8.1 匹配滤波器
8.2
8.3 确知信号的最佳接收机
8.4 随相信号的最佳接收机
8.5 最佳接收机性能比较
8.6 最佳基带传输系统
第 8 章
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第 8章
在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程
中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们
总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能，
最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最
佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统，
在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条
件下，几种最佳准则也可能是等价的。
在数字通信中，最常采用的是输出信噪比最大准
则和差错概率最小准则。
8.1 匹配滤波器 （ Matched Filter）
在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面，
第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是
抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，
减小噪声对信号判决的影响。
通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种
是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均
方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳
滤波器；另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时
刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配
滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应
用。
图 8 – 1 数字信号接收等效原理图
＋ H ( ? ) 判决
s ( t )
n ( t )
r ( t ) y ( t ) t ＝ t
0
输出
S
N
( )
o
由数字信号的判决原理我们知道, 抽样判决器输
出数据正确与否, 与滤波器输出信号波形和发送信号
波形之间的相似程度无关, 也即与滤波器输出信号波
形的失真程度无关, 而只取决于抽样时刻信号的瞬时
功率与噪声平均功率之比, 即信噪比 。 信噪比越大,
错误判决的概率就越小 ；反之, 信噪比越小, 错误判
决概率就越大 。
因此, 为了使错误判决概率尽可能小, 就要选择滤波
器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器 。
当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时,
该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器 。
下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输
出信噪比达到最大 。
滤波器输入 (8.1 - 1))()()( tntstr ??
滤波器输出 (8.1 - 2))()()(
00 tntsty ??
??????? ?? deHSdeSts tjtj )()(2 1)(2 1)( 00 ?? ?????? ??
(8.1 - 3)
滤波器输出噪声的平均功率为
??????? dHPdPN inn 20 )()(2 1)(2 1 0 ?? ?????? ??
?? ?????? ?? ??????? dHndHn 2020 )(4)()(22 1
(8.1 - 4)
?
?
?
??
?
??
??
??
?
???
?
?
dH
n
deSH
N
ts
r
tj
20
2
0
2
00
0
)(
4
)()(
2
1
)(
0
在抽样时刻 t0，线性滤波器输出信号的 瞬时功率与噪声
平均功率之比 为
(8.1 - 5)
滤波器输出信噪比 ro与输入信号的频谱函数 S(ω)和滤
波器的传输函数 H(ω)有关 。 在输入信号给定的情况下,
输出信噪比 ro只与滤波器的传输函数 H(ω)有关 。 使输
出信噪比 ro达到最大的传输函数 H(ω)就是我们所要求
的最佳滤波器的传输函数 。
施瓦兹 (Schwartz)不等式
??? ????????? ? ?????????? dYdXdYX 22
2
)(
2
1)(
2
1)()(
2
1
(8.1 - 6)
式中,X(ω)和 Y(ω)都是实变量 ω的复函数。当且仅当
时式中等式才能成立。
)()( ?? ?? KYX (8.1 - 7)
)()( ?? HX ? (8.1 - 8)
0)()( tjeSY ??? ? (8.1 - 9)
令
可得
?
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
dH
n
deSH
r
tj
20
2
0
)(
4
)()(
2
1
0
(8.1 - 10)
2
)(
2
1
)(
4
)()(
4
1
0
2
20
22
2
0
n
dS
dH
n
deSdH tj ?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
????
?
?
根据帕塞瓦尔 (Parseval)定理有
EdttsdS ?? ?? ?
??
?
??
)()(2 1 22 ???
(8.1 - 11)
0
0
2
n
Er ? (8.1 - 12)因此
最大输出信噪比
0
m a x0
2
n
Er ? (8.1 - 13)
0)()( tjeKSH ??? ???
(8.1 - 14)
根据施瓦兹不等式中等号成立的条件可得
匹配滤波器
?? ??? ????? ?? ?????? ??? deeKSdeHth tjtjtj 0)(2 1)(2 1)(
? ?
? ?
?
?
??
?
??
??
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
??
???
dsdeK
dedes
K
ttj
ttjj
)(
2
1
)(
2
)(
)(
0
0
)()()( 00 ttKsdttsK ????? ? ??? ????
(8.1 - 15)
即匹配滤波器的单位冲激响应为
)()( 0 ttKsth ?? (8.1 - 16)
上式表明, 匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)是输入信
号 s(t)的镜像函数, t0为输出最大信噪比时刻 。
图 8-2 匹配滤波器单位冲激响应原理
s ( t )
O T t
h ( t )
O tt
0
?
?
?
?
???
0,0
0),()( 0
t
tttKsth (8.1 - 17)对于因果系统
00
0
0,0)(
0,0)(
ttttts
ttts
????
???
或
(8.1 - 18)因此必须有
(8.1 - 19)
上式条件说明, 对于一个物理可实现的匹配滤波
器, 其输入信号 s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻 t0
之前结束 。 也就是说, 若输入信号在 T时刻结束, 则
对物理可实现的匹配滤波器, 其输出最大信噪比时刻
t0必须在输入信号结束之后, 即 t0≥T。 对于接收机来
说, t0是时间延迟, 通常总是希望时间延迟尽可能小,
因此一般情况可取 t0=T。
???
???
dtKsts
dhtsthtsts
)()(
)()()()()(
0
0
???
????
?
?
?
??
?
??
(8.1 - 20)
输出信号
)()()()( 000 ttRKdxttxsxsKts ????? ? ???
(8.1 - 21)
令 xt ???
0
上式表明, 匹配滤波器的输出波形是输入信号 s(t)
的自相关函数的 K倍 。 因此, 匹配滤波器可以看成是
一个计算输入信号自相关函数的相关器, 其在 t0时刻
得到最大输出信噪比 romax=2E/n0。 由于输出信噪比与
常数 K无关, 所以通常取 K=1。
例 [ 8 - 1］ 设输入信号如图 8 - 3(a)所示, 试求该信号
的匹配滤波器传输函数和输出信号波形 。
频谱函数
??
?
?
? ??
?
其它,0
2
0,1)(
T
tts
解,(1) 输入信号为
???
?
???
? ???? ???
??
? ?? ???
??
22/
0
11)()(
TjT
tjtj e
jdtedtetsS
传递函数
00 11)()( 2 tj
Tj
tj ee
jeSH
???
???
???
???
?
???
? ???
冲激响应 )()(
0 ttsth ??
图 8-3 信号时间波形
( a ) ( b )
s
o
( t )
O
T t
( c )
2
T
2
T
2
T
2
3 T
s ( t )
0
T t
2
T
1
h ( t )
0
T t
1
)(th)(ts
取 t0=T,则有
Tj
Tj
eejH ???? ???
?
?
???
? ?? 11)( 2
)()( 0 ttsth ??
(2) 匹配滤波器的输出为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
?????
?
?
??
其它,0
2
3
,
2
3
2
,
2
)()()()(
000
T
tTt
T
Tt
T
t
T
dxttxsxsttRts
可见, 匹配滤波器的输出在 t=T时刻得到最大的能量
E= T/2。
8.2 最小差错概率接收准则
匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准来构
造接收机 。 在数字通信中, 人们更关心判决输出的数
据准确率, 因此, 使输出总误码率最小的最小差错概
率准则, 更适合于作为数字信号接收的准则 。
8.2.1 数字信号接收的统计模型
在数字信号的最佳接收分析中, 我们不是采用先
给出接收机模型然后分析其性能的分析方法, 而是从
数字信号接收统计模型出发, 依据某种最佳接收准
则, 推导出相应的最佳接收机结构, 然后再分析其
性能 。
图 8 – 4 数字通信系统的统计模型
X S ＋ Y
判决
规则
R
n
消息空间 信号空间 观察空间 判决空间
噪声空间
图中消息空间,信号空间、噪声空间、观察空间
及判决空间分别代表消息,发送信号、噪声、接收信
号波形及判决结果的所有可能状态的集合。各个空间
的状态用它们的统计特性来描述。
在数字通信系统中，消息是离散的状态。
消息是各种物理量，本身不能直接在数字通信系统中进
行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号 s(t)。通常
最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系
?
?
?
?
?
?
)()()( 2
2
1
1
m
m
xP
x
xP
x
xP
x
?
?
1)(
1
??
?
m
i
ixP
mxPxPxP m
1)()()(
21 ???? ?
? ?msssS,,,21 ??
1)(
1
??
?
m
i
isP
msPsPsP m
1)()()(
21 ???? ?
? ?mxxxX,,,21 ??
?
?
?
?
?
?
)()()( 2
2
1
1
m
m
sP
s
sP
s
sP
s
?
?
消息 信号
P(si)是描述信号发送概率的参数, 通常称为 先验概
率, 它是信号统计检测的 第一数据 。
信道特性是加性高斯噪声信道, 噪声空间 n是加
性高斯噪声 。 为了更全面地描述噪声的统计特性, 采
用噪声的多维联合概率密度函数 。
(8.2 - 7)),,,()(
21 knnnfnf ??
根据随机信号分析理论我们知道, 若噪声是高斯
白噪声, 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不
相关的, 同时也是统计独立的； 若噪声是带限高斯型
的, 按抽样定理对其抽样, 则它在抽样时刻上的样值
也是互不相关的, 同时也是统计独立的 。 根据随机信
号分析, 若随机信号各样值是统计独立的, 则有
k维概率密度
(8.2 - 8) )()()(),,,(
2121 kk nfnfnfnnnf ?? ?
??
?
??
? ??
2
2
2e x p2
1)(
n
i
n
i
nnf
???
? ? ??
?
??
? ?? ?
?
k
i
i
n
k
n
nnf
1
2
22
1e x p
2
1)(
???
根据帕塞瓦尔定理, 当 k很大时有
dttnnn T
k
i
i
n
)(12 1
0
2
01
2
2 ?? ?
??
(8.2 - 9)一维概率密度
(8.2 - 10)k维概率密度
(8.2 - 11)
式中 为噪声的单边功率谱密度 。
H
n
fn
2
0
??
公式 (8.2-11)的推导：
若低通信道的截止频率为 fH,理想抽样频率为 2fH，
则在 (0,T)时间内共有 2fHT个抽样值, 其平均功率为
TfknTfN H
k
i
i
H
2,2 1
1
2
0 ?? ?
?
令抽样间隔, 若, 则有
Hf
t 2 1??
? ? ??
?
??
? ??? ? T
k
n
dttnnnf
0
2
0
)(1e x p
2
1)(
??
(8.2 - 12)
Tt ???
?? ???
?
Tk
i
i dttnTtnTN 0
2
1
2
0 )(
11
??? ?????
??
Tk
i
i
H
k
i
i
n
dttnntntfnn
0
2
01
2
01
2
2 )(
1
2
1
2
1
?
将公式 (8.2-11)代入 (8.2-10)可得
信号通过信道叠加噪声后到达观察空间, 由于
在一个码元期间 T内, 信号集合中各状态 s1,s2,…,sm
中之一被发送, 因此在观察期间 T内观察波形为
由于 n(t)是均值为零, 方差为 σ2n的高斯过程, 则当出
现信号 si(t)时,y(t)的概率密度函数可表示为
),,2,1()()()( mitstnty i ???? (8.2 - 13)
(8.2 - 14)? ?
),,2,1()]()([1e x p
2
1)(
0
2
0
midttstynyf T ik
n
s i ????
?
?
?
? ??? ?
??
fsi(y)称为 似然函数, 它是信号统计检测的 第二数据 。
8.2.2
在数字通信系统中, 最直观且最合理的准则是
,最小差错概率, 准则 。 由于在传输过程中, 信号会
受到畸变和噪声的干扰, 发送信号 si(t)时不一定能判
为 ri出现, 而是判决空间的所有状态都可能出现 。 这
样将会造成错误接收, 我们期望错误接收的概率愈小
愈好 。
在噪声干扰环境中, 按照何种方法接收信号才能
使得错误概率最小？ 我们以二进制数字通信系统为例
分析其原理 。 在二进制数字通信系统中, 发送信号只
有两种状态, 假设发送信号 s1(t)和 s2(t)的先验概率分别
为 P(s1)和 P(s2),s1(t)和 s2(t)在观察时刻的取值分别为 a1
和 a2,出现 s1(t)信号时 y(t)的概率密度函数 fs1(y)为
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dtaty
nyf
T
k
n
s
2
0 1
0
])([1e x p
2
1)(
1 ??
同理
(8.2 - 15)
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dtaty
nyf
T
k
n
s
2
0 2
0
])([1e x p
2
1)(
2 ??
(8.2 - 16)
图 8- 5 fs1(y)和 fs2(y)的曲线图
f
s 1
( y ) f
s 2
( y )
ya 2
? a
a
1
y
i
若在观察时刻得到的观察值为 yi，可依概率将 yi判为 r1
或 r2。
?? ?? ??? a sa s dyyfqdyyfq )()( 21 21可以看出
即 yi属于 r1的概率大于 yi属于 r2的概率 。 因此, 依大概
率应将 yi判为 r1出现 。
??? a s dyyfq )(11
在 yi附近取一小区间 Δa
Δa内属于 r1的概率 (8.2 - 17)
??? a s dyyfq )(22Δa内属于 r2的概率 (8.2 - 18)
图 8 – 6 判决过程示意图
ya
2
y
0′
a
1
P P
f
s 1
( y ) f
s 2
( y )
r
1
r
2
根据 fs1(y)和 fs2(y)的单调性质, 在下图中 y坐标上可
以找到一个划分点 y’0。 在区间 (-∞,y’0,q1＞ q2；在区
间 (y’0,∞),q1＜ q2。 根据下图所分析的判决原理, 当
观察时刻得到的观察值 yi∈ (-∞,y’0)时, 判为 r1出现；
若观察时刻得到的观察值 yi∈ (y’0,∞)时, 判为 r2出现 。
如果发送的是 s1(t),但是观察时刻得到的观察值 yi落在
(y’0,∞)区间,被判为 r2出现, 这时将造成错误判决, 其
错误概率为
dyyfsP
y ss
)()(
0 11
2 ?
?
??
(8.2 - 19)
dyyfsP y ss )()( 0 22 1 ? ????
(8.2 - 20)同理
dyyfsPdyyfsP
sPsPsPsPP
y
sy s
sse
)()()()(
)()()()(
0
2
0
1
21
21
1221
??
?
??
?
?
??
??
(8.2 - 21)总误码率
可以看出, 系统总的误码率与先验概率, 似然函数及
划分点 y’0有关 。
在先验概率和似然函数一定的情况下, 系统总的误码率
Pe是划分点 y’0的函数 。
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s ?
0
0
????yPe
(8.2 - 22)
0)()()()( 0201 21 ??? yfsPyfsP ss
(8.2 - 23)
y0为最佳划分点，于是有
(8.2 - 24)
为了达到最小差错概率, 可以按以下规则进行判决
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(,
)(
)(
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
)(
22
1
2
11
1
2
2
1
2
1
sr
sP
sP
yf
yf
sr
sP
sP
yf
yf
s
s
s
s
即判为
即判为
(8.2 - 25)
以上判决规则称为似然比准则 。 在加性高斯白噪声条
件下, 似然比准则和最小差错概率准则是等价的 。
当 s1(t)和 s2(t)的发送概率相等时, 即 P(s1)=P(s2)时,
则有
?
?
?
?
?
)(),()(
)(),()(
22
11
21
21
sryfyf
sryfyf
ss
ss
即判为
即判为(8.2 - 26)
上式判决规则称为最大似然准则, 其物理概念是, 接
收到的波形 y中, 哪个似然函数大就判为哪个信号出
现 。
以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中,
对于 m个可能发送的信号, 在先验概率相等时的最大
似然准则为
最小差错概率准则是数字通信系统最常采用的准则,
除此之外, 贝叶斯 (Bayes)准则, 尼曼 -皮尔逊 (Neyman-
Pearson)准则, 极大极小准则等有时也被采用 。
);,,2,1;,,2,1(
),()(
jimjmi
syfyf iss
ji
???
?
??
判为(8.2 - 27)
8.3 确知信号的最佳接收机
信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设
计接收机 。 所谓最佳接收机设计是指在一组给定的假
设条件下, 利用信号检测理论给出满足某种最佳准则
接收机的数学描述和组成原理框图, 而不涉及接收机
各级的具体电路 。
图 8 – 7 接收端原理
最佳接收机＋
s ( t )
n ( t )
输出
8.3.1
?? ???? tT dttsEdttsEE 0 2220 211 )()(在 (0,T)内
(8.3 - 1)
?
?
?
?
??
时发送
时发送
)(),()(
)(),()()(
22
11
tstnts
tstntsty (8.3 - 2)合成波
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dttsty
nyf
T
k
n
s
2
0 1
0
])()([1e x p
2
1)(
1 ??
(8.3 - 3)
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dttsty
nyf
T
k
n
s
2
0 2
0
])()([1e x p
2
1)(
2 ??
(8.3 - 4)
似然函数
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s ?
(8.3 - 5)判为 s1(t)出现
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s ?
(8.3 - 6)判为 s2(t)出现
?? ??? TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
判为 s1(t)出现
?? ??? TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
判为 s2(t)出现
?
?
?
?
?
?
?
)(ln
2
)(ln
2
2
0
2
1
0
1
sP
n
U
sP
n
U (8.3 - 9)式中
在先验概率 P(s1)和 P(s2)给定的情况下,U1和 U2都为常数。
图 8 – 8 二进制确知信号最佳接收机结构
积分器×
y ( t ) s 1 ( t ) 输出
＋
积分器×
s
2
( t )
＋
U
1
U
2
比较器
这种最佳接收机的结构是按比较观察波形 y(t)与 s1(t)和
s2(t)的相关性而构成的, 因而称为 相关接收机 。 其中
相乘器与积分器构成相关器 。
图 8- 9 二进制确知信号最佳接收机简化结构
积分器×
y ( t ) s
1
( t )
输出
积分器×
s
2
( t )
比较器
如果发送信号 s1(t)和 s2(t)的出现概率相等，即 P(s1)=P(s2)，
则可得 U1=U2。于是在先验等概率情况下的二进制确知
信号最佳接收机可以简化结构。
匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数
的相关器 。
)()( tTsth ??
(8.3 - 10)
)()()( tntsty ??
(8.3 - 11)
(8.3 - 12)
t=T
?
?
?
?
???
??
T
T
T
dttsty
dttTTsty
dttThtyTu
0
0
0
0
)()(
)]([)(
)()()(
可以看出匹配滤波器在抽样时刻 t=T时的输出样值与最
佳接收机中相关器在 t=T时的输出样值相等, 因此, 可
以用匹配滤波器代替相关器构成最佳接收机 。
图 8- 10 匹配滤波器形式的最佳接收机
h
1
( t ) ＝ s
1
( T － t )
(0 ＜ t ＜ T )
y ( t )
输出
比较器
h
2
( t ) ＝ s
2
( T － t )
(0 ＜ t ＜ T )
在最小差错概率准则下, 相关器形式的最佳接收机
与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的 。 另外,
无论是相关器还是匹配滤波器形式的最佳接收机,它
们的比较器都是在 t=T时刻才作出判决, 也即在码元
结束时刻才能给出最佳判决结果 。 因此, 判决时刻
的任何偏差都将影响接收机的性能 。
本章结束
习题,8-4,8-8,8-9
8.2
8.3 确知信号的最佳接收机
8.4 随相信号的最佳接收机
8.5 最佳接收机性能比较
8.6 最佳基带传输系统
第 8 章
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第 8章
在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程
中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们
总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能，
最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最
佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统，
在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条
件下，几种最佳准则也可能是等价的。
在数字通信中，最常采用的是输出信噪比最大准
则和差错概率最小准则。
8.1 匹配滤波器 （ Matched Filter）
在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面，
第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是
抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，
减小噪声对信号判决的影响。
通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种
是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均
方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳
滤波器；另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时
刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配
滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应
用。
图 8 – 1 数字信号接收等效原理图
＋ H ( ? ) 判决
s ( t )
n ( t )
r ( t ) y ( t ) t ＝ t
0
输出
S
N
( )
o
由数字信号的判决原理我们知道, 抽样判决器输
出数据正确与否, 与滤波器输出信号波形和发送信号
波形之间的相似程度无关, 也即与滤波器输出信号波
形的失真程度无关, 而只取决于抽样时刻信号的瞬时
功率与噪声平均功率之比, 即信噪比 。 信噪比越大,
错误判决的概率就越小 ；反之, 信噪比越小, 错误判
决概率就越大 。
因此, 为了使错误判决概率尽可能小, 就要选择滤波
器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器 。
当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时,
该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器 。
下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输
出信噪比达到最大 。
滤波器输入 (8.1 - 1))()()( tntstr ??
滤波器输出 (8.1 - 2))()()(
00 tntsty ??
??????? ?? deHSdeSts tjtj )()(2 1)(2 1)( 00 ?? ?????? ??
(8.1 - 3)
滤波器输出噪声的平均功率为
??????? dHPdPN inn 20 )()(2 1)(2 1 0 ?? ?????? ??
?? ?????? ?? ??????? dHndHn 2020 )(4)()(22 1
(8.1 - 4)
?
?
?
??
?
??
??
??
?
???
?
?
dH
n
deSH
N
ts
r
tj
20
2
0
2
00
0
)(
4
)()(
2
1
)(
0
在抽样时刻 t0，线性滤波器输出信号的 瞬时功率与噪声
平均功率之比 为
(8.1 - 5)
滤波器输出信噪比 ro与输入信号的频谱函数 S(ω)和滤
波器的传输函数 H(ω)有关 。 在输入信号给定的情况下,
输出信噪比 ro只与滤波器的传输函数 H(ω)有关 。 使输
出信噪比 ro达到最大的传输函数 H(ω)就是我们所要求
的最佳滤波器的传输函数 。
施瓦兹 (Schwartz)不等式
??? ????????? ? ?????????? dYdXdYX 22
2
)(
2
1)(
2
1)()(
2
1
(8.1 - 6)
式中,X(ω)和 Y(ω)都是实变量 ω的复函数。当且仅当
时式中等式才能成立。
)()( ?? ?? KYX (8.1 - 7)
)()( ?? HX ? (8.1 - 8)
0)()( tjeSY ??? ? (8.1 - 9)
令
可得
?
?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
dH
n
deSH
r
tj
20
2
0
)(
4
)()(
2
1
0
(8.1 - 10)
2
)(
2
1
)(
4
)()(
4
1
0
2
20
22
2
0
n
dS
dH
n
deSdH tj ?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
????
?
?
根据帕塞瓦尔 (Parseval)定理有
EdttsdS ?? ?? ?
??
?
??
)()(2 1 22 ???
(8.1 - 11)
0
0
2
n
Er ? (8.1 - 12)因此
最大输出信噪比
0
m a x0
2
n
Er ? (8.1 - 13)
0)()( tjeKSH ??? ???
(8.1 - 14)
根据施瓦兹不等式中等号成立的条件可得
匹配滤波器
?? ??? ????? ?? ?????? ??? deeKSdeHth tjtjtj 0)(2 1)(2 1)(
? ?
? ?
?
?
??
?
??
??
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
??
???
dsdeK
dedes
K
ttj
ttjj
)(
2
1
)(
2
)(
)(
0
0
)()()( 00 ttKsdttsK ????? ? ??? ????
(8.1 - 15)
即匹配滤波器的单位冲激响应为
)()( 0 ttKsth ?? (8.1 - 16)
上式表明, 匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)是输入信
号 s(t)的镜像函数, t0为输出最大信噪比时刻 。
图 8-2 匹配滤波器单位冲激响应原理
s ( t )
O T t
h ( t )
O tt
0
?
?
?
?
???
0,0
0),()( 0
t
tttKsth (8.1 - 17)对于因果系统
00
0
0,0)(
0,0)(
ttttts
ttts
????
???
或
(8.1 - 18)因此必须有
(8.1 - 19)
上式条件说明, 对于一个物理可实现的匹配滤波
器, 其输入信号 s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻 t0
之前结束 。 也就是说, 若输入信号在 T时刻结束, 则
对物理可实现的匹配滤波器, 其输出最大信噪比时刻
t0必须在输入信号结束之后, 即 t0≥T。 对于接收机来
说, t0是时间延迟, 通常总是希望时间延迟尽可能小,
因此一般情况可取 t0=T。
???
???
dtKsts
dhtsthtsts
)()(
)()()()()(
0
0
???
????
?
?
?
??
?
??
(8.1 - 20)
输出信号
)()()()( 000 ttRKdxttxsxsKts ????? ? ???
(8.1 - 21)
令 xt ???
0
上式表明, 匹配滤波器的输出波形是输入信号 s(t)
的自相关函数的 K倍 。 因此, 匹配滤波器可以看成是
一个计算输入信号自相关函数的相关器, 其在 t0时刻
得到最大输出信噪比 romax=2E/n0。 由于输出信噪比与
常数 K无关, 所以通常取 K=1。
例 [ 8 - 1］ 设输入信号如图 8 - 3(a)所示, 试求该信号
的匹配滤波器传输函数和输出信号波形 。
频谱函数
??
?
?
? ??
?
其它,0
2
0,1)(
T
tts
解,(1) 输入信号为
???
?
???
? ???? ???
??
? ?? ???
??
22/
0
11)()(
TjT
tjtj e
jdtedtetsS
传递函数
00 11)()( 2 tj
Tj
tj ee
jeSH
???
???
???
???
?
???
? ???
冲激响应 )()(
0 ttsth ??
图 8-3 信号时间波形
( a ) ( b )
s
o
( t )
O
T t
( c )
2
T
2
T
2
T
2
3 T
s ( t )
0
T t
2
T
1
h ( t )
0
T t
1
)(th)(ts
取 t0=T,则有
Tj
Tj
eejH ???? ???
?
?
???
? ?? 11)( 2
)()( 0 ttsth ??
(2) 匹配滤波器的输出为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
?????
?
?
??
其它,0
2
3
,
2
3
2
,
2
)()()()(
000
T
tTt
T
Tt
T
t
T
dxttxsxsttRts
可见, 匹配滤波器的输出在 t=T时刻得到最大的能量
E= T/2。
8.2 最小差错概率接收准则
匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准来构
造接收机 。 在数字通信中, 人们更关心判决输出的数
据准确率, 因此, 使输出总误码率最小的最小差错概
率准则, 更适合于作为数字信号接收的准则 。
8.2.1 数字信号接收的统计模型
在数字信号的最佳接收分析中, 我们不是采用先
给出接收机模型然后分析其性能的分析方法, 而是从
数字信号接收统计模型出发, 依据某种最佳接收准
则, 推导出相应的最佳接收机结构, 然后再分析其
性能 。
图 8 – 4 数字通信系统的统计模型
X S ＋ Y
判决
规则
R
n
消息空间 信号空间 观察空间 判决空间
噪声空间
图中消息空间,信号空间、噪声空间、观察空间
及判决空间分别代表消息,发送信号、噪声、接收信
号波形及判决结果的所有可能状态的集合。各个空间
的状态用它们的统计特性来描述。
在数字通信系统中，消息是离散的状态。
消息是各种物理量，本身不能直接在数字通信系统中进
行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号 s(t)。通常
最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系
?
?
?
?
?
?
)()()( 2
2
1
1
m
m
xP
x
xP
x
xP
x
?
?
1)(
1
??
?
m
i
ixP
mxPxPxP m
1)()()(
21 ???? ?
? ?msssS,,,21 ??
1)(
1
??
?
m
i
isP
msPsPsP m
1)()()(
21 ???? ?
? ?mxxxX,,,21 ??
?
?
?
?
?
?
)()()( 2
2
1
1
m
m
sP
s
sP
s
sP
s
?
?
消息 信号
P(si)是描述信号发送概率的参数, 通常称为 先验概
率, 它是信号统计检测的 第一数据 。
信道特性是加性高斯噪声信道, 噪声空间 n是加
性高斯噪声 。 为了更全面地描述噪声的统计特性, 采
用噪声的多维联合概率密度函数 。
(8.2 - 7)),,,()(
21 knnnfnf ??
根据随机信号分析理论我们知道, 若噪声是高斯
白噪声, 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不
相关的, 同时也是统计独立的； 若噪声是带限高斯型
的, 按抽样定理对其抽样, 则它在抽样时刻上的样值
也是互不相关的, 同时也是统计独立的 。 根据随机信
号分析, 若随机信号各样值是统计独立的, 则有
k维概率密度
(8.2 - 8) )()()(),,,(
2121 kk nfnfnfnnnf ?? ?
??
?
??
? ??
2
2
2e x p2
1)(
n
i
n
i
nnf
???
? ? ??
?
??
? ?? ?
?
k
i
i
n
k
n
nnf
1
2
22
1e x p
2
1)(
???
根据帕塞瓦尔定理, 当 k很大时有
dttnnn T
k
i
i
n
)(12 1
0
2
01
2
2 ?? ?
??
(8.2 - 9)一维概率密度
(8.2 - 10)k维概率密度
(8.2 - 11)
式中 为噪声的单边功率谱密度 。
H
n
fn
2
0
??
公式 (8.2-11)的推导：
若低通信道的截止频率为 fH,理想抽样频率为 2fH，
则在 (0,T)时间内共有 2fHT个抽样值, 其平均功率为
TfknTfN H
k
i
i
H
2,2 1
1
2
0 ?? ?
?
令抽样间隔, 若, 则有
Hf
t 2 1??
? ? ??
?
??
? ??? ? T
k
n
dttnnnf
0
2
0
)(1e x p
2
1)(
??
(8.2 - 12)
Tt ???
?? ???
?
Tk
i
i dttnTtnTN 0
2
1
2
0 )(
11
??? ?????
??
Tk
i
i
H
k
i
i
n
dttnntntfnn
0
2
01
2
01
2
2 )(
1
2
1
2
1
?
将公式 (8.2-11)代入 (8.2-10)可得
信号通过信道叠加噪声后到达观察空间, 由于
在一个码元期间 T内, 信号集合中各状态 s1,s2,…,sm
中之一被发送, 因此在观察期间 T内观察波形为
由于 n(t)是均值为零, 方差为 σ2n的高斯过程, 则当出
现信号 si(t)时,y(t)的概率密度函数可表示为
),,2,1()()()( mitstnty i ???? (8.2 - 13)
(8.2 - 14)? ?
),,2,1()]()([1e x p
2
1)(
0
2
0
midttstynyf T ik
n
s i ????
?
?
?
? ??? ?
??
fsi(y)称为 似然函数, 它是信号统计检测的 第二数据 。
8.2.2
在数字通信系统中, 最直观且最合理的准则是
,最小差错概率, 准则 。 由于在传输过程中, 信号会
受到畸变和噪声的干扰, 发送信号 si(t)时不一定能判
为 ri出现, 而是判决空间的所有状态都可能出现 。 这
样将会造成错误接收, 我们期望错误接收的概率愈小
愈好 。
在噪声干扰环境中, 按照何种方法接收信号才能
使得错误概率最小？ 我们以二进制数字通信系统为例
分析其原理 。 在二进制数字通信系统中, 发送信号只
有两种状态, 假设发送信号 s1(t)和 s2(t)的先验概率分别
为 P(s1)和 P(s2),s1(t)和 s2(t)在观察时刻的取值分别为 a1
和 a2,出现 s1(t)信号时 y(t)的概率密度函数 fs1(y)为
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dtaty
nyf
T
k
n
s
2
0 1
0
])([1e x p
2
1)(
1 ??
同理
(8.2 - 15)
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dtaty
nyf
T
k
n
s
2
0 2
0
])([1e x p
2
1)(
2 ??
(8.2 - 16)
图 8- 5 fs1(y)和 fs2(y)的曲线图
f
s 1
( y ) f
s 2
( y )
ya 2
? a
a
1
y
i
若在观察时刻得到的观察值为 yi，可依概率将 yi判为 r1
或 r2。
?? ?? ??? a sa s dyyfqdyyfq )()( 21 21可以看出
即 yi属于 r1的概率大于 yi属于 r2的概率 。 因此, 依大概
率应将 yi判为 r1出现 。
??? a s dyyfq )(11
在 yi附近取一小区间 Δa
Δa内属于 r1的概率 (8.2 - 17)
??? a s dyyfq )(22Δa内属于 r2的概率 (8.2 - 18)
图 8 – 6 判决过程示意图
ya
2
y
0′
a
1
P P
f
s 1
( y ) f
s 2
( y )
r
1
r
2
根据 fs1(y)和 fs2(y)的单调性质, 在下图中 y坐标上可
以找到一个划分点 y’0。 在区间 (-∞,y’0,q1＞ q2；在区
间 (y’0,∞),q1＜ q2。 根据下图所分析的判决原理, 当
观察时刻得到的观察值 yi∈ (-∞,y’0)时, 判为 r1出现；
若观察时刻得到的观察值 yi∈ (y’0,∞)时, 判为 r2出现 。
如果发送的是 s1(t),但是观察时刻得到的观察值 yi落在
(y’0,∞)区间,被判为 r2出现, 这时将造成错误判决, 其
错误概率为
dyyfsP
y ss
)()(
0 11
2 ?
?
??
(8.2 - 19)
dyyfsP y ss )()( 0 22 1 ? ????
(8.2 - 20)同理
dyyfsPdyyfsP
sPsPsPsPP
y
sy s
sse
)()()()(
)()()()(
0
2
0
1
21
21
1221
??
?
??
?
?
??
??
(8.2 - 21)总误码率
可以看出, 系统总的误码率与先验概率, 似然函数及
划分点 y’0有关 。
在先验概率和似然函数一定的情况下, 系统总的误码率
Pe是划分点 y’0的函数 。
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s ?
0
0
????yPe
(8.2 - 22)
0)()()()( 0201 21 ??? yfsPyfsP ss
(8.2 - 23)
y0为最佳划分点，于是有
(8.2 - 24)
为了达到最小差错概率, 可以按以下规则进行判决
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(,
)(
)(
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
)(
22
1
2
11
1
2
2
1
2
1
sr
sP
sP
yf
yf
sr
sP
sP
yf
yf
s
s
s
s
即判为
即判为
(8.2 - 25)
以上判决规则称为似然比准则 。 在加性高斯白噪声条
件下, 似然比准则和最小差错概率准则是等价的 。
当 s1(t)和 s2(t)的发送概率相等时, 即 P(s1)=P(s2)时,
则有
?
?
?
?
?
)(),()(
)(),()(
22
11
21
21
sryfyf
sryfyf
ss
ss
即判为
即判为(8.2 - 26)
上式判决规则称为最大似然准则, 其物理概念是, 接
收到的波形 y中, 哪个似然函数大就判为哪个信号出
现 。
以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中,
对于 m个可能发送的信号, 在先验概率相等时的最大
似然准则为
最小差错概率准则是数字通信系统最常采用的准则,
除此之外, 贝叶斯 (Bayes)准则, 尼曼 -皮尔逊 (Neyman-
Pearson)准则, 极大极小准则等有时也被采用 。
);,,2,1;,,2,1(
),()(
jimjmi
syfyf iss
ji
???
?
??
判为(8.2 - 27)
8.3 确知信号的最佳接收机
信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设
计接收机 。 所谓最佳接收机设计是指在一组给定的假
设条件下, 利用信号检测理论给出满足某种最佳准则
接收机的数学描述和组成原理框图, 而不涉及接收机
各级的具体电路 。
图 8 – 7 接收端原理
最佳接收机＋
s ( t )
n ( t )
输出
8.3.1
?? ???? tT dttsEdttsEE 0 2220 211 )()(在 (0,T)内
(8.3 - 1)
?
?
?
?
??
时发送
时发送
)(),()(
)(),()()(
22
11
tstnts
tstntsty (8.3 - 2)合成波
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dttsty
nyf
T
k
n
s
2
0 1
0
])()([1e x p
2
1)(
1 ??
(8.3 - 3)
? ? ??
?
?
?
? ??? ? dttsty
nyf
T
k
n
s
2
0 2
0
])()([1e x p
2
1)(
2 ??
(8.3 - 4)
似然函数
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s ?
(8.3 - 5)判为 s1(t)出现
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s ?
(8.3 - 6)判为 s2(t)出现
?? ??? TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
判为 s1(t)出现
?? ??? TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
判为 s2(t)出现
?
?
?
?
?
?
?
)(ln
2
)(ln
2
2
0
2
1
0
1
sP
n
U
sP
n
U (8.3 - 9)式中
在先验概率 P(s1)和 P(s2)给定的情况下,U1和 U2都为常数。
图 8 – 8 二进制确知信号最佳接收机结构
积分器×
y ( t ) s 1 ( t ) 输出
＋
积分器×
s
2
( t )
＋
U
1
U
2
比较器
这种最佳接收机的结构是按比较观察波形 y(t)与 s1(t)和
s2(t)的相关性而构成的, 因而称为 相关接收机 。 其中
相乘器与积分器构成相关器 。
图 8- 9 二进制确知信号最佳接收机简化结构
积分器×
y ( t ) s
1
( t )
输出
积分器×
s
2
( t )
比较器
如果发送信号 s1(t)和 s2(t)的出现概率相等，即 P(s1)=P(s2)，
则可得 U1=U2。于是在先验等概率情况下的二进制确知
信号最佳接收机可以简化结构。
匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数
的相关器 。
)()( tTsth ??
(8.3 - 10)
)()()( tntsty ??
(8.3 - 11)
(8.3 - 12)
t=T
?
?
?
?
???
??
T
T
T
dttsty
dttTTsty
dttThtyTu
0
0
0
0
)()(
)]([)(
)()()(
可以看出匹配滤波器在抽样时刻 t=T时的输出样值与最
佳接收机中相关器在 t=T时的输出样值相等, 因此, 可
以用匹配滤波器代替相关器构成最佳接收机 。
图 8- 10 匹配滤波器形式的最佳接收机
h
1
( t ) ＝ s
1
( T － t )
(0 ＜ t ＜ T )
y ( t )
输出
比较器
h
2
( t ) ＝ s
2
( T － t )
(0 ＜ t ＜ T )
在最小差错概率准则下, 相关器形式的最佳接收机
与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的 。 另外,
无论是相关器还是匹配滤波器形式的最佳接收机,它
们的比较器都是在 t=T时刻才作出判决, 也即在码元
结束时刻才能给出最佳判决结果 。 因此, 判决时刻
的任何偏差都将影响接收机的性能 。
本章结束
习题,8-4,8-8,8-9
