数学分析考研辅导：凸函数及其应用

§2 凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式： 设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1 、x2
I ，

[0，1]成立不等式： f(
x1+(1-
)x2)

f(x1)+ (1-
)f(x2) 则称f(x)是区间I上的凸函数。 f(x)是区间I上的凸函数当且仅当对任意x1 、x2 、x3
I ，x1 < x2 < x3，下列不等式之一成立:
，
。 事实上，设
=
，则0 <
< 1 ,且x2 =
x3+(1-
)x1 ,代入上面任意一式,变形后即得定义形式。 定理：若f(x)在区间I上连续，则f(x)是区间I上凸函数的充要条件为：对任意x1 、x2
I 成立
。 证：只须证明充分性。设n = k
2 时成立：
。 考察n = k+1的情形：


　。 设
＝

[0，1]，则1-
＝
。注意到kx =
，所以由上可知
。对任意

[0，1]，可用二进制数列{
}逼近，于是由连续性即证得定理。 注：定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立，在实数域内f(x)也不一定是凸函数（参阅史树中编《凸分析》P.72）。 范例： 1、若f(x)是区间I上的凸函数，则对I的任一内点x ，
都存在，而且
。 证：x1 < x < x2 ，则


。当x1
x 时，上式左边
，当x2
x 时，上式右边
，在由单侧导数定义即证。 2、设f(x)是区间I上的凸函数，则在I的任一闭子区间上f(x)有界。 证：设[a，b]
I ，
x
[a，b]，取
＝
，则x =（1-
）a +
b , f(x)
（1-
）f(a) +
f(b)
Ｍ　 ( 此处Ｍ＝ max(f(a) , f(b)) ) 。 再令c =
，
x
[a，b]，存在x关于c的对称点
，由f(x)的凸性得到
，因此，f(x)
2 f(c)– Ｍ ＝ ｍ 。 3、设f(x)是区间（a ，b）上的凸函数，则在（a ，b）的任一闭子区间上f(x)满足Lipschitz条件。 证：设

（a ，b），取h > 0,使得

（a ，b）。
x1 、x2

，x1 < x2 . 令x3 = x2 + h ,则




.又令x3 = x1 – h ,则



－
　．因此有
　　。 （注：由1知区间上凸函数一定连续，由3知区间上凸函数内闭一致连续。） 4、设a1 ，a2 ，．．．，a n ，为n个正数，证明：
。 证：取对数原式变形为
，注意到
，只须证
，即证
。为此，设
，上式可表示为
。由于
，f(x)是凸函数，故而命题成立。 5、设
（k = 1，2 ,…, n） 。求证：
。 证：原式可变形为
，于是由
的凸性可得第一个不等式，由
的凹性可得第二个不等式。 6、设p > 0 , q > 0 。求证：当
时
。 证：原式可变形为
，取对数又可变形为
，由
的凹性即证。 7、设ai > 0 , bi > 0 , qi > 0 ,
, 则：
。 证：原式变形为
，取对数又可变形为
。注意到
，
，上式又可变形为
。令
，由f(x)的凸性即证。 8、设
。则：
。 注：若m=2，记
，则上式就是
不等式
证：记Ａk =
，右边即为
，不等式变形为：
， 由于

的定义可知不等式成立。 9、设
，
。求证Minkowski不等式：
。 证：记

再注意到
即证。 10、设
是互不相同的正整数，则：
。 证：
，最后一个不等式是因为诸
各不相同，故可设
。 11、设f（x）在[a，b]连续，
上的凸函数，则：
。 证：在不等式
两边令
取极限即证。 12、设f(x)在(a ,b)连续，则f(x)是凸函数的充要条件是：对任意含于(a ,b)的闭区间[x-h，x+h]，都有
。 证：（必要性）

，f(x)

( f(x-t) + f(x+t))，故 2 h f(x)


＝
　。 （充分性）假定存在x1 < x 2 使
。作辅助函数
= f(x) – k (x – x 1 ) – f(x 1) ，（其中k =
）。则
，因此
。取h > 0 ，[x0-h , x0+h]
[ x 1 , x 2] ,当
时
，且不恒为零，因此
，再由
的定义推出
。