1 绪论
X
第
2
页
§ 1.1 信号与系统
?信号 (signal)
?系统（ system）
?信号理论与系统理论
X
第
3
页 信号 (Signal)
?消息（ Message）,在通信系统中，一般将语言、文字、
图像或数据统称为消息。
?信号（ Signal）,指消息的表现形式与传送载体。
?信息（ Information）,一般指消息中赋予人们的新知
识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。
?信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传
送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。
?电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、
磁通等。
X
第
4
页 系统 (System)
系统（ system）,由若干相互作用和相互依赖的事物组
合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系,通信系
统,控制系统、经济系统、生态系统等。
X
第
5
页 通信系统
为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。
信道
发送
设备
接收
设备
受信
者
信息
源
噪声
源发送端 接收端
消息 信号 信号 消息
X
第
6
页 系统 (System)
? 系统可以看作是变换器、处理器。
? 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、
输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也
可以称系统。
? 在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网
络”三个名词在一般情况下可以通用
X
第
7
页 信号理论与系统理论
信号理论
系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号
的描述、性质等。
信号传输
信号处理
系统分析：给定系统，研究系统对于输入
激励所产生的输出响应。
系统综合：按照给定的需求设计（综合）
系统。
重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。
X
第
8
页
信号与系统的关系
激励
输入信号
响应
输出信号系统
X
第
9
页
§ 1.2 信号的描述和分类
?信号的分类
?典型确定性信号
X
第
10
页 一．信号的分类
信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号
进行分类。
按实际用途划分
电视信号
雷达信号
控制信号
通信信号
广播信号
……
按所具有的时间特性划分
信号的描述 ?函数 f(t) ?波形
X
第
11
页 1．确定性信号和随机信号
。性具有未可预知的不确定
对于指定的某一时刻 t，可确定一相应的函数值 f(t)。
若干不连续点除外。
?确定性信号
?随机信号
?伪随机信号
貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
X
第
12
页 2．周期信号和非周期信号
?
?
?
?
?
?
?
非周期信号
周期信号
?
?
?
号）除简谐信号外的周期信复杂周期信号（
）简谐信号正弦周期信号（
),(
) (
?
?
?
衰减函数脉冲瞬态
频率之比值为无理数准周期
瞬态信号：除准周期信号外的
一切可以用时间函数描述的非
周期信号。
tt πs i ns i n ?例如
X
第
13
页 3．连续信号和离散信号
?连续时间信号：信号存在的
时间范围内，任意时刻都有定
义（即都可以给出确定的函数
值，可以有有限个间断点）。
用 t表示连续时间变量。
?离散时间信号：在时间上是
离散的，只在某些不连续的规
定瞬时给出函数值，其他时间
没有定义。
用 n表示离散时间变量。
n O 1 2
f(n)
t
f(t)
O
X
第
14
页 4．模拟信号，抽样信号，数字信号
数字信号：时间和幅值均为离散
的信号 。
主要讨论 确定性连续时间 信号 。
先连续，后离散；先周期，后非周期。
模拟信号：时间和幅值均为连续
的信号 。
抽样信号：时间离散的，幅值
连续的信号 。 量
化
O
t
? ?tf
? ?nf
n
O
? ?nf
n
O
抽
样
X
第
15
页 判断信号性质
判断下列波形是连续
时间信号还是离散时
间信号，若是离散时
间信号是否为数字信
号？
? ?tf
O t
? ?tf
O t1 2 43 5 6 7 8
1
2
3
? ?值，，只有 321
? ?tf
O t1 2 43 5 6 7 8
连续信号
离散信号
离散信号
数字信号
X
第
16
页 5．一维信号和多维信号
?一维信号,
只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
?多维信号,
由多个自变量描述的信号，如图像信号。
X
第
17
页 6,功率信号和能量信号
信号的能量,
在整个时间轴上,
信号的功率,
在整个时间轴上,
? ???? dt)t(fw 2
]dt)t(fT[limp
T
TT ?????
2
2
21
X
第
18
页
?功率信号,
平均功率为有限值而信号总能量为无限大。
（ 0<P<∞, W→∞ ）
?能量信号,
能量为有限值而平均功率为零。
（ 0<W<∞, P=0）
非功非能信号,
（ W→∞, P→∞ ）
X
第
19
页 二．几种典型确定性信号
5.钟形脉冲函数 (高斯函数 )
1.指数信号
2.正弦信号
3.复指数信号 (表达具有普遍意义 )
3,抽样信号 (Sampling Signal)
信号的表示
??tf函数表达式
波形
X
第
20
页
重要特性,其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
1．指数信号
tKtf ?e)( ?
单边指数信号
通常把 称为指数信号的 时间常数,记作 ?,代表信
号衰减速度，具有时间的量纲。 ?
1
l 指数衰减,0??
0??
l 指数增长 0??
0??l 直流 (常数 ),0??
K 0??
O
??tf
t
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
0e
00
t
t
tf t
?
O t
1
? ?tf
X
第
21
页 2．正弦信号
振幅,K
周期,
频率,f
角频率,
初相,
fT
12 ??
?
π
fπ2??
?
? ? 0
0 0
0s i ne)( ?
?
?
?
?
?? ? ???
t
ttKtf t
)s i n ()( ???? tKtf
衰减正弦信号,
O t
? ?tf
K
?
?
T
?
π2
?
π
X
第
22
页 欧拉 (Euler)公式
? ? ? ?ttt ??? jj ee
j2
1s i n ???
? ? ? ?ttt ??? jj ee21c o s ???
? ? ? ?ttt ??? s i njc o se j ??
X
第
23
页 3．复指数信号
讨论
?
?
?
?
?
??
??
??
衰减指数信号
升指数信号
直流
0,0
0,0
0,0
??
??
??
振荡
衰减
增幅
等幅
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,0
0,0
??
??
??
为复数，称为复频率 j ?? ??s
,均为实常数??
)( e)( ?????? tKtf st
r a d / s /s1 的量纲为，的量纲为 ??
? ? ? ?tKtK tt ?? ?? s i nejc o se ??
X
第
24
页 4．抽样信号 (Sampling Signal)
t
? ?tSa
1
π
π2
π3
O
π?
性质
①
②
③
④
⑤
⑥
? ? ? ?，偶函数tt SaSa ??
1)S a (lim1)S a (,0 0 ??? ? ttt t，即
?3,2,1π,0)S a ( ???? nntt,
?? ???? ?? πds i n,2πds i n0 tt ttt t
0)Sa (lim ???? tt
? ? ? ?ttt ππs i n)s i n c ( ?
t
tt s in)S a ( ?
X
第
25
页 5．钟形脉冲函数 (高斯函数 )
2
e)( ??
??
?
??
? ?
t
Etf
O t
? ?tf
E
?
2
?
e
E
E78.0
在随机信号分析中占有重要地位。
X
第
26
页
§ 1.3 信号的运算
?信号的自变量的变换
移位 反褶 尺度 一般情况
?微分和积分
?两信号相加或相乘
X
第
27
页 一．信号的自变量的变换（波形变化）
1.信号的移位
2.信号的反褶
3.信号的展缩（尺度变换）
4.一般情况
X
第
28
页
O
t
1? 1
1
2?
)( tf
1．信号的移位
)1( ?tf
? ? ? ? 为常数即得时移信号轴平移沿将信号,??? ?tfttf
)()( ??? tftf
例,
? > 0，右移 (滞后 )
? < 0，左移 (超前 )
O
t
)( tf
1? 1
1
f(t+1)的波形？
X
第
29
页 2．反褶
)()( tftf ??
例,
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
O 12?
1
? ?tf
tO 21?
1
? ?tf ?
t
X
第
30
页 3．信号的展缩 (Scale Changing)
O T2
2
1
?
?
?
?
?
?
2
t
f
t
例：已知 ? ?tf,画出 ? ?tf 2 和 ?
?
??
?
?
2
tf 的波形。
波形的压缩与扩展，尺度变换
? ?2)( tftf ?
波形扩展,2tt ?
? ? ? ?atftf ?
O T
2
1
? ?tf
t
0?a
X
第
31
页 f(t)?f(2t)
t?2t，波形压缩。
O T
2
1
? ?tf
t
O
2
T
2
1
? ?tf 2
t
X
第
32
页 4．一般情况
注意 ！
? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 ????? aabtafbatftf 设
展缩
平移
一切变换都是相对 t 而言
最好用先展缩后平移的顺序
加上倒置,? ? ? ?? ?abtafbatf ?????
X
第
33
页 例题
O
t
)( tf
1?
1
1
解,
t
)5( ?tf
6?
1
4?5? O
t
)3( tf
1
3
1O
3
1
?
t
)53( ?tf
1
2?
3
4
?
已知 f(t)，求 f(3t+5)。
时移
标度
变换
标度
变换
时移
X
第
34
页 二．微分和积分
O
t
? ?tf
2
?
2
?
?
O
t
1
?
2
? ?tf ?
? ?1?
2
?
?
2
?
O
t
? ?tf
2
?
2
?
?
O
t
1
? ?
?
??
t
f ?? d
2
?
?
2
?
?
? ? ? ? ? ? ?? ddd ?
??
?? t ft tftf 积分：，微分：
冲激信号
X
第
35
页 三．两信号相加和相乘
t
? ?t?si n
t
? ?t?8si n
t
? ? ? ?tt ??? 8si nsi n
同一瞬时两信号对应值相加 （ 相乘 ） 。
t
? ?t?si n
t
? ?t?8si n
t
? ? ? ?tt ??? 8si nsi n
X
第
36
页
§ 1.4 阶跃信号和冲激信号
?单位斜变信号
?单位阶跃信号
?单位冲激信号
?冲激偶信号
X
第
37
页 一．单位斜变信号
t
)( tR
O
1
1
t
)( 0ttR ?
O
1
0t 10 ?t
1,定义
??
?
?
??
0
00)(
tt
ttR
t
)( tf
O
K
?
?
?
?
???
???
0
0)(
00
0
0 tttt
ttttR
3．三角形脉冲
??
?
?
? ?
?
它其 0
)()( ?
?
ttRKtf
由宗量 t -t0=0 可知起始点为 0t
2．有延迟的单位斜变信号
X
第
38
页 二．单位阶跃信号
t
)( tu
O
1
t
)( 0ttu ?
O
1
0t
1,定义
2
10
01
00)( 点无定义或
?
?
?
?
??
t
ttu
0,10)( 0
0
0
0 ?
?
?
?
?
??? t
tt
ttttu
2,有延迟的单位阶跃信号
3,应用
a,表示单边信号。
X
第
39
页
b,表示矩形脉冲。
t
)( tR T
O
1
0t
tO
1
2
?
2
?
?
? ?tf
? ?tG
τ
其他函数只要用门函数处理 (乘以
门函数 )，就只剩下门内的部分。
? ? ?????? ???????? ?? 22 ?? tututf
门函数,也称窗函数
? ? ? ? ? ?0ttututf ???
X
第
40
页
c.表示符号函数
t
符号函数, (Signum)
?
?
?
??
??
01
01)s g n (
t
tt
1)(2)()()s g n ( ?????? tututut
]1)[ s g n (21)( ?? ttu
tO
? ?ts gn
X
第
41
页 三．单位冲激函数
概念引出
定义 1
定义 2
定义 3
冲激函数的性质
)(t?
X
第
42
页 定义 1：狄拉克 (Dirac)函数
o
t
)( t?
?
)1(? ???
?
?
?
??
??
??
??
0 0)(
1d)(
tt
tt
?
? 1d)(d)( 0
0 ??? ?
??
??
?
?
tttt ??
? 函数值只在 t = 0时不为零；
? 积分面积为 1；
? t =0 时，,为无界函数。 ? ? ??t?
X
第
43
页 定义 2
t
)( tp
O
?
1
2
?
?
2
?
?????? ?????? ???????? ?? 221)( ??? tututp
0??
面积 1； 脉宽 ↓ ； 脉冲高度 ↑ ；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★ 面积为 1
★ 宽度为 0
??
?
?
?
00
0
t
t无穷幅度★
三个特点,
X
第
44
页
??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?? 22
1lim)(lim)(
00
??
?? ?? tututpt
若面积为 k，则强度为 k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取 ??0极限，都可以认为是冲激函数。
描述
o
t
)( t?
?
)1(
o t
)(
0
tt ??
?
)1(
0
t
时移的冲激函数
X
第
45
页 定义 3
? 以分配理论为基础定义
)0(d)()( ftttf ?? ??
?? ?
X
第
46
页 冲激函数的性质 为了信号分析的需要，人们构造了 ? ?t? 函数，它属于广
义函数。就时间 t 而言,? ?t? 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
? ?t? 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性
2．奇偶性
3．标度变换
4．微分性质（冲激偶 ）和积分性质
5,卷积性质
X
第
47
页
1,抽样性 (筛选性 )
)()0()()( tftft ?? ?
?? )()( 0ttft?
对于移位情况,
? ??? ?? ttftt d)()( 0?
如果 f(t)在 t = 0处连续，且处处有界，则有
? ??? ? )0(d)()( fttft?
o
t
)( tf
?
)0(f
)()( 0 ttf ??
)( 0tf
X
第
48
页
2,奇偶性
)()( tt ?? ??
3,对 ?(t)的标度变换
? ??at? ? ?t
a
?1
d)()5(? ??? ?ttft? ? ?051 f
X
第
49
页
5.卷积性质
? ? ? ? ? ?tfttf ?? ?
4.微、积分性质
td
)t(ud)t( ?? )(d)( tut ??
?? ???
td
)]t(d[)t(' ?? ?
X
第
50
页 4.冲激偶
O
t
)( t?
?
)1(
0??
O
t
)( t? ?
o
t
)( ts
t
)( ts ?
O??
2
1
?
?
2
1
?
???
?
1
t
???
t
)t?
?
??
2
1
?
?
2
1
?
?
1
)(' t?
X
第
51
页
（与 ? ? ? ?tfttf ?? 0)()( ? 不同）
)0( d)()( fttft ????? ??? ?
②,0d)( ??? ?
?? tt? ? ?ttt
t ?? ???
?? d)(
冲激偶的性质
时移 )( d)()(
00 tfttftt ??????
?
?? ?
? ? 阶导数：的对 kt? ? ? ? ? ? ? ? ?01d )()( kkk fttft ???
?
??
?
③
,)()( tt ?? ????? )()( 00 tttt ?????? ??
? ? ? ? ? ?tftfttf ??? )0()(0)( ?????, ④
是奇函数)( t? ?
，则,
①
X
第
52
页 冲激函数的性质总结
（ 1）抽样性
)0(d)()( ftttf ?? ???? ?
)()0()()( tfttf ?? ?
（ 2）奇偶性
)()( tt ?? ??
（ 3）比例性
? ?taat ?? 1)( ?
（ 4）微积分性质
t
tut
d
)(d)( ?? )(d)( tut ??
?? ???
（ 5）冲激偶
)()( tt ?? ?????
???? ?? 0d)( tt?
? ?? ??t ttt )(d)( ??
)()0()()0()()( tftfttf ??? ?????
)0(d)()( ftttf ????? ??? ?
（ 6）卷积性质
? ? ? ? ? ?tfttf ?? ?
X
第
53
页 四,总结,R(t),u(t),?(t) 之间的关系
t
)( tR
O
1
1
t
)( tu
O
1
O
t
)( t?
?
)1(
R(t)
求 ↓ ↑ 积 (-?<t< ?)
u(t)
导 ↓ ↑ 分
?(t)
X
第
54
页
§ 1.5 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题, 往往将
信号分解为一些简单 (基本 )的信号之和, 分解角度
不同, 可以分解为不同的分量
X
第
55
页 一．直流分量与交流分量
t
)(
A
tf
O
)()()( AD tftftf ??
? ? 平均值。：信号的直流分量，即tf D
? ?? Ttt td)t(fT)t(f 001D
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
)( tf
E
O
t
? ? ttfTtfttftfTttfTP TttTttTtt d)(1)(d)()(1d)(1 0
0
0
0
0
0
2
A
2
D
2
AD
2 ??? ??? ?????
E
t
)(
D
tf
O
X
第
56
页 二．偶分量与奇分量
对任何 实 信号而言,
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
? ? ? ? ? ? ? ? od d,oe ve n,e
:)(
:)(
)()()(
ooee
o
e
oe
tftftftf
tf
tf
tftftf
?????
?
?
?
??
奇分量
偶分量
? ?)()(21)(e tftftf ???
? ?)()(21)(o tftftf ???
X
第
57
页
O
t
)( tf
O
t
)( tf ?
O
t
)(e tf
O
t
)(o tf
例：求 f(t)的奇分量和偶分量
X
第
58
页 三．典型信号分量
? 信号分解为典型信号的有限项之和
典型信号在信号系统分析理论中有专门的
分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，
则信号本身的分析结果也就基本明朗了。
举例
见 1.4 符号函数
X
第
59
页
? ?tf
??
? t
? ??f
O
四．脉冲分量
,??t当
? ?,?f脉高：,??脉宽：
1．矩形窄脉冲序列
此窄脉冲可表示为
? ?? ?)()( ???? ????? tutuf
)()( ???????? tutu存在区间：
X
第
60
页
出现在不同时刻的，
不同强度的冲激函
数的和。
叠加可表示为许多窄脉冲的到从 )(,tf?????
? ? ?
?
????
?
??? ?????? ?
?
???
）tutuf ()()(
? ???
???
??????
?
???? ）tutuftf ()()()(
? ??? ?? ???? d)()()( tftf所以
0???令
? ? ? ????
?
???
?
????? ?????
??
tttututu d )(d()(lim
0
）
?? ? ???
?
???
???
??
??,d
X
第
61
页
2,连续阶跃信号之和
? ? ??? 0 11
1
1 d)(
d
)(d)()0()( tttu
t
tftuftf
将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广,
后面的卷积积分中将用到, 可利用卷积积分求系统
的零状态响应 。
? ?tf
1
t?
t1t
? ?0f
? ?
11
ttf ??
? ?
1
tf
O
X
第
62
页 五．实部分量与虚部分量
瞬时值为 复数 的信号可分解为实虚部两部分之和 。
即
实际中产生的信号为实信号, 可以借助于复信号来
研究实信号 。
共轭复函数
)(j)()( ir tftftf ??
)(j)()( ir* tftftf ??
? ?)()(21)( *r tftftf ?? ? ?)()(21)(j *i tftftf ??
X
第
63
页 六．正交函数分量
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成
信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函
数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，
这将是本课程讨论的主要课题。
我们将在第三章中开始学习。
X
第
64
页 七．利用分形 （ fractal） 理论描述信号
? 分形几何理论简称分形理论或分数维理论；
? 创始人为 B.B.Mandelbrot;
? 分形是“其部分与整体有形似性的体系”；
? 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在
以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信
号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通
信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具
有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，
并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，
或自动生成某些具有自相似特征的信号。
可浏览网站,http://www.fractal.com
示例
X
第
65
页
§ 1.6 系统模型及其分类
?系统的定义和表示
?描述系统的基本单元方框图
?系统的分类
X
第
66
页 一．系统的定义和表示
系统,具有特定功能的总体，可以看作信号的变换
器、处理器。
系统模型,系统物理特性的数学抽象。
系统模型的表示,
数学表达式,系统物理特性的数学抽象 。
方框图,形象地表示其功能。
X
第
67
页 二．描述系统的基本单元方框图
1.加法器
2.乘法器
3.标量乘法器（数乘，比例）
4.微分器
5.积分器
6.延时 器
X
第
68
页 基本元件 1
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
? ?te ? ?tra a )()( taetr ?
2.乘法器
? ?te 1
? ?te 2
? ?tr
? ? ? ? ? ?tetetr 21 ??
1.加法器
? ?te 1
? ?te 2
? ?tr
? ? ? ? ? ?tetetr 21 ??
? ?te 1
? ?te 2
? ?tr
?
注意, 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。
X
第
69
页
4.微分器 ? ?te ? ?tr
?d
d? ?
t
tetr
d
)(d?
? ??? t ttetr d)()(5.积分器 ? ?te ? ?tr?
6.延时器 ? ?te ? ?tr?
? ?te ? ?trT
? ? ? ???? tetr
基本元件 2
X
第
70
页 三．系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
a.定义
连续时间系统,输入信号与输出信号都连续，
并且其内部也未转换为离散信号。
离散时间系统,输入信号与输出信号都离散。
混合系统,连续系统与离散系统组合运用
b.数学模型
连续时间系统,微分方程
离散时间系统,差分方程
X
第
71
页
2．即时系统与动态系统
a.定义
即时系统（无记忆系统）,
系统的输出只由相同时刻的激励信号决
定，而与过去的工作状态无关。
动态系统（记忆系统）,
系统的输出信号不仅与同时刻的激励信
号有关，还与它过去的工作状态有关。
X
第
72
页
b.数学模型
即时系统（无记忆系统）,代数方程
动态系统（记忆系统）,微分方程或差分方程
X
第
73
页
3．集总参数系统与分布参数系统
a.定义
集总参数系统,只由集中参数元件组成
分布参数系统,含有分布参数元件
b.数学模型
集总参数系统,常微分方程（ t)
分布参数系统,偏常微分方程（ t,x,y,z)
X
第
74
页
4．线性系统与非线性系统
a.定义
线性系统,即具有叠加性又具有均匀性
非线性系统,不具有叠加性或均匀性
b.数学模型
线性系统,线性方程
非线性系统,非线性方程
X
第
75
页
5．时变系统与时不变系统
a.定义
时变系统,系统的参数随时间变化
时不变系统,系统的参数不随时间变化
b.数学模型
时变系统,变系数方程
时不变系统,常系数方程
X
第
76
页
6．可逆系统与不可逆系统
可逆系统,e(t)不同,r(t)不同
例,r(t)=5e(t)
不可逆系统,e(t)不同,r(t)相同
例,r(t)=e2(t)
X
第
77
页
7.因果系统与非因果系统
因果系统,系统在 t0时刻的响应只与 t= t0和
t<t0时刻的输入有关
非因果系统,系统在 t0时刻的响应与 t>t0时刻
的输入有关。
判断方法 输出不超前于输入
X
第
78
页
? ? ? ? ? ? 系统。代表的系统是否是因果微分方程 2??? tetetr
0?t ? ? ? ? ? ?200 ??? eer
现在的响应 =现在的激励 +以前的激励
所以 该系统 为因果系统 。
? ? ? ? ? ? 系统。代表的系统是否是因果微分方程 2??? tetetr
0?t ? ? ? ? ? ?200 ??? eer
未来的激励
所以该系统为 非因果系统 。
例题
X
第
79
页 1.实际的物理可实现系统均为因果系统
)()()( tutete ? 0)(,0 ?? tet相当于
2.因果信号
表示为,
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信
号的压缩、扩展，语音信号处理等 。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度
等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
t = 0接入系统的信号称为因果信号。
X
第
80
页
8．稳定系统与非稳定系统
多种定义形式
稳定性是系统自身的性质之一，系统 是否稳
定与激励信号的情况无关 。
X
第
81
页
§ 1.7 线性时不变系统
?线性 特性
?时不变 特性
?线性时不变系统的微分特性
?因果 性
X
第
82
页 一,线性特性
? ?tkr
???
?
?
?
?
? )()(
)()(
)()(
21
22
11 tete
trte
trte
? ? ? ? ? ? ??? tketrte
线性,
叠加性,
均匀性 (齐次性 ),
1.定义
指均匀性，叠加性。
)()( 21 trtr ?
X
第
83
页
? ? ? ?tete 2211 ?? ?
H
? ? ? ?trtr 2211 ?? ?
)()()()( 22112211 tttt rree ???? ???
线性特性
H
? ?te2 ??tr2
H
)(1 te ??tr1
X
第
84
页
先线性运算，再经系统
2,判断方法
若 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?tfHCtfHCtfCtfCH 22112211 ???
则系统 是线性系统,否则是非线性系统。 ? ??H
1C
2C
? ?tf 1
? ?tf 2
? ?tfC 11
? ?tfC 22
? ? ? ?? ?tfCtfCH 2211 ?? ??H?
? ??H? ?tf 1
? ?tf 2
? ?? ?tfH 1
? ?? ?tfH 2
1C
2C
? ?? ?tfHC 11
? ?? ?tfHC 22
? ?? ? ? ?? ?tfHCtfHC 2211 ?
? ??H
?
先经系统，再线性运算 =
X
第
85
页 例
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
0 )(5)(10d )(d ???? ttetrt tr
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有
均匀性 和 叠加性 。 可以证明,
所以 此系统为 非线性系统 。
请看下面证明过程
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性
X
第
86
页 证明均匀性
设信号 e(t)作用于系统，响应为 r(t)
)1(0 )(5)(10d )(d ???? ttAetArt tAr
原方程两端乘 A,
)2(0 )(5)(10d )(d ???????? ?? ttAetrt trA
(1),(2)两式矛盾 。 故此系统 不满足均匀性
当 Ae(t)作用于系统时,若此系统具有线性,则
X
第
87
页 证明叠加性
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
)4(0510
d
d
)3(0510
d
d
22
2
11
1
????
????
ttetr
t
tr
ttetr
t
tr
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )5(0510d d 212121 ??????? ttetetrtrtrtrt
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )6(01010d d 212121 ??????? ttetetrtrtrtrt
(5),(6)式矛盾，该系统 不具有叠加性
假设有两个输入信号 分别激励系统，则由
所给微分方程式分别有,
)()( 21 tete 及
当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
应有
)()( 21 tete ?
(3)+(4)得
X
第
88
页 二．时不变特性
认识,
?电路分析上看,
? 从方程看,
?从输入输出关系看,
元件的参数值是否随时间而变。
系数是否随时间而变。
X
第
89
页
)( te
)( 0tte ?
)( tr
)( 0ttr ?H
时不变性
)( te
t t
TO O
)( tr
t
)(
0
tte ?
O
0
t Tt ?
0
t
O
)(
0
ttr ?
0
t
X
第
90
页
先时移，再经系统 ? ??H
? ?tf ? ?? ?tfH DE
? ???ty
?
? ?ty
2,判断方法
若
则系统 是非时变系统,否则是时变系统 。
? ?? ? ? ??? ??? tytfH
? ??H
DE
?? ?tf ? ??H ? ?? ???tfH
? ???tf
先经系统，再时移 =
X
第
91
页 例题
判断下列两个系统是否为非时变系统 。
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算 。
)()()1( 0 0 ttete t ??? ?? 时移 0 )(c o s)( 011 ?????? ?? tttetr经过系统
)(c o s)()2( tete ??? ?? 经过系统
所以 此系统为时不变系统 。
? ? ? ?trtr 1211 ?
? ? ? ?? ? 0cos ?? ttetr系统 1,
? ? ? ? 0cos ??? tttetr系统 2,
0 )(c o s)( 012 0 ????? ?? tttetrt时移
X
第
92
页
)()()1( 00 ttete t ??? ?? 时移 0c o s)()( 021 ?????? ?? ttttetr经过系统
ttete c o s)()()2( ??? ?? 经过系统 0)c o s ()()( 00220 ?????? ?? tttttetrt时移
此系统为时变系统 。
)()( 2221 trtr ?
系统作用,输入信号乘 cost
? ? ? ? 0cos ??? tttetr系统 2,
X
第
93
页 三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性, 积分特性
利用线性证明, 可 推广 至高阶 。
系统
? ?te ? ?tr
系统
? ?
t
te
d
d ? ?
t
tr
d
d
系统
? ? tte
t
d?
??
? ? ttr
t
d?
??
X
第
94
页 四,因果特性
在零状态条件下,LTI系统具有因果特性,
X
第
95
页
重点研究,
确定性信号作用下的集总参数 线性时不
变系统 。
X
第
96
页
§ 1.8 系统分析方法
系统分析的过程,
建立数学模型 →用数学方法去处理 →给出物理解释
X
第
97
页
?着眼于激励与响应的关系, 而不考虑系统内部
变量情况；
输入 ?? 输出描述法,
状态变量描述法,
一,建立系统模型的两种方法
?不仅可以给出系统的响应, 还可以描述内部变量,
如电容电压 或电感电流 的变化情况 。 ? ?tv
C ??tiL
?单输入 单输出系统；
?列写一元 n 阶微分方程 。
?研究多输入 /多输出系统；
?列写 n 个一阶微分方程。
X
第
98
页 二, 数学模型的求解方法
1.时域分析
2.变换域分析
?傅里叶变换 —— FT
?拉普拉斯变换 —— LT
?
?
?
差分方程离散系统：
微分方程连续系统：经典法求解
l
● 卷积积分（或卷积和）法
?z 变换 —— ZT
?离散傅里叶变换 —— DFT
?离散沃尔什变换 —— DWT
X
第
2
页
§ 1.1 信号与系统
?信号 (signal)
?系统（ system）
?信号理论与系统理论
X
第
3
页 信号 (Signal)
?消息（ Message）,在通信系统中，一般将语言、文字、
图像或数据统称为消息。
?信号（ Signal）,指消息的表现形式与传送载体。
?信息（ Information）,一般指消息中赋予人们的新知
识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。
?信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传
送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。
?电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、
磁通等。
X
第
4
页 系统 (System)
系统（ system）,由若干相互作用和相互依赖的事物组
合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系,通信系
统,控制系统、经济系统、生态系统等。
X
第
5
页 通信系统
为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。
信道
发送
设备
接收
设备
受信
者
信息
源
噪声
源发送端 接收端
消息 信号 信号 消息
X
第
6
页 系统 (System)
? 系统可以看作是变换器、处理器。
? 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、
输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也
可以称系统。
? 在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网
络”三个名词在一般情况下可以通用
X
第
7
页 信号理论与系统理论
信号理论
系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号
的描述、性质等。
信号传输
信号处理
系统分析：给定系统，研究系统对于输入
激励所产生的输出响应。
系统综合：按照给定的需求设计（综合）
系统。
重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。
X
第
8
页
信号与系统的关系
激励
输入信号
响应
输出信号系统
X
第
9
页
§ 1.2 信号的描述和分类
?信号的分类
?典型确定性信号
X
第
10
页 一．信号的分类
信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号
进行分类。
按实际用途划分
电视信号
雷达信号
控制信号
通信信号
广播信号
……
按所具有的时间特性划分
信号的描述 ?函数 f(t) ?波形
X
第
11
页 1．确定性信号和随机信号
。性具有未可预知的不确定
对于指定的某一时刻 t，可确定一相应的函数值 f(t)。
若干不连续点除外。
?确定性信号
?随机信号
?伪随机信号
貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
X
第
12
页 2．周期信号和非周期信号
?
?
?
?
?
?
?
非周期信号
周期信号
?
?
?
号）除简谐信号外的周期信复杂周期信号（
）简谐信号正弦周期信号（
),(
) (
?
?
?
衰减函数脉冲瞬态
频率之比值为无理数准周期
瞬态信号：除准周期信号外的
一切可以用时间函数描述的非
周期信号。
tt πs i ns i n ?例如
X
第
13
页 3．连续信号和离散信号
?连续时间信号：信号存在的
时间范围内，任意时刻都有定
义（即都可以给出确定的函数
值，可以有有限个间断点）。
用 t表示连续时间变量。
?离散时间信号：在时间上是
离散的，只在某些不连续的规
定瞬时给出函数值，其他时间
没有定义。
用 n表示离散时间变量。
n O 1 2
f(n)
t
f(t)
O
X
第
14
页 4．模拟信号，抽样信号，数字信号
数字信号：时间和幅值均为离散
的信号 。
主要讨论 确定性连续时间 信号 。
先连续，后离散；先周期，后非周期。
模拟信号：时间和幅值均为连续
的信号 。
抽样信号：时间离散的，幅值
连续的信号 。 量
化
O
t
? ?tf
? ?nf
n
O
? ?nf
n
O
抽
样
X
第
15
页 判断信号性质
判断下列波形是连续
时间信号还是离散时
间信号，若是离散时
间信号是否为数字信
号？
? ?tf
O t
? ?tf
O t1 2 43 5 6 7 8
1
2
3
? ?值，，只有 321
? ?tf
O t1 2 43 5 6 7 8
连续信号
离散信号
离散信号
数字信号
X
第
16
页 5．一维信号和多维信号
?一维信号,
只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
?多维信号,
由多个自变量描述的信号，如图像信号。
X
第
17
页 6,功率信号和能量信号
信号的能量,
在整个时间轴上,
信号的功率,
在整个时间轴上,
? ???? dt)t(fw 2
]dt)t(fT[limp
T
TT ?????
2
2
21
X
第
18
页
?功率信号,
平均功率为有限值而信号总能量为无限大。
（ 0<P<∞, W→∞ ）
?能量信号,
能量为有限值而平均功率为零。
（ 0<W<∞, P=0）
非功非能信号,
（ W→∞, P→∞ ）
X
第
19
页 二．几种典型确定性信号
5.钟形脉冲函数 (高斯函数 )
1.指数信号
2.正弦信号
3.复指数信号 (表达具有普遍意义 )
3,抽样信号 (Sampling Signal)
信号的表示
??tf函数表达式
波形
X
第
20
页
重要特性,其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
1．指数信号
tKtf ?e)( ?
单边指数信号
通常把 称为指数信号的 时间常数,记作 ?,代表信
号衰减速度，具有时间的量纲。 ?
1
l 指数衰减,0??
0??
l 指数增长 0??
0??l 直流 (常数 ),0??
K 0??
O
??tf
t
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
0e
00
t
t
tf t
?
O t
1
? ?tf
X
第
21
页 2．正弦信号
振幅,K
周期,
频率,f
角频率,
初相,
fT
12 ??
?
π
fπ2??
?
? ? 0
0 0
0s i ne)( ?
?
?
?
?
?? ? ???
t
ttKtf t
)s i n ()( ???? tKtf
衰减正弦信号,
O t
? ?tf
K
?
?
T
?
π2
?
π
X
第
22
页 欧拉 (Euler)公式
? ? ? ?ttt ??? jj ee
j2
1s i n ???
? ? ? ?ttt ??? jj ee21c o s ???
? ? ? ?ttt ??? s i njc o se j ??
X
第
23
页 3．复指数信号
讨论
?
?
?
?
?
??
??
??
衰减指数信号
升指数信号
直流
0,0
0,0
0,0
??
??
??
振荡
衰减
增幅
等幅
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,0
0,0
??
??
??
为复数，称为复频率 j ?? ??s
,均为实常数??
)( e)( ?????? tKtf st
r a d / s /s1 的量纲为，的量纲为 ??
? ? ? ?tKtK tt ?? ?? s i nejc o se ??
X
第
24
页 4．抽样信号 (Sampling Signal)
t
? ?tSa
1
π
π2
π3
O
π?
性质
①
②
③
④
⑤
⑥
? ? ? ?，偶函数tt SaSa ??
1)S a (lim1)S a (,0 0 ??? ? ttt t，即
?3,2,1π,0)S a ( ???? nntt,
?? ???? ?? πds i n,2πds i n0 tt ttt t
0)Sa (lim ???? tt
? ? ? ?ttt ππs i n)s i n c ( ?
t
tt s in)S a ( ?
X
第
25
页 5．钟形脉冲函数 (高斯函数 )
2
e)( ??
??
?
??
? ?
t
Etf
O t
? ?tf
E
?
2
?
e
E
E78.0
在随机信号分析中占有重要地位。
X
第
26
页
§ 1.3 信号的运算
?信号的自变量的变换
移位 反褶 尺度 一般情况
?微分和积分
?两信号相加或相乘
X
第
27
页 一．信号的自变量的变换（波形变化）
1.信号的移位
2.信号的反褶
3.信号的展缩（尺度变换）
4.一般情况
X
第
28
页
O
t
1? 1
1
2?
)( tf
1．信号的移位
)1( ?tf
? ? ? ? 为常数即得时移信号轴平移沿将信号,??? ?tfttf
)()( ??? tftf
例,
? > 0，右移 (滞后 )
? < 0，左移 (超前 )
O
t
)( tf
1? 1
1
f(t+1)的波形？
X
第
29
页 2．反褶
)()( tftf ??
例,
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
O 12?
1
? ?tf
tO 21?
1
? ?tf ?
t
X
第
30
页 3．信号的展缩 (Scale Changing)
O T2
2
1
?
?
?
?
?
?
2
t
f
t
例：已知 ? ?tf,画出 ? ?tf 2 和 ?
?
??
?
?
2
tf 的波形。
波形的压缩与扩展，尺度变换
? ?2)( tftf ?
波形扩展,2tt ?
? ? ? ?atftf ?
O T
2
1
? ?tf
t
0?a
X
第
31
页 f(t)?f(2t)
t?2t，波形压缩。
O T
2
1
? ?tf
t
O
2
T
2
1
? ?tf 2
t
X
第
32
页 4．一般情况
注意 ！
? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 ????? aabtafbatftf 设
展缩
平移
一切变换都是相对 t 而言
最好用先展缩后平移的顺序
加上倒置,? ? ? ?? ?abtafbatf ?????
X
第
33
页 例题
O
t
)( tf
1?
1
1
解,
t
)5( ?tf
6?
1
4?5? O
t
)3( tf
1
3
1O
3
1
?
t
)53( ?tf
1
2?
3
4
?
已知 f(t)，求 f(3t+5)。
时移
标度
变换
标度
变换
时移
X
第
34
页 二．微分和积分
O
t
? ?tf
2
?
2
?
?
O
t
1
?
2
? ?tf ?
? ?1?
2
?
?
2
?
O
t
? ?tf
2
?
2
?
?
O
t
1
? ?
?
??
t
f ?? d
2
?
?
2
?
?
? ? ? ? ? ? ?? ddd ?
??
?? t ft tftf 积分：，微分：
冲激信号
X
第
35
页 三．两信号相加和相乘
t
? ?t?si n
t
? ?t?8si n
t
? ? ? ?tt ??? 8si nsi n
同一瞬时两信号对应值相加 （ 相乘 ） 。
t
? ?t?si n
t
? ?t?8si n
t
? ? ? ?tt ??? 8si nsi n
X
第
36
页
§ 1.4 阶跃信号和冲激信号
?单位斜变信号
?单位阶跃信号
?单位冲激信号
?冲激偶信号
X
第
37
页 一．单位斜变信号
t
)( tR
O
1
1
t
)( 0ttR ?
O
1
0t 10 ?t
1,定义
??
?
?
??
0
00)(
tt
ttR
t
)( tf
O
K
?
?
?
?
???
???
0
0)(
00
0
0 tttt
ttttR
3．三角形脉冲
??
?
?
? ?
?
它其 0
)()( ?
?
ttRKtf
由宗量 t -t0=0 可知起始点为 0t
2．有延迟的单位斜变信号
X
第
38
页 二．单位阶跃信号
t
)( tu
O
1
t
)( 0ttu ?
O
1
0t
1,定义
2
10
01
00)( 点无定义或
?
?
?
?
??
t
ttu
0,10)( 0
0
0
0 ?
?
?
?
?
??? t
tt
ttttu
2,有延迟的单位阶跃信号
3,应用
a,表示单边信号。
X
第
39
页
b,表示矩形脉冲。
t
)( tR T
O
1
0t
tO
1
2
?
2
?
?
? ?tf
? ?tG
τ
其他函数只要用门函数处理 (乘以
门函数 )，就只剩下门内的部分。
? ? ?????? ???????? ?? 22 ?? tututf
门函数,也称窗函数
? ? ? ? ? ?0ttututf ???
X
第
40
页
c.表示符号函数
t
符号函数, (Signum)
?
?
?
??
??
01
01)s g n (
t
tt
1)(2)()()s g n ( ?????? tututut
]1)[ s g n (21)( ?? ttu
tO
? ?ts gn
X
第
41
页 三．单位冲激函数
概念引出
定义 1
定义 2
定义 3
冲激函数的性质
)(t?
X
第
42
页 定义 1：狄拉克 (Dirac)函数
o
t
)( t?
?
)1(? ???
?
?
?
??
??
??
??
0 0)(
1d)(
tt
tt
?
? 1d)(d)( 0
0 ??? ?
??
??
?
?
tttt ??
? 函数值只在 t = 0时不为零；
? 积分面积为 1；
? t =0 时，,为无界函数。 ? ? ??t?
X
第
43
页 定义 2
t
)( tp
O
?
1
2
?
?
2
?
?????? ?????? ???????? ?? 221)( ??? tututp
0??
面积 1； 脉宽 ↓ ； 脉冲高度 ↑ ；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★ 面积为 1
★ 宽度为 0
??
?
?
?
00
0
t
t无穷幅度★
三个特点,
X
第
44
页
??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?? 22
1lim)(lim)(
00
??
?? ?? tututpt
若面积为 k，则强度为 k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取 ??0极限，都可以认为是冲激函数。
描述
o
t
)( t?
?
)1(
o t
)(
0
tt ??
?
)1(
0
t
时移的冲激函数
X
第
45
页 定义 3
? 以分配理论为基础定义
)0(d)()( ftttf ?? ??
?? ?
X
第
46
页 冲激函数的性质 为了信号分析的需要，人们构造了 ? ?t? 函数，它属于广
义函数。就时间 t 而言,? ?t? 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
? ?t? 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性
2．奇偶性
3．标度变换
4．微分性质（冲激偶 ）和积分性质
5,卷积性质
X
第
47
页
1,抽样性 (筛选性 )
)()0()()( tftft ?? ?
?? )()( 0ttft?
对于移位情况,
? ??? ?? ttftt d)()( 0?
如果 f(t)在 t = 0处连续，且处处有界，则有
? ??? ? )0(d)()( fttft?
o
t
)( tf
?
)0(f
)()( 0 ttf ??
)( 0tf
X
第
48
页
2,奇偶性
)()( tt ?? ??
3,对 ?(t)的标度变换
? ??at? ? ?t
a
?1
d)()5(? ??? ?ttft? ? ?051 f
X
第
49
页
5.卷积性质
? ? ? ? ? ?tfttf ?? ?
4.微、积分性质
td
)t(ud)t( ?? )(d)( tut ??
?? ???
td
)]t(d[)t(' ?? ?
X
第
50
页 4.冲激偶
O
t
)( t?
?
)1(
0??
O
t
)( t? ?
o
t
)( ts
t
)( ts ?
O??
2
1
?
?
2
1
?
???
?
1
t
???
t
)t?
?
??
2
1
?
?
2
1
?
?
1
)(' t?
X
第
51
页
（与 ? ? ? ?tfttf ?? 0)()( ? 不同）
)0( d)()( fttft ????? ??? ?
②,0d)( ??? ?
?? tt? ? ?ttt
t ?? ???
?? d)(
冲激偶的性质
时移 )( d)()(
00 tfttftt ??????
?
?? ?
? ? 阶导数：的对 kt? ? ? ? ? ? ? ? ?01d )()( kkk fttft ???
?
??
?
③
,)()( tt ?? ????? )()( 00 tttt ?????? ??
? ? ? ? ? ?tftfttf ??? )0()(0)( ?????, ④
是奇函数)( t? ?
，则,
①
X
第
52
页 冲激函数的性质总结
（ 1）抽样性
)0(d)()( ftttf ?? ???? ?
)()0()()( tfttf ?? ?
（ 2）奇偶性
)()( tt ?? ??
（ 3）比例性
? ?taat ?? 1)( ?
（ 4）微积分性质
t
tut
d
)(d)( ?? )(d)( tut ??
?? ???
（ 5）冲激偶
)()( tt ?? ?????
???? ?? 0d)( tt?
? ?? ??t ttt )(d)( ??
)()0()()0()()( tftfttf ??? ?????
)0(d)()( ftttf ????? ??? ?
（ 6）卷积性质
? ? ? ? ? ?tfttf ?? ?
X
第
53
页 四,总结,R(t),u(t),?(t) 之间的关系
t
)( tR
O
1
1
t
)( tu
O
1
O
t
)( t?
?
)1(
R(t)
求 ↓ ↑ 积 (-?<t< ?)
u(t)
导 ↓ ↑ 分
?(t)
X
第
54
页
§ 1.5 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题, 往往将
信号分解为一些简单 (基本 )的信号之和, 分解角度
不同, 可以分解为不同的分量
X
第
55
页 一．直流分量与交流分量
t
)(
A
tf
O
)()()( AD tftftf ??
? ? 平均值。：信号的直流分量，即tf D
? ?? Ttt td)t(fT)t(f 001D
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
)( tf
E
O
t
? ? ttfTtfttftfTttfTP TttTttTtt d)(1)(d)()(1d)(1 0
0
0
0
0
0
2
A
2
D
2
AD
2 ??? ??? ?????
E
t
)(
D
tf
O
X
第
56
页 二．偶分量与奇分量
对任何 实 信号而言,
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
? ? ? ? ? ? ? ? od d,oe ve n,e
:)(
:)(
)()()(
ooee
o
e
oe
tftftftf
tf
tf
tftftf
?????
?
?
?
??
奇分量
偶分量
? ?)()(21)(e tftftf ???
? ?)()(21)(o tftftf ???
X
第
57
页
O
t
)( tf
O
t
)( tf ?
O
t
)(e tf
O
t
)(o tf
例：求 f(t)的奇分量和偶分量
X
第
58
页 三．典型信号分量
? 信号分解为典型信号的有限项之和
典型信号在信号系统分析理论中有专门的
分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，
则信号本身的分析结果也就基本明朗了。
举例
见 1.4 符号函数
X
第
59
页
? ?tf
??
? t
? ??f
O
四．脉冲分量
,??t当
? ?,?f脉高：,??脉宽：
1．矩形窄脉冲序列
此窄脉冲可表示为
? ?? ?)()( ???? ????? tutuf
)()( ???????? tutu存在区间：
X
第
60
页
出现在不同时刻的，
不同强度的冲激函
数的和。
叠加可表示为许多窄脉冲的到从 )(,tf?????
? ? ?
?
????
?
??? ?????? ?
?
???
）tutuf ()()(
? ???
???
??????
?
???? ）tutuftf ()()()(
? ??? ?? ???? d)()()( tftf所以
0???令
? ? ? ????
?
???
?
????? ?????
??
tttututu d )(d()(lim
0
）
?? ? ???
?
???
???
??
??,d
X
第
61
页
2,连续阶跃信号之和
? ? ??? 0 11
1
1 d)(
d
)(d)()0()( tttu
t
tftuftf
将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广,
后面的卷积积分中将用到, 可利用卷积积分求系统
的零状态响应 。
? ?tf
1
t?
t1t
? ?0f
? ?
11
ttf ??
? ?
1
tf
O
X
第
62
页 五．实部分量与虚部分量
瞬时值为 复数 的信号可分解为实虚部两部分之和 。
即
实际中产生的信号为实信号, 可以借助于复信号来
研究实信号 。
共轭复函数
)(j)()( ir tftftf ??
)(j)()( ir* tftftf ??
? ?)()(21)( *r tftftf ?? ? ?)()(21)(j *i tftftf ??
X
第
63
页 六．正交函数分量
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成
信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函
数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，
这将是本课程讨论的主要课题。
我们将在第三章中开始学习。
X
第
64
页 七．利用分形 （ fractal） 理论描述信号
? 分形几何理论简称分形理论或分数维理论；
? 创始人为 B.B.Mandelbrot;
? 分形是“其部分与整体有形似性的体系”；
? 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在
以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信
号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通
信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具
有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，
并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，
或自动生成某些具有自相似特征的信号。
可浏览网站,http://www.fractal.com
示例
X
第
65
页
§ 1.6 系统模型及其分类
?系统的定义和表示
?描述系统的基本单元方框图
?系统的分类
X
第
66
页 一．系统的定义和表示
系统,具有特定功能的总体，可以看作信号的变换
器、处理器。
系统模型,系统物理特性的数学抽象。
系统模型的表示,
数学表达式,系统物理特性的数学抽象 。
方框图,形象地表示其功能。
X
第
67
页 二．描述系统的基本单元方框图
1.加法器
2.乘法器
3.标量乘法器（数乘，比例）
4.微分器
5.积分器
6.延时 器
X
第
68
页 基本元件 1
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
? ?te ? ?tra a )()( taetr ?
2.乘法器
? ?te 1
? ?te 2
? ?tr
? ? ? ? ? ?tetetr 21 ??
1.加法器
? ?te 1
? ?te 2
? ?tr
? ? ? ? ? ?tetetr 21 ??
? ?te 1
? ?te 2
? ?tr
?
注意, 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。
X
第
69
页
4.微分器 ? ?te ? ?tr
?d
d? ?
t
tetr
d
)(d?
? ??? t ttetr d)()(5.积分器 ? ?te ? ?tr?
6.延时器 ? ?te ? ?tr?
? ?te ? ?trT
? ? ? ???? tetr
基本元件 2
X
第
70
页 三．系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
a.定义
连续时间系统,输入信号与输出信号都连续，
并且其内部也未转换为离散信号。
离散时间系统,输入信号与输出信号都离散。
混合系统,连续系统与离散系统组合运用
b.数学模型
连续时间系统,微分方程
离散时间系统,差分方程
X
第
71
页
2．即时系统与动态系统
a.定义
即时系统（无记忆系统）,
系统的输出只由相同时刻的激励信号决
定，而与过去的工作状态无关。
动态系统（记忆系统）,
系统的输出信号不仅与同时刻的激励信
号有关，还与它过去的工作状态有关。
X
第
72
页
b.数学模型
即时系统（无记忆系统）,代数方程
动态系统（记忆系统）,微分方程或差分方程
X
第
73
页
3．集总参数系统与分布参数系统
a.定义
集总参数系统,只由集中参数元件组成
分布参数系统,含有分布参数元件
b.数学模型
集总参数系统,常微分方程（ t)
分布参数系统,偏常微分方程（ t,x,y,z)
X
第
74
页
4．线性系统与非线性系统
a.定义
线性系统,即具有叠加性又具有均匀性
非线性系统,不具有叠加性或均匀性
b.数学模型
线性系统,线性方程
非线性系统,非线性方程
X
第
75
页
5．时变系统与时不变系统
a.定义
时变系统,系统的参数随时间变化
时不变系统,系统的参数不随时间变化
b.数学模型
时变系统,变系数方程
时不变系统,常系数方程
X
第
76
页
6．可逆系统与不可逆系统
可逆系统,e(t)不同,r(t)不同
例,r(t)=5e(t)
不可逆系统,e(t)不同,r(t)相同
例,r(t)=e2(t)
X
第
77
页
7.因果系统与非因果系统
因果系统,系统在 t0时刻的响应只与 t= t0和
t<t0时刻的输入有关
非因果系统,系统在 t0时刻的响应与 t>t0时刻
的输入有关。
判断方法 输出不超前于输入
X
第
78
页
? ? ? ? ? ? 系统。代表的系统是否是因果微分方程 2??? tetetr
0?t ? ? ? ? ? ?200 ??? eer
现在的响应 =现在的激励 +以前的激励
所以 该系统 为因果系统 。
? ? ? ? ? ? 系统。代表的系统是否是因果微分方程 2??? tetetr
0?t ? ? ? ? ? ?200 ??? eer
未来的激励
所以该系统为 非因果系统 。
例题
X
第
79
页 1.实际的物理可实现系统均为因果系统
)()()( tutete ? 0)(,0 ?? tet相当于
2.因果信号
表示为,
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信
号的压缩、扩展，语音信号处理等 。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度
等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
t = 0接入系统的信号称为因果信号。
X
第
80
页
8．稳定系统与非稳定系统
多种定义形式
稳定性是系统自身的性质之一，系统 是否稳
定与激励信号的情况无关 。
X
第
81
页
§ 1.7 线性时不变系统
?线性 特性
?时不变 特性
?线性时不变系统的微分特性
?因果 性
X
第
82
页 一,线性特性
? ?tkr
???
?
?
?
?
? )()(
)()(
)()(
21
22
11 tete
trte
trte
? ? ? ? ? ? ??? tketrte
线性,
叠加性,
均匀性 (齐次性 ),
1.定义
指均匀性，叠加性。
)()( 21 trtr ?
X
第
83
页
? ? ? ?tete 2211 ?? ?
H
? ? ? ?trtr 2211 ?? ?
)()()()( 22112211 tttt rree ???? ???
线性特性
H
? ?te2 ??tr2
H
)(1 te ??tr1
X
第
84
页
先线性运算，再经系统
2,判断方法
若 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?tfHCtfHCtfCtfCH 22112211 ???
则系统 是线性系统,否则是非线性系统。 ? ??H
1C
2C
? ?tf 1
? ?tf 2
? ?tfC 11
? ?tfC 22
? ? ? ?? ?tfCtfCH 2211 ?? ??H?
? ??H? ?tf 1
? ?tf 2
? ?? ?tfH 1
? ?? ?tfH 2
1C
2C
? ?? ?tfHC 11
? ?? ?tfHC 22
? ?? ? ? ?? ?tfHCtfHC 2211 ?
? ??H
?
先经系统，再线性运算 =
X
第
85
页 例
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
0 )(5)(10d )(d ???? ttetrt tr
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有
均匀性 和 叠加性 。 可以证明,
所以 此系统为 非线性系统 。
请看下面证明过程
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性
X
第
86
页 证明均匀性
设信号 e(t)作用于系统，响应为 r(t)
)1(0 )(5)(10d )(d ???? ttAetArt tAr
原方程两端乘 A,
)2(0 )(5)(10d )(d ???????? ?? ttAetrt trA
(1),(2)两式矛盾 。 故此系统 不满足均匀性
当 Ae(t)作用于系统时,若此系统具有线性,则
X
第
87
页 证明叠加性
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
)4(0510
d
d
)3(0510
d
d
22
2
11
1
????
????
ttetr
t
tr
ttetr
t
tr
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )5(0510d d 212121 ??????? ttetetrtrtrtrt
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )6(01010d d 212121 ??????? ttetetrtrtrtrt
(5),(6)式矛盾，该系统 不具有叠加性
假设有两个输入信号 分别激励系统，则由
所给微分方程式分别有,
)()( 21 tete 及
当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
应有
)()( 21 tete ?
(3)+(4)得
X
第
88
页 二．时不变特性
认识,
?电路分析上看,
? 从方程看,
?从输入输出关系看,
元件的参数值是否随时间而变。
系数是否随时间而变。
X
第
89
页
)( te
)( 0tte ?
)( tr
)( 0ttr ?H
时不变性
)( te
t t
TO O
)( tr
t
)(
0
tte ?
O
0
t Tt ?
0
t
O
)(
0
ttr ?
0
t
X
第
90
页
先时移，再经系统 ? ??H
? ?tf ? ?? ?tfH DE
? ???ty
?
? ?ty
2,判断方法
若
则系统 是非时变系统,否则是时变系统 。
? ?? ? ? ??? ??? tytfH
? ??H
DE
?? ?tf ? ??H ? ?? ???tfH
? ???tf
先经系统，再时移 =
X
第
91
页 例题
判断下列两个系统是否为非时变系统 。
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算 。
)()()1( 0 0 ttete t ??? ?? 时移 0 )(c o s)( 011 ?????? ?? tttetr经过系统
)(c o s)()2( tete ??? ?? 经过系统
所以 此系统为时不变系统 。
? ? ? ?trtr 1211 ?
? ? ? ?? ? 0cos ?? ttetr系统 1,
? ? ? ? 0cos ??? tttetr系统 2,
0 )(c o s)( 012 0 ????? ?? tttetrt时移
X
第
92
页
)()()1( 00 ttete t ??? ?? 时移 0c o s)()( 021 ?????? ?? ttttetr经过系统
ttete c o s)()()2( ??? ?? 经过系统 0)c o s ()()( 00220 ?????? ?? tttttetrt时移
此系统为时变系统 。
)()( 2221 trtr ?
系统作用,输入信号乘 cost
? ? ? ? 0cos ??? tttetr系统 2,
X
第
93
页 三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性, 积分特性
利用线性证明, 可 推广 至高阶 。
系统
? ?te ? ?tr
系统
? ?
t
te
d
d ? ?
t
tr
d
d
系统
? ? tte
t
d?
??
? ? ttr
t
d?
??
X
第
94
页 四,因果特性
在零状态条件下,LTI系统具有因果特性,
X
第
95
页
重点研究,
确定性信号作用下的集总参数 线性时不
变系统 。
X
第
96
页
§ 1.8 系统分析方法
系统分析的过程,
建立数学模型 →用数学方法去处理 →给出物理解释
X
第
97
页
?着眼于激励与响应的关系, 而不考虑系统内部
变量情况；
输入 ?? 输出描述法,
状态变量描述法,
一,建立系统模型的两种方法
?不仅可以给出系统的响应, 还可以描述内部变量,
如电容电压 或电感电流 的变化情况 。 ? ?tv
C ??tiL
?单输入 单输出系统；
?列写一元 n 阶微分方程 。
?研究多输入 /多输出系统；
?列写 n 个一阶微分方程。
X
第
98
页 二, 数学模型的求解方法
1.时域分析
2.变换域分析
?傅里叶变换 —— FT
?拉普拉斯变换 —— LT
?
?
?
差分方程离散系统：
微分方程连续系统：经典法求解
l
● 卷积积分（或卷积和）法
?z 变换 —— ZT
?离散傅里叶变换 —— DFT
?离散沃尔什变换 —— DWT
