第五章 材料的力学
一圆杆的直径为2.5 mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。
解：根据题意可得下表
拉伸前后圆杆相关参数表
体积V/mm3
直径d/mm
圆面积S/mm2
拉伸前
1227.2
2.5
4.909
拉伸后
1227.2
2.4
4.524
由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。
一试样长40cm,宽10cm,厚1cm，受到应力为1000N拉力，其杨氏模量为3.5×109 N/m2，能伸长多少厘米?
解：
一材料在室温时的杨氏模量为3.5×108 N/m2,泊松比为0.35，计算其剪切模量和体积模量。
解：根据 可知：
试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。
证：
一陶瓷含体积百分比为95%的Al2O3 (E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。
解：令E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有
当该陶瓷含有5%的气孔时，将P=0.05代入经验计算公式E=E0(1-1.9P+0.9P2)可得，其上、下限弹性模量分别变为331.3 GPa和293.1 GPa。
试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出t = 0,t = 和t = 时的纵坐标表达式。
解：Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程：
Voigt模型可以较好地模拟应变蠕变过程：
以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高聚物的蠕变过程等。
试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。
解：（详见书本）。
一试样受到拉应力为1.0×103 N/m2,10秒种后试样长度为原始长度的1.15倍,移去外力后试样的长度为原始长度的1.10倍,若可用单一Maxwell模型来描述,求其松弛时间τ值。
解：根据Maxwell模型有：
可恢复 不可恢复
依题意得：
所以松弛时间τ=η/E=1.0×105/2×104=5(s).
一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell模型和一个Voigt模型串联描述，若t=0时施以拉伸应力为1.0×104 N/m2至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为,t为小时，请估算该力学模型的四个参数值。
解：据题即求如图E1,E2,η2和η3四参数。如图所示有
其中ε1立即回复，ε2逐渐回复，ε3不能回复。
Voigt的回复方程为：，这里t为从回复时算起，而题目的t为从开始拉伸时算起，所以此题的回复方程为：
排除立即恢复后的应变，应变的回复方程就可写成
当取Tg为参考温度时log中的C1=17.44,C2=51.6，求以Tg+50℃为参考温度时WLF方程中的常数C1和C2。
解：
一圆柱形Al2O3晶体受轴向拉力F，若其临界抗剪强度τf为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。
解：
拉伸某试样得到如下表的数据,试作曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的伸长率以及抗张强度。
5
10
20
30
40
50
60
250
500
950
1250
1470
1565
1690
70
80
90
100
120
150
1660
1500
1400
1380
1380(断)
扬氏模量,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出。（图中可以读出），屈服时伸长率即为屈服点的应变，断裂时对应的即是抗张强度。
氦原子的动能是E=kT(式中波尔兹曼常数k=1.38x10-23 J/K)，求T = 1 K时氦原子的物质波的波长。
解：
利用Sommerfeld的量子化条件，求一维谐振子的能量。
解：
波函数的几率流密度，取球面坐标时，算符
，求定态波函数的几率流密度。
解：
一粒子在一维势阱中运动，势阱为
求束缚态(0 < E < U0)的能级所满足的方程。
解：因为
