第 2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 基本连续时间信号
2.2 信号的运算与变换
2.3 线性时不变连续系统
2.4 LTI连续系统的模型
2.5 LTI连续系统的响应
2.6 冲激响应与阶跃响应
2.7 卷积与零状态响应本章学习目标通过本章学习，应达到以下要求：
（ 1）掌握典型信号的特性，熟悉信号的运算与变换。
（ 2）掌握 LTI连续系统的特性，了解 LTI连续系统数学模型的建立 及系统的初始条件 。
（ 3）掌握连续系统的零输入响应和零状态响应。
（ 4）掌握冲激信号的性质及连续系统的冲激响应
（ 5）熟悉卷积积分及其主要性质，了解卷积积分的图解。
2.1 基本连续时间信号
2.1.1 正弦信号
2.1.2 指数信号
2.1.3 抽样信号
2.1.4 奇异信号返回首页
2.1.1 正弦信号
在电路理论中已经介绍了许多正弦信号的知识,只不过当时将其称为电压或电流而已 。 正弦信号和余弦信号统称为正弦信号,一般表示为：
)s i n ()( tKtf
（ 2-1）
0
t
)( tf
K
T
0
t?
)( tf
K
2
（ a） （ b）
图 2-1 正弦信号返回本节
2.1.2 指数信号
在电路理论中曾用到衰减指数信号,其中是时间常数。一般指数信号可以表示为：
t
e?
tKetf)(
（ 2-2）
0
t
)( tf
0
t
K K
0
t
K
)( tf )( tf
（ a） 增长指数信号 （ b） 直流信号 （ c） 衰减指数信号图 2-2 指数信号仅存在于 t≥0或 t≤0时间范围内的指数信号称为单边指数信号 。 常见的是 t≥0的单边衰减指数信号,其表达式为：
0)( tKetf
t≥0
（ 2-3）
0
t
K
)( tf
图 2-3 单边衰减指数信号
2,复指数信号复指数信号与指数信号相似,其表达式为：
stKetf?)(
（ 2-4）
其中,K为常数,可以是实数,也可以是复数；
指数因子是一复数 。 复指数信号还可以写成三角形式：
tj K etKeKetf tttj s i nc o s)( )(
（ 2-5）
0
t
)( tf
0
t
K K
0
t
K
)( tf )( tf
K? K?K?
（ a） 增幅正弦振荡信号 （ b） 等幅正弦振荡信号 （ c） 衰减正弦振荡信号图 2-4 复指数信号返回本节
2.1.3 抽样信号
抽样信号以符号来表示,其表达式为：
t
t
tSa
s i n
)(?
（ 2-6）
0
t
)( tSa
1
2
3
4
2?
34?
- 0,2 1 2
0,1 2 7
图 2-5 抽样信号返回本节
2.1.4 奇异信号
1,单位斜变信号斜变信号又称斜坡信号,是指信号在某时刻以后随时间呈现正比例增长 。 当斜变信号随时间增长的速率为 1时,称为单位斜变信号或单位斜坡信号,用符号表示,定义为：
0
00
)(
tt
t
tR
（ 2-7）
0
t
)( tR
1
1 0
t
)(
0
ttR?
1
0
t 1
0
t 0
t
)( tf
0
t
b
a
（ a） （ b） （ c）
图 2-6 斜变信号
2,单位阶跃信号
（ 1） 单位阶跃信号又称开关信号,如图 2-7
（ a） 所示,用符号来表示,其定义为：
01
00
)(
t
t
tu
（ 2-11）
0
1
t
)( tu
V1 )( tv i N
S
（ a） （ b）
图 2-7 单位阶跃信号
（ 2） 如果单位直流电源的接入时间为,且,
可以用延迟的单位阶跃信号来表示,如图 2-8
（ a） 所示,表示为：
0
0
0 1
0
)(
tt
tt
ttu
（ 2-12）
（ 3） 一般直流电源接入电路时,可能存在时间延迟,而且电源的电压值或电流值不为 1，
称为一般阶跃信号,如图 2-8（ b） 所示,表示为：
)()( 0ttKutf
（ 2-13）
0
t
)(
0
ttu?
0
t
)( tf
0
t
K
0t
1
图 2-8 阶跃信号
（ a） （ b）
3,单位冲激信号冲激信号的概念来源于某些物理现象,如自然界中的雷电,电力系统中开关启闭产生的瞬间电火花,通信系统中的抽样脉冲等 。
图 2-9所示为一无初始储能的充电电路,直流电压源的电压为 E,当电容容量 C不变,电阻 R
减少时,充电速率提高,当时,开关闭合后,
电容两端电压由原来的 0值突变到电源电压值
E,此时电流值为无限大,如何来表示这一无限大的电流呢？
E
R
C )( tv
0?t 开关闭合
)( ti
S
图 2-9 无初始储能的充电电路
4,单位冲激偶信号单位冲激信号的求导称为单位冲激偶信号,又称二次冲激信号,用符号表示 。 冲激偶信号顾名思义是有两个上下对称的冲激信号,如图 2-
12（ a） 所示,或简单表示为图 2-12（ b） 所示的形式 。
0
t
)(
)1(
t?
0
t
)1(
或
)(
)1(
t?
（ a） （ b）
图 2-12 冲激偶信号
5,门函数门函数是一矩形脉冲信号,又称矩形窗函数,
用符号来表示,如图 2-13所示,其脉冲宽度为,脉冲幅度为 1,定义为：
2/0
2/1
)(
t
t
tg
（ 2-19）
6,符号函数符号函数又称正负号函数,用符号来表示,
如图 2-14所示,定义为：
01
01
s g n
t
t
t
（ 2-20）
0
t
)( tg
2
2
1
0
t
ts g n
1
1?
图 2-13 门函数 图 2-14 符号函数返回本节
2.2 信号的运算与变换
2.2.1 信号的代数运算
2.2.2 信号的微分与积分
2.2.3 信号的反褶
2.2.4 信号的时移
2.2.5 信号的尺度变换
2.2.6 信号的分解返回首页
2.2.1 信号的代数运算
1,加减运算
已知信号 和,则对二信号的加减运算后的 表示为：
)(1 tf )(2 tf
)(3 tf
)()()( 213 tftftf （ 2-21）
相加运算 相减运算
0
t
ttg sg n)(?
2
2
2
0
t
ttg sg n)(?
2
2
2
1
1?
1
0
t
)( tg
2
2
1
0
t
ts gn
1
1?
1?
图 2-15 信号的加减运算
2,相乘运算已知信号 和,则二信号相乘后的表示为：
)(1 tf )(2 tf
)(3 tf
)()()( 213 tftftf
（ 2-22）
0
t
)( tg
2
2
1
0
t
ts g n
1
1?
相乘运算
0
t
ttg s g n)(?
2
2
1
1?
图 2-16 相乘运算返回本节
2.2.2 信号的微分与积分
已知信号,其微分运算后得到,
表示为,)(tf
)(1 ty
dt
tdfty )()(
1?
（ 2-23）
经积分运算后得到,表示为：
)(tf )(2 ty
t dfty )()(2
（ 2-24）
返回本节
2.2.3 信号的反褶
信号的反褶,又称折叠,就是把原信号沿纵轴翻转 180° 。 已知原信号,其反褶运算后得到,表示为,)(tf
)(ty
)()( tfty
（ 2-25）
0
t
)( tv
2 0
t
)( ti C
2
1 )( C
)( C?
0
t
)( ti L
2
L
2
图 2-17 电压信号 图 2-18 电流信号
0
t
)( tv?
-2
1
图 2-19 反褶信号返回本节
2.2.4 信号的时移
信号的时移,又称为平移,是将原信号沿时间轴向左或向右移动 。 原信号为,时移后得到,表示为：
)(tf
)(ty
)()( btfty
（ 2-28）
0
t
)( tf
3
1
-10
t
)2(?tf
1
1
-3
向左平移超前于 )( tf
向右平移
0
t
)1(?tf
4
1
滞后于 )( tf
图 2-20 信号的时移（ 1）
0
t
)( tf?
1
1
-30
t
)1( tf
1
-4
向左平移超前于 )( tf?
向右平移
0
t
)2( tf
3
1
滞后于 )( tf?
-1
图 2-21 信号的时移（ 2）
返回本节
2.2.5 信号的尺度变换
原信号为,尺度变换后得到,表示为,)(tf )(ty
)()( atfty?
（ 2-29）
0
t
)( tf
-2
1
4
2
0
t
)2( tf
-1
1
2
2
21
压缩
0
t
)
2
(
t
f
-4
1
8
2
4
扩展图 2-22 信号的尺度变换返回本节
2.2.6 信号的分解
为了更好地分析信号的特性,可以将复杂信号分解为多个简单信号 （ 基本信号 ） 分量之和 。
0
t
)( tf
-2
1
4
2
2
反褶
0
t
)1(?tf
-3
1
3
2
1
时移
0
t
)1( tf
-3
1
3
2
-1
0
t
)1
2
(
t
f
-6
1
6
2
-2
尺度变换图 2-23 信号的变换
0
t
)( tf
2
1 4 5-3-4
图 2-24 周期信号
)( tf A
0
t
Df
0,5
0
t
1,5
1 4 5-3-4
-0,5
图 2-25 周期信号分解为直流分量与交流分量
0
t
)( tf
2
1
图 2-26 时限信号
0
t
)( tf
2
1 0
t
)( tf
e
1
1-1
0
t
)( tf?
2
-1
0
t
)( tf
o
1
1-1
-1
（ a） （ b）
图 2-27 时限信号的分解
0 t
)( tf e
1
1 4 5-3-4
-1 3-5 0
t
)( tf o
1
1 4 5-3-4
-1 3-5
-1
图 2-28 周期信号的分解返回本节
2.3 线性时不变连续系统
2.3.1 线性时不变系统的基本性质
2.3.2 线性时不变系统的模拟返回首页
2.3.1 线性时不变系统的基本性质
1．系统的线性特性
2．系统的时不变特性
3．线性时不变系统的特性
4．线性时不变系统的因果特性
1．系统的线性特性
系统的线性特性是指系统同时具有叠加性和齐次性（均匀性）。叠加性是指，若干激励信号同时作用于系统产生的响应等于各个激励信号单独作用于系统产生的响应之和。齐次性是指，如果系统的输入激励变化为原来的倍时，
系统的输出响应也随之变化原来的倍。
2．系统的时不变特性
由于时不变系统的元件参数不随时间改变,
所以系统的零状态响应形式与激励信号的接入时刻无关,即当激励延迟时间时,其响应也同样延迟时间,波形形状不变,如图 2-29所示 。
)( tx
)( ty
时不变系统
0
t
0
t
)(ty
0
t
)(tx
0
t
图 2-29 时不变系统示意图
3．线性时不变系统的特性
判断系统是否为线性时不变系统的方法是：
（ 1） 当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时,系统为线性时不变系统 。
（ 2） 一般情况下,可分别判断系统是否满足线性和时不变性 。
4．线性时不变系统的因果特性
若线性时不变系统满足因果特性,则此系统为线性时不变因果系统 。
返回本节
2.3.2 线性时不变系统的模拟
1,系统的基本部件及其运算关系
2,线性时不变系统的模拟
3,子系统之间的连接
1．系统的基本部件及其运算关系
系统除了可以抽象为数学模型以外,还可以借助一些能够反映输入与输出关系的理想运算单元的组合来表示系统 。 将这些具有某种特定运算功能的运算单元称为基本部件 。 常用的基本部件符号及其运算关系如图 2-30所示 。
)(1 tx
)(2 tx
)( tx)()()( 21 txtxty )()( taxty?a
（ a） 加法器 （ b） 倍乘器
)( tx 延时 )()( TtxtyT )(1 tx
)(2 tx
)()()( 21 txtxty)( tx?
t
dxty )()(?
（ c） 积分器 （ d） 延时单元 （ e） 乘法器图 2-30 系统的基本部件
2．线性时不变系统的模拟
系统的模拟是采用几种基本部件的组合形式来描述系统的,并使其与被模拟系统的数学模型相对应,从而实现对系统的计算机仿真 。 通过计算机仿真实验可以更加快捷,方便地获得系统分析的结果,对于实际物理系统的设计与调试具有重要的工程意义 。
)( tx
R
C )( ty
图 2-31 RC电路
RC
1
)( ty)( tx?
RC
1
)( ty)( tx
RC
1
（ a） （ b）
图 2-32 RC电路的模拟框图
3．子系统之间的连接
一个系统往往由若干子系统有机组合而成 。
子系统之间的连接方式一般为串联 （ 又称级联 ）
和并联两种基本形式 。
两个子系统的串并联分别如图 2-33和图 2-34
所示 。
)( ty)( tx 系统 1 系统 2 )( ty)( tx
系统 1
系统 2
)(1 ty
)(1 ty
)(2 ty
图 2-33 两个子系统串联 图 2-34 两个子系统并联返回本节
2.4 LTI连续系统的模型
2.4.1 LTI连续系统的数学模型
2.4.2 LTI连续系统的框图返回首页
2.4.1 LTI连续系统的数学模型
由电路理论可知,对于任意一个线性时不变电路,当电路结构和组成电路的元件参数确定以后,根据电路的两个约束关系,即元件的伏安关系和基尔霍夫定律,可以建立起与该电路对应的动态方程 。
)( tx
R
C )( ty
L
)( ti
)( tu
R )( tu L
图 2-35 RLC电路返回本节
2.4.2 LTI连续系统的框图
由前所述可知,LTI连续系统还可以用具有理想特性的符号组合而成的图形来表征系统特性,
即用模拟框图来表示系统 。 它形象地说明了输入与输出关系,并与系统的数学模型形成相互对应的关系 。
图 2-36所示为一个二阶 LTI系统的模拟框图 。
0
b
)( ty)( tx?
1
a
0
a
图 2-36 二阶系统的模拟框图
根据图 2-36中各个基本部件的运算关系可得其数学模型为：
)()()()( 00)1(1)2( txbtyatyaty
返回本节
2.5 LTI连续系统的响应
2.5.1 系统的初始条件
2.5.2 零输入响应与零状态响应
2.5.3 系统的全响应返回首页
2.5.1 系统的初始条件
1,系统的初始状态
2,系统的初始值
3,初始状态和初始值的确定
1．系统的初始状态
根据各电容及电感的状态值能够确定在时刻系统的响应及其响应的各阶导数
（ ），称这一组数据为阶系统的初始状态。
0t
)0(?y 1,,2,1 nk?
2．系统的初始值
一般情况下,由于外加激励的作用或系统内部结构和参数发生变化,使得系统的初始值与初始状态不等,即：
)0()0(
)0()0(
)()( kk yy
yy （ 2-43）
)0()0()0(
)0()0()0(
)()()( k
zs
k
zi
k
zszi
yyy
yyy
（ 2-44）
在零输入条件下，且系统的内部结构和参数不发生变化时，有：
)0()0(
)0()0(
)()( k
zi
k
zi
yy
yy （ 2-45）
3．初始状态和初始值的确定
通常在给定电网络的情况下,确定 初始状态和 初始值 的一般方法和步骤,通过例 2-11进行说明 。
)( tx
1
R
C
)( ty
L
2
R
图 2-37 例 2-11图
1
V2 )0(
y
1
)0(
L
i
)0(
C
v
1
V4
)0(
y
1
)0(
L
i
)0(
C
v
)0(
C
i
图 2-38 0-等效电路 图 2-39 0+等效电路返回本节
2.5.2 零输入响应与零状态响应
1,零输入响应
2,零状态响应
1．零输入响应
所谓零输入，是指系统无外加激励，即激励信号,这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入响应。则由式（ 2-42）表示的系统方程可得：
0)(?tx
0)()()()( 0)1(1)1(1)( tyatyatyaty nnn
（ 2-47）
该式为齐次微分方程,其特征方程为：
00111 asasas NnN
（ 2-48）
（ 1）当特征根均为 单根时，零输入响应的一般形式为：
N
i
tp
izi
ieAty
1
)(
（ 2-49）
（ 2） 当特征根中含有 重根,其他为单根时,
零输入响应的一般形式为：
N
kj
tp
j
k
i
i
i
tp
zi
jeAtAety
11
)1(1)(
（ 2-50）
表 2-1 零输入响应形式对照表
V10
V8
F1
H1
2
)( ti
S
1
2
图 2-40 例 2-14图
)0(
C
v
)0(
i
2
)0(
ziL
v
图 2-41 零输入 条件下的 等效电路
2．零状态响应
所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的初始状态为零，即
，这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应。
)0()0( )1(yy
0)0()1(ny
)()()()(
)()()()(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyaty
m
m
m
m
zszs
n
zsn
n
zs
（ 2-51）
表 2-2 典型激励及其对应特解形式对照表返回本节
2.5.3 系统的全响应
1,全响应分解为零输入响应与零状态响应
2,全响应分解为自由响应与强迫响应
3,全响应分解为暂态响应与稳态响应
1．全响应分解为零输入响应与零状态响应
全响应可以分解为零输入响应 与零状态响应 之和,即：
)(tyzi
)(ty zs
)()()( tytyty zszi
（ 2-53）
2．全响应分解为自由响应与强迫响应
自由响应又称固有响应,它反映了系统本身的特性,取决于系统的特征根；强迫响应又称强制响应,是与激励相关的响应 。 利用经典法可以直接求得自由响应与强迫响应,强迫响应即特解,其形式的确定参见表 2-2。 而通过先求得系统的零输入响应和零状态响应,并获得系统的全响应,然后利用系统特性与自由响应,
激励与强迫响应的关系可以间接得到自由响应和强迫响应 。
3．全响应分解为暂态响应与稳态响应
全响应 还可以分解为暂态响应与稳态响应 之和，即：
)(ty )(tyT
)(tys
)()()( tytyty sT
（ 2-55）
0
)( ty
a
t
b
原稳态新稳态暂态
0
)( ty
a
t
b
原稳态新稳态暂态
（ a） （ b）
图 2-42 系统 响应的过渡过程示意图返回本节
2.6 冲激响应与 阶跃响应
2.6.1 冲激信号的性质
2.6.2 冲激响应
2.6.3 阶跃响应返回首页
2.6.1 冲激信号的性质
1,的抽样特性
2,的筛选特性
3,的奇偶性
4,的尺度变换特性
5,的特性
)(t?
)(t?
)(t?
)(t?
)(t?
1,的抽样特性
)(t?
0
t
)( t?
(1)
0
)( tf
t
0
t
)()0( tf?
)0(f
0
t
)(
0
tt
(1)
0
)( tf
t
0
t
)()(
00
tttf
)(
0
tf
0
t
0
t
图 2-43 的抽样特性
)(t?
2,的筛选特性)(t?
3,的奇偶性
为一偶函数,即：
)(t?
)(t?
)()( tt
（ 2-60）
4,的尺度变换特性
的尺度变换特性,即：
)(t?
)(t?
)(
1
)( t
a
at
0?a
（ 2-61）
5,的特性)(t?
返回本节
2.6.2 冲激响应
以单位冲激信号 作为激励,LTI连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,记为 。 冲激响应示意图如图
2-44所示 。
)(t?
)(th
0
t
)( t?
(1)
0
t
)( th
LTI 系统)( t? )( th
图 2-44 冲激响应示意图
1,由系统的微分方程求解冲激响应系统的一般微分方程为：
)()()()(
)()()()(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyaty
m
m
m
m
n
n
n
表 2-3 一阶系统冲激响应形式对照表表 2-4 二阶系统冲激响应形式对照表
2,由阶跃响应求解冲激响应以单位阶跃信号 作为激励,LTI连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,记为 。
阶跃激励与阶跃响应的关系简单地表示为：
)(tg
)(tu
)()( tuHtg?
或
)()( tgtu?
3,由系统的框图来求系统的冲激响应图 2-45为某一阶系统的模拟框图,由系统框图写出输入与输出关系为：
t
dTxxty )()()(
)( ty)( tx?
延时 T
图 2-45 一阶系统模拟框图返回本节
2.6.3 阶跃响应
理论上,可以利用与冲激响应的关系来求阶跃响应,即：
t
dhtg
0
)()(
（ 2-76）
)( tu
0
t
0
t
1 LTI 系统)( tu )( tg
)( tg
图 2-46 阶跃响应示意图
)( tu
被测试系统
)( tu )( tg
)( tg
脉冲信号源 示波器图 2-47 阶跃响应的测试返回本节
2.7 卷积与零状态响应
2.7.1 任意信号的分解
2.7.2 卷积与零状态响应
2.7.3 卷积的图解法
2.7.4 卷积的性质返回首页
2.7.1 任意信号的分解
k
ktpkxtx )()()(
（ 2-77）
返回本节
2.7.2 卷积与零状态响应
k
ktkxtx )()()(
（ 2-79）
)( tx
0
t
0
t
)( tx
)0(x
23
)(x
)( tx
0
t
23
)(x
k
k
)(kx
)0(x
(a)
(b)
(c)
图
2-
48
任意信号的分解
)( tx )( ty)( th
图 2-49 零状态条件下的系统框图表 2-5 常用信号卷积表返回本节
2.7.3 卷积的图解法
卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一种基本计算方法 。 与解析法相比,图解法使人更容易理解系统零状态响应的物理意义和积分上下限的确定 。 从几何意义来说,卷积积分是相乘曲线下的面积 。 采用图解法可以使枯燥的数学符号生动活泼起来,图形的加入起到画龙点睛的奇妙效果 。
卷积的一般公式为：
dtfftftf )()()()( 2121
（ 2-85）
由式（ 2-85）可得图解法具体步骤为：
0
t
)(
1
tf
1-1
1
0
t
)(
2
tf
1
1
2
2
1
2
1
图 2-50 两个时限信号
0 1-1
1
0 1
1
2
2
1
)(1?f
)(2?f
0
)(2f
-1
2
2
1
1
)(2tf
0
1-1
1
)(1?f
1?t
2
1
t
2
2
1
“置换”,反褶”,平移” 1
)(2tf
1-1
)(1?f
1?t
2
1
t
0
1
2
)(2tf
0
1-1
1
)(1?f
1?t
2
1
t
2
)(2tf
0
1-1
1
)(1?f
1?t
2
1
t
2
)(2tf
1-1
)(1?f
1?t
2
1
t
0
1
2
0,5
0,5 0,5 0,5
“平移” 2,平移” 3,平移” 4,平移” 5
图 2-51 卷积图解过程示意图
0
t
)( ty
2
2
3
-1
2
1
8
9
8
15
图 2-52 卷积结果图返回本节
2.7.4 卷积的性质
1,交换律
2,分配律
)()()()( 1221 tftftftf
)()()()()]()([)( 3121321 tftftftftftftf
)( ty)( tx
)(1 th
)(2 th
图 2-53 两个子系统并联
3,结合律
4,卷积的微分与积分
)]()([)()()]()([ 321321 tftftftftftf
5,与任意信号的卷积)(t?
)()()( tfttf
)()()( )1()1( tfttf
)()()()()( )1()1( tftutfttf
)()()( 2121 TTtfTtTtf
表 2-6 卷积性质一览表
)( ty)( tx )(2 th)(1 th
)(4 th
)(3 th
图 2-55 混联系统
0
)( tf
1
1
t
3 0
)()( tftf?
2
1
t
4 6
2
图 2-56 脉冲信号 图 2-57 脉冲信号自卷积结果
0
)()1( tf
1
1
t
3
(1)
(-1)
0
)()1( tf?
1
1
t
3
2
0
)()()()( )1()1( tftftftf
2
1
t
2
4 6
图 2-58 利用卷积的性质求脉冲信号自卷积返回本节本章小结
（ 1）基本连续时间信号主要包括正弦信号、
指数信号、抽样信号、奇异信号等 。
（ 2） 信号既可以表示为函数表达式的形式，
又可以用直观形象的波形来表示，二者相互对应，可以相互转换。
（ 3） LTI连续系统是线性时不变连续时间系统的简称 。
（ 4） 动态系统含有储能元件，系统在某时刻的输出不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻之前系统的储能有关。
（ 5） 作用于零状态系统产生的响应称为单位冲激响应,作用于零状态系统产生的响应称为单位阶跃响应 。
（ 6） LTI连续 系统的数学模型是微分方程 。
（ 7）若干子系统有机联接组成一个大的系统。
)(th
)(t?
)(tu
)(tg
2.1 基本连续时间信号
2.2 信号的运算与变换
2.3 线性时不变连续系统
2.4 LTI连续系统的模型
2.5 LTI连续系统的响应
2.6 冲激响应与阶跃响应
2.7 卷积与零状态响应本章学习目标通过本章学习，应达到以下要求：
（ 1）掌握典型信号的特性，熟悉信号的运算与变换。
（ 2）掌握 LTI连续系统的特性，了解 LTI连续系统数学模型的建立 及系统的初始条件 。
（ 3）掌握连续系统的零输入响应和零状态响应。
（ 4）掌握冲激信号的性质及连续系统的冲激响应
（ 5）熟悉卷积积分及其主要性质，了解卷积积分的图解。
2.1 基本连续时间信号
2.1.1 正弦信号
2.1.2 指数信号
2.1.3 抽样信号
2.1.4 奇异信号返回首页
2.1.1 正弦信号
在电路理论中已经介绍了许多正弦信号的知识,只不过当时将其称为电压或电流而已 。 正弦信号和余弦信号统称为正弦信号,一般表示为：
)s i n ()( tKtf
（ 2-1）
0
t
)( tf
K
T
0
t?
)( tf
K
2
（ a） （ b）
图 2-1 正弦信号返回本节
2.1.2 指数信号
在电路理论中曾用到衰减指数信号,其中是时间常数。一般指数信号可以表示为：
t
e?
tKetf)(
（ 2-2）
0
t
)( tf
0
t
K K
0
t
K
)( tf )( tf
（ a） 增长指数信号 （ b） 直流信号 （ c） 衰减指数信号图 2-2 指数信号仅存在于 t≥0或 t≤0时间范围内的指数信号称为单边指数信号 。 常见的是 t≥0的单边衰减指数信号,其表达式为：
0)( tKetf
t≥0
（ 2-3）
0
t
K
)( tf
图 2-3 单边衰减指数信号
2,复指数信号复指数信号与指数信号相似,其表达式为：
stKetf?)(
（ 2-4）
其中,K为常数,可以是实数,也可以是复数；
指数因子是一复数 。 复指数信号还可以写成三角形式：
tj K etKeKetf tttj s i nc o s)( )(
（ 2-5）
0
t
)( tf
0
t
K K
0
t
K
)( tf )( tf
K? K?K?
（ a） 增幅正弦振荡信号 （ b） 等幅正弦振荡信号 （ c） 衰减正弦振荡信号图 2-4 复指数信号返回本节
2.1.3 抽样信号
抽样信号以符号来表示,其表达式为：
t
t
tSa
s i n
)(?
（ 2-6）
0
t
)( tSa
1
2
3
4
2?
34?
- 0,2 1 2
0,1 2 7
图 2-5 抽样信号返回本节
2.1.4 奇异信号
1,单位斜变信号斜变信号又称斜坡信号,是指信号在某时刻以后随时间呈现正比例增长 。 当斜变信号随时间增长的速率为 1时,称为单位斜变信号或单位斜坡信号,用符号表示,定义为：
0
00
)(
tt
t
tR
（ 2-7）
0
t
)( tR
1
1 0
t
)(
0
ttR?
1
0
t 1
0
t 0
t
)( tf
0
t
b
a
（ a） （ b） （ c）
图 2-6 斜变信号
2,单位阶跃信号
（ 1） 单位阶跃信号又称开关信号,如图 2-7
（ a） 所示,用符号来表示,其定义为：
01
00
)(
t
t
tu
（ 2-11）
0
1
t
)( tu
V1 )( tv i N
S
（ a） （ b）
图 2-7 单位阶跃信号
（ 2） 如果单位直流电源的接入时间为,且,
可以用延迟的单位阶跃信号来表示,如图 2-8
（ a） 所示,表示为：
0
0
0 1
0
)(
tt
tt
ttu
（ 2-12）
（ 3） 一般直流电源接入电路时,可能存在时间延迟,而且电源的电压值或电流值不为 1，
称为一般阶跃信号,如图 2-8（ b） 所示,表示为：
)()( 0ttKutf
（ 2-13）
0
t
)(
0
ttu?
0
t
)( tf
0
t
K
0t
1
图 2-8 阶跃信号
（ a） （ b）
3,单位冲激信号冲激信号的概念来源于某些物理现象,如自然界中的雷电,电力系统中开关启闭产生的瞬间电火花,通信系统中的抽样脉冲等 。
图 2-9所示为一无初始储能的充电电路,直流电压源的电压为 E,当电容容量 C不变,电阻 R
减少时,充电速率提高,当时,开关闭合后,
电容两端电压由原来的 0值突变到电源电压值
E,此时电流值为无限大,如何来表示这一无限大的电流呢？
E
R
C )( tv
0?t 开关闭合
)( ti
S
图 2-9 无初始储能的充电电路
4,单位冲激偶信号单位冲激信号的求导称为单位冲激偶信号,又称二次冲激信号,用符号表示 。 冲激偶信号顾名思义是有两个上下对称的冲激信号,如图 2-
12（ a） 所示,或简单表示为图 2-12（ b） 所示的形式 。
0
t
)(
)1(
t?
0
t
)1(
或
)(
)1(
t?
（ a） （ b）
图 2-12 冲激偶信号
5,门函数门函数是一矩形脉冲信号,又称矩形窗函数,
用符号来表示,如图 2-13所示,其脉冲宽度为,脉冲幅度为 1,定义为：
2/0
2/1
)(
t
t
tg
（ 2-19）
6,符号函数符号函数又称正负号函数,用符号来表示,
如图 2-14所示,定义为：
01
01
s g n
t
t
t
（ 2-20）
0
t
)( tg
2
2
1
0
t
ts g n
1
1?
图 2-13 门函数 图 2-14 符号函数返回本节
2.2 信号的运算与变换
2.2.1 信号的代数运算
2.2.2 信号的微分与积分
2.2.3 信号的反褶
2.2.4 信号的时移
2.2.5 信号的尺度变换
2.2.6 信号的分解返回首页
2.2.1 信号的代数运算
1,加减运算
已知信号 和,则对二信号的加减运算后的 表示为：
)(1 tf )(2 tf
)(3 tf
)()()( 213 tftftf （ 2-21）
相加运算 相减运算
0
t
ttg sg n)(?
2
2
2
0
t
ttg sg n)(?
2
2
2
1
1?
1
0
t
)( tg
2
2
1
0
t
ts gn
1
1?
1?
图 2-15 信号的加减运算
2,相乘运算已知信号 和,则二信号相乘后的表示为：
)(1 tf )(2 tf
)(3 tf
)()()( 213 tftftf
（ 2-22）
0
t
)( tg
2
2
1
0
t
ts g n
1
1?
相乘运算
0
t
ttg s g n)(?
2
2
1
1?
图 2-16 相乘运算返回本节
2.2.2 信号的微分与积分
已知信号,其微分运算后得到,
表示为,)(tf
)(1 ty
dt
tdfty )()(
1?
（ 2-23）
经积分运算后得到,表示为：
)(tf )(2 ty
t dfty )()(2
（ 2-24）
返回本节
2.2.3 信号的反褶
信号的反褶,又称折叠,就是把原信号沿纵轴翻转 180° 。 已知原信号,其反褶运算后得到,表示为,)(tf
)(ty
)()( tfty
（ 2-25）
0
t
)( tv
2 0
t
)( ti C
2
1 )( C
)( C?
0
t
)( ti L
2
L
2
图 2-17 电压信号 图 2-18 电流信号
0
t
)( tv?
-2
1
图 2-19 反褶信号返回本节
2.2.4 信号的时移
信号的时移,又称为平移,是将原信号沿时间轴向左或向右移动 。 原信号为,时移后得到,表示为：
)(tf
)(ty
)()( btfty
（ 2-28）
0
t
)( tf
3
1
-10
t
)2(?tf
1
1
-3
向左平移超前于 )( tf
向右平移
0
t
)1(?tf
4
1
滞后于 )( tf
图 2-20 信号的时移（ 1）
0
t
)( tf?
1
1
-30
t
)1( tf
1
-4
向左平移超前于 )( tf?
向右平移
0
t
)2( tf
3
1
滞后于 )( tf?
-1
图 2-21 信号的时移（ 2）
返回本节
2.2.5 信号的尺度变换
原信号为,尺度变换后得到,表示为,)(tf )(ty
)()( atfty?
（ 2-29）
0
t
)( tf
-2
1
4
2
0
t
)2( tf
-1
1
2
2
21
压缩
0
t
)
2
(
t
f
-4
1
8
2
4
扩展图 2-22 信号的尺度变换返回本节
2.2.6 信号的分解
为了更好地分析信号的特性,可以将复杂信号分解为多个简单信号 （ 基本信号 ） 分量之和 。
0
t
)( tf
-2
1
4
2
2
反褶
0
t
)1(?tf
-3
1
3
2
1
时移
0
t
)1( tf
-3
1
3
2
-1
0
t
)1
2
(
t
f
-6
1
6
2
-2
尺度变换图 2-23 信号的变换
0
t
)( tf
2
1 4 5-3-4
图 2-24 周期信号
)( tf A
0
t
Df
0,5
0
t
1,5
1 4 5-3-4
-0,5
图 2-25 周期信号分解为直流分量与交流分量
0
t
)( tf
2
1
图 2-26 时限信号
0
t
)( tf
2
1 0
t
)( tf
e
1
1-1
0
t
)( tf?
2
-1
0
t
)( tf
o
1
1-1
-1
（ a） （ b）
图 2-27 时限信号的分解
0 t
)( tf e
1
1 4 5-3-4
-1 3-5 0
t
)( tf o
1
1 4 5-3-4
-1 3-5
-1
图 2-28 周期信号的分解返回本节
2.3 线性时不变连续系统
2.3.1 线性时不变系统的基本性质
2.3.2 线性时不变系统的模拟返回首页
2.3.1 线性时不变系统的基本性质
1．系统的线性特性
2．系统的时不变特性
3．线性时不变系统的特性
4．线性时不变系统的因果特性
1．系统的线性特性
系统的线性特性是指系统同时具有叠加性和齐次性（均匀性）。叠加性是指，若干激励信号同时作用于系统产生的响应等于各个激励信号单独作用于系统产生的响应之和。齐次性是指，如果系统的输入激励变化为原来的倍时，
系统的输出响应也随之变化原来的倍。
2．系统的时不变特性
由于时不变系统的元件参数不随时间改变,
所以系统的零状态响应形式与激励信号的接入时刻无关,即当激励延迟时间时,其响应也同样延迟时间,波形形状不变,如图 2-29所示 。
)( tx
)( ty
时不变系统
0
t
0
t
)(ty
0
t
)(tx
0
t
图 2-29 时不变系统示意图
3．线性时不变系统的特性
判断系统是否为线性时不变系统的方法是：
（ 1） 当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时,系统为线性时不变系统 。
（ 2） 一般情况下,可分别判断系统是否满足线性和时不变性 。
4．线性时不变系统的因果特性
若线性时不变系统满足因果特性,则此系统为线性时不变因果系统 。
返回本节
2.3.2 线性时不变系统的模拟
1,系统的基本部件及其运算关系
2,线性时不变系统的模拟
3,子系统之间的连接
1．系统的基本部件及其运算关系
系统除了可以抽象为数学模型以外,还可以借助一些能够反映输入与输出关系的理想运算单元的组合来表示系统 。 将这些具有某种特定运算功能的运算单元称为基本部件 。 常用的基本部件符号及其运算关系如图 2-30所示 。
)(1 tx
)(2 tx
)( tx)()()( 21 txtxty )()( taxty?a
（ a） 加法器 （ b） 倍乘器
)( tx 延时 )()( TtxtyT )(1 tx
)(2 tx
)()()( 21 txtxty)( tx?
t
dxty )()(?
（ c） 积分器 （ d） 延时单元 （ e） 乘法器图 2-30 系统的基本部件
2．线性时不变系统的模拟
系统的模拟是采用几种基本部件的组合形式来描述系统的,并使其与被模拟系统的数学模型相对应,从而实现对系统的计算机仿真 。 通过计算机仿真实验可以更加快捷,方便地获得系统分析的结果,对于实际物理系统的设计与调试具有重要的工程意义 。
)( tx
R
C )( ty
图 2-31 RC电路
RC
1
)( ty)( tx?
RC
1
)( ty)( tx
RC
1
（ a） （ b）
图 2-32 RC电路的模拟框图
3．子系统之间的连接
一个系统往往由若干子系统有机组合而成 。
子系统之间的连接方式一般为串联 （ 又称级联 ）
和并联两种基本形式 。
两个子系统的串并联分别如图 2-33和图 2-34
所示 。
)( ty)( tx 系统 1 系统 2 )( ty)( tx
系统 1
系统 2
)(1 ty
)(1 ty
)(2 ty
图 2-33 两个子系统串联 图 2-34 两个子系统并联返回本节
2.4 LTI连续系统的模型
2.4.1 LTI连续系统的数学模型
2.4.2 LTI连续系统的框图返回首页
2.4.1 LTI连续系统的数学模型
由电路理论可知,对于任意一个线性时不变电路,当电路结构和组成电路的元件参数确定以后,根据电路的两个约束关系,即元件的伏安关系和基尔霍夫定律,可以建立起与该电路对应的动态方程 。
)( tx
R
C )( ty
L
)( ti
)( tu
R )( tu L
图 2-35 RLC电路返回本节
2.4.2 LTI连续系统的框图
由前所述可知,LTI连续系统还可以用具有理想特性的符号组合而成的图形来表征系统特性,
即用模拟框图来表示系统 。 它形象地说明了输入与输出关系,并与系统的数学模型形成相互对应的关系 。
图 2-36所示为一个二阶 LTI系统的模拟框图 。
0
b
)( ty)( tx?
1
a
0
a
图 2-36 二阶系统的模拟框图
根据图 2-36中各个基本部件的运算关系可得其数学模型为：
)()()()( 00)1(1)2( txbtyatyaty
返回本节
2.5 LTI连续系统的响应
2.5.1 系统的初始条件
2.5.2 零输入响应与零状态响应
2.5.3 系统的全响应返回首页
2.5.1 系统的初始条件
1,系统的初始状态
2,系统的初始值
3,初始状态和初始值的确定
1．系统的初始状态
根据各电容及电感的状态值能够确定在时刻系统的响应及其响应的各阶导数
（ ），称这一组数据为阶系统的初始状态。
0t
)0(?y 1,,2,1 nk?
2．系统的初始值
一般情况下,由于外加激励的作用或系统内部结构和参数发生变化,使得系统的初始值与初始状态不等,即：
)0()0(
)0()0(
)()( kk yy
yy （ 2-43）
)0()0()0(
)0()0()0(
)()()( k
zs
k
zi
k
zszi
yyy
yyy
（ 2-44）
在零输入条件下，且系统的内部结构和参数不发生变化时，有：
)0()0(
)0()0(
)()( k
zi
k
zi
yy
yy （ 2-45）
3．初始状态和初始值的确定
通常在给定电网络的情况下,确定 初始状态和 初始值 的一般方法和步骤,通过例 2-11进行说明 。
)( tx
1
R
C
)( ty
L
2
R
图 2-37 例 2-11图
1
V2 )0(
y
1
)0(
L
i
)0(
C
v
1
V4
)0(
y
1
)0(
L
i
)0(
C
v
)0(
C
i
图 2-38 0-等效电路 图 2-39 0+等效电路返回本节
2.5.2 零输入响应与零状态响应
1,零输入响应
2,零状态响应
1．零输入响应
所谓零输入，是指系统无外加激励，即激励信号,这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入响应。则由式（ 2-42）表示的系统方程可得：
0)(?tx
0)()()()( 0)1(1)1(1)( tyatyatyaty nnn
（ 2-47）
该式为齐次微分方程,其特征方程为：
00111 asasas NnN
（ 2-48）
（ 1）当特征根均为 单根时，零输入响应的一般形式为：
N
i
tp
izi
ieAty
1
)(
（ 2-49）
（ 2） 当特征根中含有 重根,其他为单根时,
零输入响应的一般形式为：
N
kj
tp
j
k
i
i
i
tp
zi
jeAtAety
11
)1(1)(
（ 2-50）
表 2-1 零输入响应形式对照表
V10
V8
F1
H1
2
)( ti
S
1
2
图 2-40 例 2-14图
)0(
C
v
)0(
i
2
)0(
ziL
v
图 2-41 零输入 条件下的 等效电路
2．零状态响应
所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的初始状态为零，即
，这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应。
)0()0( )1(yy
0)0()1(ny
)()()()(
)()()()(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyaty
m
m
m
m
zszs
n
zsn
n
zs
（ 2-51）
表 2-2 典型激励及其对应特解形式对照表返回本节
2.5.3 系统的全响应
1,全响应分解为零输入响应与零状态响应
2,全响应分解为自由响应与强迫响应
3,全响应分解为暂态响应与稳态响应
1．全响应分解为零输入响应与零状态响应
全响应可以分解为零输入响应 与零状态响应 之和,即：
)(tyzi
)(ty zs
)()()( tytyty zszi
（ 2-53）
2．全响应分解为自由响应与强迫响应
自由响应又称固有响应,它反映了系统本身的特性,取决于系统的特征根；强迫响应又称强制响应,是与激励相关的响应 。 利用经典法可以直接求得自由响应与强迫响应,强迫响应即特解,其形式的确定参见表 2-2。 而通过先求得系统的零输入响应和零状态响应,并获得系统的全响应,然后利用系统特性与自由响应,
激励与强迫响应的关系可以间接得到自由响应和强迫响应 。
3．全响应分解为暂态响应与稳态响应
全响应 还可以分解为暂态响应与稳态响应 之和，即：
)(ty )(tyT
)(tys
)()()( tytyty sT
（ 2-55）
0
)( ty
a
t
b
原稳态新稳态暂态
0
)( ty
a
t
b
原稳态新稳态暂态
（ a） （ b）
图 2-42 系统 响应的过渡过程示意图返回本节
2.6 冲激响应与 阶跃响应
2.6.1 冲激信号的性质
2.6.2 冲激响应
2.6.3 阶跃响应返回首页
2.6.1 冲激信号的性质
1,的抽样特性
2,的筛选特性
3,的奇偶性
4,的尺度变换特性
5,的特性
)(t?
)(t?
)(t?
)(t?
)(t?
1,的抽样特性
)(t?
0
t
)( t?
(1)
0
)( tf
t
0
t
)()0( tf?
)0(f
0
t
)(
0
tt
(1)
0
)( tf
t
0
t
)()(
00
tttf
)(
0
tf
0
t
0
t
图 2-43 的抽样特性
)(t?
2,的筛选特性)(t?
3,的奇偶性
为一偶函数,即：
)(t?
)(t?
)()( tt
（ 2-60）
4,的尺度变换特性
的尺度变换特性,即：
)(t?
)(t?
)(
1
)( t
a
at
0?a
（ 2-61）
5,的特性)(t?
返回本节
2.6.2 冲激响应
以单位冲激信号 作为激励,LTI连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,记为 。 冲激响应示意图如图
2-44所示 。
)(t?
)(th
0
t
)( t?
(1)
0
t
)( th
LTI 系统)( t? )( th
图 2-44 冲激响应示意图
1,由系统的微分方程求解冲激响应系统的一般微分方程为：
)()()()(
)()()()(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyaty
m
m
m
m
n
n
n
表 2-3 一阶系统冲激响应形式对照表表 2-4 二阶系统冲激响应形式对照表
2,由阶跃响应求解冲激响应以单位阶跃信号 作为激励,LTI连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,记为 。
阶跃激励与阶跃响应的关系简单地表示为：
)(tg
)(tu
)()( tuHtg?
或
)()( tgtu?
3,由系统的框图来求系统的冲激响应图 2-45为某一阶系统的模拟框图,由系统框图写出输入与输出关系为：
t
dTxxty )()()(
)( ty)( tx?
延时 T
图 2-45 一阶系统模拟框图返回本节
2.6.3 阶跃响应
理论上,可以利用与冲激响应的关系来求阶跃响应,即：
t
dhtg
0
)()(
（ 2-76）
)( tu
0
t
0
t
1 LTI 系统)( tu )( tg
)( tg
图 2-46 阶跃响应示意图
)( tu
被测试系统
)( tu )( tg
)( tg
脉冲信号源 示波器图 2-47 阶跃响应的测试返回本节
2.7 卷积与零状态响应
2.7.1 任意信号的分解
2.7.2 卷积与零状态响应
2.7.3 卷积的图解法
2.7.4 卷积的性质返回首页
2.7.1 任意信号的分解
k
ktpkxtx )()()(
（ 2-77）
返回本节
2.7.2 卷积与零状态响应
k
ktkxtx )()()(
（ 2-79）
)( tx
0
t
0
t
)( tx
)0(x
23
)(x
)( tx
0
t
23
)(x
k
k
)(kx
)0(x
(a)
(b)
(c)
图
2-
48
任意信号的分解
)( tx )( ty)( th
图 2-49 零状态条件下的系统框图表 2-5 常用信号卷积表返回本节
2.7.3 卷积的图解法
卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一种基本计算方法 。 与解析法相比,图解法使人更容易理解系统零状态响应的物理意义和积分上下限的确定 。 从几何意义来说,卷积积分是相乘曲线下的面积 。 采用图解法可以使枯燥的数学符号生动活泼起来,图形的加入起到画龙点睛的奇妙效果 。
卷积的一般公式为：
dtfftftf )()()()( 2121
（ 2-85）
由式（ 2-85）可得图解法具体步骤为：
0
t
)(
1
tf
1-1
1
0
t
)(
2
tf
1
1
2
2
1
2
1
图 2-50 两个时限信号
0 1-1
1
0 1
1
2
2
1
)(1?f
)(2?f
0
)(2f
-1
2
2
1
1
)(2tf
0
1-1
1
)(1?f
1?t
2
1
t
2
2
1
“置换”,反褶”,平移” 1
)(2tf
1-1
)(1?f
1?t
2
1
t
0
1
2
)(2tf
0
1-1
1
)(1?f
1?t
2
1
t
2
)(2tf
0
1-1
1
)(1?f
1?t
2
1
t
2
)(2tf
1-1
)(1?f
1?t
2
1
t
0
1
2
0,5
0,5 0,5 0,5
“平移” 2,平移” 3,平移” 4,平移” 5
图 2-51 卷积图解过程示意图
0
t
)( ty
2
2
3
-1
2
1
8
9
8
15
图 2-52 卷积结果图返回本节
2.7.4 卷积的性质
1,交换律
2,分配律
)()()()( 1221 tftftftf
)()()()()]()([)( 3121321 tftftftftftftf
)( ty)( tx
)(1 th
)(2 th
图 2-53 两个子系统并联
3,结合律
4,卷积的微分与积分
)]()([)()()]()([ 321321 tftftftftftf
5,与任意信号的卷积)(t?
)()()( tfttf
)()()( )1()1( tfttf
)()()()()( )1()1( tftutfttf
)()()( 2121 TTtfTtTtf
表 2-6 卷积性质一览表
)( ty)( tx )(2 th)(1 th
)(4 th
)(3 th
图 2-55 混联系统
0
)( tf
1
1
t
3 0
)()( tftf?
2
1
t
4 6
2
图 2-56 脉冲信号 图 2-57 脉冲信号自卷积结果
0
)()1( tf
1
1
t
3
(1)
(-1)
0
)()1( tf?
1
1
t
3
2
0
)()()()( )1()1( tftftftf
2
1
t
2
4 6
图 2-58 利用卷积的性质求脉冲信号自卷积返回本节本章小结
（ 1）基本连续时间信号主要包括正弦信号、
指数信号、抽样信号、奇异信号等 。
（ 2） 信号既可以表示为函数表达式的形式，
又可以用直观形象的波形来表示，二者相互对应，可以相互转换。
（ 3） LTI连续系统是线性时不变连续时间系统的简称 。
（ 4） 动态系统含有储能元件，系统在某时刻的输出不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻之前系统的储能有关。
（ 5） 作用于零状态系统产生的响应称为单位冲激响应,作用于零状态系统产生的响应称为单位阶跃响应 。
（ 6） LTI连续 系统的数学模型是微分方程 。
（ 7）若干子系统有机联接组成一个大的系统。
)(th
)(t?
)(tu
)(tg
