金融风险与金融数学 1
金融风险和金融数学
史树中
北京大学金融数学与金融工程研究中心
北京大学光华管理学院金融系
金融风险与金融数学 2
什么是风险和什么是金融风险？
? 风险是 可能发生的危险 。
? 风险＝ 不确定性。
? 金融风险就是 金融中可能发生的危险 。
? 换句话说，就是 可能发生的钱财损失 。
? 金融风险＝ 金融中的不确定性。
? 金融风险包括市场风险，信用风险、流
动性风险，营运风险等等。
金融风险与金融数学 3
什么是金融经济学和金融数学？
? 金融经济学与其他经济学科的主要区别
就在于 市场环境的不确定性。
? 金融经济学主要研究不确定性市场环境
下的金融商品的定价理论。
? 金融数学就是金融商品定价的数学理论。
? 因此，也可以说，金融经济学以至金融
数学都是研究金融风险的理论。
金融风险与金融数学 4
研究不确定性的数学－概率论
? 直到现在为止，研究不确定性的最主要
的数学学科是 概率论 (其他还有：模糊数
学、混沌理论、集值分析、微分包含等 )。
? 概率论几乎可以说是起源于研究“金融
风险”的。那是一种简单的“金融风险”
问题,赌博 。
金融风险与金融数学 5
概率论的早期历史
? Blaise Pascal
(1623-1662)
Pierre de Fermat
(1601-1665)
1654 年 Pascal 与 Fermat
的五封通信，奠定概率
论的基础。他们当时考
虑一个掷骰子问题，开
始形成数学期望的概念，
并以“输赢的钱的数学
期望”来为赌博“定
价”。
金融风险与金融数学 6
Pascal － Fermat 问题
? 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者
赢。有一次,A 掷满 4 次双 6 点,B 掷
满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无
意再赌下去，那么该怎样分割赌注？
? 答案,A 得 3/4,B 得 1/4.
? 结论：应该用数学期望来定价。
金融风险与金融数学 7
概率论的早期历史 (续 )
Jacob Bernoulli
(1654-1705)
1713 年发表《猜
度术 (Ars
Conjectandi),。
这是当时最重要、
最有原创性的概
率论著作。由此
引起所谓“圣彼
德堡悖论”问题。
金融风险与金融数学 8
“圣彼德堡悖论”问题
? 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第
一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三
次赢得 4 元,…… 一般情形为前 n 次输，
第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少钱，
才能使这场赌博是“公平”的？
? 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
2n
金融风险与金融数学 9
“圣彼德堡悖论”
? 1738 年发表, 对机遇
性赌博的分析, 提出
解决, 圣彼德堡悖论,
的, 风险度量新理
论, 。指出用, 钱的
数学期望, 来作为决
策函数不妥。应该用
,钱的函数的数学期
望, 。
Daniel Bernoulli
（ 1700-1782)
金融风险与金融数学 10
期望效用函数
1944 年在巨著
,对策论与经济
行为, 中用数学
公理化方法提出
期望效用函数。
这是经济学中首
次严格定义风险。John von Neumann
(1903-1957)
Oskar Morgenstern
(1902-1977)
金融风险与金融数学 11
用期望效用函数来刻划风险
? 所谓期望效用函数是定义在一个随机变
量集合上的函数，它在一个随机变量上
的取值等于它作为数值函数在该随机变
量上取值的数学期望。用它来判断有风
险的利益，那就是比较“钱的函数的数
学期望”。
? 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x,以概率
(1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函
数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
金融风险与金融数学 12
有风险与无 风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之
间的利益比较就是比较
u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y)
之间的大小。如果它们相等，表示对 风
险中性 (不在乎 )；一般取 <，表示对 风
险厌恶 。 取 > 表示对 风险爱好。
金融风险与金融数学 13
Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结
为函数 u 的凸
性的比较。它
的程度可用
-u’’/u’ 来度量。
它由 Arrow
(1965) 和 Pratt
(1964) 所提出。
金融风险与金融数学 14
期望效用函数的争论
? 期望效用函数似乎是相当
人为、相当主观的概念。
一开始就受到许多批评。
其中最著名的是,Allais
悖论” (1953)。
? 由此引起许多非期望效用
函数的研究，涉及许多古
怪的数学。但都不很成功。 Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济
奖获得者。
金融风险与金融数学 15
Knight 的
,风险、不确定性与利润, (1921)
? Knight 不承认“风险 =不确定
性”，提出“风险”是有概率
分布的随机性，而“不确定性”
是不可能有概率分布的随机性。
? Knight 的观点并未被普遍接受。
但是这一观点成为研究方法上
的区别。Frank Hyneman
Knight (1885-
1972)
金融风险与金融数学 16
Arrow-Debreu 的不确定状态
? 1954 年 Arrow 和
Debreu 发表一般
经济均衡的严格数
学公理化证明。
? 他们在处理不确定
性时采用 Knight 的
观点。光有状态，
没有概率。
Kenneth J,
Arrow （ 1921-)
1972年诺贝尔经
济学奖获得者
Gerard Debreu
(1921-)
1983年诺贝尔经
济奖获得者
金融风险与金融数学 17
Arrow (1953), 证券价值对于
风险的最优配置的作用,
Arrow 的
文章被认为是
第一篇用数学
模型论证证券
如何分散金融
风险的研究论
文。
金融风险与金融数学 18
“华尔街的革命”
金融风险与金融数学 19
‘在华尔街发生的两次革命已经开创了
在金融界需要研究型的数学家的专长。第
一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数
量方法，它开始于 Harry Markowitz 在
1952 年发表的博士论文, 证券组合选
择, 。第二次金融中的革命开始于 1973
年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请
教了 Robert Merton)发表对期权定价问题
的解答。 Black-Scholes 公式给金融行业
带来了现代鞅和随机分析的方法；这种方
法使投资银行能够对无穷无尽的, 衍生证
券, 进行生产、定价和套期保值。 ……’
金融风险与金融数学 20
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Harry Markowitz,
(1927-), 证券组合
选择理论,
Merton Miller,
(1923-2000)
Modigliani-Miller
定理 (MMT)
William Sharpe,
(1934-)资本资产
定价模型（ CAPM)
金融风险与金融数学 21
1997 年诺贝尔经济奖获得者
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-Scholes-Merton
期权定价理论问世
Robert Merton,
(1944-),连续
时间金融学,
Myron Scholes,
(1941-) 期权定
价公式
金融风险与金融数学 22
Markowitz 证券组合选择问题
? 一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应
该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收
益最大，风险最小。
? Markowitz 把证券的收益率看作一个随机变量，
而收益定义为这个随机变量的数学期望，风险
则定义为这个随机变量的标准差。
? 如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归
结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的
数学规划。
金融风险与金融数学 23
Markowitz 问题的数学形式
金融风险与金融数学 24
Markowitz 理论的基本结论
? 对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风
险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为
组合前沿 。
? 在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双
曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组
合前沿是若干段双曲线段的拼接。
? 组合前沿的上半部称为 有效前沿 。对于有效前
沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方
面都优于它的证券组合。
金融风险与金融数学 25
风险－收益图 和 有效前沿
风险
收
益
金融风险与金融数学 26
风险－收益图 和 有效前沿
金融风险与金融数学 27
沪深两市的风险收益图
金融风险与金融数学 28
Markowitz 的基本思想
? 风险在某种意义下是可以度量的。
? 各种风险有可能互相抑制，或者说可能
,对冲, 。因此，投资不要, 把鸡蛋放
在一个篮子里,,而要, 分散化, 。
? 在某种, 最优投资, 的意义下，收益大
意味着要承担的风险也更大。
金融风险与金融数学 29
互相关的概念
金融风险与金融数学 30
关于我国股市的互相关
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
1997-12-17 1998-01-28 1998-03-11 1998-04-22 1998-06-03 1998-07-15 1998-08-26 1998-10-07 1998-11-18 1998-12-30 1999-02-10 1999-03-24 1999-05-05 1999-06-16 07/28/1999 09/08/1999 10/20/1999 12/01/1999 01/12/2000 02/23/2000 04/05/2000 05/17/2000 06/28/2000 08/09/2000 09/20/2000
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金融风险与金融数学 31
Tobin 的二基金分离定理
? 由于 Markowitz 问题是线
性问题，因而两个有不同
收益的解的线性组合就可
生成整个组合前沿。
? 这两个特殊的组合可以看
成“基金”。这个结果称
为 二基金分离定理。 它是
Tobin (1958) 首先提出的。
James Tobin,
(1918-) 1981
年诺贝尔经济
学奖获得者
金融风险与金融数学 32
资本资产定价模型 (CAPM)
Sharpe (1964) 和另一些经济学家，
则进一步在一般经济均衡的框架下，假
定所有投资者都以 Markowitz 的准则来
决策，而导出全市场的证券组合是有效
的以及所谓资本资产定价模型 (Capital
Asset Pricing Model,CAPM)。这一模
型认为，每种证券的收益率都只与市场
收益率和无风险收益率有关。
金融风险与金融数学 33
资本资产定价模型 (CAPM)
无风险收益率
证券收益率
市场收益率
E, 平均值 (数学期望 )
Cov,协方差； Var,方差
金融风险与金融数学 34
各种证券的风险－收益图
金融风险与金融数学 35
无套利假设
Miller 与 Modigliani
(1958)的 M-M 定理不但为
公司理财这门新学科奠定了
基础，并且首次在文献中明
确提出无套利假设。所谓 无
套利假设 是指在一个完善的
金融市场中，不存在套利机
会 (即确定的低买高卖之类
的机会 )。
Franco Modigliani,
(1918-) 1985 年诺贝
尔经济奖获得者
金融风险与金融数学 36
无套利假设和 B-S 期权定价理论
? 以无套利假设作为出发点的一大成就也
就是 Black-Scholes 期权定价理论。
? 期权是指以某固定的执行价格在一定的
期限内买入某种股票的权利。期权在它
被执行时，如果股票的市价高于期权规
定的执行价格，那么期权的价格就是市
价与执行价格之差；反之，期权是无用
的，其价格为零。
? 现在要问，期权未到期时的价值。
金融风险与金融数学 37
为解决这一问题,Black 和 Scholes
先把模型连续动态化。他们假定模型中
有两种证券，一种是债券，它是无风险
证券，其收益率是常数；另一种是股票，
它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统，
它也可用证券收益率的期望和方差来刻
划，但是动态化以后，其价格的变化满
足一个随机微分方程，其含义是随时间
变化的随机收益率，其期望值和方差都
与时间间隔成正比。这种随机微分方程
称为几何布朗运动。
金融风险与金融数学 38
然后，利用每一时刻都可通过股票
和期权的适当组合对冲风险，使得该组
合变成无风险证券，从而就可得到期权
价格与股票价格之间的一个偏微分方程，
其中的参数是时间、期权的执行价格、
债券的利率和股票价格的“波动率”。
出人意料的是这一方程居然还有显式解。
于是 Black-Scholes 期权定价公式就这样
问世了。
金融风险与金融数学 39
Black-Scholes 期权定价公式
金融风险与金融数学 40
Black-Scholes 期权定价公式
? c(x,t) 是股价为 x,时刻为 t 的欧式买入期
权的价值；
? K 为期权的执行价； T 是到期日； r 是
无风险利率； ? 为股票价格的波动率
（标准差）；
? N 称为累积正态分布函数；
? 除了 ? 需要估计以外，其他都可直接观
察到，用起来很方便。
?
金融风险与金融数学 41
Black-Scholes 模型和方程式
债券方程：
股票方程：
Black-Scholes 方程
金融风险与金融数学 42
Black-Scholes 期权定价公式
股价
期
权
价
t=T
t<T
K
金融风险与金融数学 43
Black-Scholes 公式计算软件
金融风险与金融数学 44
用期权对冲股价风险
合成的投资组合
差
价
股价
股价
期
权
价
买入股票
卖出 (看跌 ) 期权 股价
获
利
金融风险与金融数学 45
Black-Scholes-Merton
的基本思想
?,没有免费的午餐, (无套利假设 )。
? 无套利假设可用来为金融产品，尤其是
为金融衍生产品定价。
? 如果一个投资组合使所有市场风险都被
对冲，那么它就相当于无风险证券 (国库
券 )。
金融风险与金融数学 46
Black-Scholes-Merton 理论
的历史意义
? The Black-Scholes option pricing model
established the everyday use of
mathematical models as essential tools in
the world of finance,both in the classroom
and on the trading floor.
? 无论是在教室里还是在交易大厅中，
Black-Sholes 期权定价模型都作为实质
性的工具，确立了数学模型在金融界的
日常运用。
金融风险与金融数学 47
历史意义 (续 )
? The model offers a methodology to predict
the seemingly unpredictable by using the
lessons of complex mathematics and
probability theory to forecast stock
valuations,making it possible to
successfully manage risk in the financial
market,
? 模型提供一种方法论，它用复杂的数学
和概率论来预测看起来是不可预知的股
票估值，使得有可能来成功地管理金融
市场中的风险。
金融风险与金融数学 48
历史意义 (续 )
? In less than thirty years it has changed the
course of economic theory and financial
practice,
? 在不到三十年的时间里，它已经改变了
经济理论的课程和金融实践。
金融风险与金融数学 49
历史意义 (续 )
? The work of Robert Merton,Fischer Black
and Myron Scholes is the culmination of a
series of discoveries and theories spanning
the twentieth century.
? Merton,Black 和 Scholes 的工作是整
个二十世纪中一系列发现和理论的累积。
金融风险与金融数学 50
历史意义 (续 )
? From Louis Bachelier,an obscure French
mathematician who wrote at the turn of the
century,through the contributions of
scholars such as Harry Markowitz,John
Lintner,William Sharpe,Eugene Fama,
Franco Modigliani,and Merton Miller,the
quest to apply the lessons of probability
theory to the stock market has been a key
focus of twentieth-century American
finance.
金融风险与金融数学 51
历史意义 (续 )
? 从一位鲜为人知的法国数学家
Bachelier 在世纪之交撰文，再通过诸
如 Markowitz,Lintner,Sharpe,Fama、
Modigliani,Miller 这样的学者的贡献，
寻求把概率论应用于股市已经成为二十
世纪美国金融学的关键的焦点。
－引自哈佛商学院 Baker 图书馆网页
金融风险与金融数学 52
资产定价基本定理
? Black-Scholes 理论
的成功使人们认识到
用, 无套利假设, 来
为金融商品定价是非
常强有力的。这一思
想被 Stephen Ross
(1940-) 等进一步发
展为, 资产定价基本
定理, (1978)。
这一定理的最简
单情形可在下述模型
中来叙述：假定当前
状态确定，未来有 S
种不确定状态。市场
中有 J 种证券。
金融风险与金融数学 53
资产定价基本定理 (续 )
? 资产定价基本定理,无套利假设等价于
存在 S 个正常数，使得每种证券的当前
价格等于其 S 种未来价格与这 S 个常数
的乘积和。
? 如果有一种始终为 1 的无风险证券，那
么这 S 个常数可看作每一状态发生的概
率。
金融风险与金融数学 54
资产定价基本定理 (续 )
? 与以前的“赌博定价”相比较，它既不
再是用“钱的数学期望”来“定价”，
也不再是用“钱的函数的数学期望”来
“定价”，而是用“钱对某种概率的数
学期望”来“定价”。
? 如果无风险证券有收益，同样的结果对
证券的“折现价格”也成立。
? 对于一般的动态情形，这里的概率即所
谓“等价概率鞅测度”。用这种方法定
价就称为“鞅方法”。
金融风险与金融数学 55
资产定价基本定理 (续 )
? 1979 年,Cox,Ross 和 Rubinstein 就用这
样的方法，先对离散时间的期权定价，
再取极限连续化，同样得到 Black-
Scholes 期权定价公式。
? 这一方法不但容易理解，并且是一种有
效的计算方法。这就是所谓“二叉树方
法”。现在已成为一种常用的方法。
金融风险与金融数学 56
二叉树计算方法
金融风险与金融数学 57
市场有效性假设
? 于是问题归结为“无套利假
设”是否总成立。 Black-
Scholes 公式的成功说明
“无套利假设”在许多情况
下都是成立的。
? 一般情况下，这是市场是否
有效的问题，即“市场价格
是否完全反映可接受的信息”
的问题 (Fama,1970)。
Eugene F,Fama
(1939-)
金融风险与金融数学 58
市场有效性假设 (续 )
? 通常市场有效性分为三类：弱有效 (价格
已反映其历史，这时技术分析无效 )、半
强有效 (价格已反映所有公开信息，这时
基本分析无效 ) 和强有效 (价格已反映所
有内部信息，这时“黑箱操作”无效 )。
许多实证检验都支持前两种有效，但后
一种有效则不一定。
金融风险与金融数学 59
市场有效性与信息传递
? 近年来人们逐渐认识到，市场有效性与
其他“市场分析”手段之间并没有那么
水火不相容。尤其是怎样来度量“市场
效率”成为人们所关注的问题。
? 市场是否有效的关键在于市场信息传递
是否有效。股市中出现的做庄、跟风等
现象都引起人们关注。最近出现的一门
新学科, 行为金融学, 就研究这类问题。
金融风险与金融数学 60
Grossman-Stiglitz 悖论
? 这类问题的研究引起大量数学
家不熟悉、甚至从未考虑过的
数学问题。下述悖论就是一个
例子。
? 如果市场已经充分反映各种信
息，那么投资者就没有必要搜
集信息。但是如果谁都不搜集
信息，市场如何充分反映各种
信息？ (Grossman-Stiglitz,1980)
Stanford J,Grossman
Joseph E,Stiglitz
金融风险与金融数学 61
狂怒的大女子主义者的寓言
和股票市场
我写这个寓言是在 1997年 10月股市大跌的一个星期之
后。它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。
在这个村子里，有 50对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻
子不忠实时会立即知道，但从来不知道自己的丈夫是否忠
实。该村严格的大女子主义章程要求，如果一个女人能够
证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他。又假定女人
们都赞同这一章程，并且都很聪明，也都能意识到别的女
人的聪明；同时，还都很仁慈，即她们从不向那些丈夫不
忠实的女人通风报信。假定在这个村子里发生了这样的事：
所有这 50个男人都不忠实，但没有哪一个女人能够证明她
的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心翼翼地
一如既往。
金融风险与金融数学 62
寓言和股票市场 (续 )
有一天早晨，森林的远处有一位德高望重的女族长来拜
访。她的诚实众所周知，她的话就像法律。她暗中警告说村
子里至少有一个风流的丈夫。这个事实，根据她们已经知道
的，只该有微不足道的后果，但是一旦这个事实成为公共知
识，会发生什么？ 答案是，在女族长的警告之后，将先有 49
个平静的日子，然后，到第 50天，在一场大流血中，所有的
女人都杀死了她们的丈夫。
要弄明白这一切是如何发生的，我们首先假定这里只有
一个不忠实的丈夫 A先生。除了 A太太外，所有人都知道 A先
生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候，只有 A太太
从中得知一点新消息。作为一个聪明人，她意识到如果任何
其他的丈夫不忠实，她将会知道。因此，她推断出 A先生就
是那个风流鬼，于是在当天就杀了他。
金融风险与金融数学 63
寓言和股票市场 (续 )
现在假定有两个不忠实的男人,A先生和 B先生。除了 A太
太和 B太太以外，所有人都知道这两起背叛，而 A太太只知道 B
太太家的,B太太只知道 A太太家的。 A太太因而从女族长的声
明中一无所获。但是第一天过后,B太太并没有杀死 B先生，她
推断出 A先生一定也有罪。 B太太也是这样，她从 A太太第一天
没有杀死 A先生这一事实得知,B先生也有罪。于是在第二天，
A太太和 B太太都杀死了她们的丈夫。
如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫,A先生,B 先生和 C
先生，那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似
于前面描述的推理过程,A太太,B太太和 C太太会从头两天里
未发生任何事推断出，她们的丈夫都是有罪的，因而在第三天
杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程，我们能够得出结论,
如果所有 50个丈夫都是不忠实的，他们的聪明的妻子们终究能
在第 50天证明这一点，使那一天成为正义的大流血日。
金融风险与金融数学 64
寓言和股票市场 (续 )
现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对去年
(1997)夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警
告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子
们只要自己的, 公牛, 没有被刺伤就心满意足代替为投资者
们只要自己的, 公牛, 没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替
为抛股票；警告和杀戮之间的 50天间隔代替为东亚问题和大
崩盘之间的延迟，你就会得到这次大崩盘的成因。
更清楚地说，利益息息相关的金融集团们可能已经在怀
疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说，
并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的。
这样，马来西亚总理在 1997年 4月批评西方银行的讲话就起着
女族长的警告那样的作用，促成了他最担心的这次危机。
金融风险与金融数学 65
寓言和股票市场 (续 )
幸好不像是故事中的丈夫们那样，市场是能够再
生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明，如果妻子们
能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这
种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买
和卖。
--摘自,Paulos,J,A.,1998,Once
upon a Number,Basic Books,L.A.,(中译本：保罗
斯,J,A.,2001，跨越缺口，史树中等译，上海科技
出版社。 )
金融风险与金融数学 66
结束语
? 金融风险在理论上是通过数学来刻划的。
? 从 Markowitz 开始，金融市场风险主要
用收益率的方差来描述。
? 这样定义的风险可通过证券组合来互相
抑制，以至对冲。
? 由“无套利假设”出发的 Black-Scholes-
Merton 理论是一项有上百年历史的伟大
科学成就。
金融风险与金融数学 67
结束语 (续 )
? Black-Scholes-Merton 理论大大促进衍生
证券市场的发展，而衍生证券市场为金
融风险防范提供了强有力的工具。
? Black-Scholes-Merton 理论也大大促进了
数学的发展。
? 但是还有大量金融风险的数学问题有待
人们去深入研究，甚至还有崭新的数学
领域有待人们去开拓。
金融风险与金融数学 68
报告到此结束，谢谢大家！
金融风险和金融数学
史树中
北京大学金融数学与金融工程研究中心
北京大学光华管理学院金融系
金融风险与金融数学 2
什么是风险和什么是金融风险？
? 风险是 可能发生的危险 。
? 风险＝ 不确定性。
? 金融风险就是 金融中可能发生的危险 。
? 换句话说，就是 可能发生的钱财损失 。
? 金融风险＝ 金融中的不确定性。
? 金融风险包括市场风险，信用风险、流
动性风险，营运风险等等。
金融风险与金融数学 3
什么是金融经济学和金融数学？
? 金融经济学与其他经济学科的主要区别
就在于 市场环境的不确定性。
? 金融经济学主要研究不确定性市场环境
下的金融商品的定价理论。
? 金融数学就是金融商品定价的数学理论。
? 因此，也可以说，金融经济学以至金融
数学都是研究金融风险的理论。
金融风险与金融数学 4
研究不确定性的数学－概率论
? 直到现在为止，研究不确定性的最主要
的数学学科是 概率论 (其他还有：模糊数
学、混沌理论、集值分析、微分包含等 )。
? 概率论几乎可以说是起源于研究“金融
风险”的。那是一种简单的“金融风险”
问题,赌博 。
金融风险与金融数学 5
概率论的早期历史
? Blaise Pascal
(1623-1662)
Pierre de Fermat
(1601-1665)
1654 年 Pascal 与 Fermat
的五封通信，奠定概率
论的基础。他们当时考
虑一个掷骰子问题，开
始形成数学期望的概念，
并以“输赢的钱的数学
期望”来为赌博“定
价”。
金融风险与金融数学 6
Pascal － Fermat 问题
? 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者
赢。有一次,A 掷满 4 次双 6 点,B 掷
满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无
意再赌下去，那么该怎样分割赌注？
? 答案,A 得 3/4,B 得 1/4.
? 结论：应该用数学期望来定价。
金融风险与金融数学 7
概率论的早期历史 (续 )
Jacob Bernoulli
(1654-1705)
1713 年发表《猜
度术 (Ars
Conjectandi),。
这是当时最重要、
最有原创性的概
率论著作。由此
引起所谓“圣彼
德堡悖论”问题。
金融风险与金融数学 8
“圣彼德堡悖论”问题
? 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第
一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三
次赢得 4 元,…… 一般情形为前 n 次输，
第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少钱，
才能使这场赌博是“公平”的？
? 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
2n
金融风险与金融数学 9
“圣彼德堡悖论”
? 1738 年发表, 对机遇
性赌博的分析, 提出
解决, 圣彼德堡悖论,
的, 风险度量新理
论, 。指出用, 钱的
数学期望, 来作为决
策函数不妥。应该用
,钱的函数的数学期
望, 。
Daniel Bernoulli
（ 1700-1782)
金融风险与金融数学 10
期望效用函数
1944 年在巨著
,对策论与经济
行为, 中用数学
公理化方法提出
期望效用函数。
这是经济学中首
次严格定义风险。John von Neumann
(1903-1957)
Oskar Morgenstern
(1902-1977)
金融风险与金融数学 11
用期望效用函数来刻划风险
? 所谓期望效用函数是定义在一个随机变
量集合上的函数，它在一个随机变量上
的取值等于它作为数值函数在该随机变
量上取值的数学期望。用它来判断有风
险的利益，那就是比较“钱的函数的数
学期望”。
? 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x,以概率
(1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函
数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
金融风险与金融数学 12
有风险与无 风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之
间的利益比较就是比较
u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y)
之间的大小。如果它们相等，表示对 风
险中性 (不在乎 )；一般取 <，表示对 风
险厌恶 。 取 > 表示对 风险爱好。
金融风险与金融数学 13
Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结
为函数 u 的凸
性的比较。它
的程度可用
-u’’/u’ 来度量。
它由 Arrow
(1965) 和 Pratt
(1964) 所提出。
金融风险与金融数学 14
期望效用函数的争论
? 期望效用函数似乎是相当
人为、相当主观的概念。
一开始就受到许多批评。
其中最著名的是,Allais
悖论” (1953)。
? 由此引起许多非期望效用
函数的研究，涉及许多古
怪的数学。但都不很成功。 Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济
奖获得者。
金融风险与金融数学 15
Knight 的
,风险、不确定性与利润, (1921)
? Knight 不承认“风险 =不确定
性”，提出“风险”是有概率
分布的随机性，而“不确定性”
是不可能有概率分布的随机性。
? Knight 的观点并未被普遍接受。
但是这一观点成为研究方法上
的区别。Frank Hyneman
Knight (1885-
1972)
金融风险与金融数学 16
Arrow-Debreu 的不确定状态
? 1954 年 Arrow 和
Debreu 发表一般
经济均衡的严格数
学公理化证明。
? 他们在处理不确定
性时采用 Knight 的
观点。光有状态，
没有概率。
Kenneth J,
Arrow （ 1921-)
1972年诺贝尔经
济学奖获得者
Gerard Debreu
(1921-)
1983年诺贝尔经
济奖获得者
金融风险与金融数学 17
Arrow (1953), 证券价值对于
风险的最优配置的作用,
Arrow 的
文章被认为是
第一篇用数学
模型论证证券
如何分散金融
风险的研究论
文。
金融风险与金融数学 18
“华尔街的革命”
金融风险与金融数学 19
‘在华尔街发生的两次革命已经开创了
在金融界需要研究型的数学家的专长。第
一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数
量方法，它开始于 Harry Markowitz 在
1952 年发表的博士论文, 证券组合选
择, 。第二次金融中的革命开始于 1973
年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请
教了 Robert Merton)发表对期权定价问题
的解答。 Black-Scholes 公式给金融行业
带来了现代鞅和随机分析的方法；这种方
法使投资银行能够对无穷无尽的, 衍生证
券, 进行生产、定价和套期保值。 ……’
金融风险与金融数学 20
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Harry Markowitz,
(1927-), 证券组合
选择理论,
Merton Miller,
(1923-2000)
Modigliani-Miller
定理 (MMT)
William Sharpe,
(1934-)资本资产
定价模型（ CAPM)
金融风险与金融数学 21
1997 年诺贝尔经济奖获得者
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-Scholes-Merton
期权定价理论问世
Robert Merton,
(1944-),连续
时间金融学,
Myron Scholes,
(1941-) 期权定
价公式
金融风险与金融数学 22
Markowitz 证券组合选择问题
? 一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应
该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收
益最大，风险最小。
? Markowitz 把证券的收益率看作一个随机变量，
而收益定义为这个随机变量的数学期望，风险
则定义为这个随机变量的标准差。
? 如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归
结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的
数学规划。
金融风险与金融数学 23
Markowitz 问题的数学形式
金融风险与金融数学 24
Markowitz 理论的基本结论
? 对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风
险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为
组合前沿 。
? 在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双
曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组
合前沿是若干段双曲线段的拼接。
? 组合前沿的上半部称为 有效前沿 。对于有效前
沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方
面都优于它的证券组合。
金融风险与金融数学 25
风险－收益图 和 有效前沿
风险
收
益
金融风险与金融数学 26
风险－收益图 和 有效前沿
金融风险与金融数学 27
沪深两市的风险收益图
金融风险与金融数学 28
Markowitz 的基本思想
? 风险在某种意义下是可以度量的。
? 各种风险有可能互相抑制，或者说可能
,对冲, 。因此，投资不要, 把鸡蛋放
在一个篮子里,,而要, 分散化, 。
? 在某种, 最优投资, 的意义下，收益大
意味着要承担的风险也更大。
金融风险与金融数学 29
互相关的概念
金融风险与金融数学 30
关于我国股市的互相关
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
1997-12-17 1998-01-28 1998-03-11 1998-04-22 1998-06-03 1998-07-15 1998-08-26 1998-10-07 1998-11-18 1998-12-30 1999-02-10 1999-03-24 1999-05-05 1999-06-16 07/28/1999 09/08/1999 10/20/1999 12/01/1999 01/12/2000 02/23/2000 04/05/2000 05/17/2000 06/28/2000 08/09/2000 09/20/2000
?? ?ù ?à 1? ?μ êy CAP Mê D 3? ·? ??
金融风险与金融数学 31
Tobin 的二基金分离定理
? 由于 Markowitz 问题是线
性问题，因而两个有不同
收益的解的线性组合就可
生成整个组合前沿。
? 这两个特殊的组合可以看
成“基金”。这个结果称
为 二基金分离定理。 它是
Tobin (1958) 首先提出的。
James Tobin,
(1918-) 1981
年诺贝尔经济
学奖获得者
金融风险与金融数学 32
资本资产定价模型 (CAPM)
Sharpe (1964) 和另一些经济学家，
则进一步在一般经济均衡的框架下，假
定所有投资者都以 Markowitz 的准则来
决策，而导出全市场的证券组合是有效
的以及所谓资本资产定价模型 (Capital
Asset Pricing Model,CAPM)。这一模
型认为，每种证券的收益率都只与市场
收益率和无风险收益率有关。
金融风险与金融数学 33
资本资产定价模型 (CAPM)
无风险收益率
证券收益率
市场收益率
E, 平均值 (数学期望 )
Cov,协方差； Var,方差
金融风险与金融数学 34
各种证券的风险－收益图
金融风险与金融数学 35
无套利假设
Miller 与 Modigliani
(1958)的 M-M 定理不但为
公司理财这门新学科奠定了
基础，并且首次在文献中明
确提出无套利假设。所谓 无
套利假设 是指在一个完善的
金融市场中，不存在套利机
会 (即确定的低买高卖之类
的机会 )。
Franco Modigliani,
(1918-) 1985 年诺贝
尔经济奖获得者
金融风险与金融数学 36
无套利假设和 B-S 期权定价理论
? 以无套利假设作为出发点的一大成就也
就是 Black-Scholes 期权定价理论。
? 期权是指以某固定的执行价格在一定的
期限内买入某种股票的权利。期权在它
被执行时，如果股票的市价高于期权规
定的执行价格，那么期权的价格就是市
价与执行价格之差；反之，期权是无用
的，其价格为零。
? 现在要问，期权未到期时的价值。
金融风险与金融数学 37
为解决这一问题,Black 和 Scholes
先把模型连续动态化。他们假定模型中
有两种证券，一种是债券，它是无风险
证券，其收益率是常数；另一种是股票，
它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统，
它也可用证券收益率的期望和方差来刻
划，但是动态化以后，其价格的变化满
足一个随机微分方程，其含义是随时间
变化的随机收益率，其期望值和方差都
与时间间隔成正比。这种随机微分方程
称为几何布朗运动。
金融风险与金融数学 38
然后，利用每一时刻都可通过股票
和期权的适当组合对冲风险，使得该组
合变成无风险证券，从而就可得到期权
价格与股票价格之间的一个偏微分方程，
其中的参数是时间、期权的执行价格、
债券的利率和股票价格的“波动率”。
出人意料的是这一方程居然还有显式解。
于是 Black-Scholes 期权定价公式就这样
问世了。
金融风险与金融数学 39
Black-Scholes 期权定价公式
金融风险与金融数学 40
Black-Scholes 期权定价公式
? c(x,t) 是股价为 x,时刻为 t 的欧式买入期
权的价值；
? K 为期权的执行价； T 是到期日； r 是
无风险利率； ? 为股票价格的波动率
（标准差）；
? N 称为累积正态分布函数；
? 除了 ? 需要估计以外，其他都可直接观
察到，用起来很方便。
?
金融风险与金融数学 41
Black-Scholes 模型和方程式
债券方程：
股票方程：
Black-Scholes 方程
金融风险与金融数学 42
Black-Scholes 期权定价公式
股价
期
权
价
t=T
t<T
K
金融风险与金融数学 43
Black-Scholes 公式计算软件
金融风险与金融数学 44
用期权对冲股价风险
合成的投资组合
差
价
股价
股价
期
权
价
买入股票
卖出 (看跌 ) 期权 股价
获
利
金融风险与金融数学 45
Black-Scholes-Merton
的基本思想
?,没有免费的午餐, (无套利假设 )。
? 无套利假设可用来为金融产品，尤其是
为金融衍生产品定价。
? 如果一个投资组合使所有市场风险都被
对冲，那么它就相当于无风险证券 (国库
券 )。
金融风险与金融数学 46
Black-Scholes-Merton 理论
的历史意义
? The Black-Scholes option pricing model
established the everyday use of
mathematical models as essential tools in
the world of finance,both in the classroom
and on the trading floor.
? 无论是在教室里还是在交易大厅中，
Black-Sholes 期权定价模型都作为实质
性的工具，确立了数学模型在金融界的
日常运用。
金融风险与金融数学 47
历史意义 (续 )
? The model offers a methodology to predict
the seemingly unpredictable by using the
lessons of complex mathematics and
probability theory to forecast stock
valuations,making it possible to
successfully manage risk in the financial
market,
? 模型提供一种方法论，它用复杂的数学
和概率论来预测看起来是不可预知的股
票估值，使得有可能来成功地管理金融
市场中的风险。
金融风险与金融数学 48
历史意义 (续 )
? In less than thirty years it has changed the
course of economic theory and financial
practice,
? 在不到三十年的时间里，它已经改变了
经济理论的课程和金融实践。
金融风险与金融数学 49
历史意义 (续 )
? The work of Robert Merton,Fischer Black
and Myron Scholes is the culmination of a
series of discoveries and theories spanning
the twentieth century.
? Merton,Black 和 Scholes 的工作是整
个二十世纪中一系列发现和理论的累积。
金融风险与金融数学 50
历史意义 (续 )
? From Louis Bachelier,an obscure French
mathematician who wrote at the turn of the
century,through the contributions of
scholars such as Harry Markowitz,John
Lintner,William Sharpe,Eugene Fama,
Franco Modigliani,and Merton Miller,the
quest to apply the lessons of probability
theory to the stock market has been a key
focus of twentieth-century American
finance.
金融风险与金融数学 51
历史意义 (续 )
? 从一位鲜为人知的法国数学家
Bachelier 在世纪之交撰文，再通过诸
如 Markowitz,Lintner,Sharpe,Fama、
Modigliani,Miller 这样的学者的贡献，
寻求把概率论应用于股市已经成为二十
世纪美国金融学的关键的焦点。
－引自哈佛商学院 Baker 图书馆网页
金融风险与金融数学 52
资产定价基本定理
? Black-Scholes 理论
的成功使人们认识到
用, 无套利假设, 来
为金融商品定价是非
常强有力的。这一思
想被 Stephen Ross
(1940-) 等进一步发
展为, 资产定价基本
定理, (1978)。
这一定理的最简
单情形可在下述模型
中来叙述：假定当前
状态确定，未来有 S
种不确定状态。市场
中有 J 种证券。
金融风险与金融数学 53
资产定价基本定理 (续 )
? 资产定价基本定理,无套利假设等价于
存在 S 个正常数，使得每种证券的当前
价格等于其 S 种未来价格与这 S 个常数
的乘积和。
? 如果有一种始终为 1 的无风险证券，那
么这 S 个常数可看作每一状态发生的概
率。
金融风险与金融数学 54
资产定价基本定理 (续 )
? 与以前的“赌博定价”相比较，它既不
再是用“钱的数学期望”来“定价”，
也不再是用“钱的函数的数学期望”来
“定价”，而是用“钱对某种概率的数
学期望”来“定价”。
? 如果无风险证券有收益，同样的结果对
证券的“折现价格”也成立。
? 对于一般的动态情形，这里的概率即所
谓“等价概率鞅测度”。用这种方法定
价就称为“鞅方法”。
金融风险与金融数学 55
资产定价基本定理 (续 )
? 1979 年,Cox,Ross 和 Rubinstein 就用这
样的方法，先对离散时间的期权定价，
再取极限连续化，同样得到 Black-
Scholes 期权定价公式。
? 这一方法不但容易理解，并且是一种有
效的计算方法。这就是所谓“二叉树方
法”。现在已成为一种常用的方法。
金融风险与金融数学 56
二叉树计算方法
金融风险与金融数学 57
市场有效性假设
? 于是问题归结为“无套利假
设”是否总成立。 Black-
Scholes 公式的成功说明
“无套利假设”在许多情况
下都是成立的。
? 一般情况下，这是市场是否
有效的问题，即“市场价格
是否完全反映可接受的信息”
的问题 (Fama,1970)。
Eugene F,Fama
(1939-)
金融风险与金融数学 58
市场有效性假设 (续 )
? 通常市场有效性分为三类：弱有效 (价格
已反映其历史，这时技术分析无效 )、半
强有效 (价格已反映所有公开信息，这时
基本分析无效 ) 和强有效 (价格已反映所
有内部信息，这时“黑箱操作”无效 )。
许多实证检验都支持前两种有效，但后
一种有效则不一定。
金融风险与金融数学 59
市场有效性与信息传递
? 近年来人们逐渐认识到，市场有效性与
其他“市场分析”手段之间并没有那么
水火不相容。尤其是怎样来度量“市场
效率”成为人们所关注的问题。
? 市场是否有效的关键在于市场信息传递
是否有效。股市中出现的做庄、跟风等
现象都引起人们关注。最近出现的一门
新学科, 行为金融学, 就研究这类问题。
金融风险与金融数学 60
Grossman-Stiglitz 悖论
? 这类问题的研究引起大量数学
家不熟悉、甚至从未考虑过的
数学问题。下述悖论就是一个
例子。
? 如果市场已经充分反映各种信
息，那么投资者就没有必要搜
集信息。但是如果谁都不搜集
信息，市场如何充分反映各种
信息？ (Grossman-Stiglitz,1980)
Stanford J,Grossman
Joseph E,Stiglitz
金融风险与金融数学 61
狂怒的大女子主义者的寓言
和股票市场
我写这个寓言是在 1997年 10月股市大跌的一个星期之
后。它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。
在这个村子里，有 50对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻
子不忠实时会立即知道，但从来不知道自己的丈夫是否忠
实。该村严格的大女子主义章程要求，如果一个女人能够
证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他。又假定女人
们都赞同这一章程，并且都很聪明，也都能意识到别的女
人的聪明；同时，还都很仁慈，即她们从不向那些丈夫不
忠实的女人通风报信。假定在这个村子里发生了这样的事：
所有这 50个男人都不忠实，但没有哪一个女人能够证明她
的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心翼翼地
一如既往。
金融风险与金融数学 62
寓言和股票市场 (续 )
有一天早晨，森林的远处有一位德高望重的女族长来拜
访。她的诚实众所周知，她的话就像法律。她暗中警告说村
子里至少有一个风流的丈夫。这个事实，根据她们已经知道
的，只该有微不足道的后果，但是一旦这个事实成为公共知
识，会发生什么？ 答案是，在女族长的警告之后，将先有 49
个平静的日子，然后，到第 50天，在一场大流血中，所有的
女人都杀死了她们的丈夫。
要弄明白这一切是如何发生的，我们首先假定这里只有
一个不忠实的丈夫 A先生。除了 A太太外，所有人都知道 A先
生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候，只有 A太太
从中得知一点新消息。作为一个聪明人，她意识到如果任何
其他的丈夫不忠实，她将会知道。因此，她推断出 A先生就
是那个风流鬼，于是在当天就杀了他。
金融风险与金融数学 63
寓言和股票市场 (续 )
现在假定有两个不忠实的男人,A先生和 B先生。除了 A太
太和 B太太以外，所有人都知道这两起背叛，而 A太太只知道 B
太太家的,B太太只知道 A太太家的。 A太太因而从女族长的声
明中一无所获。但是第一天过后,B太太并没有杀死 B先生，她
推断出 A先生一定也有罪。 B太太也是这样，她从 A太太第一天
没有杀死 A先生这一事实得知,B先生也有罪。于是在第二天，
A太太和 B太太都杀死了她们的丈夫。
如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫,A先生,B 先生和 C
先生，那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似
于前面描述的推理过程,A太太,B太太和 C太太会从头两天里
未发生任何事推断出，她们的丈夫都是有罪的，因而在第三天
杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程，我们能够得出结论,
如果所有 50个丈夫都是不忠实的，他们的聪明的妻子们终究能
在第 50天证明这一点，使那一天成为正义的大流血日。
金融风险与金融数学 64
寓言和股票市场 (续 )
现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对去年
(1997)夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警
告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子
们只要自己的, 公牛, 没有被刺伤就心满意足代替为投资者
们只要自己的, 公牛, 没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替
为抛股票；警告和杀戮之间的 50天间隔代替为东亚问题和大
崩盘之间的延迟，你就会得到这次大崩盘的成因。
更清楚地说，利益息息相关的金融集团们可能已经在怀
疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说，
并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的。
这样，马来西亚总理在 1997年 4月批评西方银行的讲话就起着
女族长的警告那样的作用，促成了他最担心的这次危机。
金融风险与金融数学 65
寓言和股票市场 (续 )
幸好不像是故事中的丈夫们那样，市场是能够再
生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明，如果妻子们
能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这
种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买
和卖。
--摘自,Paulos,J,A.,1998,Once
upon a Number,Basic Books,L.A.,(中译本：保罗
斯,J,A.,2001，跨越缺口，史树中等译，上海科技
出版社。 )
金融风险与金融数学 66
结束语
? 金融风险在理论上是通过数学来刻划的。
? 从 Markowitz 开始，金融市场风险主要
用收益率的方差来描述。
? 这样定义的风险可通过证券组合来互相
抑制，以至对冲。
? 由“无套利假设”出发的 Black-Scholes-
Merton 理论是一项有上百年历史的伟大
科学成就。
金融风险与金融数学 67
结束语 (续 )
? Black-Scholes-Merton 理论大大促进衍生
证券市场的发展，而衍生证券市场为金
融风险防范提供了强有力的工具。
? Black-Scholes-Merton 理论也大大促进了
数学的发展。
? 但是还有大量金融风险的数学问题有待
人们去深入研究，甚至还有崭新的数学
领域有待人们去开拓。
金融风险与金融数学 68
报告到此结束，谢谢大家！
