平面和直线投影特点
? 实形性：投影反映实形 。 直线或平面平行
于投影面时 。
? 积聚性：投影积聚成一点或一条线 。 直线
或平面垂直于投影面时 。
? 类似性：投影成为缩小的类似形 。 直线或
平面倾斜于投影面时 。
第十讲
例,已知平面的两投影，求第三投影。
new
例：找出图中所标各
面的第三投影，并判断
它们的空间位置。
new
1"
3"
2
2"
Ⅱ Ⅲ
水平面
侧平面
铅垂平面
实形
P
Q
B
F
E
C
p?
例：找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面及ＣＢ、
ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。
q?
q
q?
p?
p
Ｐ平面为一般位置平面；
Ｑ平面为正平面。
ＣＢ直线为正平线；
ＦＥ直线为水平线。
实
形
实
长
new
总结
? 在平面作图中要注意利用实形性, 积
聚性和类似性的性质 。
? 平面的三个投影中，必然有一个是封
闭线框。一般情况下投影图上的一个
封闭线框表示空间一个面的投影。
平面上的点和直线
? 点和直线在于面上的几何条件是,
? (1)点在于面上, 则该点必定在于面上的一条直线上 。
? (2)直线在于面上, 则该直线必定通过这个平面上的两
个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条
直线 。
? 上述几何条件, 是解决有关平面上点和直线
的作图和判别等习题的依据 。 可以解决三类
问题,
? 判别已知点, 线是否属于平面；
? 完成已知平面上的点和直线的投影；
? 完成多边形的投影 。
c
b a
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
平面内的点和直线
M
m′ m″
m
若一直线
通过平面上的
两点，则此直
线在该平面上
。此直线上的
任意点都在该
平面在上。
new
例：判别已知点、线是否属于平面
例：判别已知点、线是否属于平面
例：完成多边形的投影
例：完成多边形的投影
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
m
m〞 m′
例,已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作
出Ｍ点的三面投影。
3 ·求作平面梯形 ABCD 的梯形 EFGH 的水平投影。
例,求作平面梯形 ABCD上的梯形
EFGH的水平投影。
题解,
a′
d′
e′
g′
f′
h′
1′ c′
2′
b′
d
e f
c 1
a g
2
h b
例：已知平面四边形
ABCD的水平投影 abcd和正面
投影 a?b?d?,试完成四边形的
正面投影 。
new
平面内的特殊位置直线
一、平面内的投影面平行线
１,平面内的水平线
２,平面内的正平线
３,平面内的侧平线
new
PV PW
PH
平面内的水平线
平面内的
正平线
平面内的
侧平线
平面内的投影面平行线
new
例：在平面内作一条距 H面为 20mm的水平线 。
水平线
例：在水平面内作一条距Ｖ面为 20mm的正平线 。
正平线
例：过 N点作一正平线 MN与已知平面 ABC平行
。
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
题解,
例：求作直线 AB的水平投影, 并在直线 AB上求
一点 C,使 C点距 H,V面等距离 。
Y H
X
Z
Yw
o
b′
b″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
new
空间分析
?45
?45C
c?
c?
c
V/H的中垂面
中垂
面上所有
的点距 V
面和Ｈ在
的距离相
等。
Y H
X
Z
Yw
o
a′
a″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
题解,
new
例：求作直线 MN
,使其与直线 AB
,CD,EF相交,
并与直线 CD垂直
。
c
(b)a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P Hc
d
(b)a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
c
(b)
a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P H
c
d
(b)
a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
题解,
例,完成正方形 ABCD的两面投影 。
题解,
▽ y
二、平面内对投影面的最大斜度线。
平面内垂直于该投影面内任
意一条投影面平行线的直线，称
为平面内对相应投影面的最大斜
度线。 new
平面内对投影面的最大斜度线有三种
１,垂直于平面内水平线的直线，是平面
内对水平面的最大斜度线。
２,垂直于平面内正平线的直线，是平面
内对正平面的最大斜度线。
３,垂直于平面内侧平线的直线，是平面
内对侧平面的最大斜度线。
new
平面内对投影面的最
大斜度线用 于一般位置平
面对投影面倾角的求法
new
Ｂ 1 Ｂ
PH
Ｍ
Ｎ
a1? ?
平面 P对水平面 H
的最大斜度线
A
1.作平面内的水平线；
2.作对 H面的最大斜度线；
3.用直角三角形法求最大斜度线对
H面的倾角。
求一般位置平面对 H面倾角
例,求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角
最大斜度
线实长
最大斜度线
水平投影
new
例,求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角
?
?
最大斜度线
正面投影
最大斜度
线实长
直线与平面平行
? 直线与平面平行
? 平面外的一直线若与平面上的一直线平行, 到此直
线与平面相互平行 。 即该直线投影和该平面上某直
线投影相平行 。
? 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两
相交直线, 则两平面互相平行 。
? 直线与投影面垂直面平行
? 直线的投影平行平行于平面有积聚性的同名投影,
或者直线亦积聚为一点 。
L K
L A
B
D
C
１,若直线平行于平面内某一直
线，则直线与该平面平行
直线与平面平行作图问题
? 判别已知线面是否平行；
? 作直线与已知平面平行；
? 包含已知直线作平面与另一已知直线
平行 。
判别判别已知线面是否平行
判别判别已知线面是否平行
Ｏ
c′
a Ｘ
c
b
a′
b′
d
d′
例,判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
e′
e
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
Ｏ
c′
a Ｘ
c
b
a′
b′
m
m′
例,过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
作直线与已知平面平行
作直线与已知平面平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
平面与平面平行
? 若平面上
的两相交
直线分别
平行于另
一平面内
的两相交
直线，则
这两个平
面相互平
行。
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ Ａ
Ｋ
两平面平行的作图问题
? 判别两已知平面是否相互平行；
? 过一点作一平面与已知平面平行；
? 已知两平面平行, 完成其中一平面的投影 。
Ｏ
c′
a Ｘ
c
b
a′
b′
d′
例,过点Ｄ作已知平面的平行面。
e
e′
d
f
f′
Ｏ
c′
a
Ｘ
c
b
a′ b′
d
d′
例,判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行
直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
e′
e
f′
k′ g′
g k
f
两平面不平行
直线与平面相交
? 直线与平面不平行就会相交, 其交点是直
线与平面的共有点 。
? 直线与平面相交的问题就是求直线和平面
的交点, 难点是判断直线的可见性 。
线面的交点
线面的交点
平面与平面相交
? 平面与平面相交, 其交线是平面与平面的
共有线 。
? 求两平面交线的基本方法是求出两个共有
点或求出一个共有点及交线的方向 。
线、面相交作图方法
? （ 1） 一般位置直线与有积聚性平面相交, 交点的一个投
影为直线与平面积聚性投影的交点, 另一投影可在直线
的投影上找到 。 （ 面上定点 ）
线、面相交作图方法
? （ 2） 一般位置平面与有积聚性直线相交, 交点的一个投
影与直线的积聚性投影重合, 另一个投影可利用在平面
上求点的方法求出 。 （ 一眼可见 ）
线、面相交作图方法
? （ 3） 有积聚性投影的平面
与平面相交, 交线的一个投
影必定与其中一个平面的积
聚性投影重合, 交线的另一
个投影可根据平面上求点的
方法求出 。 （ 求积聚点 ）
? 教材 P44例 2
直线与平面相交作图方法
? （ 4） 一般位置直线与一般位置平面相交,,
求交点的方法和步骤如下,
? a,过直线作特殊位置辅助平面；
? b,求辅助平面与已知平面的交线；
? c,求交线与已知直线的交点, 交点即为所求 。
求出交点后, 再利用重影点判别各投影的可见性 。
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
直线与平面相交作图方法
? （ 5） 一特殊平面和一般平面 （ 因为积聚性平面投影与交
线投影相重合, 可以转化为问题 4）
? 教材 P44例题
直线与平面相交作图方法
? （ 6） 两一般平面相交
? 求作两一般位置平面交线的方法有线面交
点法和三面共点法两种 。
? 线面交点法：两一般位置平面的各同面投
影都重叠时, 通常用求一般位置直线与一
般位置平面交点的方法, 求出点 。 求出组
成一平面的两直线与另一平面的两个交点,
然后连线即得所求交线 。
直线与平面相交作图方法
? 三面共点法：两一般位置平面的各同面投影都不
重叠或不同时重叠时, 通常用三面共点法求交线,
其作图原理为三个相交的平面必定有一个公共点,
而此点又必定在两个平面的交线上 。 三面共点法
求交线的作图步骤如下,
? a,作一特殊位置辅助平面与两已知面相交；
? b,求辅助平面与两平面的两条交线；
? c,求两交线的交点, 此点即为两已知平面交线上的点；
? d,同理再作一辅助平面可求出交线上另外一点, 连接两
交点即为两平面的交线 。
可见性判定
? 线与面的交点是直线和平面共有点, 也是直线被
平面遮掩可见和不可见部分的分界点 。
? 可见性判定方法,
? 1,找出要判定的直线
? 2,确定可见的交点
? 3,判断另一点的相对可见性
? 4,如可见则该直线所在此段可见, 不可见则不可见
? 另一侧必反与已判断一侧可见性相反 。
直线与平面垂直
? 几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交
直线, 则该直线垂直于平面内的所有直线, 即垂
直于平面 。
? 投影特性：若直线垂直于平面, 则直线的正面投
影垂直于这个平面上的正平线的正面投影；
? 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水
平投影, 直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧
平线的侧面投影 。
? 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面, 点
到直线, 平面到平面及直线到直线间的距离问题 。
两平面相互垂直
? 两平面垂直的几何条件是,
? 一个平面上有一条直线垂直于另一平面 。
? 两平面垂直的投影作图是以上述几何条件作为
依据 。
综合解题示例
? 已知等腰三角形 ABC的边 AC,底边在 AD
上，求做 ABC。
? 过 A点作直线平行于三角形 DEF,并与 BC
相交
? 已知长方形 ABCD,一边 AB及分边 BC正面
投影，求做长方形 ABCD。
? 实形性：投影反映实形 。 直线或平面平行
于投影面时 。
? 积聚性：投影积聚成一点或一条线 。 直线
或平面垂直于投影面时 。
? 类似性：投影成为缩小的类似形 。 直线或
平面倾斜于投影面时 。
第十讲
例,已知平面的两投影，求第三投影。
new
例：找出图中所标各
面的第三投影，并判断
它们的空间位置。
new
1"
3"
2
2"
Ⅱ Ⅲ
水平面
侧平面
铅垂平面
实形
P
Q
B
F
E
C
p?
例：找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面及ＣＢ、
ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。
q?
q
q?
p?
p
Ｐ平面为一般位置平面；
Ｑ平面为正平面。
ＣＢ直线为正平线；
ＦＥ直线为水平线。
实
形
实
长
new
总结
? 在平面作图中要注意利用实形性, 积
聚性和类似性的性质 。
? 平面的三个投影中，必然有一个是封
闭线框。一般情况下投影图上的一个
封闭线框表示空间一个面的投影。
平面上的点和直线
? 点和直线在于面上的几何条件是,
? (1)点在于面上, 则该点必定在于面上的一条直线上 。
? (2)直线在于面上, 则该直线必定通过这个平面上的两
个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条
直线 。
? 上述几何条件, 是解决有关平面上点和直线
的作图和判别等习题的依据 。 可以解决三类
问题,
? 判别已知点, 线是否属于平面；
? 完成已知平面上的点和直线的投影；
? 完成多边形的投影 。
c
b a
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
平面内的点和直线
M
m′ m″
m
若一直线
通过平面上的
两点，则此直
线在该平面上
。此直线上的
任意点都在该
平面在上。
new
例：判别已知点、线是否属于平面
例：判别已知点、线是否属于平面
例：完成多边形的投影
例：完成多边形的投影
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
m
m〞 m′
例,已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作
出Ｍ点的三面投影。
3 ·求作平面梯形 ABCD 的梯形 EFGH 的水平投影。
例,求作平面梯形 ABCD上的梯形
EFGH的水平投影。
题解,
a′
d′
e′
g′
f′
h′
1′ c′
2′
b′
d
e f
c 1
a g
2
h b
例：已知平面四边形
ABCD的水平投影 abcd和正面
投影 a?b?d?,试完成四边形的
正面投影 。
new
平面内的特殊位置直线
一、平面内的投影面平行线
１,平面内的水平线
２,平面内的正平线
３,平面内的侧平线
new
PV PW
PH
平面内的水平线
平面内的
正平线
平面内的
侧平线
平面内的投影面平行线
new
例：在平面内作一条距 H面为 20mm的水平线 。
水平线
例：在水平面内作一条距Ｖ面为 20mm的正平线 。
正平线
例：过 N点作一正平线 MN与已知平面 ABC平行
。
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
题解,
例：求作直线 AB的水平投影, 并在直线 AB上求
一点 C,使 C点距 H,V面等距离 。
Y H
X
Z
Yw
o
b′
b″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
new
空间分析
?45
?45C
c?
c?
c
V/H的中垂面
中垂
面上所有
的点距 V
面和Ｈ在
的距离相
等。
Y H
X
Z
Yw
o
a′
a″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
题解,
new
例：求作直线 MN
,使其与直线 AB
,CD,EF相交,
并与直线 CD垂直
。
c
(b)a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P Hc
d
(b)a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
c
(b)
a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P H
c
d
(b)
a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
题解,
例,完成正方形 ABCD的两面投影 。
题解,
▽ y
二、平面内对投影面的最大斜度线。
平面内垂直于该投影面内任
意一条投影面平行线的直线，称
为平面内对相应投影面的最大斜
度线。 new
平面内对投影面的最大斜度线有三种
１,垂直于平面内水平线的直线，是平面
内对水平面的最大斜度线。
２,垂直于平面内正平线的直线，是平面
内对正平面的最大斜度线。
３,垂直于平面内侧平线的直线，是平面
内对侧平面的最大斜度线。
new
平面内对投影面的最
大斜度线用 于一般位置平
面对投影面倾角的求法
new
Ｂ 1 Ｂ
PH
Ｍ
Ｎ
a1? ?
平面 P对水平面 H
的最大斜度线
A
1.作平面内的水平线；
2.作对 H面的最大斜度线；
3.用直角三角形法求最大斜度线对
H面的倾角。
求一般位置平面对 H面倾角
例,求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角
最大斜度
线实长
最大斜度线
水平投影
new
例,求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角
?
?
最大斜度线
正面投影
最大斜度
线实长
直线与平面平行
? 直线与平面平行
? 平面外的一直线若与平面上的一直线平行, 到此直
线与平面相互平行 。 即该直线投影和该平面上某直
线投影相平行 。
? 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两
相交直线, 则两平面互相平行 。
? 直线与投影面垂直面平行
? 直线的投影平行平行于平面有积聚性的同名投影,
或者直线亦积聚为一点 。
L K
L A
B
D
C
１,若直线平行于平面内某一直
线，则直线与该平面平行
直线与平面平行作图问题
? 判别已知线面是否平行；
? 作直线与已知平面平行；
? 包含已知直线作平面与另一已知直线
平行 。
判别判别已知线面是否平行
判别判别已知线面是否平行
Ｏ
c′
a Ｘ
c
b
a′
b′
d
d′
例,判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
e′
e
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
Ｏ
c′
a Ｘ
c
b
a′
b′
m
m′
例,过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
作直线与已知平面平行
作直线与已知平面平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
平面与平面平行
? 若平面上
的两相交
直线分别
平行于另
一平面内
的两相交
直线，则
这两个平
面相互平
行。
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ Ａ
Ｋ
两平面平行的作图问题
? 判别两已知平面是否相互平行；
? 过一点作一平面与已知平面平行；
? 已知两平面平行, 完成其中一平面的投影 。
Ｏ
c′
a Ｘ
c
b
a′
b′
d′
例,过点Ｄ作已知平面的平行面。
e
e′
d
f
f′
Ｏ
c′
a
Ｘ
c
b
a′ b′
d
d′
例,判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行
直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
e′
e
f′
k′ g′
g k
f
两平面不平行
直线与平面相交
? 直线与平面不平行就会相交, 其交点是直
线与平面的共有点 。
? 直线与平面相交的问题就是求直线和平面
的交点, 难点是判断直线的可见性 。
线面的交点
线面的交点
平面与平面相交
? 平面与平面相交, 其交线是平面与平面的
共有线 。
? 求两平面交线的基本方法是求出两个共有
点或求出一个共有点及交线的方向 。
线、面相交作图方法
? （ 1） 一般位置直线与有积聚性平面相交, 交点的一个投
影为直线与平面积聚性投影的交点, 另一投影可在直线
的投影上找到 。 （ 面上定点 ）
线、面相交作图方法
? （ 2） 一般位置平面与有积聚性直线相交, 交点的一个投
影与直线的积聚性投影重合, 另一个投影可利用在平面
上求点的方法求出 。 （ 一眼可见 ）
线、面相交作图方法
? （ 3） 有积聚性投影的平面
与平面相交, 交线的一个投
影必定与其中一个平面的积
聚性投影重合, 交线的另一
个投影可根据平面上求点的
方法求出 。 （ 求积聚点 ）
? 教材 P44例 2
直线与平面相交作图方法
? （ 4） 一般位置直线与一般位置平面相交,,
求交点的方法和步骤如下,
? a,过直线作特殊位置辅助平面；
? b,求辅助平面与已知平面的交线；
? c,求交线与已知直线的交点, 交点即为所求 。
求出交点后, 再利用重影点判别各投影的可见性 。
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
直线与平面相交作图方法
? （ 5） 一特殊平面和一般平面 （ 因为积聚性平面投影与交
线投影相重合, 可以转化为问题 4）
? 教材 P44例题
直线与平面相交作图方法
? （ 6） 两一般平面相交
? 求作两一般位置平面交线的方法有线面交
点法和三面共点法两种 。
? 线面交点法：两一般位置平面的各同面投
影都重叠时, 通常用求一般位置直线与一
般位置平面交点的方法, 求出点 。 求出组
成一平面的两直线与另一平面的两个交点,
然后连线即得所求交线 。
直线与平面相交作图方法
? 三面共点法：两一般位置平面的各同面投影都不
重叠或不同时重叠时, 通常用三面共点法求交线,
其作图原理为三个相交的平面必定有一个公共点,
而此点又必定在两个平面的交线上 。 三面共点法
求交线的作图步骤如下,
? a,作一特殊位置辅助平面与两已知面相交；
? b,求辅助平面与两平面的两条交线；
? c,求两交线的交点, 此点即为两已知平面交线上的点；
? d,同理再作一辅助平面可求出交线上另外一点, 连接两
交点即为两平面的交线 。
可见性判定
? 线与面的交点是直线和平面共有点, 也是直线被
平面遮掩可见和不可见部分的分界点 。
? 可见性判定方法,
? 1,找出要判定的直线
? 2,确定可见的交点
? 3,判断另一点的相对可见性
? 4,如可见则该直线所在此段可见, 不可见则不可见
? 另一侧必反与已判断一侧可见性相反 。
直线与平面垂直
? 几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交
直线, 则该直线垂直于平面内的所有直线, 即垂
直于平面 。
? 投影特性：若直线垂直于平面, 则直线的正面投
影垂直于这个平面上的正平线的正面投影；
? 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水
平投影, 直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧
平线的侧面投影 。
? 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面, 点
到直线, 平面到平面及直线到直线间的距离问题 。
两平面相互垂直
? 两平面垂直的几何条件是,
? 一个平面上有一条直线垂直于另一平面 。
? 两平面垂直的投影作图是以上述几何条件作为
依据 。
综合解题示例
? 已知等腰三角形 ABC的边 AC,底边在 AD
上，求做 ABC。
? 过 A点作直线平行于三角形 DEF,并与 BC
相交
? 已知长方形 ABCD,一边 AB及分边 BC正面
投影，求做长方形 ABCD。
