秩的性质
1.(推论 3.4.4)等价矩阵有相同的秩,
2,(推论 3.4.5)对任意矩阵 A,
3.,(推论 3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘,
其秩不变,
TArAr?
,,2
606
320
401
231
72
521
:
aABR
BaA
求已知
036
006
320
301
B B可逆,r(B)=3
又 r(AB)=2,r(A)=2,即 0?A
例向量组:已知
321,,
线性无关,
133322211,,
.,,,321 线性无关试证
证明,用定义,
0332211 kkk
设
0)()()( 133322211 kkk
0)()()( 323212131 kkkkkk
,,,321 线性无关
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
02
110
011
101
只有零解,0
321 kkk
.,,321 线性无关所以,
线性方程组齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质解的结构非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构二,齐次线性方程组解的理论和解的结构
)1(0 11 mnnm xA齐次线性方程组对 (1)我们关心何时有非零解,
nm
nm分两种情况对 1
必有非零解,
定理 1给出结论,
nAR
xA mnnm
有非零解齐次线性方程组定理 11 0 1
nAR
xA mnnm
只有零解齐次线性方程组等价命题 11 0
解的理论
,,0,
0 11
可逆即只有零解齐次线性方程组
AAnAR
xA nnnn
特别,
02211 nnxxx
10 xA nm
0
2
1
21
n
n
x
x
x
解向量,
解的性质,
,1
,1,1
21
21
的解也是则的解是若性质
x
xx
解的结构
,1
,12
1
1
的解也是则的解是若性质
kx
Rkx
解空间,
.,解向量的集合S
.,"","" 是向量空间封闭数乘对 SS?
.空间为齐次线性方程组的解称 S
定义,基础解系
.0,,
,,,0,)2
,,,)1
,0,,
1
1
1
1
的一个基础解系为则称线性表示可由线性无关如果满足的解向量是设
Ax
A
Ax
r
r
r
r
.
,0,,:
个解向量且每个基础解系中含的基础解系存在则定理
rn
AxnrArA nm
bARAR
bxA mnnm
,
3 11
有解非齐次线性方程组定理
.,,
.,,
有无穷多解时唯一解时有解
nbARAR
nbARAR
对 (2)我们关心何时有解,及何时有唯一解,无穷多解,
非齐次线性方程组 )2(11 mnnm bxA
解的理论解的结构
.0,)2(,:3 2121 的解是则的解是性质 Ax
*
,)2(:4,3,34
x
则其通解为有解若定理性质
.0)2(.)2(* 的通解对应的为的一个特解为?Ax
.0,,,,
,,,
,
21
21
2211
的一个基础解系是为任何实数
Ax
kkk
kkk
rn
rn
rnrn
例
321
321
321
1
31
01
xxx
xxx
xxx
,)3(;)2(;)1(,
求其通解有无穷多解无解有唯一解此方程组取何值时问?
解
111
3111
0111
,bA增广矩阵
0111
3111
111
31
rr
120
30
111
13
12
1 rr
rr
31300
30
111
23 rr
考虑 1.有无解
2.有解 (唯一解还是无穷多解 )
31031
3003
或得或得看讨论,
,,2,,33
.,2,,1,02
.,3,,301
无穷多解无解唯一解时且
bArAr
bArAr
bArAr
0000
2110
1101
0000
6330
3211
,bA
特解,令
2,1
,0
21
3
xx
x
则
T0,2,1*
Ax=0的基础解系
T1,1,1
1
通解
Rccx 1*
方法 2由本题的特点,方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,
利用克莱姆法则
03
111
111
111
3
111
111
111
2 令
D
30 或
.
,0,30
解由克莱姆法则知有唯一时且当 D
矛盾方程组变为
0
3
0
,0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.)(
02
32
32
3
321
321
321
解之即可不含参变量方程组变为
xxx
xxx
xxx
矩阵的特征值与特征向量及二次型概念,特征值,特征向量特征值的性质,
方阵的特征值与特征向量
(一 )特征值与特征向量的定义和计算定义 1:,阶方阵是设 nA
.
.,
,
的特征向量的对应于特征值称为方阵非零列向量的一个特征值是方阵则称成立使维非零列向量和若数
A
xA
xAx
xn
注,0.1?x
..2 是方阵A
特征方程,
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
EAf
求特征值
0 EAf
求特征向量 xAx 0 xEA?
即求齐次线性方程组 0 xEA? 的非零解,
小结,
(二 )特征值和特征向量的性质定理 1:
)0,,(
.
,,
221121
2211
21
pkpkkk
Apkpk
App
且为任意常数的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是设
定理 2:
nij naAn,,,21?个特征值为的阶方阵设?
n
i
ii
n
i
i a
11
)1?则
A
n
i
i
1
)2?
性质 1(关于特征值的 )
则的特征向量的对应于是的特征值是若,, AxA
).()1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
).()2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)3( 11 的特征值是可逆时 AA?
.
,,,,11
的特征向量分别对应于仍是矩阵且 mm kAAkAx
例 2
,,,
,2),(
1*
2
的特征值求可逆若的特征值求的特征值为设
AEAA
EAAxAxA
相似矩阵及性质定义,
BA
BAAB
BAPP
PnBA
~:
.,
,,,
1
记作相似与或称矩阵的相似矩阵是则称使若存在可逆矩阵阶矩阵都是设
性质 1,相似矩阵有
1.相同的行列式,
2.相同的特征多项式和相同特征值,
3.有相同的迹,
4.有相同的秩,
(二 )矩阵可对角化的条件
个线性无关的特征向量有与对角阵相似可对角化阶矩阵定理定理
nA
An?)(
.1.3.51
定理 1.实对称矩阵 A的任一个特征值都是实数,
二,实对称矩阵的特征值和特征向量
P146定理 5.4.1
推论,实对称矩阵 A的特征向量均为实向量,
定理 2.实对称矩阵 A的对应于不同特征值的特征向量是正交的,
定理 3.(实对称矩阵必可对角化 )
.
,
,,
1
对角矩阵个特征值为对角元素的的是以使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
nA
ATT
TnA
实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤,(P151)
;A
,,,,
1
21
的全部不同的特征值即为全部不同的根的或的特征多项式求出
s
AEEAA
;,,,
00
,,,2,12
21
i
irii
ii
i
xAExEA
si
求出它的一个基础解系或解齐次线性方程组对每个特征值
;
,,,,
,,
,,3
21
1
的一组线性无关的量是属于特征值组得到一个正交单位向量单位化正交化将
i
irii
iri
i
i
.
,
.
,,,,,,,,,,,,
,,,,4
1
212222111211
21
21
的全部特征值元素即为其主对角线上的为对角矩阵亦即使得即为所求之正交矩阵作为列向量构成矩阵的线性无关特征向量将全部不同的特征值
A
ATT
T
s
srssrr
s
二次型的定义二次型的标准形及化二次型为标准形的方法二次型正定的充要条件实对称矩阵正定的充要条件
(二 ).二次型的定义及矩阵表示称为二次型函数的二次齐次多项式个变量含有定义
2
1,1
2
11,1
223223
2
222
1131132112
2
11121
21
2
22
222),,,(
)(,,:
nnn
nnnnnnn
nn
nnn
n
xa
xxaxa
xxaxxaxa
xxaxxaxxaxaxxxf
xxxn
1.讨论的主要问题,寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项,
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxf
2
1
21
22221
11211
21
),,,(
.3 矩阵表示
2
4
2
3423121
2
14321
22
5422),,,()2(
43),,()1(
1
xxxxxxxxxxxxxf
yzxyzxzyxf
形式把下列二次型写成矩阵例
z
y
x
zyxf
3
2
1
0
2
1
02
021
1
解,
4
3
2
1
4321
5020
0101
200
2
1
01
2
1
2
2
x
x
x
x
xxxxf
例 2 求对称矩阵
653
552
321
A
所对应的二次型
3231
21
2
3
2
2
2
1321
106
465,,:
xxxx
xxxxxxxxf
解二次型的标准形标准形的定义,如果二次型
Axxf T? 0, CCyx
22
22
2
11 nn
TTT ydydydA C yCyByy
.的标准形为则称 AxxByy TT
二次型的标准形正交变换法
.),,2,1(
,,
)(:
22
22
2
11
的特征值是其中使总存在正交变换元二次型对任一个主轴定理定理
Ani
yyyyAPPyAxxf
PyxAxxfn
i
nn
TTT
T
化为标准形将求正交变换例
323121 222
,2,5.6
xxxxxxf
Tyx
..5
.,.4
.
.3
..2
..1:
写出相应标准形写出正交变换取正交阵特征向量准正交的每个特征值对应的标求出的特征值求出对应的矩阵写出步骤
P
A
A
Af
解,
011
101
110
A
21
11
11
11
2
AE
2,1 321的特征值为A
.
,0,12,1
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
0
1
,
0
1
1
21
正交化
1
2
1
2
1
,
,
,
1
11
12
22
11
在将 单位化为
21,
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21
.
,02,23
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
1
1
3?
单位化为
3
1
3
1
3
1
3
令
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
,,
321
T
则 T是正交矩阵,且
2
1
1
1 ATTATT T
于是,经过正交变换 X=TY
原二次型化为标准形
2
3
2
2
2
1 2 yyyf
正惯性指数,标准形中正系数的个数负惯性指数,标准形中负系数的个数,
.
),,1(),,1(
)0(
)0(
,
,)(,
:
22
22
2
11
22
22
2
11
中正数的个数相等中正数的个数与则及使及有两个实可逆变换设有实二次型惯性定理
ririk
zzzf
kykykykf
PyxCyx
rARAxxf
ii
irr
irr
T
惯性定理和规范形
.)()(
);0(;0
,0
,)(
:)(
定矩阵负称为正所对应的矩阵定二次型负正恒有如果定二次型负称为正实二次型定二次型的定义负正
AAxx
AxxAxx
Rxx
Axxf
T
TT
n
T
正定二次型
.
A:
.A:
都大于零个顺序主子式的为正定的对称阵定理的特征值全为正为正定的对称阵定理
nA
A
.
2232
t,.
3121
2
3
2
2
2
1
正定使求参数例
xxxtxxxxf
3
5
3
5
,053
2,02
1
2
,02
,
301
01
12
22
3
22
21
t
ttAA
tt
t
t
AA
t
t
A
解,
1.(推论 3.4.4)等价矩阵有相同的秩,
2,(推论 3.4.5)对任意矩阵 A,
3.,(推论 3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘,
其秩不变,
TArAr?
,,2
606
320
401
231
72
521
:
aABR
BaA
求已知
036
006
320
301
B B可逆,r(B)=3
又 r(AB)=2,r(A)=2,即 0?A
例向量组:已知
321,,
线性无关,
133322211,,
.,,,321 线性无关试证
证明,用定义,
0332211 kkk
设
0)()()( 133322211 kkk
0)()()( 323212131 kkkkkk
,,,321 线性无关
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
02
110
011
101
只有零解,0
321 kkk
.,,321 线性无关所以,
线性方程组齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质解的结构非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构二,齐次线性方程组解的理论和解的结构
)1(0 11 mnnm xA齐次线性方程组对 (1)我们关心何时有非零解,
nm
nm分两种情况对 1
必有非零解,
定理 1给出结论,
nAR
xA mnnm
有非零解齐次线性方程组定理 11 0 1
nAR
xA mnnm
只有零解齐次线性方程组等价命题 11 0
解的理论
,,0,
0 11
可逆即只有零解齐次线性方程组
AAnAR
xA nnnn
特别,
02211 nnxxx
10 xA nm
0
2
1
21
n
n
x
x
x
解向量,
解的性质,
,1
,1,1
21
21
的解也是则的解是若性质
x
xx
解的结构
,1
,12
1
1
的解也是则的解是若性质
kx
Rkx
解空间,
.,解向量的集合S
.,"","" 是向量空间封闭数乘对 SS?
.空间为齐次线性方程组的解称 S
定义,基础解系
.0,,
,,,0,)2
,,,)1
,0,,
1
1
1
1
的一个基础解系为则称线性表示可由线性无关如果满足的解向量是设
Ax
A
Ax
r
r
r
r
.
,0,,:
个解向量且每个基础解系中含的基础解系存在则定理
rn
AxnrArA nm
bARAR
bxA mnnm
,
3 11
有解非齐次线性方程组定理
.,,
.,,
有无穷多解时唯一解时有解
nbARAR
nbARAR
对 (2)我们关心何时有解,及何时有唯一解,无穷多解,
非齐次线性方程组 )2(11 mnnm bxA
解的理论解的结构
.0,)2(,:3 2121 的解是则的解是性质 Ax
*
,)2(:4,3,34
x
则其通解为有解若定理性质
.0)2(.)2(* 的通解对应的为的一个特解为?Ax
.0,,,,
,,,
,
21
21
2211
的一个基础解系是为任何实数
Ax
kkk
kkk
rn
rn
rnrn
例
321
321
321
1
31
01
xxx
xxx
xxx
,)3(;)2(;)1(,
求其通解有无穷多解无解有唯一解此方程组取何值时问?
解
111
3111
0111
,bA增广矩阵
0111
3111
111
31
rr
120
30
111
13
12
1 rr
rr
31300
30
111
23 rr
考虑 1.有无解
2.有解 (唯一解还是无穷多解 )
31031
3003
或得或得看讨论,
,,2,,33
.,2,,1,02
.,3,,301
无穷多解无解唯一解时且
bArAr
bArAr
bArAr
0000
2110
1101
0000
6330
3211
,bA
特解,令
2,1
,0
21
3
xx
x
则
T0,2,1*
Ax=0的基础解系
T1,1,1
1
通解
Rccx 1*
方法 2由本题的特点,方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,
利用克莱姆法则
03
111
111
111
3
111
111
111
2 令
D
30 或
.
,0,30
解由克莱姆法则知有唯一时且当 D
矛盾方程组变为
0
3
0
,0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.)(
02
32
32
3
321
321
321
解之即可不含参变量方程组变为
xxx
xxx
xxx
矩阵的特征值与特征向量及二次型概念,特征值,特征向量特征值的性质,
方阵的特征值与特征向量
(一 )特征值与特征向量的定义和计算定义 1:,阶方阵是设 nA
.
.,
,
的特征向量的对应于特征值称为方阵非零列向量的一个特征值是方阵则称成立使维非零列向量和若数
A
xA
xAx
xn
注,0.1?x
..2 是方阵A
特征方程,
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
EAf
求特征值
0 EAf
求特征向量 xAx 0 xEA?
即求齐次线性方程组 0 xEA? 的非零解,
小结,
(二 )特征值和特征向量的性质定理 1:
)0,,(
.
,,
221121
2211
21
pkpkkk
Apkpk
App
且为任意常数的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是设
定理 2:
nij naAn,,,21?个特征值为的阶方阵设?
n
i
ii
n
i
i a
11
)1?则
A
n
i
i
1
)2?
性质 1(关于特征值的 )
则的特征向量的对应于是的特征值是若,, AxA
).()1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
).()2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)3( 11 的特征值是可逆时 AA?
.
,,,,11
的特征向量分别对应于仍是矩阵且 mm kAAkAx
例 2
,,,
,2),(
1*
2
的特征值求可逆若的特征值求的特征值为设
AEAA
EAAxAxA
相似矩阵及性质定义,
BA
BAAB
BAPP
PnBA
~:
.,
,,,
1
记作相似与或称矩阵的相似矩阵是则称使若存在可逆矩阵阶矩阵都是设
性质 1,相似矩阵有
1.相同的行列式,
2.相同的特征多项式和相同特征值,
3.有相同的迹,
4.有相同的秩,
(二 )矩阵可对角化的条件
个线性无关的特征向量有与对角阵相似可对角化阶矩阵定理定理
nA
An?)(
.1.3.51
定理 1.实对称矩阵 A的任一个特征值都是实数,
二,实对称矩阵的特征值和特征向量
P146定理 5.4.1
推论,实对称矩阵 A的特征向量均为实向量,
定理 2.实对称矩阵 A的对应于不同特征值的特征向量是正交的,
定理 3.(实对称矩阵必可对角化 )
.
,
,,
1
对角矩阵个特征值为对角元素的的是以使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
nA
ATT
TnA
实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤,(P151)
;A
,,,,
1
21
的全部不同的特征值即为全部不同的根的或的特征多项式求出
s
AEEAA
;,,,
00
,,,2,12
21
i
irii
ii
i
xAExEA
si
求出它的一个基础解系或解齐次线性方程组对每个特征值
;
,,,,
,,
,,3
21
1
的一组线性无关的量是属于特征值组得到一个正交单位向量单位化正交化将
i
irii
iri
i
i
.
,
.
,,,,,,,,,,,,
,,,,4
1
212222111211
21
21
的全部特征值元素即为其主对角线上的为对角矩阵亦即使得即为所求之正交矩阵作为列向量构成矩阵的线性无关特征向量将全部不同的特征值
A
ATT
T
s
srssrr
s
二次型的定义二次型的标准形及化二次型为标准形的方法二次型正定的充要条件实对称矩阵正定的充要条件
(二 ).二次型的定义及矩阵表示称为二次型函数的二次齐次多项式个变量含有定义
2
1,1
2
11,1
223223
2
222
1131132112
2
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21
2
22
222),,,(
)(,,:
nnn
nnnnnnn
nn
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n
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xxaxxaxxaxaxxxf
xxxn
1.讨论的主要问题,寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项,
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxf
2
1
21
22221
11211
21
),,,(
.3 矩阵表示
2
4
2
3423121
2
14321
22
5422),,,()2(
43),,()1(
1
xxxxxxxxxxxxxf
yzxyzxzyxf
形式把下列二次型写成矩阵例
z
y
x
zyxf
3
2
1
0
2
1
02
021
1
解,
4
3
2
1
4321
5020
0101
200
2
1
01
2
1
2
2
x
x
x
x
xxxxf
例 2 求对称矩阵
653
552
321
A
所对应的二次型
3231
21
2
3
2
2
2
1321
106
465,,:
xxxx
xxxxxxxxf
解二次型的标准形标准形的定义,如果二次型
Axxf T? 0, CCyx
22
22
2
11 nn
TTT ydydydA C yCyByy
.的标准形为则称 AxxByy TT
二次型的标准形正交变换法
.),,2,1(
,,
)(:
22
22
2
11
的特征值是其中使总存在正交变换元二次型对任一个主轴定理定理
Ani
yyyyAPPyAxxf
PyxAxxfn
i
nn
TTT
T
化为标准形将求正交变换例
323121 222
,2,5.6
xxxxxxf
Tyx
..5
.,.4
.
.3
..2
..1:
写出相应标准形写出正交变换取正交阵特征向量准正交的每个特征值对应的标求出的特征值求出对应的矩阵写出步骤
P
A
A
Af
解,
011
101
110
A
21
11
11
11
2
AE
2,1 321的特征值为A
.
,0,12,1
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
0
1
,
0
1
1
21
正交化
1
2
1
2
1
,
,
,
1
11
12
22
11
在将 单位化为
21,
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21
.
,02,23
得一个基础解系解齐次线性方程组对 xAE?
1
1
1
3?
单位化为
3
1
3
1
3
1
3
令
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
,,
321
T
则 T是正交矩阵,且
2
1
1
1 ATTATT T
于是,经过正交变换 X=TY
原二次型化为标准形
2
3
2
2
2
1 2 yyyf
正惯性指数,标准形中正系数的个数负惯性指数,标准形中负系数的个数,
.
),,1(),,1(
)0(
)0(
,
,)(,
:
22
22
2
11
22
22
2
11
中正数的个数相等中正数的个数与则及使及有两个实可逆变换设有实二次型惯性定理
ririk
zzzf
kykykykf
PyxCyx
rARAxxf
ii
irr
irr
T
惯性定理和规范形
.)()(
);0(;0
,0
,)(
:)(
定矩阵负称为正所对应的矩阵定二次型负正恒有如果定二次型负称为正实二次型定二次型的定义负正
AAxx
AxxAxx
Rxx
Axxf
T
TT
n
T
正定二次型
.
A:
.A:
都大于零个顺序主子式的为正定的对称阵定理的特征值全为正为正定的对称阵定理
nA
A
.
2232
t,.
3121
2
3
2
2
2
1
正定使求参数例
xxxtxxxxf
3
5
3
5
,053
2,02
1
2
,02
,
301
01
12
22
3
22
21
t
ttAA
tt
t
t
AA
t
t
A
解,
