Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
微分方程数值解
计算科学系 杨韧
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
§ 3.4 非矩形区域
考虑邻接边界的内部结点
解 u 在结点 ( l,m )上的 Taylor展开式
l–s3,m l,m l+s1,m
l,m–s4
l,m+s2
?
s2h
?
s4h
?
s3h
? s
1h
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
ml
msl hOx
uhs
x
uhsuu
,
3
2
2
22
11,)(2
1
1 ??
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?
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ml
sml hOy
uhs
y
uhsuu
,
3
2
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22
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1
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ml
msl hOx
uhs
x
uhsuu
,
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33,)(2
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ml
sml hOy
uhs
y
uhsuu
,
3
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2
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44,)(2
1
4 ??
?
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?
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s3×
s1×
s4×
s2×
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
? ?
)(
)(
)()(2
3131
2
,,1,,3
,
2
2
31
hO
ssssh
uusuus
x
u mlmslmlmsl
ml
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)(
)(
)()(2
4242
2
,,2,,4
,
2
2
42
hO
ssssh
uusuus
y
u mlsmlmlsml
ml
?
?
???
?
?
? ??
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Laplace方程的五点差分格式为 (3.26)
其中
当 时，为五点差分格式（ 3.6）。
? ? 01,0,4,3,2,12
4321
?????????? ???? mlsmlmslsmlmsl UUUUUh
442
4
331
3 )(
2
)(
2
ssssss ??????
242
2
131
1 )(
2
)(
2
ssssss ??????
43210 ?????????
14321 ???? ssss
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
§ 3.6 矩形区域上的 Poisson方程的五点
差分逼近的敛速分析
Poisson方程的第一边值问题
其中 Ω 为矩形域。
??
?
?
?
???
???
?
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?
),(),(),(
),(),(
2
2
2
2
yxyxgyxu
yxyxf
y
u
x
u
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Poisson方程的五点差分格式为
（ 3.32）
（ 3.33）
??),( ml
???? ),(,,mlgU mlml
? ? mlmlmlmlmlml fUUUUU
h,,1,1,,1,12
41 ?????? ????
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
定理 3.3 若 Poisson方程的第一边值问题的解
,则五点差分格式（ 3.32）的解
一致收敛到 u(x,y)，且有敛速估计
其中
)(),( 4,4 ?Cyxu ?
2
4,12
1),(m a x hMUyxu
mlml
h
??
?
?
?
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?
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?
?
??
4
4
4
4
4 m a x,m a xm a x y
u
x
uM
??
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
例 1 用五点差分格式求解 Poisson方程
在区域
内的近似解，齐次边界条件为,
取 。
12
2
2
2
??
?
??
?
?
y
u
x
u
? ?11,11|),( ???????? yxyx
11,0),1(,0),1( ?????? yyuyu
11,0)1,(,0)1,( ?????? xxuxu
5.0??? yxh ??
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
解 五点差分格式为
?
?
?
?????
??????? ????
)3,2,140;4,3,2,1,040(0
)3,2,1,(4
,
2
,1,1,,1,1
lmmlU
mlhUUUUU
ml
mlmlmlmlml
时或时或
U7
U8
U9
U4
U5
U6
U1
U2
U3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
方程组
?
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????
?????
????
?????
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414
414
414
414
414
414
414
414
414
986
9875
874
9653
86542
7541
632
5321
421
UUU
UUUU
UUU
UUUU
UUUUU
UUUU
UUU
UUUU
UUU
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
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41
41
41
41
41
41
41
41
410100000
141010000
014001000
100410100
010141010
001014001
000100410
000010141
000001014
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
,解得
U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]T=A-1K
= [0.1719 0.2187 0.1719 0.2187 0.2812
0.2187 0.1719 0.2187 0.1719]T
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100
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001
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IB
BI
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A 其中
KAU ?矩阵方程
T
K ?
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4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
§ 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近
及其性质研究
线性椭圆型方程第一边值问题 (3.36)
?
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),(),(
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2
2
2
2
yxyxu
yxyxguyxf
y
u
yxe
x
u
yxd
y
u
yxc
x
u
yxa
?
?
上的连续函数。为
其中
?),(
,0),(),,(),,(,0),(,0),(
yxg
yxfyxeyxdyxcyxa ???
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
用差商代替微商得
mlmlml
mlml
ml
mlml
ml
mlmlml
ml
mlmlml
ml
gUf
h
UU
e
h
UU
d
h
UUU
c
h
UUU
a
,,,
1,1,
,
,1,1
,
2
1,,1,
,2
,1,,1
,
22
22
??
?
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?
??
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????
????
l,m+1
l–1,m l,m l+1,m
l,m–1
β1 β2
β3
β4
-β0
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
整理得 (3.36)的差分格式为 (3.37)
其中
解矩阵方程 AU=K,K由边值条件及非齐次项 h2gl,m构成。
mlmlmlmlmlml ghUUUUU,
2
,01,41,3,12,11 ?????????? ????
)
2
1
(2
2
1
2
1
2
1
2
1
,
2
,,0
,,4,,3
,,2,,1
mlmlml
mlmlmlml
mlmlmlml
fhca
hechec
hdahda
????
??????
??????
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
例 1 求解 椭圆型方程第一边值问题
取步长为 h = 1/3。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
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????
????
??????
??
?
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?
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101)1,(,0)0,(
10),1(,),0(
10,10),(:),(
1)1()1(
2
2
2
2
2
2
xxuxu
yyyuyyu
yxyxyx
u
y
u
y
x
u
x
??
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
解 正方形网格为
(1,2) (2,2)
(1,1) (2,1)
u(1/3,1)=1 u(2/3,1)=1
u(1/3,0)=0 u(2/3,0)=0
u(0,2/3)=2/3
u(0,1/3)=1/3
u(1,2/3)=4/9
u(1,1/3)=1/9
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
差分方程为
1),(,1),(
,0),(),(,1),(,1),( 2
???
??????
yxgyxf
yxeyxdyyxcxyxa
2
,01,41,3,12,11 hUUUUU mlmlmlmlml ???????????? ????
)2,1,()18 1(2,,0 ????? mlca mlml
131,21 ???????? llha ml
1
9
1)(
2
2
,43 ????????
mmhc
ml
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
3
19
18
1
9
13
3
52
9
13
3
5)2,2(
04321 ???
??
?
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5
18
1
9
10
3
42
9
10
3
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04321 ???
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3
17
18
1
9
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3
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9
10
3
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04321 ???
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3
17
18
1
9
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3
42
9
13
3
4)2,1(
04321 ???
??
?
? ????????????
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
差分方程组为
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
???????
???????
???????
???????
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1
3
19
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13
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5
3
5
9
1
3
17
9
10
9
13
3
4
3
4
9
1
3
17
9
10
9
10
3
5
3
5
9
1
5
9
10
9
10
3
4
3
4
2,21,23,22,12,3
2,11,13,12,02,2
1,20,22,21,11,3
1,10,12,11,01,2
UUUUU
UUUUU
UUUUU
UUUUU
?
31 ?0
?
91
?
94
?0
?
32
?1
?1
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
差分方程组为化解为
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?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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????
????
????
???
27
56
3
19
3
5
9
13
9
20
3
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3
17
9
13
27
2
9
10
3
17
3
5
3
1
9
10
3
4
5
221221
221211
222111
122111
UUU
UUU
UUU
UUU
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
令
得矩阵方程 AU=K
U = A-1K
= [ 0.2450 0.1875 0.5775 0.5222 ]T
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2756
920
272
31
319359130
433170913
910031753
0910345
22
12
21
11
K
U
U
U
U
UA
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
微分方程数值解
计算科学系 杨韧
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
§ 3.4 非矩形区域
考虑邻接边界的内部结点
解 u 在结点 ( l,m )上的 Taylor展开式
l–s3,m l,m l+s1,m
l,m–s4
l,m+s2
?
s2h
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s4h
?
s3h
? s
1h
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
ml
msl hOx
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x
uhsuu
,
3
2
2
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11,)(2
1
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
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)(
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2
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31
hO
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Laplace方程的五点差分格式为 (3.26)
其中
当 时，为五点差分格式（ 3.6）。
? ? 01,0,4,3,2,12
4321
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
§ 3.6 矩形区域上的 Poisson方程的五点
差分逼近的敛速分析
Poisson方程的第一边值问题
其中 Ω 为矩形域。
??
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???
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),(),(),(
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Poisson方程的五点差分格式为
（ 3.32）
（ 3.33）
??),( ml
???? ),(,,mlgU mlml
? ? mlmlmlmlmlml fUUUUU
h,,1,1,,1,12
41 ?????? ????
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
定理 3.3 若 Poisson方程的第一边值问题的解
,则五点差分格式（ 3.32）的解
一致收敛到 u(x,y)，且有敛速估计
其中
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2
4,12
1),(m a x hMUyxu
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
例 1 用五点差分格式求解 Poisson方程
在区域
内的近似解，齐次边界条件为,
取 。
12
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11,0),1(,0),1( ?????? yyuyu
11,0)1,(,0)1,( ?????? xxuxu
5.0??? yxh ??
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
解 五点差分格式为
?
?
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?????
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)3,2,140;4,3,2,1,040(0
)3,2,1,(4
,
2
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时或时或
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
方程组
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86542
7541
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UUU
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UUUU
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Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
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001014001
000100410
000010141
000001014
9
8
7
6
5
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U
U
U
U
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
,解得
U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]T=A-1K
= [0.1719 0.2187 0.1719 0.2187 0.2812
0.2187 0.1719 0.2187 0.1719]T
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100
010
001
410
141
014
IB
BI
IBI
IB
A 其中
KAU ?矩阵方程
T
K ?
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??
?
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4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
§ 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近
及其性质研究
线性椭圆型方程第一边值问题 (3.36)
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),(),(
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),(),(),(),(
2
2
2
2
yxyxu
yxyxguyxf
y
u
yxe
x
u
yxd
y
u
yxc
x
u
yxa
?
?
上的连续函数。为
其中
?),(
,0),(),,(),,(,0),(,0),(
yxg
yxfyxeyxdyxcyxa ???
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
用差商代替微商得
mlmlml
mlml
ml
mlml
ml
mlmlml
ml
mlmlml
ml
gUf
h
UU
e
h
UU
d
h
UUU
c
h
UUU
a
,,,
1,1,
,
,1,1
,
2
1,,1,
,2
,1,,1
,
22
22
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????
????
l,m+1
l–1,m l,m l+1,m
l,m–1
β1 β2
β3
β4
-β0
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
整理得 (3.36)的差分格式为 (3.37)
其中
解矩阵方程 AU=K,K由边值条件及非齐次项 h2gl,m构成。
mlmlmlmlmlml ghUUUUU,
2
,01,41,3,12,11 ?????????? ????
)
2
1
(2
2
1
2
1
2
1
2
1
,
2
,,0
,,4,,3
,,2,,1
mlmlml
mlmlmlml
mlmlmlml
fhca
hechec
hdahda
????
??????
??????
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
例 1 求解 椭圆型方程第一边值问题
取步长为 h = 1/3。
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????
????
??????
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101)1,(,0)0,(
10),1(,),0(
10,10),(:),(
1)1()1(
2
2
2
2
2
2
xxuxu
yyyuyyu
yxyxyx
u
y
u
y
x
u
x
??
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
解 正方形网格为
(1,2) (2,2)
(1,1) (2,1)
u(1/3,1)=1 u(2/3,1)=1
u(1/3,0)=0 u(2/3,0)=0
u(0,2/3)=2/3
u(0,1/3)=1/3
u(1,2/3)=4/9
u(1,1/3)=1/9
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
差分方程为
1),(,1),(
,0),(),(,1),(,1),( 2
???
??????
yxgyxf
yxeyxdyyxcxyxa
2
,01,41,3,12,11 hUUUUU mlmlmlmlml ???????????? ????
)2,1,()18 1(2,,0 ????? mlca mlml
131,21 ???????? llha ml
1
9
1)(
2
2
,43 ????????
mmhc
ml
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
3
19
18
1
9
13
3
52
9
13
3
5)2,2(
04321 ???
??
?
? ????????????
5
18
1
9
10
3
42
9
10
3
4)1,1(
04321 ???
??
?
? ????????????
3
17
18
1
9
10
3
52
9
10
3
5)1,2(
04321 ???
??
?
? ????????????
3
17
18
1
9
13
3
42
9
13
3
4)2,1(
04321 ???
??
?
? ????????????
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
差分方程组为
?
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???????
???????
???????
???????
9
1
3
19
9
13
9
13
3
5
3
5
9
1
3
17
9
10
9
13
3
4
3
4
9
1
3
17
9
10
9
10
3
5
3
5
9
1
5
9
10
9
10
3
4
3
4
2,21,23,22,12,3
2,11,13,12,02,2
1,20,22,21,11,3
1,10,12,11,01,2
UUUUU
UUUUU
UUUUU
UUUUU
?
31 ?0
?
91
?
94
?0
?
32
?1
?1
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
差分方程组为化解为
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?
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????
????
????
???
27
56
3
19
3
5
9
13
9
20
3
4
3
17
9
13
27
2
9
10
3
17
3
5
3
1
9
10
3
4
5
221221
221211
222111
122111
UUU
UUU
UUU
UUU
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
令
得矩阵方程 AU=K
U = A-1K
= [ 0.2450 0.1875 0.5775 0.5222 ]T
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?
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??
??
??
?
2756
920
272
31
319359130
433170913
910031753
0910345
22
12
21
11
K
U
U
U
U
UA
Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程
