( 为单调增函数xss ??,1 2 dxyds ???故
弧微分公式
N
M TRA
0x x xx ?? x
y
o
二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1M
3M
2??
2M 2S?
1S?
M M?1S?
2S?N N???
弧段弯曲程度
越大转角越大
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
1.曲率的定义
1??
????
??S?S
)?.
M?,
M
C
0M
y
xo
.sKMM ???? ?的平均曲率为弧段
设曲线 C是光滑的，
.0 是基点M,sMM ???
.???? 切线转角为MM
定义
sK s ?
???
?? 0
l i m曲线 C在点 M处的曲率
,lim
0
存在的条件下在 dsds
s
?? ?
?
?
??
.dsdK ??
2.曲率的计算公式
注意, (1) 直线的曲率处处为零 ;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且
半径越小曲率越大,
,)( 二阶可导设 xfy ?,t an y????
,1 2 dxyyd ?? ????
.
)1( 2
3
2y
yk
??
????,a r ct a n y
???有
.1 2 dxyds ???
,),( ),( 二阶可导设
??
?
?
?
ty
tx
?
?
.
)]()([
)()()()(
2
3
22 tt
ttttk
??
????
???
?????????
,)( )( ttdxdy ?? ????,)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????
例 1?2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy ???
解,2 baxy ???,2ay ???
.
])2(1[
2
2
3
2bax
ak
??
??
显然,,2 时当 abx ??,最大k
,)4 4,2(
2
为抛物线的顶点又 a acbab ????
.最大抛物线在顶点处的曲率?
点击图片任意处播放 \暂停 ).
(
1
),(
,
的半径
为圆弧轨道到
率连续地由零过渡
使曲如图缓冲段
弯道之间接入一段
稳，往往在直道和
驶平容易发生事故，为了行的曲率突然改变
道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯
R
R
例 2
.
1
)1(
,
],0[
6
1
0
3
R
A
R
l
R
l
OOA
OAlOA
xxx
Rl
y
的曲率近似为
时，在终端
很小并且当为零
的曲率在始端
的长度，验证缓冲段为，其中缓冲段
．作为，通常用三次抛物线
??
??
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
l
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
证 如图
的负半轴表示直道，x
.,是圆弧轨道是缓冲段 ABOA
在缓冲段上,
,2 1 2xRly ??,1 xRly ???
,0,0,0 ?????? yyx 处在,00 ?k故缓冲始点的曲率
实际要求,0xl ?
l
2
02
1
0 xRly xx ?? ?有
2
2
1 l
Rl?,2R
l?
0
1
0 xRly xx ??? ? lRl
1?,1
R?
的曲率为故在终端 A
0
2
3
2 )1(
xxA
y
yk
?
??
???
2
3
2
2
)
4
1(
1
R
l
R
?
?
,1??Rl?,1Rk A ?得,4 2
2
R
l略去二次项
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
l
三、曲率圆与曲率半径
定义
D )(xfy?
M
k1??
.),(
,.
1
,
,
).0(),(
)(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆
为半径为圆心以
使在凹的一侧取一点
处的曲线的法线上在点
处的曲率为
在点设曲线
M
D
k
DMD
M
kkyxM
xfy
????
?
?
,曲率中心???D,曲率半径????
x
y
o
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数,
.1,1 ?? ?? kk即
注意,
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
处的曲率越小 (曲线越平坦 );曲率半径越小,曲
率越大 (曲线越弯曲 ).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附
近曲线弧 (称为曲线在该点附近的二次近似 ).
例 3
x
y
o
Q
P
?
.
,
.70
,/4 0 0
,)(
4 0 0 0
2
压力
飞行员对座椅的到原点时
求俯冲千克飞行员体重
秒米处速度为点
在原俯冲飞行单位为米
飞机沿抛物线
?
?
vO
x
y
解 如图,受力分析,PQF ??
视飞行员在点 o作匀速圆周运动,.
2
?
mvF ??
O点处抛物线轨道的曲率半径
00 2000 ?? ?? xx
xy,0?,
2 0 0 0
1
0 ??? ?xy
得曲率为,2 0 0 010 ?? xxk 曲率半径为,2000 米??
20 0 0
40070 2??? F ),(4.5 7 1)(5 6 0 0 千克牛 ??
),(4.5 7 1)(70 千克力千克力 ??? Q
).(5.6 4 1 千克力?
即,飞行员对座椅的压力为 641.5千克力,
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性
质的数学分支 —— 微分几何学,
基本概念, 弧微分,曲率,曲率圆,
曲线弯曲程度的描述 —— 曲率 ;
曲线弧的近似代替曲率圆 (弧 ).
思考题
椭圆 上哪
些点处曲率最大？
,c o s2 tx ? ty s in3?
思考题解答
2
3
2 ])(1[
||
y
yk
??
??
?
2
3
22 )cos9s i n4(
6
tt ?
?
2
3
2 )cos54(
6
t?
?
要使 最大，k 2
3
2 )c o s54( t?必有 最小，
2
3,
2
???? t 此时 最大，k
一,填空题：
1, 曲率处处为零的曲线为 __ __ __ __ ；曲率处处相等
的曲线为 __ __ _ __ __ _.
2, 抛 物 线 34
2
??? xxy 在 (2,- 1 ) 处 的 曲 率 为
__ _ __ __ _ ；曲率半径为 __ _ __ _ __ _.
3, 曲线 )1l n (
2
xxy ??? 在 (0,0) 处 的 曲 率 为
__ _ __ __ _ __ _.
二,求曲线
)l n ( s e c xy ?
在点
),( yx
处的曲率及曲率半
径,
三,求曲线
?
?
?
?
?
tay
tax
3
3
s i n
co s
在 0
tt ?
处的曲率,
四,证明曲线
a
x
ay co s h? 在任何一点处曲率半径为
a
y
2
.
练 习 题
五,曲线弧 xy s i n? )0( ??? x 上哪一点处的曲率半
径最小？求出该点处的曲率半径,
六,曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指
数曲线
x
ey ? 的顶点，并求在该点处的曲率半径,
一,1,直线, 圆； 2,
2
1
,2 ； 3, 0.
二,xxk s e c,c os ???,
三、
0
2si n3
2
ta
k ?,
五,)1,
2
(
?
处曲率半径有最小值 1.
六, 3
2
3
),
2
1
,2ln
2
1
( ???,
练习题答案