行列式的性质性质 1,行列式与其转置行列式的值相等,
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
复习性质 2,互换行列式的两行 (列 ),行列式变号,
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
jnjj
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
性质 3:
推论,如果行列式有 两行 (列 )完全相同,则此行列式 为 零,
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
行列式任一行的公因子可提到行列式之外,
或用常数 k 乘行列式任意一行的诸元素,等于用 k
乘这个行列式,
性质 4:行列式中如果有两行 (列 )元素成比例,
则此行列式等于零,
性质 5:
nnnn
ininiiii
n
aaa
bababa
aaa
21
2211
11211
nnnn
n
aa
aaa
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
1ia 2ia ina
1ib 2ib inb注,性质 3,性质 5又称为线性性质性质 6,在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数
,k再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变,
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
injnijij
inii
n
aaa
kaakaakaa
aaa
aaa
21
2211
21
11211
重要公式
TAAnA?,1 阶方阵是
A
AAnA 1,,2 1可逆阶方阵是
阶方阵是 nAAkkA n?3
阶方阵是 nBABABA
BAAB
,
4
ji
jiA
Aa
n
k
jkik
0
:5
1
代数余子式的重要性质
nnmm
mn
BA
BA
A
B
BA
B
A
,
1
0
0
0
*
6
BAAB
BABAABnBA
但一般则阶方阵是,,7
行列式计算 (利用性质 )
方法,(1)化上 (下 )三角形法
(2)降阶法
(3)递归法例题例 1,计算
2421
1642
1411
2111
D
解,法 1 (化上三角形法 )
计算方法,化上 (下 )三角形法 ; 降阶法,
0510
3420
3500
2111
14
13
12
2
rr
rr
rr
D 42 rr?
3500
3420
0510
2111
23 2rr?
3500
31400
0510
2111
34 14
5 rr?
14
57
000
31400
1510
2111
57?
法 2(降阶法 )
14
13
12
2
rr
rr
rr
D
0510
3420
3500
2111
1
4
1
1 j
j
j Aa?
051
342
350
可直接用对角线法则计算三阶行列式例 2 计算
xaaa
axaa
aaxa
aaax
D
n
先观察再计算解,
nD
n
i
irr
2
1
xaa
aaa
axa
anxanxanx
)1()1()1(
anxr )1(1
xaa
aaa
axa
111
anx )1(
或 1cci?
axa
axa
axa
anx
00
00
00
0001
)1(
1)1( naxanx
ax
ax
ax
000
000
000
1111
1arrianx )1(
矩阵
1.运算,+,-,数乘,乘法等,注意能运算的条件,
矩阵乘法定义,
smijaA nsijbB
规定,A 与 B 的乘积是一个 nm? 阵
nmijcC )(
sjisjijiij bababac2211
kj
s
k
ik ba?
1
njmi,,1;,,1
记作,ABC?
2.注意,
(1)矩阵乘法不满足交换律,
但不是说对任意两个矩阵 BA,一定有 BAAB?
例
20
02A
dc
ba
B
dc
baBAAB
22
22
(2)两个 非零 矩阵的乘积可能是 零 矩阵,
(有别于数的乘法 )
例
11
11A
11
11B
而若
,0,0 BA,0?AB
称 A 是 B 的左零因子,
称 B 是 A 的右零因子,
(3)一个非零矩阵如有左 (右 )零因子,其左 (右 )零因子不唯一,
11
11A
11
11B
22
22C
CB? 0,0 ACAB
结论,矩阵乘法不适合消去律,
ACAB?
不能推出 CB?0?A
42
21A
12
31B
21
17C
1010
55AB AC?
0?A CB?
满足运算律 (乘法有意义的前提下 )
结合律,
数乘结合律,
左分配律,
右分配律,
)()( BCACAB?
)()()( kBABkAABk
ACABCBA )(
CABAACB )(
又例
3.特殊矩阵,单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上
(下 )三角矩阵
nn
n
E
1
1
1
nn
n
k
k
k
kE
n
n
a
a
a
aaad i a g
2
1
21 ),,(
nnnnnnn
n
n
aa
aa
a
L
a
aa
aaa
U
1
2221
11
222
11211
4.重要矩阵及运算性质转置矩阵可逆矩阵正交矩阵满足运算规律,
TTA1 A TBA2 TT BA?
矩阵的转置
TkA3 TkA是数k
TAB4 TT AB?
TkAAA?21 TTTk AAA 12
对称矩阵,
反对称矩阵,
njiaaA jiijnn?,2,1, 若
njiaaA jiijnn?,2,1, 若
083
801
310
例
AAA Tnn 是对称矩阵
AAA Tnn 是反对称矩阵可逆矩阵的逆矩阵定义,唯一性,充要条件及推论,可逆矩阵的性质定义,
,
),(,A
,
,A,
的逆矩阵是并称可逆简称为可逆矩阵则称使得如果存在一个矩阵对于矩阵
AB
A
EBAAB
B
1,, AB即记作 1?A
.,:1 的逆矩阵是唯一的则是可逆矩阵若定理 AA
.0,:2?AA 则是可逆矩阵若定理
A
AAAA *1,,0:3且可逆若定理
奇异矩阵非奇异矩阵
.0 AA 可逆
.,,,1 ABEBAEAB 且则若推论例
.,?,求其逆矩阵若可逆是否可逆下列矩阵 BA
101
111
123
A
3
2
1
b
b
b
B
101
111
123
A
解,
02
101
111
123
A
10 111 11 11
111 21
01
111 31
10 121 1221A 11
131 22
22
A
01
231 32
23
A
11 121 1331A 11
131 23
32
A
11
231 33
33
A
11A 12
A 13A
A
AA *1
121
220
121
2
1
,,0321 可逆时 BbbbB
3
2
1
b
b
b
B
3
2
1
1
1
1
1
b
b
b
B
例
,021122211
2221
1211
aaaaA
aa
aa
A 1?A求
1121
12221 1
aa
aa
A
A
例
.,
4,:,01032
并求它们的逆矩阵都可逆证明设方阵满足方程 EAAEAA
EEAA
EEAAEAA
)]3(
10
1
[
10)3(1032
EEAEA
EEAEA
)](
6
1
)[4(
6))(4(
正交矩阵及其性质定义,,,,为正交矩阵则称如果设 AEAAA T
nn
定理,
的一组标准正交基的列向量组为阶正交矩阵为 nRAnA?
定理,则阶正交矩阵皆是设,,nBA
111 或A TAA 12
,3 1 也是正交矩阵即?AA T,4 也是正交矩阵AB
5.矩阵的初等变换及性质掌握初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵一般结论,
,A
,A
kikiAE
kiAkiE
列乘的第表示行乘的第表示
,A
,A
列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示
jkikijAE
ikjAkijE
,A,
,A,
列对换列与第的第表示行对换行与第的第表示
jijiAE
jiAjiE
初等矩阵是可逆的
E
k
iEkiE
1 EkijEkijE
EjiEjiE?,,
k
iEkiE 11
kijEkijE 1jiEjiE,,1
结论,可逆矩阵可以 表示为 若干个初等矩阵的 乘积,
1, AEEA,初等行变换
1A
E
E
A 初等列变换例 3
111
211
120
A
阵A 的逆矩阵用初等行变换求可逆矩
100111
010211
001120
,EA
100111
001120
010211
21 rr
110100
001120
010211
13 rr
110100
111020
010211
32 rr
110100
2
1
2
1
2
1
010
010211
2
1
2r
110
2
1
2
1
2
1
2
5
2
3
2
1
1
A
110100
2
1
2
1
2
1
010
2
5
2
3
2
1
001
321
2 rrr
向量概念,线性组合,线性相关,线性无关,极大无关组,秩,向量组的等价,内积等有关线性相关,无关,秩的重要定理,结论,
结论,
1.m个 n维向量必线性相关,(m>n)特别,m=n+1
2,n个 n维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零,
3.n维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n个向量,
4 n维向量空间 n个向量线性无关,则任一向量可由这 n个线性无关向量表示,且表法唯一,
定理 (1)若 向量组 A,线性相关,则向量组 B,也线性相关,反之,若向量组
B线性无关,向量组 A也线性无关,
m,,,21?
121,,,,?mm
若部分相关，则整体相关；
若整体无关,则部分无关
(2)设
mj
a
a
a
a
a
jr
rj
j
j
rj
j
j
,,2,1,,
,1
1
1
若 向量组 A,线性无关,则向量组 B,
也线性无关,反之,若向量组
B线性相关,向量组 A也线性相关,
m,,,21?
m,,,21?
若 r 维向量线性无关，则在每个向量上添加
m个分量所得到的新向量也线性无关,
等价的说法：
m 个分量所得到的新向量也线性相关,
若 r 维向量线性相关，则在每个向量上去掉定义,
.
,1r2;,,,1
,,,A,
0
21:0
21
的一个极大线性无关组为那么称向量线性相关个任意线性无关满足个向量中有如果在对向量组
AA
A
rA
r
r
.的秩称为向量组数 Ar
注意,只含零向量的向量组没有极大无关组,
规定,它的秩为零,
极大线性无关组
..1 本身是一个极大无关组一个向量组线性无关?
.,
,,,,:.2
0
210
且表示法唯一线性表示中任一向量都可由组则向量的一个极大无关组向量组
AA
AA r
问题,极大无关组是否唯一?
定理,向量组与它的任意一个极大无关组等价,
结论,
推论 1:等价的无关向量组包含相同个数的向量,
定理,向量组的任意两个极大无关组相互等价,从而所含向量个数相同,
.等价向量组秩相等向量组的秩的求法介绍的简便而有效的方法,
(1)以向量组 中各向量作为列向量,
构成矩阵 A;
s,,,21?
(2)对 A施行初等行变换化为阶梯形矩阵 B,B的非零行数即矩阵 A的秩,亦即原向量组的秩 ;
(3)求出 B的列向量组的极大无关组 ;
(4)A中与 B的列向量组的极大无关组相对应的部分列向量组,即为向量组的极大无关组
s,,,21?
3
），，，，（），，，，，（
），，，，（），，，，，（
求一个极大无关组与秩
1401131302
1512012211
43
21
2110
2550
2110
0220
1201
1311
4152
0312
1021
1201
)( 4321 TTTTA解：设
4000
12000
4000
2110
1201
2110
2550
0220
2110
1201
3
0000
0000
1000
2110
1201
4321
,，，秩
B
.,,
.,,,4,2,1
421
421
一个极大无关组为线性无关中对应列线性无关的第
AB?
秩的性质
1.(推论 3.4.4)等价矩阵有相同的秩,
2,(推论 3.4.5)对任意矩阵 A,
3.,(推论 3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘,
其秩不变,
TArAr?
,,2
606
320
401
231
72
521
:
aABR
BaA
求已知
BrArABr
BrArBAr
,m i n2
1.4
036
006
320
301
B B可逆,r(B)=3
又 r(AB)=2,r(A)=2,即 0?A
矩阵的秩与行列式的关系
.)(
0:
向量线性无关列个行的可逆的秩等于阶方阵定理
nA
AAnAn
.)(
0:
向量线性相关列个行的不可逆的秩小于阶方阵推论
nA
AAnAn
例向量组:已知
321,,
线性无关,
133322211,,
.,,,321 线性无关试证
证明,用定义,
0332211 kkk
设
0)()()( 133322211 kkk
0)()()( 323212131 kkkkkk
,,,321 线性无关
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
02
110
011
101
只有零解,0
321 kkk
.,,321 线性无关所以,
线性方程组齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质解的结构非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构二,齐次线性方程组解的理论和解的结构
)1(0 11 mnnm xA齐次线性方程组对 (1)我们关心何时有非零解,
nm
nm分两种情况对 1
必有非零解,
定理 1给出结论,
nAR
xA mnnm
有非零解齐次线性方程组定理 11 0 1
nAR
xA mnnm
只有零解齐次线性方程组等价命题 11 0
解的理论
,,0,
0 11
可逆即只有零解齐次线性方程组
AAnAR
xA nnnn
特别,
02211 nnxxx
10 xA nm
0
2
1
21
n
n
x
x
x
解向量,
解的性质,
,1
,1,1
21
21
的解也是则的解是若性质
x
xx
解的结构
,1
,12
1
1
的解也是则的解是若性质
kx
Rkx
解空间,
.,解向量的集合S
.,"","" 是向量空间封闭数乘对 SS?
.空间为齐次线性方程组的解称 S
定义,基础解系
.0,,
,,,0,)2
,,,)1
,0,,
1
1
1
1
的一个基础解系为则称线性表示可由线性无关如果满足的解向量是设
Ax
A
Ax
r
r
r
r
.
,0,,:
个解向量且每个基础解系中含的基础解系存在则定理
rn
AxnrArA nm
bARAR
bxA mnnm
,
3 11
有解非齐次线性方程组定理
.,,
.,,
有无穷多解时唯一解时有解
nbARAR
nbARAR
对 (2)我们关心何时有解,及何时有唯一解,无穷多解,
非齐次线性方程组 )2(11 mnnm bxA
解的理论解的结构
.0,)2(,:3 2121 的解是则的解是性质 Ax
*
,)2(:4,3,34
x
则其通解为有解若定理性质
.0)2(.)2(* 的通解对应的为的一个特解为?Ax
.0,,,,
,,,
,
21
21
2211
的一个基础解系是为任何实数
Ax
kkk
kkk
rn
rn
rnrn
例
321
321
321
1
31
01
xxx
xxx
xxx
,)3(;)2(;)1(,
求其通解有无穷多解无解有唯一解此方程组取何值时问?
解
111
3111
0111
,bA增广矩阵
0111
3111
111
31
rr
120
30
111
13
12
1 rr
rr
31300
30
111
23 rr
考虑 1.有无解
2.有解 (唯一解还是无穷多解 )
31031
3003
或得或得看讨论,
,,2,,33
.,2,,1,02
.,3,,301
无穷多解无解唯一解时且
bArAr
bArAr
bArAr
0000
2110
1101
0000
6330
3211
,bA
特解,令
2,1
,0
21
3
xx
x
则
T0,2,1*
Ax=0的基础解系
T1,1,1
1
通解
Rccx 1*
方法 2由本题的特点,方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,
利用克莱姆法则
03
111
111
111
3
111
111
111
2 令
D
30 或
.
,0,30
解由克莱姆法则知有唯一时且当 D
矛盾方程组变为
0
3
0
,0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.)(
02
32
32
3
321
321
321
解之即可不含参变量方程组变为
xxx
xxx
xxx
矩阵的特征值与特征向量及二次型概念,特征值,特征向量特征值的性质,
方阵的特征值与特征向量
(一 )特征值与特征向量的定义和计算定义 1:,阶方阵是设 nA
.
.,
,
的特征向量的对应于特征值称为方阵非零列向量的一个特征值是方阵则称成立使维非零列向量和若数
A
xA
xAx
xn
注,0.1?x
..2 是方阵A
特征方程,
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
EAf
求特征值
0 EAf
求特征向量 xAx 0 xEA?
即求齐次线性方程组 0 xEA? 的非零解,
小结,
(二 )特征值和特征向量的性质定理 1:
)0,,(
.
,,
221121
2211
21
pkpkkk
Apkpk
App
且为任意常数的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是设
定理 2:
nij naAn,,,21?个特征值为的阶方阵设?
n
i
ii
n
i
i a
11
)1?则
A
n
i
i
1
)2?
性质 1(关于特征值的 )
则的特征向量的对应于是的特征值是若,, AxA
).()1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
).()2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)3( 11 的特征值是可逆时 AA?
.
,,,,11
的特征向量分别对应于仍是矩阵且 mm kAAkAx
性质 3,的特征值相同和矩阵 TAA
性质 2 一个特征向量不能属于不同的特征值 (即不同的特征值所对应的特征向量不同 ) (对于同一个矩阵 )
例 2
,,,
,2),(
1*
2
的特征值求可逆若的特征值求的特征值为设
AEAA
EAAxAxA
相似矩阵及性质定义,
BA
BAAB
BAPP
PnBA
~:
.,
,,,
1
记作相似与或称矩阵的相似矩阵是则称使若存在可逆矩阵阶矩阵都是设
相似是等价关系,
1.自反性
2.对称性
3.传递性性质 1,相似矩阵有
1.相同的行列式,
2.相同的特征多项式和相同特征值,
3.有相同的迹,
4.有相同的秩,
(二 )矩阵可对角化的条件
个线性无关的特征向量有与对角阵相似可对角化阶矩阵定理定理
nA
An?)(
.1.3.51
定理 1.实对称矩阵 A的任一个特征值都是实数,
二,实对称矩阵的特征值和特征向量
P146定理 5.4.1
推论,实对称矩阵 A的特征向量均为实向量,
定理 2.实对称矩阵 A的对应于不同特征值的特征向量是正交的,
定理 3.(实对称矩阵必可对角化 )
.
,
,,
1
对角矩阵个特征值为对角元素的的是以使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
nA
ATT
TnA
本定理证明不要求实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤,(P151)
;A
,,,,
1
21
的全部不同的特征值即为全部不同的根的或的特征多项式求出
s
AEEAA
;,,,
00
,,,2,12
21
i
irii
ii
i
xAExEA
si
求出它的一个基础解系或解齐次线性方程组对每个特征值
;
,,,,
,,
,,3
21
1
的一组线性无关的量是属于特征值组得到一个正交单位向量单位化正交化将
i
irii
iri
i
i
.
,
.
,,,,,,,,,,,,
,,,,4
1
212222111211
21
21
的全部特征值元素即为其主对角线上的为对角矩阵亦即使得即为所求之正交矩阵作为列向量构成矩阵的线性无关特征向量将全部不同的特征值
A
ATT
T
s
srssrr
s
二次型的定义二次型的标准形及化二次型为标准形的方法二次型正定的充要条件实对称矩阵正定的充要条件
(二 ).二次型的定义及矩阵表示称为二次型函数的二次齐次多项式个变量含有定义
2
1,1
2
11,1
223223
2
222
1131132112
2
11121
21
2
22
222),,,(
)(,,:
nnn
nnnnnnn
nn
nnn
n
xa
xxaxa
xxaxxaxa
xxaxxaxxaxaxxxf
xxxn
注,
.,
,,.1
为实二次型称为实数时当为复二次型称为复数时当
fa
fa
ij
ij
2.讨论的主要问题,寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项,
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxf
2
1
21
22221
11211
21
),,,(
.3 矩阵表示
2
4
2
3423121
2
14321
22
5422),,,()2(
43),,()1(
1
xxxxxxxxxxxxxf
yzxyzxzyxf
形式把下列二次型写成矩阵例
z
y
x
zyxf
3
2
1
0
2
1
02
021
1
解,
4
3
2
1
4321
5020
0101
200
2
1
01
2
1
2
2
x
x
x
x
xxxxf
例 2 求对称矩阵
653
552
321
A
所对应的二次型
3231
21
2
3
2
2
2
1321
106
465,,:
xxxx
xxxxxxxxf
解矩阵的合同设线性变换 (非退化的 )
Cyx?
ij
T
n
T
n
cCnC
yyyyxxxx
阶可逆矩阵为
,,,,,,,2121
yACCyCyACyf
Axxf
TTT
T
则中代入,
CACCACACC TTTTT
因为是对角矩阵所以 CAC T
标准化问题变成寻找一个合适的可逆矩阵
.,是对角矩阵使 ACCC T
定义,设 A,B是数域 P上两个 n阶对称矩阵,若存在 P上 n阶可逆矩阵 C,使
ACCB T?
则称 A与 B是合同的,记作 BA~
合同是等价关系
(自反性,对称性,传递性 )
二次型的标准形标准形的定义,如果二次型
Axxf T? 0, CCyx
22
22
2
11 nn
TTT ydydydA C yCyByy
.的标准形为则称 AxxByy TT
二次型的标准形正交变换法
.),,2,1(
,,
)(:
22
22
2
11
的特征值是其中使总存在正交变换元二次型对任一个主轴定理定理
Ani
yyyyAPPyAxxf
PyxAxxfn
i
nn
TTT
T
化为标准形将求正交变换例
323121 222
,2,5.6
xxxxxxf
Tyx
..5
.,.4
.
.3
..2
..1:
写出相应标准形写出正交变换取正交阵特征向量准正交的每个特征值对应的标求出的特征值求出对应的矩阵写出步骤
P
A
A
Af
解,
011
101
110
A
21
11
11
11
2
AE
2,1 321的特征值为A
.
,0,12,1
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
0
1
,
0
1
1
21
正交化
1
2
1
2
1
,
,
,
1
11
12
22
11
在将 单位化为
21,
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21
.
,02,23
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
1
1
3?
单位化为
3
1
3
1
3
1
3
令
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
,,
321
T
则 T是正交矩阵,且
2
1
1
1 ATTATT T
于是,经过正交变换 X=TY
原二次型化为标准形
2
3
2
2
2
1 2 yyyf
正惯性指数,标准形中正系数的个数负惯性指数,标准形中负系数的个数,
.
),,1(),,1(
)0(
)0(
,
,)(,
:
22
22
2
11
22
22
2
11
中正数的个数相等中正数的个数与则及使及有两个实可逆变换设有实二次型惯性定理
ririk
zzzf
kykykykf
PyxCyx
rARAxxf
ii
irr
irr
T
惯性定理和规范形
.)()(
);0(;0
,0
,)(
:)(
定矩阵负称为正所对应的矩阵定二次型负正恒有如果定二次型负称为正实二次型定二次型的定义负正
AAxx
AxxAxx
Rxx
Axxf
T
TT
n
T
正定二次型
.
A:
.A:
都大于零个顺序主子式的为正定的对称阵定理的特征值全为正为正定的对称阵定理
nA
A
.
2232
t,.
3121
2
3
2
2
2
1
正定使求参数例
xxxtxxxxf
3
5
3
5
,053
2,02
1
2
,02
,
301
01
12
22
3
22
21
t
ttAA
tt
t
t
AA
t
t
A
解,
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
复习性质 2,互换行列式的两行 (列 ),行列式变号,
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
jnjj
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
性质 3:
推论,如果行列式有 两行 (列 )完全相同,则此行列式 为 零,
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
行列式任一行的公因子可提到行列式之外,
或用常数 k 乘行列式任意一行的诸元素,等于用 k
乘这个行列式,
性质 4:行列式中如果有两行 (列 )元素成比例,
则此行列式等于零,
性质 5:
nnnn
ininiiii
n
aaa
bababa
aaa
21
2211
11211
nnnn
n
aa
aaa
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
1ia 2ia ina
1ib 2ib inb注,性质 3,性质 5又称为线性性质性质 6,在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数
,k再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变,
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
injnijij
inii
n
aaa
kaakaakaa
aaa
aaa
21
2211
21
11211
重要公式
TAAnA?,1 阶方阵是
A
AAnA 1,,2 1可逆阶方阵是
阶方阵是 nAAkkA n?3
阶方阵是 nBABABA
BAAB
,
4
ji
jiA
Aa
n
k
jkik
0
:5
1
代数余子式的重要性质
nnmm
mn
BA
BA
A
B
BA
B
A
,
1
0
0
0
*
6
BAAB
BABAABnBA
但一般则阶方阵是,,7
行列式计算 (利用性质 )
方法,(1)化上 (下 )三角形法
(2)降阶法
(3)递归法例题例 1,计算
2421
1642
1411
2111
D
解,法 1 (化上三角形法 )
计算方法,化上 (下 )三角形法 ; 降阶法,
0510
3420
3500
2111
14
13
12
2
rr
rr
rr
D 42 rr?
3500
3420
0510
2111
23 2rr?
3500
31400
0510
2111
34 14
5 rr?
14
57
000
31400
1510
2111
57?
法 2(降阶法 )
14
13
12
2
rr
rr
rr
D
0510
3420
3500
2111
1
4
1
1 j
j
j Aa?
051
342
350
可直接用对角线法则计算三阶行列式例 2 计算
xaaa
axaa
aaxa
aaax
D
n
先观察再计算解,
nD
n
i
irr
2
1
xaa
aaa
axa
anxanxanx
)1()1()1(
anxr )1(1
xaa
aaa
axa
111
anx )1(
或 1cci?
axa
axa
axa
anx
00
00
00
0001
)1(
1)1( naxanx
ax
ax
ax
000
000
000
1111
1arrianx )1(
矩阵
1.运算,+,-,数乘,乘法等,注意能运算的条件,
矩阵乘法定义,
smijaA nsijbB
规定,A 与 B 的乘积是一个 nm? 阵
nmijcC )(
sjisjijiij bababac2211
kj
s
k
ik ba?
1
njmi,,1;,,1
记作,ABC?
2.注意,
(1)矩阵乘法不满足交换律,
但不是说对任意两个矩阵 BA,一定有 BAAB?
例
20
02A
dc
ba
B
dc
baBAAB
22
22
(2)两个 非零 矩阵的乘积可能是 零 矩阵,
(有别于数的乘法 )
例
11
11A
11
11B
而若
,0,0 BA,0?AB
称 A 是 B 的左零因子,
称 B 是 A 的右零因子,
(3)一个非零矩阵如有左 (右 )零因子,其左 (右 )零因子不唯一,
11
11A
11
11B
22
22C
CB? 0,0 ACAB
结论,矩阵乘法不适合消去律,
ACAB?
不能推出 CB?0?A
42
21A
12
31B
21
17C
1010
55AB AC?
0?A CB?
满足运算律 (乘法有意义的前提下 )
结合律,
数乘结合律,
左分配律,
右分配律,
)()( BCACAB?
)()()( kBABkAABk
ACABCBA )(
CABAACB )(
又例
3.特殊矩阵,单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上
(下 )三角矩阵
nn
n
E
1
1
1
nn
n
k
k
k
kE
n
n
a
a
a
aaad i a g
2
1
21 ),,(
nnnnnnn
n
n
aa
aa
a
L
a
aa
aaa
U
1
2221
11
222
11211
4.重要矩阵及运算性质转置矩阵可逆矩阵正交矩阵满足运算规律,
TTA1 A TBA2 TT BA?
矩阵的转置
TkA3 TkA是数k
TAB4 TT AB?
TkAAA?21 TTTk AAA 12
对称矩阵,
反对称矩阵,
njiaaA jiijnn?,2,1, 若
njiaaA jiijnn?,2,1, 若
083
801
310
例
AAA Tnn 是对称矩阵
AAA Tnn 是反对称矩阵可逆矩阵的逆矩阵定义,唯一性,充要条件及推论,可逆矩阵的性质定义,
,
),(,A
,
,A,
的逆矩阵是并称可逆简称为可逆矩阵则称使得如果存在一个矩阵对于矩阵
AB
A
EBAAB
B
1,, AB即记作 1?A
.,:1 的逆矩阵是唯一的则是可逆矩阵若定理 AA
.0,:2?AA 则是可逆矩阵若定理
A
AAAA *1,,0:3且可逆若定理
奇异矩阵非奇异矩阵
.0 AA 可逆
.,,,1 ABEBAEAB 且则若推论例
.,?,求其逆矩阵若可逆是否可逆下列矩阵 BA
101
111
123
A
3
2
1
b
b
b
B
101
111
123
A
解,
02
101
111
123
A
10 111 11 11
111 21
01
111 31
10 121 1221A 11
131 22
22
A
01
231 32
23
A
11 121 1331A 11
131 23
32
A
11
231 33
33
A
11A 12
A 13A
A
AA *1
121
220
121
2
1
,,0321 可逆时 BbbbB
3
2
1
b
b
b
B
3
2
1
1
1
1
1
b
b
b
B
例
,021122211
2221
1211
aaaaA
aa
aa
A 1?A求
1121
12221 1
aa
aa
A
A
例
.,
4,:,01032
并求它们的逆矩阵都可逆证明设方阵满足方程 EAAEAA
EEAA
EEAAEAA
)]3(
10
1
[
10)3(1032
EEAEA
EEAEA
)](
6
1
)[4(
6))(4(
正交矩阵及其性质定义,,,,为正交矩阵则称如果设 AEAAA T
nn
定理,
的一组标准正交基的列向量组为阶正交矩阵为 nRAnA?
定理,则阶正交矩阵皆是设,,nBA
111 或A TAA 12
,3 1 也是正交矩阵即?AA T,4 也是正交矩阵AB
5.矩阵的初等变换及性质掌握初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵一般结论,
,A
,A
kikiAE
kiAkiE
列乘的第表示行乘的第表示
,A
,A
列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示
jkikijAE
ikjAkijE
,A,
,A,
列对换列与第的第表示行对换行与第的第表示
jijiAE
jiAjiE
初等矩阵是可逆的
E
k
iEkiE
1 EkijEkijE
EjiEjiE?,,
k
iEkiE 11
kijEkijE 1jiEjiE,,1
结论,可逆矩阵可以 表示为 若干个初等矩阵的 乘积,
1, AEEA,初等行变换
1A
E
E
A 初等列变换例 3
111
211
120
A
阵A 的逆矩阵用初等行变换求可逆矩
100111
010211
001120
,EA
100111
001120
010211
21 rr
110100
001120
010211
13 rr
110100
111020
010211
32 rr
110100
2
1
2
1
2
1
010
010211
2
1
2r
110
2
1
2
1
2
1
2
5
2
3
2
1
1
A
110100
2
1
2
1
2
1
010
2
5
2
3
2
1
001
321
2 rrr
向量概念,线性组合,线性相关,线性无关,极大无关组,秩,向量组的等价,内积等有关线性相关,无关,秩的重要定理,结论,
结论,
1.m个 n维向量必线性相关,(m>n)特别,m=n+1
2,n个 n维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零,
3.n维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n个向量,
4 n维向量空间 n个向量线性无关,则任一向量可由这 n个线性无关向量表示,且表法唯一,
定理 (1)若 向量组 A,线性相关,则向量组 B,也线性相关,反之,若向量组
B线性无关,向量组 A也线性无关,
m,,,21?
121,,,,?mm
若部分相关，则整体相关；
若整体无关,则部分无关
(2)设
mj
a
a
a
a
a
jr
rj
j
j
rj
j
j
,,2,1,,
,1
1
1
若 向量组 A,线性无关,则向量组 B,
也线性无关,反之,若向量组
B线性相关,向量组 A也线性相关,
m,,,21?
m,,,21?
若 r 维向量线性无关，则在每个向量上添加
m个分量所得到的新向量也线性无关,
等价的说法：
m 个分量所得到的新向量也线性相关,
若 r 维向量线性相关，则在每个向量上去掉定义,
.
,1r2;,,,1
,,,A,
0
21:0
21
的一个极大线性无关组为那么称向量线性相关个任意线性无关满足个向量中有如果在对向量组
AA
A
rA
r
r
.的秩称为向量组数 Ar
注意,只含零向量的向量组没有极大无关组,
规定,它的秩为零,
极大线性无关组
..1 本身是一个极大无关组一个向量组线性无关?
.,
,,,,:.2
0
210
且表示法唯一线性表示中任一向量都可由组则向量的一个极大无关组向量组
AA
AA r
问题,极大无关组是否唯一?
定理,向量组与它的任意一个极大无关组等价,
结论,
推论 1:等价的无关向量组包含相同个数的向量,
定理,向量组的任意两个极大无关组相互等价,从而所含向量个数相同,
.等价向量组秩相等向量组的秩的求法介绍的简便而有效的方法,
(1)以向量组 中各向量作为列向量,
构成矩阵 A;
s,,,21?
(2)对 A施行初等行变换化为阶梯形矩阵 B,B的非零行数即矩阵 A的秩,亦即原向量组的秩 ;
(3)求出 B的列向量组的极大无关组 ;
(4)A中与 B的列向量组的极大无关组相对应的部分列向量组,即为向量组的极大无关组
s,,,21?
3
），，，，（），，，，，（
），，，，（），，，，，（
求一个极大无关组与秩
1401131302
1512012211
43
21
2110
2550
2110
0220
1201
1311
4152
0312
1021
1201
)( 4321 TTTTA解：设
4000
12000
4000
2110
1201
2110
2550
0220
2110
1201
3
0000
0000
1000
2110
1201
4321
,，，秩
B
.,,
.,,,4,2,1
421
421
一个极大无关组为线性无关中对应列线性无关的第
AB?
秩的性质
1.(推论 3.4.4)等价矩阵有相同的秩,
2,(推论 3.4.5)对任意矩阵 A,
3.,(推论 3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘,
其秩不变,
TArAr?
,,2
606
320
401
231
72
521
:
aABR
BaA
求已知
BrArABr
BrArBAr
,m i n2
1.4
036
006
320
301
B B可逆,r(B)=3
又 r(AB)=2,r(A)=2,即 0?A
矩阵的秩与行列式的关系
.)(
0:
向量线性无关列个行的可逆的秩等于阶方阵定理
nA
AAnAn
.)(
0:
向量线性相关列个行的不可逆的秩小于阶方阵推论
nA
AAnAn
例向量组:已知
321,,
线性无关,
133322211,,
.,,,321 线性无关试证
证明,用定义,
0332211 kkk
设
0)()()( 133322211 kkk
0)()()( 323212131 kkkkkk
,,,321 线性无关
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
02
110
011
101
只有零解,0
321 kkk
.,,321 线性无关所以,
线性方程组齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质解的结构非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构二,齐次线性方程组解的理论和解的结构
)1(0 11 mnnm xA齐次线性方程组对 (1)我们关心何时有非零解,
nm
nm分两种情况对 1
必有非零解,
定理 1给出结论,
nAR
xA mnnm
有非零解齐次线性方程组定理 11 0 1
nAR
xA mnnm
只有零解齐次线性方程组等价命题 11 0
解的理论
,,0,
0 11
可逆即只有零解齐次线性方程组
AAnAR
xA nnnn
特别,
02211 nnxxx
10 xA nm
0
2
1
21
n
n
x
x
x
解向量,
解的性质,
,1
,1,1
21
21
的解也是则的解是若性质
x
xx
解的结构
,1
,12
1
1
的解也是则的解是若性质
kx
Rkx
解空间,
.,解向量的集合S
.,"","" 是向量空间封闭数乘对 SS?
.空间为齐次线性方程组的解称 S
定义,基础解系
.0,,
,,,0,)2
,,,)1
,0,,
1
1
1
1
的一个基础解系为则称线性表示可由线性无关如果满足的解向量是设
Ax
A
Ax
r
r
r
r
.
,0,,:
个解向量且每个基础解系中含的基础解系存在则定理
rn
AxnrArA nm
bARAR
bxA mnnm
,
3 11
有解非齐次线性方程组定理
.,,
.,,
有无穷多解时唯一解时有解
nbARAR
nbARAR
对 (2)我们关心何时有解,及何时有唯一解,无穷多解,
非齐次线性方程组 )2(11 mnnm bxA
解的理论解的结构
.0,)2(,:3 2121 的解是则的解是性质 Ax
*
,)2(:4,3,34
x
则其通解为有解若定理性质
.0)2(.)2(* 的通解对应的为的一个特解为?Ax
.0,,,,
,,,
,
21
21
2211
的一个基础解系是为任何实数
Ax
kkk
kkk
rn
rn
rnrn
例
321
321
321
1
31
01
xxx
xxx
xxx
,)3(;)2(;)1(,
求其通解有无穷多解无解有唯一解此方程组取何值时问?
解
111
3111
0111
,bA增广矩阵
0111
3111
111
31
rr
120
30
111
13
12
1 rr
rr
31300
30
111
23 rr
考虑 1.有无解
2.有解 (唯一解还是无穷多解 )
31031
3003
或得或得看讨论,
,,2,,33
.,2,,1,02
.,3,,301
无穷多解无解唯一解时且
bArAr
bArAr
bArAr
0000
2110
1101
0000
6330
3211
,bA
特解,令
2,1
,0
21
3
xx
x
则
T0,2,1*
Ax=0的基础解系
T1,1,1
1
通解
Rccx 1*
方法 2由本题的特点,方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,
利用克莱姆法则
03
111
111
111
3
111
111
111
2 令
D
30 或
.
,0,30
解由克莱姆法则知有唯一时且当 D
矛盾方程组变为
0
3
0
,0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.)(
02
32
32
3
321
321
321
解之即可不含参变量方程组变为
xxx
xxx
xxx
矩阵的特征值与特征向量及二次型概念,特征值,特征向量特征值的性质,
方阵的特征值与特征向量
(一 )特征值与特征向量的定义和计算定义 1:,阶方阵是设 nA
.
.,
,
的特征向量的对应于特征值称为方阵非零列向量的一个特征值是方阵则称成立使维非零列向量和若数
A
xA
xAx
xn
注,0.1?x
..2 是方阵A
特征方程,
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
EAf
求特征值
0 EAf
求特征向量 xAx 0 xEA?
即求齐次线性方程组 0 xEA? 的非零解,
小结,
(二 )特征值和特征向量的性质定理 1:
)0,,(
.
,,
221121
2211
21
pkpkkk
Apkpk
App
且为任意常数的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是设
定理 2:
nij naAn,,,21?个特征值为的阶方阵设?
n
i
ii
n
i
i a
11
)1?则
A
n
i
i
1
)2?
性质 1(关于特征值的 )
则的特征向量的对应于是的特征值是若,, AxA
).()1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
).()2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)3( 11 的特征值是可逆时 AA?
.
,,,,11
的特征向量分别对应于仍是矩阵且 mm kAAkAx
性质 3,的特征值相同和矩阵 TAA
性质 2 一个特征向量不能属于不同的特征值 (即不同的特征值所对应的特征向量不同 ) (对于同一个矩阵 )
例 2
,,,
,2),(
1*
2
的特征值求可逆若的特征值求的特征值为设
AEAA
EAAxAxA
相似矩阵及性质定义,
BA
BAAB
BAPP
PnBA
~:
.,
,,,
1
记作相似与或称矩阵的相似矩阵是则称使若存在可逆矩阵阶矩阵都是设
相似是等价关系,
1.自反性
2.对称性
3.传递性性质 1,相似矩阵有
1.相同的行列式,
2.相同的特征多项式和相同特征值,
3.有相同的迹,
4.有相同的秩,
(二 )矩阵可对角化的条件
个线性无关的特征向量有与对角阵相似可对角化阶矩阵定理定理
nA
An?)(
.1.3.51
定理 1.实对称矩阵 A的任一个特征值都是实数,
二,实对称矩阵的特征值和特征向量
P146定理 5.4.1
推论,实对称矩阵 A的特征向量均为实向量,
定理 2.实对称矩阵 A的对应于不同特征值的特征向量是正交的,
定理 3.(实对称矩阵必可对角化 )
.
,
,,
1
对角矩阵个特征值为对角元素的的是以使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
nA
ATT
TnA
本定理证明不要求实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤,(P151)
;A
,,,,
1
21
的全部不同的特征值即为全部不同的根的或的特征多项式求出
s
AEEAA
;,,,
00
,,,2,12
21
i
irii
ii
i
xAExEA
si
求出它的一个基础解系或解齐次线性方程组对每个特征值
;
,,,,
,,
,,3
21
1
的一组线性无关的量是属于特征值组得到一个正交单位向量单位化正交化将
i
irii
iri
i
i
.
,
.
,,,,,,,,,,,,
,,,,4
1
212222111211
21
21
的全部特征值元素即为其主对角线上的为对角矩阵亦即使得即为所求之正交矩阵作为列向量构成矩阵的线性无关特征向量将全部不同的特征值
A
ATT
T
s
srssrr
s
二次型的定义二次型的标准形及化二次型为标准形的方法二次型正定的充要条件实对称矩阵正定的充要条件
(二 ).二次型的定义及矩阵表示称为二次型函数的二次齐次多项式个变量含有定义
2
1,1
2
11,1
223223
2
222
1131132112
2
11121
21
2
22
222),,,(
)(,,:
nnn
nnnnnnn
nn
nnn
n
xa
xxaxa
xxaxxaxa
xxaxxaxxaxaxxxf
xxxn
注,
.,
,,.1
为实二次型称为实数时当为复二次型称为复数时当
fa
fa
ij
ij
2.讨论的主要问题,寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项,
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxf
2
1
21
22221
11211
21
),,,(
.3 矩阵表示
2
4
2
3423121
2
14321
22
5422),,,()2(
43),,()1(
1
xxxxxxxxxxxxxf
yzxyzxzyxf
形式把下列二次型写成矩阵例
z
y
x
zyxf
3
2
1
0
2
1
02
021
1
解,
4
3
2
1
4321
5020
0101
200
2
1
01
2
1
2
2
x
x
x
x
xxxxf
例 2 求对称矩阵
653
552
321
A
所对应的二次型
3231
21
2
3
2
2
2
1321
106
465,,:
xxxx
xxxxxxxxf
解矩阵的合同设线性变换 (非退化的 )
Cyx?
ij
T
n
T
n
cCnC
yyyyxxxx
阶可逆矩阵为
,,,,,,,2121
yACCyCyACyf
Axxf
TTT
T
则中代入,
CACCACACC TTTTT
因为是对角矩阵所以 CAC T
标准化问题变成寻找一个合适的可逆矩阵
.,是对角矩阵使 ACCC T
定义,设 A,B是数域 P上两个 n阶对称矩阵,若存在 P上 n阶可逆矩阵 C,使
ACCB T?
则称 A与 B是合同的,记作 BA~
合同是等价关系
(自反性,对称性,传递性 )
二次型的标准形标准形的定义,如果二次型
Axxf T? 0, CCyx
22
22
2
11 nn
TTT ydydydA C yCyByy
.的标准形为则称 AxxByy TT
二次型的标准形正交变换法
.),,2,1(
,,
)(:
22
22
2
11
的特征值是其中使总存在正交变换元二次型对任一个主轴定理定理
Ani
yyyyAPPyAxxf
PyxAxxfn
i
nn
TTT
T
化为标准形将求正交变换例
323121 222
,2,5.6
xxxxxxf
Tyx
..5
.,.4
.
.3
..2
..1:
写出相应标准形写出正交变换取正交阵特征向量准正交的每个特征值对应的标求出的特征值求出对应的矩阵写出步骤
P
A
A
Af
解,
011
101
110
A
21
11
11
11
2
AE
2,1 321的特征值为A
.
,0,12,1
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
0
1
,
0
1
1
21
正交化
1
2
1
2
1
,
,
,
1
11
12
22
11
在将 单位化为
21,
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21
.
,02,23
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
1
1
3?
单位化为
3
1
3
1
3
1
3
令
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
,,
321
T
则 T是正交矩阵,且
2
1
1
1 ATTATT T
于是,经过正交变换 X=TY
原二次型化为标准形
2
3
2
2
2
1 2 yyyf
正惯性指数,标准形中正系数的个数负惯性指数,标准形中负系数的个数,
.
),,1(),,1(
)0(
)0(
,
,)(,
:
22
22
2
11
22
22
2
11
中正数的个数相等中正数的个数与则及使及有两个实可逆变换设有实二次型惯性定理
ririk
zzzf
kykykykf
PyxCyx
rARAxxf
ii
irr
irr
T
惯性定理和规范形
.)()(
);0(;0
,0
,)(
:)(
定矩阵负称为正所对应的矩阵定二次型负正恒有如果定二次型负称为正实二次型定二次型的定义负正
AAxx
AxxAxx
Rxx
Axxf
T
TT
n
T
正定二次型
.
A:
.A:
都大于零个顺序主子式的为正定的对称阵定理的特征值全为正为正定的对称阵定理
nA
A
.
2232
t,.
3121
2
3
2
2
2
1
正定使求参数例
xxxtxxxxf
3
5
3
5
,053
2,02
1
2
,02
,
301
01
12
22
3
22
21
t
ttAA
tt
t
t
AA
t
t
A
解,
