椭圆型方程的五点差分格式
微分方程数值解
计算科学系 杨韧
椭圆型方程的五点差分格式
第三章 椭圆型方程的差分格式
02
2
2
2
?????? y ux uL a p l a c e 方程
),(2
2
2
2
yxgy ux uPo i s s o n ??????方程
),(),(),(
),(),(),(
2
2
2
2
yxguyxf
y
u
yxe
x
u
yxd
y
u
yxc
x
u
yxa
??
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?
一般方程
椭圆型方程的五点差分格式
§ 3.1 正方形区域中的 Laplace 方程
Dirichlet边值问题的差分模拟
设 Ω 是 xy 平面中的具有正方形边界 的一个有界
区域，考虑 Laplace方程的第一边值（ Dirichlet ）问题
??
??
?
?
?
???
??
?
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?
?
),(),(),(
),(0
2
2
2
2
yxyxfyxu
yx
y
u
x
u
椭圆型方程的五点差分格式
网格节点（ l, m）
处的二阶中心差商代替
二阶微商（ 注意,l 表示列,
m表示行 ）
l,m+1
l–1,m l,m l+1,m
l,m–1
2
,1,,1
2
2 2
h
uuu
x
u mlmlml ?? ??
?
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2
1,,1,
2
2 2
h
uuu
y
u mlmlml ?? ??
?
?
?
椭圆型方程的五点差分格式
Laplace方程的五点差分格式 (3.6)为
截断误差为 。 )( 2hO
? ? 041,1,1,,1,12 ????? ???? mlmlmlmlml UUUUU
h
-Ul,m+1
-Ul–1,m 4U l,m -U l+1,m
-Ul,m–1
椭圆型方程的五点差分格式
令
则 Laplac方程的五点差分格式为（ 3.8）
即
? ?mlmlmlmlmlml UUUUU
h
U,1,1,,1,12,41 ?????? ????
1,,2,1,0,???? MmlU ml ?
)1,,2,1,(
04,1,1,,1,1
??
?????? ????
Mml
UUUUU mlmlmlmlml
?
椭圆型方程的五点差分格式
例 1 用五点差分格式求解 Laplace方程
在区域
内的近似解，边界值为,
取 。
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2
2
2
?
?
??
?
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y
u
x
u
? ?40,40|),( ????? yxyx?
40,0),4(,80),0( ???? yyuyu
40,180)4,(,20)0,( ???? xxuxu
1??? yxh ??
椭圆型方程的五点差分格式
解 网格点如图所示
U7 U8 U9
U4 U5 U6
U1 U2 U3
u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20
u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180
u(0,3)=80
u(0,2)=80
u(0,1)=80
u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
椭圆型方程的五点差分格式
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1804
1804
2604
04
04
804
204
204
1004
986
9875
874
9653
86542
7541
632
5321
421
UUU
UUUU
UUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUU
UUUU
UUU
椭圆型方程的五点差分格式
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180
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20
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100410100
010141010
001014001
000100410
000010141
000001014
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7
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5
4
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2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
椭圆型方程的五点差分格式
,解得
U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]’=A-1K
= [55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000
45.3571 112.8571 111.7857 84.2857]T
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010
001
410
141
014
IB
BI
IBI
IB
A 其中
由边界条件确定矩阵方程 KKAU ?
TK ]18018026000802020100[?
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
加密网格，取 h = 0.5
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
定义向量
为 从左到右，自下而上 的自然次序排列的未知函数值，则
正方形区域 Ω中的内部节点上的 个线性方程
写为矩阵方程 AU=K,其中 K由边界条件确定,
T
MMMM
MM
UUU
UUUUUUU
],,,;,,,;,,,[
1,11,21,1
2,12,22,11,11,21,1
????
???
?
???
2)1( ?M
)1,,2,1,(
04,1,1,,1,1
??
?????? ????
Mml
UUUUU mlmlmlmlml
?
椭圆型方程的五点差分格式
)1()1(
41
141
141
14
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MM
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MM
BI
IBI
IBI
IB
A ???
椭圆型方程的五点差分格式
§ 3.2 Neumann边值问题的差分模拟
表示函数 u 沿着边界的外法线方向导数,
在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。
? ?
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???
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???????
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),(),(
10,10|),(),(0
2
2
2
2
yxyxg
n
u
yxyxyx
y
u
x
u
???
?
n
u
椭圆型方程的五点差分格式
讨论左边界 x = 0 上的导数边值条件的差分模拟（ 3.13）
又由点（ 0,m）的五点差分格式
消去 U-1,m，得
1,,2,1
2,0),0(
,1,1 ???
?
???? ? Mmg
x
u
h
UU
m
y
mm
m
?
04,01,01,0,1,1 ????? ??? mmmmm UUUUU
0,m+1
-1,m 0,m 1,m
0,m-1
椭圆型方程的五点差分格式
边界 x = 0上 (3.14)
同理边界 x = 1上 (3.15)
边界 y = 0上 (3.16)
边界 y = 1上 (3.17)
mmmmm hgUUUU,01,01,0,1,0 224 ???? ??
mMmMmMmMmM hgUUUU,1,1,,1,224 ???? ???
0,0,10,11,0,224 lllll hgUUUU ???? ??
MlMlMlMlMl hgUUUU,,1,11,,224 ???? ???
椭圆型方程的五点差分格式
边界 x = 0 边界 x = 1
边界 y = 0 边界 y = 1
4U0,m -2U1,m
-U0,m+1
-U0,m-1
-2UM-1,m 4UM,m
-UM,m+1
-UM,m-1
-Ul-1,0 4Ul,0 -Ul+1,0
-2Ul,1 -Ul-1,M 4Ul,M -Ul+1,M
-2Ul,M-1
椭圆型方程的五点差分格式
在顶点（ 0,0）,取偏导数的平均值作为外法线方向导数
用一阶中心差商代替微商
在顶点（ 0,0）,五点差分格式为
故
)0,0(2
0,0
gyuxu ???
?
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???
?
?
??
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??
-1,0 0,0 1,0
0,1
0,-1 0,00,10,11,01,0 222 gh
UU
h
UU ?
???
?
???
? ??? ??
0,00,10,11,01,0 4 hgUUUU ????? ??
04 0,01,01,00,10,1 ?????? ?? UUUUU
0,00,01,00,1 4422 hgUUU ????
椭圆型方程的五点差分格式
在四个顶点（ 0,0），（ 0,M），（ M,0），（ M,M）
0,01,00,10,0 4224 hgUUU ???
MMMM hgUUU,01,0,1,0 4224 ??? ?
0,0,11,0,4224 MMMM hgUUU ??? ?
MMMMMMMM hgUUU,1,,1,4224 ??? ??
椭圆型方程的五点差分格式
例 1 在单位正方形区域 Ω 上解 Laplace方程的
Nenmann问题
解 网格节点如图所示
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?????
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????????
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21,),(),(
10,10|),(),(0
2
2
2
2
hyxyxg
n
u
yxyxyx
y
u
x
u
U7 U8 U9 顶点
U4 U5 内点 U6 边界点
U1 U2 U3
椭圆型方程的五点差分格式
矩阵方程为
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???
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???
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9
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7
6
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
2
0
2
2
2
420200000
141020000
024002000
100420100
010141010
001024001
000200420
000020141
000002024
g
g
g
g
g
g
g
g
h
U
U
U
U
U
U
U
U
U
椭圆型方程的五点差分格式
令
则矩阵方程为
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BI
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2
2
1
1
1
42
141
24
? ?Tggggggggg 98764321 22022?
? ?TUUUUUUUUUU 987654321?
hgAU 2?
椭圆型方程的五点差分格式
§ 3.3 混合（ Robins） 边值条件
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2
2
2
2
yxyx
n
u
yxuyx
yx
y
u
x
u
。其中 0),(),,( ??? yxyx
椭圆型方程的五点差分格式
例 1 用五点差分格式求解 Laplace方程
在区域
内的近似解，边界值为,
取 。
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2
2
2
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y
u
x
u
? ?40,40|),( ????? yxyx?
40,0),4(,80),0( ???? yyuyu
40,1 8 0)4,(,0)0,( ???? xxuxu y
1??? yxh ??
椭圆型方程的五点差分格式
解 网格节点如图所示
U10 U11 U12
U7 U8 U9
U4 U5 U6
U1 U2 U3
u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180
u(0,3)=80
u(0,2)=80
u(0,1)=80
u(0,0)=80
u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
u(4,0)=0
椭圆型方程的五点差分格式
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????
?????
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????
?????
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1804
1804
2604
04
04
804
04
04
804
024
024
8024
12119
1211108
11107
12986
119875
10874
9653
86542
7541
632
5321
421
UUU
UUUU
UUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUU
UUUU
UUU
椭圆型方程的五点差分格式
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180
180
260
0
0
80
0
0
80
0
0
80
410100000000
141010000000
014001000000
100410100000
010141010000
001014001000
000100410100
000010141010
000001014001
000000200410
000000020141
000000002014
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
椭圆型方程的五点差分格式
?
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100
010
001
410
141
014
2
IB
BI
IBI
IBI
IB
A
其中
? ? TK 1 8 01 8 02 6 0008000800080?
椭圆型方程的五点差分格式
解矩阵方程 AU = K
U= [71.8218 56.8543 32.2342 …
75.2165 61.6806 36.0412 …
87.3636 78.6103 50.2502 …
115.6276 115.1468 86.3492]T
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
作业,
1,P.115例 3.1取 h=1/3，利用五点
差分格式写出求解节点上的 Ul,m值的线
性方程组及矩阵方程。
2,P.159习题三 2
微分方程数值解
计算科学系 杨韧
椭圆型方程的五点差分格式
第三章 椭圆型方程的差分格式
02
2
2
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?????? y ux uL a p l a c e 方程
),(2
2
2
2
yxgy ux uPo i s s o n ??????方程
),(),(),(
),(),(),(
2
2
2
2
yxguyxf
y
u
yxe
x
u
yxd
y
u
yxc
x
u
yxa
??
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一般方程
椭圆型方程的五点差分格式
§ 3.1 正方形区域中的 Laplace 方程
Dirichlet边值问题的差分模拟
设 Ω 是 xy 平面中的具有正方形边界 的一个有界
区域，考虑 Laplace方程的第一边值（ Dirichlet ）问题
??
??
?
?
?
???
??
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),(),(),(
),(0
2
2
2
2
yxyxfyxu
yx
y
u
x
u
椭圆型方程的五点差分格式
网格节点（ l, m）
处的二阶中心差商代替
二阶微商（ 注意,l 表示列,
m表示行 ）
l,m+1
l–1,m l,m l+1,m
l,m–1
2
,1,,1
2
2 2
h
uuu
x
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2
1,,1,
2
2 2
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uuu
y
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椭圆型方程的五点差分格式
Laplace方程的五点差分格式 (3.6)为
截断误差为 。 )( 2hO
? ? 041,1,1,,1,12 ????? ???? mlmlmlmlml UUUUU
h
-Ul,m+1
-Ul–1,m 4U l,m -U l+1,m
-Ul,m–1
椭圆型方程的五点差分格式
令
则 Laplac方程的五点差分格式为（ 3.8）
即
? ?mlmlmlmlmlml UUUUU
h
U,1,1,,1,12,41 ?????? ????
1,,2,1,0,???? MmlU ml ?
)1,,2,1,(
04,1,1,,1,1
??
?????? ????
Mml
UUUUU mlmlmlmlml
?
椭圆型方程的五点差分格式
例 1 用五点差分格式求解 Laplace方程
在区域
内的近似解，边界值为,
取 。
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?
??
?
?
y
u
x
u
? ?40,40|),( ????? yxyx?
40,0),4(,80),0( ???? yyuyu
40,180)4,(,20)0,( ???? xxuxu
1??? yxh ??
椭圆型方程的五点差分格式
解 网格点如图所示
U7 U8 U9
U4 U5 U6
U1 U2 U3
u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20
u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180
u(0,3)=80
u(0,2)=80
u(0,1)=80
u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
椭圆型方程的五点差分格式
?
?
?
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????
?????
????
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1804
1804
2604
04
04
804
204
204
1004
986
9875
874
9653
86542
7541
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5321
421
UUU
UUUU
UUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUU
UUUU
UUU
椭圆型方程的五点差分格式
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180
260
0
0
80
20
20
100
410100000
141010000
014001000
100410100
010141010
001014001
000100410
000010141
000001014
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
椭圆型方程的五点差分格式
,解得
U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]’=A-1K
= [55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000
45.3571 112.8571 111.7857 84.2857]T
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100
010
001
410
141
014
IB
BI
IBI
IB
A 其中
由边界条件确定矩阵方程 KKAU ?
TK ]18018026000802020100[?
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
加密网格，取 h = 0.5
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
定义向量
为 从左到右，自下而上 的自然次序排列的未知函数值，则
正方形区域 Ω中的内部节点上的 个线性方程
写为矩阵方程 AU=K,其中 K由边界条件确定,
T
MMMM
MM
UUU
UUUUUUU
],,,;,,,;,,,[
1,11,21,1
2,12,22,11,11,21,1
????
???
?
???
2)1( ?M
)1,,2,1,(
04,1,1,,1,1
??
?????? ????
Mml
UUUUU mlmlmlmlml
?
椭圆型方程的五点差分格式
)1()1(
41
141
141
14
???
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MM
B ???
22
)1()1( ???
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??
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MM
BI
IBI
IBI
IB
A ???
椭圆型方程的五点差分格式
§ 3.2 Neumann边值问题的差分模拟
表示函数 u 沿着边界的外法线方向导数,
在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。
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???
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),(),(
10,10|),(),(0
2
2
2
2
yxyxg
n
u
yxyxyx
y
u
x
u
???
?
n
u
椭圆型方程的五点差分格式
讨论左边界 x = 0 上的导数边值条件的差分模拟（ 3.13）
又由点（ 0,m）的五点差分格式
消去 U-1,m，得
1,,2,1
2,0),0(
,1,1 ???
?
???? ? Mmg
x
u
h
UU
m
y
mm
m
?
04,01,01,0,1,1 ????? ??? mmmmm UUUUU
0,m+1
-1,m 0,m 1,m
0,m-1
椭圆型方程的五点差分格式
边界 x = 0上 (3.14)
同理边界 x = 1上 (3.15)
边界 y = 0上 (3.16)
边界 y = 1上 (3.17)
mmmmm hgUUUU,01,01,0,1,0 224 ???? ??
mMmMmMmMmM hgUUUU,1,1,,1,224 ???? ???
0,0,10,11,0,224 lllll hgUUUU ???? ??
MlMlMlMlMl hgUUUU,,1,11,,224 ???? ???
椭圆型方程的五点差分格式
边界 x = 0 边界 x = 1
边界 y = 0 边界 y = 1
4U0,m -2U1,m
-U0,m+1
-U0,m-1
-2UM-1,m 4UM,m
-UM,m+1
-UM,m-1
-Ul-1,0 4Ul,0 -Ul+1,0
-2Ul,1 -Ul-1,M 4Ul,M -Ul+1,M
-2Ul,M-1
椭圆型方程的五点差分格式
在顶点（ 0,0）,取偏导数的平均值作为外法线方向导数
用一阶中心差商代替微商
在顶点（ 0,0）,五点差分格式为
故
)0,0(2
0,0
gyuxu ???
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???
?
?
??
?
??
-1,0 0,0 1,0
0,1
0,-1 0,00,10,11,01,0 222 gh
UU
h
UU ?
???
?
???
? ??? ??
0,00,10,11,01,0 4 hgUUUU ????? ??
04 0,01,01,00,10,1 ?????? ?? UUUUU
0,00,01,00,1 4422 hgUUU ????
椭圆型方程的五点差分格式
在四个顶点（ 0,0），（ 0,M），（ M,0），（ M,M）
0,01,00,10,0 4224 hgUUU ???
MMMM hgUUU,01,0,1,0 4224 ??? ?
0,0,11,0,4224 MMMM hgUUU ??? ?
MMMMMMMM hgUUU,1,,1,4224 ??? ??
椭圆型方程的五点差分格式
例 1 在单位正方形区域 Ω 上解 Laplace方程的
Nenmann问题
解 网格节点如图所示
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?????
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????????
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21,),(),(
10,10|),(),(0
2
2
2
2
hyxyxg
n
u
yxyxyx
y
u
x
u
U7 U8 U9 顶点
U4 U5 内点 U6 边界点
U1 U2 U3
椭圆型方程的五点差分格式
矩阵方程为
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???
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9
8
7
6
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
2
0
2
2
2
420200000
141020000
024002000
100420100
010141010
001024001
000200420
000020141
000002024
g
g
g
g
g
g
g
g
h
U
U
U
U
U
U
U
U
U
椭圆型方程的五点差分格式
令
则矩阵方程为
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BI
IBI
IB
AIB
2
2
1
1
1
42
141
24
? ?Tggggggggg 98764321 22022?
? ?TUUUUUUUUUU 987654321?
hgAU 2?
椭圆型方程的五点差分格式
§ 3.3 混合（ Robins） 边值条件
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),(),(),(),(
),(0
2
2
2
2
yxyx
n
u
yxuyx
yx
y
u
x
u
。其中 0),(),,( ??? yxyx
椭圆型方程的五点差分格式
例 1 用五点差分格式求解 Laplace方程
在区域
内的近似解，边界值为,
取 。
02
2
2
2
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??
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y
u
x
u
? ?40,40|),( ????? yxyx?
40,0),4(,80),0( ???? yyuyu
40,1 8 0)4,(,0)0,( ???? xxuxu y
1??? yxh ??
椭圆型方程的五点差分格式
解 网格节点如图所示
U10 U11 U12
U7 U8 U9
U4 U5 U6
U1 U2 U3
u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180
u(0,3)=80
u(0,2)=80
u(0,1)=80
u(0,0)=80
u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
u(4,0)=0
椭圆型方程的五点差分格式
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?????
????
?????
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?????
?????
??????
?????
????
?????
???
1804
1804
2604
04
04
804
04
04
804
024
024
8024
12119
1211108
11107
12986
119875
10874
9653
86542
7541
632
5321
421
UUU
UUUU
UUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUU
UUUU
UUU
椭圆型方程的五点差分格式
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???
??
???
????
???
???
????
???
??
???
??
180
180
260
0
0
80
0
0
80
0
0
80
410100000000
141010000000
014001000000
100410100000
010141010000
001014001000
000100410100
000010141010
000001014001
000000200410
000000020141
000000002014
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
椭圆型方程的五点差分格式
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100
010
001
410
141
014
2
IB
BI
IBI
IBI
IB
A
其中
? ? TK 1 8 01 8 02 6 0008000800080?
椭圆型方程的五点差分格式
解矩阵方程 AU = K
U= [71.8218 56.8543 32.2342 …
75.2165 61.6806 36.0412 …
87.3636 78.6103 50.2502 …
115.6276 115.1468 86.3492]T
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
椭圆型方程的五点差分格式
作业,
1,P.115例 3.1取 h=1/3，利用五点
差分格式写出求解节点上的 Ul,m值的线
性方程组及矩阵方程。
2,P.159习题三 2
