第 10 章 电磁感应
一, 法拉第电磁感应定律
二, 动生电动势
三, 感生电动势和感生电场
四, 互感
五, 自感
六, 磁场的能量
一,法拉第电磁感应定律
1,问题
?1820年, 奥斯特
对称性 磁的电效应？
反映了物质世界对称的
电流磁效应
变 磁 生 电 的 发 现 者 —— 法 拉
第
英国物理学家 。 他
是一个穷铁匠的儿子,
兄妹 10人 。 小学没毕业
就失学, 当了装订工 。
但失学不失志, 经常阅
读书报 。 当了 戴维 助手 。
1821年受任为皇家研究
所试验室主任 。
法
拉
第
像
法拉第（ 1791-1867）
1821年, 法拉第开始电磁学的研究, 总
共工作四十年 。
写出了, 电学的实验研究, 。
一生谢绝了许多奖赏 。
变 磁 生 电 的 发 现 者 —— 法 拉
第
?1822-1831年, 法拉第 总结出以下五种情况都
可以产生 感应电流,
2,电磁感应现象实验
运动着的恒定电流 在磁场中运动着的导体
变化着的磁场 运动着的磁铁
变化着的电流
一,法拉第电磁感应定律
?磁铁 （ 或通电线圈 ） 与线圈相对运动时线圈中
产生电流, 图 a和图 b。 电流计的指针发生偏转,
且运动方向不同, 偏转方向也不同 。
一,法拉第电磁感应定律
?线圈中电流变化时另一线圈中产生电流, 图 c。
一,法拉第电磁感应定律
?闭合回路的一部分切割磁力线, 回路中产生电
流, 图 d。
一,法拉第电磁感应定律
3,总结
?法拉第实验归纳为：
?当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时,
闭合导体回路中就会出现电流 。 称之为 电磁感
应现象 。
?所产生的电流称为 感应电流 。
?回路中的电动势称为 感应电动势 。
一,法拉第电磁感应定律
4,电磁感应定律
?感应电动势的大小正比于穿过闭合回路所围
面积的磁通量对时间的变化率 。
dt
d ????
一,法拉第电磁感应定律
?“-”号反映感应电动势的方向与磁通量变化之
间的关系：即选定回路 L 的绕行方向, 规定：
与绕行方向成右手螺旋关系的磁通量为正, 反
之为负 。
一,法拉第电磁感应定律
?
?
N
S V
V
L
ne
N
S
i?
B 0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
L
ne
B
0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
i? L
ne
B
0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
L
ne
N
S V
i?
B 0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
N
S
i?
V
?如果回路由 N 匝密绕线圈组成, 则通过线圈
的 全磁通 用 磁链 表示
Ψ = NΦ
则：
一,法拉第电磁感应定律
dt
dN
dt
d ???????
?单位
1V = 1Wb/s
5,楞次定律 （ 1833年, 俄国物理学家 ）
?闭合回路中感应电流的方向, 总是使得它所
激发的磁场来 阻止 引起感应电流的磁通量的变
化 。
?或者：感应电流的效果, 总是 反抗 引起感应
电流的原因 。
?楞次定律实际上是能量守恒定律的一种表现,
例子 。
一,法拉第电磁感应定律
一,法拉第电磁感应定律
一,法拉第电磁感应定律
一,法拉第电磁感应定律
?均匀磁场的磁感应强度 垂直于半径为 r的
圆面。今以该圆周为边线，作一半球面 S，则通
过 S面的磁通量的大小为
（ A） 。 （ B） 。 （ C）
0。 （ D）无法确定的量。
Br 2?
B?
Br 22?
答案,（ B）
课堂练习
练习,如图导体框内有无感
应电流？若有，方向如何？
① 静止 1v
2v
?
3v② 以 运动
1v
③ 以 运动
2v ④ 以 纸面向里运动3v
I
答,产生感应电流的条件：①导体构成闭合回路；②
穿过闭合回路的磁通量 发生变化。BS??
① 静止,0?? ? 0
iI ?
?B
② 以 运动,
1v 12BS? ? ? ? 0?? ? 0iI ?
③ 以 运动,
2v 1 1 2 2;B S B S? ? ? ? 12BB?
2 1 2 1 0B S B S? ? ? ? ? ? ? ? ?
磁通量减少,增加 ；方向为顺时针
iI
?
④ 以 运动,
3v
B
3v
I
0?? ? 方向为顺时针iI
例 1 直导线通交流电 置于磁导率为 ?的介质中,已知,
,s in0 tII ??
求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势
其中 I0 和 ?是大于零的常数
解：
ld x
x
Iad
d
?
?
?
?
??
2 d
adlnlI ???
?
?
2
d
adlnts i nlI ?? ?
?
?
2
0
d
adtlNIr ??? lnc o s
2
00 ?
?
???
dt
dN
i
?? ??
xo
l
d
sd?I
a
xdSBSdBd ????? ld xxI ?? ??2
二,动生电动势
1,概念
?只要穿过回路的磁通量发生了变化, 在回路中
就会有感应电动势产生 。
?引起磁通量变化的原因不外乎有两条：
?回路相对于磁场有运动, 产生的感应电动势称
为 动生电动势 ；
?回路在磁场中虽无相对运动, 但是磁场在空间
的分布是随时间变化的, 产生的感应电动势称为
感生电动势 。
二,动生电动势
?注意：动生电动势和感生电动势的名称是一个
相对的概念, 因为在不同的惯性系中, 对同一个
电磁感应过程的理解不同：
?设观察者甲随磁铁一
起向左运动 。
甲,线圈中的自由电子相对磁铁运动, 受洛仑兹
力作用, 作为线圈中产生感应电流和感应电动势
的原因 。 －动生电动势 。
二,动生电动势
?设观察者乙相对线圈静止 。
乙,线圈中的自由电子静止不动, 不受磁场力作
用 。 产生感应电流和感应电动势的原因是运动磁
铁 （ 变化磁场 ） 在空间产生一个感应 （ 涡旋 ） 电
场，电场力驱动使线
圈中电荷定向运动形
成电流。－感生电动
势
二,动生电动势
2,动生电动势
?导线 ab 在磁场中运动,某时刻穿过回路 abcd
所围面积的磁通量为：
B l xBS ???
B?
v?
l
a
b? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?x
c
d?回路中感应电动势大小：
???? dtB l xddtd )(? B l vdtdxBl ?
二,动生电动势
B?
v?
l
a
b? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?x
c
d
?
a
?
b
?感应电动势的方向：
I
I
I
I
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B??
? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?B?
?
?感应电流
?感应电流的磁场
I
B??
二,动生电动势
3,动生电动势的来源
?电动势是非静电力作用的表
现, 引起动生电动势的非静电
力是洛伦兹力 。
?
a
b
l
B?
f?
neE
?
- v?
-
+ ?
Bvef ??? ???
?洛伦兹力等效于一个
,非静电场,,
BvefE ne
????
???
二,动生电动势
?
a
b
l
B?
f?
neE
?
- v?
-
+ ??电动势
? ?? ba neab rdE ???
ldBvba ??? ??? ? )(
Blv?
ldBv ???,,相互垂直
二,动生电动势
4,动生电动势的一般公式
?对于非均匀磁场以及导体各段运动速度不同的
情况, 动生电动势
ldBvldEd ne ????? ????? )(?
ldBvbaab ??? ??? ? )(?
?如果整个导体回路都在磁场中运动, 动生电动
势
ldBvL ??? ??? ? )(?
二,动生电动势
5,发电机的物理原理
?设回路中感生电流为 I,则动生电
动势做功的功率
IB l vIP ?? ?
?ab导体棒受磁力 v?
a
b
B?
-
+ ?
I
IlBF m ?
mF
?
extF
?
?ab导体棒匀速运动，受外力
extF
?
则
me x t FF
?? ??
二,动生电动势
?外力功率
I l B vvFP e x te x t ??
正好等于动生电动势做功的功率 。
?电路中感应电动势提供的电能是由外力做功
所消耗的机械能转换而来的, 这就是发电机内
的能量转换过程 。
二,动生电动势
6,洛伦兹力传递能量, 不做功
矛盾？
?导线在磁场中运动时产生的感应电动势是洛
伦磁力作用的结果, 感应电动势做功：
IB l vIP ?? ?
?洛伦磁力不做功。
Bvef ??? ???
二,动生电动势
B?
f?
- v?
??导体中的电子所受洛伦磁力
Bvef ??? ???
v??
使电子沿导体运动,而受
到另一洛伦磁力
v?? f?
?
Bvef ??? ?????
?电子受到的洛伦磁力合力
ffF ??? ???
电子运动的合速度 vvV ??? ???
二,动生电动势
?电子受到的洛伦磁力合力做功的功率
)()( vvffVF ??????? ??????
vfvf ???? ??????
B?
f?
- v?
?
v??
f??
Bvveve v B ?????
0?
二,动生电动势
B?
f?
- v?
?
v??
f??
0?????? vfvf ????由
vfvf ???? ??????
故为了使电子按 的方向
匀速运动，必须加外力
v?
extf
?
extf
?
ff e x t ?? ???
vfvf e x t ???? ????则
二,动生电动势
vfvf e x t ???? ????
B?
f?
- v?
?
v??
f??
extf
?
?,洛伦磁力的一个分力
使电子沿导线运动所做的功,
宏观上就是感应电动势驱动
电流的功。
vf ????
?,外力反抗洛伦磁力的另一个分力做的
功,宏观上就是外力拉动导线做的功。
vfext ?? ?
二,动生电动势
?洛伦磁力做功为零,实质上
表示了能量的转换与守恒。
?洛伦磁力在这里起了一个
能量转换者的作用，一方
面接受外力的功，同时驱
动电荷运动做功。
B?
f?
- v?
?
v??
f??
extf
?
?例题 P.326
三、感 生电动势和感生电场
1.感生电动势
?1861年麦克斯韦 （ 1831-1879） 假设, 变化的
磁场会产生感生电场, 。
?感生电场的电力线是闭合的, 是一种非静电
场 。 正是这种非静电场产生了感生电动势 。
?处在磁场中的静止导体
回路, 仅仅由磁场随时间
变化而产生的感应电动势,
称为 感生电动势 。
S
B
L
? ?? L i ldE ???
三、感 生电动势和感生电场
?由法拉第电磁感应定律有
dt
dldE
L i
????? ??
? ??? S SdBdtd ??
SdtB
S
??
????? ?
的正方向与
成右手螺旋关系
L?S?
?感生电场 在导体回路 中产生的感生电动势
iE
? L?
S?
L?
ld?
三、感 生电动势和感生电场
SdtBrdE
SL i
????
?????? ??
?麦克斯韦认为：在磁场变化时, 不但会在导体
回路中, 而且在空间任一地点都会产生感生电场 。
? 令 表示空间内任一静止回路 L 上的位移
元, S 为该回路所围面积, 则
rd?
S?
L?
rd?
? 由于感生电场的环路积分不
为零, 所以它又叫做 涡旋电场 。
三、感 生电动势和感生电场
2,感生电场与静电场的比较
0???L s rdE ?? SdtBrdE SL i ?
???
?????? ??
0?
??? ?? qSdE
S s
?? 0????
S i SdE
??
sE
?静电场
iE
?感生电场
场 源
环 流
正负电荷 变化的磁场
电 势 势场 非势场
电力线 不闭合 闭合
通 量
三、感 生电动势和感生电场
?一般有
is EEE
??? ??
StBrE
SL
????
dd ?????? ??
? ???
S
qSE
0
d ? 内
?? S?
L?
rd?
?例题 P.328
四,互感
1,互感电动势
?闭合导体回路中的电流随时间变化时, 它周
围的磁场也随之变化, 在它附近的其他导体回
路中就会产生感生电动势 。 这种电动势称为 互
感电动势 。
? 21
i 1 ?线圈 1,2固定不动 。
假设线圈 1中的电流 i1随时
间变化, 在线圈 2中产生的
感应电动势称为互感 电动势 ?21。
四,互感
?根据毕奥 —萨伐尔定律可知,i1 在 L2 中所
产生的全磁通
? 21
i 1
12121 iM??
?M21 称为回路 L1 对回路
L2 的 互感系数 。
?互感系数取决于两个回路的几何形状、相对位
置、各自的匝数以及他们周围磁介质的分布。它
与电流 i1 无关。
?两个回路固定时，互感系数是一个常数。
四,互感
? 21
i 1 dtd 2121 ????
dt
diM 1
21??
?由电磁感应定律，互感电动势
?反之，同样道理
21212 iM??
dt
d 12
12
????
dt
diM 2
12??
四,互感
MMM ?? 2112
?对给定的一对导体回路，有
?M 称为这两个回路的 互
感系数, 简称 互感 。
?互感系数的单位
亨利 （ H）,简称 亨 。
sA sVH ????? 111
dt
diM 1
2121 ???
?例题 P.333
2,互感系数
例 计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数
设两个螺线管的半径、长度、
匝数为 212121 N,N,l,l,R,R
1
2
解
2121 RR,lll ???
1I设 l
INB 110
1
??
221221 π RBNΨ ?
1
2
2
210 π IR
l
NN??
2
2
210
21 π Rl
NNM ??
2I设 l
INB 220
2
??
222112 π RBNΨ ?
2
2
210
12 π Rl
NNM ??
MMM ?? 2112
四,互感
? 变压器 。
3.互感的应用举例
? 互感也有不利的地方,如打电话窜线 。
? 使两线圈的互感 M 减小的办法之一,是使两线
圈互相垂直 。
五,自感
?当一个回路中的电流变化时，通过回路自身的
全磁通也发生变化，因而回路自身也产生感生电
动势。这种电动势称为 自感电动势 。
i
L
L
Li??
? L称为回路的 自感系数 。
?自感系数取决于回路的几何
形状、线圈匝数以及周围磁介质的分布。它与
电流 i 无关。
?自感系数的单位 亨利 （ H）,简称 亨 。
五,自感
?自感电动势
dt
d
L
????
dt
diL??
?考虑自感电动势时,通常选电流的方向为回路的
正方向,并且假设 ?L的方向与正方向一致。
?可以看出, 若 di>0,则 ?L<0,与正方向相反,阻碍
电流的变化 ;
?若 di<0,则 ?L>0,与正方向相同,也阻碍电流的变
化 。
?例题 P.334
?自感系数的计算
假设电路中流有电流 I,I?B??,再计算 L= ? /I
例 1,求单层密绕长直螺线管的自感
已知 l,N,S,?
解, 设回路中通有电流 I
L仅与回路、介质有关
nIB ??
NB SΨ m ?
l
Nn ?
SI
l
NΨ
m
2
??
VnSlNIΨL m 2
2
?? ???
I
例 2,同轴电缆由半径分别为 R1 和 R2 的两个无限长
同轴导体和柱面组成
求 无限长同轴电缆单位长度上的自感 I
I
解 由安培环路定理可知
21 RrR ?? r
IB r
π2
0???
2Rr ? 0?B
Sd
SBΦ dd ? rlrIr dπ20 ???
?? 21 dπ20RR r rlr IΦ ??
1
20 ln
π2 R
RIlr??
1
20 ln
π2 R
R
Il
ΦL r????
l
1R
2R
r?
五,自感
?自感现象的应用：
?镇流器，扼流圈等。
?自感也有不利的一面（大电流的电路拉闸时要
小心）。
?涡流的热效应,?高频感应
加热炉； ?变压器铁芯用绝
缘硅钢片叠成 ； ?电磁炉 。
?涡流的机械效应, ?电磁阻尼 （ 电表, 制动
器 ） ； ?电磁驱动 （ 异步感应电动机 ） 。
六,磁场的能量
1.实验
?开关拉开时, 灯泡反而闪亮一下 。 为什么?
L
I
I ?
?通电线圈中储藏着能量 。
?从另一角度说是自感电动
势作了功 。
六,磁场的能量
2.自感磁能公式
L
I
I ?
?设拉闸后, dt内通过灯泡的电流为 i,则 dt内自
感电动势作的功为
? ?tiA L dd ?? ?
? ? iLititiL dddd ??????
? ? ????
0
dd
I
iLiAA 221 LI?
也就是自感线圈的磁能, 221 LIW m ?
六,磁场的能量
3.磁场能量密度
?以一个长直螺线管 为例
2
2
1 LIW
m ?
?其磁场是在螺线管内，而且是均匀的，所以单
位体积的磁场能量（ 磁场能量密度 ）为
VnL 2?? nIB ??
VBVIn ?? 221
2
22 ??
?2
2B
w m ? HB ??BH21?
六,磁场的能量
?任意磁场的能量计算公式为
? ??? VHBVwW mm d2d
积分遍及整个磁场分布的空间。
?2
2B
w m ? BH21? 对磁场普遍适用
?例题 P.339
例, 同轴电缆的磁能和自感 如图 13-31所示，同轴电
缆中金属芯线的半径为 R1，共轴金属圆筒的半径为 R2，
中间充以磁导率为 μ 的磁介质。若芯线与圆筒分别和
电池两极相接，芯线与圆筒上的电流大小相等、方向
相反。设可略去金属芯线内的磁场，求此同轴电缆芯
线与圆筒之间单位长度上的磁能和自感。
1R
2R
I
I
? 1R?
o2R
12 ( )2
I R r R
r?
??
),( 0 21 RrRr ??
H?
解：如图,由题意知，同轴电缆芯
线内的磁场强度可视为零。
I
r
取单位长度的体积元,d 1 2 d 2 dV r r r r??? ? ?
? 由安培
环路定理：
()
il
in
H d l I?? ??
? 在芯线与圆筒之间 r处附近，磁场的能量密度为,
?
?
I
? ?
?
?
?
?
2
22
22
1 1 1()
2 2 2 8m
IIwH
rr
???
??
? ? ? ?
例 求两个相互邻近的电流回路的磁场能量，这两个
回路的电流分别是 I1和 I2。
1L M
1i1K
2L
2i2K
解,为了求出此状态时的磁能，设想 I1和 I2是按
下述步骤建立的。
2
111 2
1 ILW ?
（ 1）先合上电键 K1，使 i1从零增大到 I1。 这一过程中
由于自感 L1的存在，由电源 作功而储藏到磁场中
的能量为 1?
磁场的能量
（ 2）再合上电键 K2，调节 R1使 I1保持不变, 这时 i2由零
增大到 I2。这一过程中由于自感 L2的存在，由电源 作
功而储藏到磁场中的能量为 2?
2
222 2
1 ILW ?
注意到当 i2增大时，在回路 1中会产生互感电动势
12?
t
iM
d
d 2
1212 ???
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
ttiIMtIW dddd 211211212 ? ??? ?
要保持电流 I1不变，电源 还必须反抗此电
动势作功。这样由于互感的存在，由电源 作功
而储藏到磁场中的能量为
1?
1?
?? ?? 22 0 211210 12 dd II iIMiIM
2112 IIM?
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
经过上述两个步骤后，系统达到电流分别是 I1
和 I2的状态，这时储藏到磁场中的能量为
1221 WWWW m ???
如果上述两个步骤反向进行，则储藏到磁场
中的能量为
2121
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILILW
m ????
2112
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILIL ???
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
mm WW ??
最后储藏到磁场中的总能量为：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m ????
MMM ?? 2112
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
mm WW ??
最后储藏到磁场中的总能量为：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m ????
MMM ?? 2112
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
? 真空中两只长直螺线管 1和 2，长度
相等，单层密绕匝数相同，直 径 之
比 d1/d2 = 1/4,当它们通以相同电
流时，两螺线管贮存的磁能之比 W1/W2
= 。
课堂练习
161
答案：
一, 法拉第电磁感应定律
二, 动生电动势
三, 感生电动势和感生电场
四, 互感
五, 自感
六, 磁场的能量
一,法拉第电磁感应定律
1,问题
?1820年, 奥斯特
对称性 磁的电效应？
反映了物质世界对称的
电流磁效应
变 磁 生 电 的 发 现 者 —— 法 拉
第
英国物理学家 。 他
是一个穷铁匠的儿子,
兄妹 10人 。 小学没毕业
就失学, 当了装订工 。
但失学不失志, 经常阅
读书报 。 当了 戴维 助手 。
1821年受任为皇家研究
所试验室主任 。
法
拉
第
像
法拉第（ 1791-1867）
1821年, 法拉第开始电磁学的研究, 总
共工作四十年 。
写出了, 电学的实验研究, 。
一生谢绝了许多奖赏 。
变 磁 生 电 的 发 现 者 —— 法 拉
第
?1822-1831年, 法拉第 总结出以下五种情况都
可以产生 感应电流,
2,电磁感应现象实验
运动着的恒定电流 在磁场中运动着的导体
变化着的磁场 运动着的磁铁
变化着的电流
一,法拉第电磁感应定律
?磁铁 （ 或通电线圈 ） 与线圈相对运动时线圈中
产生电流, 图 a和图 b。 电流计的指针发生偏转,
且运动方向不同, 偏转方向也不同 。
一,法拉第电磁感应定律
?线圈中电流变化时另一线圈中产生电流, 图 c。
一,法拉第电磁感应定律
?闭合回路的一部分切割磁力线, 回路中产生电
流, 图 d。
一,法拉第电磁感应定律
3,总结
?法拉第实验归纳为：
?当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时,
闭合导体回路中就会出现电流 。 称之为 电磁感
应现象 。
?所产生的电流称为 感应电流 。
?回路中的电动势称为 感应电动势 。
一,法拉第电磁感应定律
4,电磁感应定律
?感应电动势的大小正比于穿过闭合回路所围
面积的磁通量对时间的变化率 。
dt
d ????
一,法拉第电磁感应定律
?“-”号反映感应电动势的方向与磁通量变化之
间的关系：即选定回路 L 的绕行方向, 规定：
与绕行方向成右手螺旋关系的磁通量为正, 反
之为负 。
一,法拉第电磁感应定律
?
?
N
S V
V
L
ne
N
S
i?
B 0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
L
ne
B
0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
i? L
ne
B
0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
L
ne
N
S V
i?
B 0??
d 0
dt
? ?
0i? ?
N
S
i?
V
?如果回路由 N 匝密绕线圈组成, 则通过线圈
的 全磁通 用 磁链 表示
Ψ = NΦ
则：
一,法拉第电磁感应定律
dt
dN
dt
d ???????
?单位
1V = 1Wb/s
5,楞次定律 （ 1833年, 俄国物理学家 ）
?闭合回路中感应电流的方向, 总是使得它所
激发的磁场来 阻止 引起感应电流的磁通量的变
化 。
?或者：感应电流的效果, 总是 反抗 引起感应
电流的原因 。
?楞次定律实际上是能量守恒定律的一种表现,
例子 。
一,法拉第电磁感应定律
一,法拉第电磁感应定律
一,法拉第电磁感应定律
一,法拉第电磁感应定律
?均匀磁场的磁感应强度 垂直于半径为 r的
圆面。今以该圆周为边线，作一半球面 S，则通
过 S面的磁通量的大小为
（ A） 。 （ B） 。 （ C）
0。 （ D）无法确定的量。
Br 2?
B?
Br 22?
答案,（ B）
课堂练习
练习,如图导体框内有无感
应电流？若有，方向如何？
① 静止 1v
2v
?
3v② 以 运动
1v
③ 以 运动
2v ④ 以 纸面向里运动3v
I
答,产生感应电流的条件：①导体构成闭合回路；②
穿过闭合回路的磁通量 发生变化。BS??
① 静止,0?? ? 0
iI ?
?B
② 以 运动,
1v 12BS? ? ? ? 0?? ? 0iI ?
③ 以 运动,
2v 1 1 2 2;B S B S? ? ? ? 12BB?
2 1 2 1 0B S B S? ? ? ? ? ? ? ? ?
磁通量减少,增加 ；方向为顺时针
iI
?
④ 以 运动,
3v
B
3v
I
0?? ? 方向为顺时针iI
例 1 直导线通交流电 置于磁导率为 ?的介质中,已知,
,s in0 tII ??
求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势
其中 I0 和 ?是大于零的常数
解：
ld x
x
Iad
d
?
?
?
?
??
2 d
adlnlI ???
?
?
2
d
adlnts i nlI ?? ?
?
?
2
0
d
adtlNIr ??? lnc o s
2
00 ?
?
???
dt
dN
i
?? ??
xo
l
d
sd?I
a
xdSBSdBd ????? ld xxI ?? ??2
二,动生电动势
1,概念
?只要穿过回路的磁通量发生了变化, 在回路中
就会有感应电动势产生 。
?引起磁通量变化的原因不外乎有两条：
?回路相对于磁场有运动, 产生的感应电动势称
为 动生电动势 ；
?回路在磁场中虽无相对运动, 但是磁场在空间
的分布是随时间变化的, 产生的感应电动势称为
感生电动势 。
二,动生电动势
?注意：动生电动势和感生电动势的名称是一个
相对的概念, 因为在不同的惯性系中, 对同一个
电磁感应过程的理解不同：
?设观察者甲随磁铁一
起向左运动 。
甲,线圈中的自由电子相对磁铁运动, 受洛仑兹
力作用, 作为线圈中产生感应电流和感应电动势
的原因 。 －动生电动势 。
二,动生电动势
?设观察者乙相对线圈静止 。
乙,线圈中的自由电子静止不动, 不受磁场力作
用 。 产生感应电流和感应电动势的原因是运动磁
铁 （ 变化磁场 ） 在空间产生一个感应 （ 涡旋 ） 电
场，电场力驱动使线
圈中电荷定向运动形
成电流。－感生电动
势
二,动生电动势
2,动生电动势
?导线 ab 在磁场中运动,某时刻穿过回路 abcd
所围面积的磁通量为：
B l xBS ???
B?
v?
l
a
b? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?x
c
d?回路中感应电动势大小：
???? dtB l xddtd )(? B l vdtdxBl ?
二,动生电动势
B?
v?
l
a
b? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?x
c
d
?
a
?
b
?感应电动势的方向：
I
I
I
I
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B??
? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?B?
?
?感应电流
?感应电流的磁场
I
B??
二,动生电动势
3,动生电动势的来源
?电动势是非静电力作用的表
现, 引起动生电动势的非静电
力是洛伦兹力 。
?
a
b
l
B?
f?
neE
?
- v?
-
+ ?
Bvef ??? ???
?洛伦兹力等效于一个
,非静电场,,
BvefE ne
????
???
二,动生电动势
?
a
b
l
B?
f?
neE
?
- v?
-
+ ??电动势
? ?? ba neab rdE ???
ldBvba ??? ??? ? )(
Blv?
ldBv ???,,相互垂直
二,动生电动势
4,动生电动势的一般公式
?对于非均匀磁场以及导体各段运动速度不同的
情况, 动生电动势
ldBvldEd ne ????? ????? )(?
ldBvbaab ??? ??? ? )(?
?如果整个导体回路都在磁场中运动, 动生电动
势
ldBvL ??? ??? ? )(?
二,动生电动势
5,发电机的物理原理
?设回路中感生电流为 I,则动生电
动势做功的功率
IB l vIP ?? ?
?ab导体棒受磁力 v?
a
b
B?
-
+ ?
I
IlBF m ?
mF
?
extF
?
?ab导体棒匀速运动，受外力
extF
?
则
me x t FF
?? ??
二,动生电动势
?外力功率
I l B vvFP e x te x t ??
正好等于动生电动势做功的功率 。
?电路中感应电动势提供的电能是由外力做功
所消耗的机械能转换而来的, 这就是发电机内
的能量转换过程 。
二,动生电动势
6,洛伦兹力传递能量, 不做功
矛盾？
?导线在磁场中运动时产生的感应电动势是洛
伦磁力作用的结果, 感应电动势做功：
IB l vIP ?? ?
?洛伦磁力不做功。
Bvef ??? ???
二,动生电动势
B?
f?
- v?
??导体中的电子所受洛伦磁力
Bvef ??? ???
v??
使电子沿导体运动,而受
到另一洛伦磁力
v?? f?
?
Bvef ??? ?????
?电子受到的洛伦磁力合力
ffF ??? ???
电子运动的合速度 vvV ??? ???
二,动生电动势
?电子受到的洛伦磁力合力做功的功率
)()( vvffVF ??????? ??????
vfvf ???? ??????
B?
f?
- v?
?
v??
f??
Bvveve v B ?????
0?
二,动生电动势
B?
f?
- v?
?
v??
f??
0?????? vfvf ????由
vfvf ???? ??????
故为了使电子按 的方向
匀速运动，必须加外力
v?
extf
?
extf
?
ff e x t ?? ???
vfvf e x t ???? ????则
二,动生电动势
vfvf e x t ???? ????
B?
f?
- v?
?
v??
f??
extf
?
?,洛伦磁力的一个分力
使电子沿导线运动所做的功,
宏观上就是感应电动势驱动
电流的功。
vf ????
?,外力反抗洛伦磁力的另一个分力做的
功,宏观上就是外力拉动导线做的功。
vfext ?? ?
二,动生电动势
?洛伦磁力做功为零,实质上
表示了能量的转换与守恒。
?洛伦磁力在这里起了一个
能量转换者的作用，一方
面接受外力的功，同时驱
动电荷运动做功。
B?
f?
- v?
?
v??
f??
extf
?
?例题 P.326
三、感 生电动势和感生电场
1.感生电动势
?1861年麦克斯韦 （ 1831-1879） 假设, 变化的
磁场会产生感生电场, 。
?感生电场的电力线是闭合的, 是一种非静电
场 。 正是这种非静电场产生了感生电动势 。
?处在磁场中的静止导体
回路, 仅仅由磁场随时间
变化而产生的感应电动势,
称为 感生电动势 。
S
B
L
? ?? L i ldE ???
三、感 生电动势和感生电场
?由法拉第电磁感应定律有
dt
dldE
L i
????? ??
? ??? S SdBdtd ??
SdtB
S
??
????? ?
的正方向与
成右手螺旋关系
L?S?
?感生电场 在导体回路 中产生的感生电动势
iE
? L?
S?
L?
ld?
三、感 生电动势和感生电场
SdtBrdE
SL i
????
?????? ??
?麦克斯韦认为：在磁场变化时, 不但会在导体
回路中, 而且在空间任一地点都会产生感生电场 。
? 令 表示空间内任一静止回路 L 上的位移
元, S 为该回路所围面积, 则
rd?
S?
L?
rd?
? 由于感生电场的环路积分不
为零, 所以它又叫做 涡旋电场 。
三、感 生电动势和感生电场
2,感生电场与静电场的比较
0???L s rdE ?? SdtBrdE SL i ?
???
?????? ??
0?
??? ?? qSdE
S s
?? 0????
S i SdE
??
sE
?静电场
iE
?感生电场
场 源
环 流
正负电荷 变化的磁场
电 势 势场 非势场
电力线 不闭合 闭合
通 量
三、感 生电动势和感生电场
?一般有
is EEE
??? ??
StBrE
SL
????
dd ?????? ??
? ???
S
qSE
0
d ? 内
?? S?
L?
rd?
?例题 P.328
四,互感
1,互感电动势
?闭合导体回路中的电流随时间变化时, 它周
围的磁场也随之变化, 在它附近的其他导体回
路中就会产生感生电动势 。 这种电动势称为 互
感电动势 。
? 21
i 1 ?线圈 1,2固定不动 。
假设线圈 1中的电流 i1随时
间变化, 在线圈 2中产生的
感应电动势称为互感 电动势 ?21。
四,互感
?根据毕奥 —萨伐尔定律可知,i1 在 L2 中所
产生的全磁通
? 21
i 1
12121 iM??
?M21 称为回路 L1 对回路
L2 的 互感系数 。
?互感系数取决于两个回路的几何形状、相对位
置、各自的匝数以及他们周围磁介质的分布。它
与电流 i1 无关。
?两个回路固定时，互感系数是一个常数。
四,互感
? 21
i 1 dtd 2121 ????
dt
diM 1
21??
?由电磁感应定律，互感电动势
?反之，同样道理
21212 iM??
dt
d 12
12
????
dt
diM 2
12??
四,互感
MMM ?? 2112
?对给定的一对导体回路，有
?M 称为这两个回路的 互
感系数, 简称 互感 。
?互感系数的单位
亨利 （ H）,简称 亨 。
sA sVH ????? 111
dt
diM 1
2121 ???
?例题 P.333
2,互感系数
例 计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数
设两个螺线管的半径、长度、
匝数为 212121 N,N,l,l,R,R
1
2
解
2121 RR,lll ???
1I设 l
INB 110
1
??
221221 π RBNΨ ?
1
2
2
210 π IR
l
NN??
2
2
210
21 π Rl
NNM ??
2I设 l
INB 220
2
??
222112 π RBNΨ ?
2
2
210
12 π Rl
NNM ??
MMM ?? 2112
四,互感
? 变压器 。
3.互感的应用举例
? 互感也有不利的地方,如打电话窜线 。
? 使两线圈的互感 M 减小的办法之一,是使两线
圈互相垂直 。
五,自感
?当一个回路中的电流变化时，通过回路自身的
全磁通也发生变化，因而回路自身也产生感生电
动势。这种电动势称为 自感电动势 。
i
L
L
Li??
? L称为回路的 自感系数 。
?自感系数取决于回路的几何
形状、线圈匝数以及周围磁介质的分布。它与
电流 i 无关。
?自感系数的单位 亨利 （ H）,简称 亨 。
五,自感
?自感电动势
dt
d
L
????
dt
diL??
?考虑自感电动势时,通常选电流的方向为回路的
正方向,并且假设 ?L的方向与正方向一致。
?可以看出, 若 di>0,则 ?L<0,与正方向相反,阻碍
电流的变化 ;
?若 di<0,则 ?L>0,与正方向相同,也阻碍电流的变
化 。
?例题 P.334
?自感系数的计算
假设电路中流有电流 I,I?B??,再计算 L= ? /I
例 1,求单层密绕长直螺线管的自感
已知 l,N,S,?
解, 设回路中通有电流 I
L仅与回路、介质有关
nIB ??
NB SΨ m ?
l
Nn ?
SI
l
NΨ
m
2
??
VnSlNIΨL m 2
2
?? ???
I
例 2,同轴电缆由半径分别为 R1 和 R2 的两个无限长
同轴导体和柱面组成
求 无限长同轴电缆单位长度上的自感 I
I
解 由安培环路定理可知
21 RrR ?? r
IB r
π2
0???
2Rr ? 0?B
Sd
SBΦ dd ? rlrIr dπ20 ???
?? 21 dπ20RR r rlr IΦ ??
1
20 ln
π2 R
RIlr??
1
20 ln
π2 R
R
Il
ΦL r????
l
1R
2R
r?
五,自感
?自感现象的应用：
?镇流器，扼流圈等。
?自感也有不利的一面（大电流的电路拉闸时要
小心）。
?涡流的热效应,?高频感应
加热炉； ?变压器铁芯用绝
缘硅钢片叠成 ； ?电磁炉 。
?涡流的机械效应, ?电磁阻尼 （ 电表, 制动
器 ） ； ?电磁驱动 （ 异步感应电动机 ） 。
六,磁场的能量
1.实验
?开关拉开时, 灯泡反而闪亮一下 。 为什么?
L
I
I ?
?通电线圈中储藏着能量 。
?从另一角度说是自感电动
势作了功 。
六,磁场的能量
2.自感磁能公式
L
I
I ?
?设拉闸后, dt内通过灯泡的电流为 i,则 dt内自
感电动势作的功为
? ?tiA L dd ?? ?
? ? iLititiL dddd ??????
? ? ????
0
dd
I
iLiAA 221 LI?
也就是自感线圈的磁能, 221 LIW m ?
六,磁场的能量
3.磁场能量密度
?以一个长直螺线管 为例
2
2
1 LIW
m ?
?其磁场是在螺线管内，而且是均匀的，所以单
位体积的磁场能量（ 磁场能量密度 ）为
VnL 2?? nIB ??
VBVIn ?? 221
2
22 ??
?2
2B
w m ? HB ??BH21?
六,磁场的能量
?任意磁场的能量计算公式为
? ??? VHBVwW mm d2d
积分遍及整个磁场分布的空间。
?2
2B
w m ? BH21? 对磁场普遍适用
?例题 P.339
例, 同轴电缆的磁能和自感 如图 13-31所示，同轴电
缆中金属芯线的半径为 R1，共轴金属圆筒的半径为 R2，
中间充以磁导率为 μ 的磁介质。若芯线与圆筒分别和
电池两极相接，芯线与圆筒上的电流大小相等、方向
相反。设可略去金属芯线内的磁场，求此同轴电缆芯
线与圆筒之间单位长度上的磁能和自感。
1R
2R
I
I
? 1R?
o2R
12 ( )2
I R r R
r?
??
),( 0 21 RrRr ??
H?
解：如图,由题意知，同轴电缆芯
线内的磁场强度可视为零。
I
r
取单位长度的体积元,d 1 2 d 2 dV r r r r??? ? ?
? 由安培
环路定理：
()
il
in
H d l I?? ??
? 在芯线与圆筒之间 r处附近，磁场的能量密度为,
?
?
I
? ?
?
?
?
?
2
22
22
1 1 1()
2 2 2 8m
IIwH
rr
???
??
? ? ? ?
例 求两个相互邻近的电流回路的磁场能量，这两个
回路的电流分别是 I1和 I2。
1L M
1i1K
2L
2i2K
解,为了求出此状态时的磁能，设想 I1和 I2是按
下述步骤建立的。
2
111 2
1 ILW ?
（ 1）先合上电键 K1，使 i1从零增大到 I1。 这一过程中
由于自感 L1的存在，由电源 作功而储藏到磁场中
的能量为 1?
磁场的能量
（ 2）再合上电键 K2，调节 R1使 I1保持不变, 这时 i2由零
增大到 I2。这一过程中由于自感 L2的存在，由电源 作
功而储藏到磁场中的能量为 2?
2
222 2
1 ILW ?
注意到当 i2增大时，在回路 1中会产生互感电动势
12?
t
iM
d
d 2
1212 ???
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
ttiIMtIW dddd 211211212 ? ??? ?
要保持电流 I1不变，电源 还必须反抗此电
动势作功。这样由于互感的存在，由电源 作功
而储藏到磁场中的能量为
1?
1?
?? ?? 22 0 211210 12 dd II iIMiIM
2112 IIM?
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
经过上述两个步骤后，系统达到电流分别是 I1
和 I2的状态，这时储藏到磁场中的能量为
1221 WWWW m ???
如果上述两个步骤反向进行，则储藏到磁场
中的能量为
2121
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILILW
m ????
2112
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILIL ???
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
mm WW ??
最后储藏到磁场中的总能量为：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m ????
MMM ?? 2112
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
mm WW ??
最后储藏到磁场中的总能量为：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m ????
MMM ?? 2112
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
? 真空中两只长直螺线管 1和 2，长度
相等，单层密绕匝数相同，直 径 之
比 d1/d2 = 1/4,当它们通以相同电
流时，两螺线管贮存的磁能之比 W1/W2
= 。
课堂练习
161
答案：
