3.1 平面立体的截切
3.2 回转体的截切
3.3 平面体与平面体相贯
3.4 平面体与回转体相贯
3.5 回转体与回转体相贯
第 三 章
截交线与相贯线的画法
截交线的画法截切,
用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面,用以截切物体的平面。
截交线,截平面与物体表面的交线。
截断面,因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题,截交线的分析和作图 。
3.1 平面立体的截切
一、平面立体截切的基本形式
?平面立体的截交线是一个由直线组成的 平面封闭
多边形,其形状取决于平面立体的形状及截平面
在平面立体上的截切位置。
?截交线的每条边都是 截平面与棱面的交线 (共有性 )。
截交线的性质：
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法 求各棱线与截平面的交点
棱面法 求各棱面与截平面的交线
1
2
3
4
5
6
2,截交线的形状
（ 1）分析截平面与立体的相对位置以确
定截交线的形状。
（ 2）分析截平面与投影面的相对位置以
确定截交线的投影形状。
截交线的边数 =截平面截到的棱面数
例 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3?
2?
1?
(4?) 1?● 2?●4?●
3?●
1
●
2●
4● 交线的形状？
3
●
★ 投影分析
★ 求截交线
★ 分析棱线的投影
★ 检查 类似性
截平面与立体的几个棱面相交?
截交线与投影面的位置关系?
例 2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
6′ 2′≡5 ′1′
3 ′
4 ′
1
2
3
4
56
1″2″
3″
4″
5″≡6″
例 3:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。
1″
2″
3″4″
5″
6″7″
8″
9″1′≡9′
2′≡8′
5′
3′≡4′≡ 6′ ≡ 7′
1
2 3
4
5
6
78
9
用截交线的
类似性 检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线性质 共有性
回转体表面的形状
截交线形状 封闭的平面图形
截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
1) 确定截交线的形状
2) 明确 截交线的投影特性 (积聚性、类似性等 )
⒉ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：
☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
☆ 先取特殊点，后取中间点。
分析截平面与回转体轴线的相对位置
明确回转体的形状
关键在分析截平面与投影面的相对位置☆
☆
☆
1
2
3
4
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱 轴线 的相对位置。
垂直
圆 椭圆
平行
两平行直线
倾斜
截交线的已知投影呢？
例 4：求左视图
截交线的侧面投影
是什么形状？
截交线的空间形状是怎样的?
椭圆的长、短轴随
截平面与圆柱轴线
夹角的变而改变。
45° 什么情况下投
影为圆呢?
截平面与轴线
成 45° 夹角时
●
●●
●
● ●
●
●
●
●
●●
★ 找特殊点
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓素线的投影
例 5：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 利用 积聚性 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
●
● 解题步骤：
同一立体被多
个平面截切，要逐
个截平面进行截交
线的分析和作图。
●
●
例 6：求左视图
●
●
●
●
例 7:补画出立体的左视图
2.作左切面上的投影
1.作圆柱的左视图
3.作下部通槽的投影
4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线,
完成作图,
㈡ 圆锥体的截切
过锥顶
两相交直线
PV
圆
PVθ
θ = 90°
PV
椭圆
α
θ
θ ＞ α
抛物线
PVθ
α
θ =α
双曲线
PV
α
θ = 0° ＜ α
例 8:圆锥被正垂面截切，求
截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状?
截交线的投影特性？
★ 找特殊点
如何找椭圆另
一根轴的端点？
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓线投影
(三 ) 球体的截切
例 9：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线的
投影，在俯视图上为部分
圆弧，在侧视图上积聚为
直线。
两个侧平面截圆球的截交
线的投影，在侧视图上为
部分圆弧，在俯视图上积
聚为直线。
判断可见性
例 10:补画复合回转体的俯视图。
1:求水平面与立体的交线
1) 找特殊点
2) 补充中间点
3) 依次光滑连接各点
2:求正垂截面与立体的交线
1) 找特殊点
2) 补充中间点
3)依次光滑连接各点并整理
4) 作水平面与立体的其他交线并整理
(四 ) 复合回转体的截切
平面体与回
转体相贯
回转体与回
转体相贯 多体相贯
1.相贯的形式
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做 相贯线 。
平面体与平
面体相贯
相贯线的画法
2.相贯线的主要性质
表面性
封闭性
共有性
1.两平面体相交
两平面体的交线在一般情况下为 封闭曲线 。
2.互贯与全贯
3.求两平面体交线的方法
棱线法 —— 棱线与棱面的交点
棱面法 —— 各棱面的交线
（ A）互贯 （ B）全贯
3.3 平面体与平面体相贯
Pv
Qv
2'=3'
1'=4'
5'=7'
6'=8'
1
2
4
3
6
5
8
7
2=9"3=11"
4=12"
5"
6"
7"
8"
1=10"
9'=11'
10'=12'
12
11
9
10
例 11：已知三棱锥被四棱柱孔前后贯穿后的
主视图，求其俯视图和主视图。
相贯后的三视图：
1.相贯线的性质
相贯线 是由若干段平面曲
线（或直线）所组成的 空间折
线,每一段是平面体的棱面与
回转体表面的 交线,实质是求各
棱面与回转体的截交线 。
2.作图方法
1） 分析各棱面与回转体表面的相对位置。
2） 求出各棱面与回转体表面的截交线。
3） 连接各段交线，并判断可见性。
3.4 平面体与回转体相贯
例 12,补全主视图
空间分析：
四棱柱的四个棱面分别与
圆柱面相交，前后两棱面与圆
柱轴线平行，截交线为两段直
线；左右两棱面与圆柱轴线垂
直，截交线为两段圆弧。
投影分析：
由于相贯线是两立体表面
的共有线，所以相贯线的侧
面投影积聚在一段圆弧上，
水平投影积聚在矩形上。
1,相贯线的性质
相贯线一般为 光滑封闭 的
空间曲线，它是两回转体 表面
的共有线 。
2.作图方法
1）面上取点法
2）辅助平面法
1）找特殊点 —— 确定交线的范围
⒊ 作图过程
2）补充中间点 —— 确定交线的弯曲趋势
3.5 回转体与回转体相贯
1） 交线分析
空间分析
投影分析
2） 作图
最 上 点、最 下 点、最 左 点、
最 右 点、最 前 点、最 后 点、
轮廓线上的点等。
a,找点
b,连线
c,检查、加深
尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
☆ 找特殊点
☆ 补中间点
4.面上取点法
例 13：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
●
●●
● ● ● ●
● ●
空间及投影分析：
小圆柱轴线垂直于 H面，水平投
影积聚为圆，根据相贯线的共有
性，相贯线的水平投影即为该圆。
大圆柱轴线垂直于 W面，侧面投
影积聚为圆，相贯线的侧面投影
在该圆上。
求相贯线的投影：
利用积聚性，采
用表面取点法。
☆ 找特殊点
☆ 补充中间点
☆ 光滑连接
相贯后的三视图：
不同直径圆柱体相贯的情况
交线为两条平面
曲线（椭圆）
交线总向大圆
柱的轴线弯曲
45
例 14：补全主视图
说明：
外轮廓与内轮廓的相
贯线用简化画法画出
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表
面相贯
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
完整的三视图：
5.辅助平面法：
根据 三面共点 的原理，利用辅助平面求出两回转
体表面上的若干 共有点,从而画出相贯线的投影。
作图方法：
假想用辅助平面截切两回转体,分别得出两
回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅
助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线
上的点。
辅助平面的选择原则：
一般选择 投影面平行面 使辅助平面与两回转体
表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。
例 15：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
假想用水平面 P截切立体,P面与圆柱体
的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为
圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
P
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●●
●●
●●
● ●
解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点并整理
解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点并整理
3.2 回转体的截切
3.3 平面体与平面体相贯
3.4 平面体与回转体相贯
3.5 回转体与回转体相贯
第 三 章
截交线与相贯线的画法
截交线的画法截切,
用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面,用以截切物体的平面。
截交线,截平面与物体表面的交线。
截断面,因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题,截交线的分析和作图 。
3.1 平面立体的截切
一、平面立体截切的基本形式
?平面立体的截交线是一个由直线组成的 平面封闭
多边形,其形状取决于平面立体的形状及截平面
在平面立体上的截切位置。
?截交线的每条边都是 截平面与棱面的交线 (共有性 )。
截交线的性质：
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法 求各棱线与截平面的交点
棱面法 求各棱面与截平面的交线
1
2
3
4
5
6
2,截交线的形状
（ 1）分析截平面与立体的相对位置以确
定截交线的形状。
（ 2）分析截平面与投影面的相对位置以
确定截交线的投影形状。
截交线的边数 =截平面截到的棱面数
例 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3?
2?
1?
(4?) 1?● 2?●4?●
3?●
1
●
2●
4● 交线的形状？
3
●
★ 投影分析
★ 求截交线
★ 分析棱线的投影
★ 检查 类似性
截平面与立体的几个棱面相交?
截交线与投影面的位置关系?
例 2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
6′ 2′≡5 ′1′
3 ′
4 ′
1
2
3
4
56
1″2″
3″
4″
5″≡6″
例 3:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。
1″
2″
3″4″
5″
6″7″
8″
9″1′≡9′
2′≡8′
5′
3′≡4′≡ 6′ ≡ 7′
1
2 3
4
5
6
78
9
用截交线的
类似性 检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线性质 共有性
回转体表面的形状
截交线形状 封闭的平面图形
截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
1) 确定截交线的形状
2) 明确 截交线的投影特性 (积聚性、类似性等 )
⒉ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：
☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
☆ 先取特殊点，后取中间点。
分析截平面与回转体轴线的相对位置
明确回转体的形状
关键在分析截平面与投影面的相对位置☆
☆
☆
1
2
3
4
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱 轴线 的相对位置。
垂直
圆 椭圆
平行
两平行直线
倾斜
截交线的已知投影呢？
例 4：求左视图
截交线的侧面投影
是什么形状？
截交线的空间形状是怎样的?
椭圆的长、短轴随
截平面与圆柱轴线
夹角的变而改变。
45° 什么情况下投
影为圆呢?
截平面与轴线
成 45° 夹角时
●
●●
●
● ●
●
●
●
●
●●
★ 找特殊点
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓素线的投影
例 5：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 利用 积聚性 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
●
● 解题步骤：
同一立体被多
个平面截切，要逐
个截平面进行截交
线的分析和作图。
●
●
例 6：求左视图
●
●
●
●
例 7:补画出立体的左视图
2.作左切面上的投影
1.作圆柱的左视图
3.作下部通槽的投影
4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线,
完成作图,
㈡ 圆锥体的截切
过锥顶
两相交直线
PV
圆
PVθ
θ = 90°
PV
椭圆
α
θ
θ ＞ α
抛物线
PVθ
α
θ =α
双曲线
PV
α
θ = 0° ＜ α
例 8:圆锥被正垂面截切，求
截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状?
截交线的投影特性？
★ 找特殊点
如何找椭圆另
一根轴的端点？
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓线投影
(三 ) 球体的截切
例 9：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线的
投影，在俯视图上为部分
圆弧，在侧视图上积聚为
直线。
两个侧平面截圆球的截交
线的投影，在侧视图上为
部分圆弧，在俯视图上积
聚为直线。
判断可见性
例 10:补画复合回转体的俯视图。
1:求水平面与立体的交线
1) 找特殊点
2) 补充中间点
3) 依次光滑连接各点
2:求正垂截面与立体的交线
1) 找特殊点
2) 补充中间点
3)依次光滑连接各点并整理
4) 作水平面与立体的其他交线并整理
(四 ) 复合回转体的截切
平面体与回
转体相贯
回转体与回
转体相贯 多体相贯
1.相贯的形式
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做 相贯线 。
平面体与平
面体相贯
相贯线的画法
2.相贯线的主要性质
表面性
封闭性
共有性
1.两平面体相交
两平面体的交线在一般情况下为 封闭曲线 。
2.互贯与全贯
3.求两平面体交线的方法
棱线法 —— 棱线与棱面的交点
棱面法 —— 各棱面的交线
（ A）互贯 （ B）全贯
3.3 平面体与平面体相贯
Pv
Qv
2'=3'
1'=4'
5'=7'
6'=8'
1
2
4
3
6
5
8
7
2=9"3=11"
4=12"
5"
6"
7"
8"
1=10"
9'=11'
10'=12'
12
11
9
10
例 11：已知三棱锥被四棱柱孔前后贯穿后的
主视图，求其俯视图和主视图。
相贯后的三视图：
1.相贯线的性质
相贯线 是由若干段平面曲
线（或直线）所组成的 空间折
线,每一段是平面体的棱面与
回转体表面的 交线,实质是求各
棱面与回转体的截交线 。
2.作图方法
1） 分析各棱面与回转体表面的相对位置。
2） 求出各棱面与回转体表面的截交线。
3） 连接各段交线，并判断可见性。
3.4 平面体与回转体相贯
例 12,补全主视图
空间分析：
四棱柱的四个棱面分别与
圆柱面相交，前后两棱面与圆
柱轴线平行，截交线为两段直
线；左右两棱面与圆柱轴线垂
直，截交线为两段圆弧。
投影分析：
由于相贯线是两立体表面
的共有线，所以相贯线的侧
面投影积聚在一段圆弧上，
水平投影积聚在矩形上。
1,相贯线的性质
相贯线一般为 光滑封闭 的
空间曲线，它是两回转体 表面
的共有线 。
2.作图方法
1）面上取点法
2）辅助平面法
1）找特殊点 —— 确定交线的范围
⒊ 作图过程
2）补充中间点 —— 确定交线的弯曲趋势
3.5 回转体与回转体相贯
1） 交线分析
空间分析
投影分析
2） 作图
最 上 点、最 下 点、最 左 点、
最 右 点、最 前 点、最 后 点、
轮廓线上的点等。
a,找点
b,连线
c,检查、加深
尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
☆ 找特殊点
☆ 补中间点
4.面上取点法
例 13：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
●
●●
● ● ● ●
● ●
空间及投影分析：
小圆柱轴线垂直于 H面，水平投
影积聚为圆，根据相贯线的共有
性，相贯线的水平投影即为该圆。
大圆柱轴线垂直于 W面，侧面投
影积聚为圆，相贯线的侧面投影
在该圆上。
求相贯线的投影：
利用积聚性，采
用表面取点法。
☆ 找特殊点
☆ 补充中间点
☆ 光滑连接
相贯后的三视图：
不同直径圆柱体相贯的情况
交线为两条平面
曲线（椭圆）
交线总向大圆
柱的轴线弯曲
45
例 14：补全主视图
说明：
外轮廓与内轮廓的相
贯线用简化画法画出
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表
面相贯
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
完整的三视图：
5.辅助平面法：
根据 三面共点 的原理，利用辅助平面求出两回转
体表面上的若干 共有点,从而画出相贯线的投影。
作图方法：
假想用辅助平面截切两回转体,分别得出两
回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅
助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线
上的点。
辅助平面的选择原则：
一般选择 投影面平行面 使辅助平面与两回转体
表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。
例 15：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
假想用水平面 P截切立体,P面与圆柱体
的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为
圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
P
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●●
●●
●●
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解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点并整理
解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点并整理
