Chapter 9
Nonlinear optimization
非线性优化
9-1 概述
● 例 P531 组合投资的最优收益管理
P532 投资三项,数据 Table9.1
min 组合方差
s.t,P+R+I=1.0
1.80P+1.35R+1.65I≥1.60
P,R,I≥0
● 金融管理中常以方差为风险的度量
● 第二项约束右端的 1.60为给定或期望的回报率
● 投资中的两个基本问题：
（ 1） 给定回报率 （ 收益 ）,使组合风险最小
min 风险 (σ2)
s.t,收益 ≥C
（ 2） 给定风险限制,使回报尽可能大
max 收益
s.t,风险 ≤a
9-2 关于组合风险的计算
● 设 xi为随机变量有 E(X)=∑pixi,σx2=∑pi(xi － E(x))2
例,P109 夏季酬金 pi
21,600 0.02
16,800 0.10
14,000 0.60
12,000 0.16
6,000 0.10
0 0.02
μx=21600× 0.02+16800× 0.10+… +0× 0.02=13,032
σx2=0.02× (21600－ 13032)2+… +0.02×
(0－ 13032)2=11,962.176,σx=3,458.6
● 随机变量的线性函数例 Y=0.75X+135
则 E(Y)=0.75 E(X)+135
一般,若 Y=aX+b
则 E(Y)=a E(X)+b
σy2=a2σx2
● 协方差 讨论两个平行变量 X,Y之间的关联
COV(X,Y)= ∑pi(xi － μx)( yi － μy)= σxy2
(注：可类比回归中的 (xi － x )( yi － y ))
可用 COV(X,Y)检查 X与 Y是否独立
● 两随机变量和 （ P123）
如 Z=5X+8Y
一般 Z=aX+bY
可得出 E(Z)=a E(X)+b E(Y)
σz2=a2σx2+b2σy2+2abσxy2
● 凸组合
Z=αX+(1－ α)Y,称 Z为 X与 Y的凸组合,其中 0≤α≤1。
此时,σz2=α2σx2+(1-α)2σy2+2α(1-α)σxy2
P128画有曲线,为下凸,表示存在最佳 α使 σz2最小
α
σz2
● P532例的计算用 Table9.1的实测数据建模 min Var(R)=190P2+110R2+150I2+
2× 34PR+2× 103PI－ 2× 27RI
s.t,P+R+I=1.0
1.80P+1.35R+1.65I≥1.60
P,R,I≥0
可用软件求解，得 P=0.285,R=0.309,I=0.406
其最优收益方差为 8.585。 P,R,I即为投往三处的份额。
● 若希望控制组合风险在 11.5%之内,则有相应的问题：
max 1.80P+1.35R+1.65I
s.t,P+R+I=1.0
190P2+110R2+150I2+68PR+206PI
－ 54RI≤11.52
P,R,I≥0
可得 P=0.635,R=0.061,I=0.304
其最大收益为 1.727
● 其他非线性优化的例子
● P534
max 130W+100P→( 130－ 2W)W+(100－ 4P)P
目标被修改的原因：产量对价格有影响
● P536 例 9.3 选址问题
A,B,C,D四处有需求 9,7,2,5,选一处,使之与 4处最,贴近,。
P537 下,用加权距离和为最小化的目标得 x=6.95,y=7.47
● 例 P538 min 同上
s.t,选址在梯形域内
9-3 几何初步
● 例 min f(x,y)=
s.t,(x-2)2+(y-9)2≤49
x≥2
y≤13
x+y≤24
P541图 9.5 可见：最优点在边角处。
（思考：是否对任何凸目标函数都如此）
● 局部最优与全局最优 K－ T条件
9-4 关于搜索最优解的说明
● 一维搜索
0.618法,两分法
● 二维搜索最速下降法 （ 牛顿法 ）
● 不动点原理
Nonlinear optimization
非线性优化
9-1 概述
● 例 P531 组合投资的最优收益管理
P532 投资三项,数据 Table9.1
min 组合方差
s.t,P+R+I=1.0
1.80P+1.35R+1.65I≥1.60
P,R,I≥0
● 金融管理中常以方差为风险的度量
● 第二项约束右端的 1.60为给定或期望的回报率
● 投资中的两个基本问题：
（ 1） 给定回报率 （ 收益 ）,使组合风险最小
min 风险 (σ2)
s.t,收益 ≥C
（ 2） 给定风险限制,使回报尽可能大
max 收益
s.t,风险 ≤a
9-2 关于组合风险的计算
● 设 xi为随机变量有 E(X)=∑pixi,σx2=∑pi(xi － E(x))2
例,P109 夏季酬金 pi
21,600 0.02
16,800 0.10
14,000 0.60
12,000 0.16
6,000 0.10
0 0.02
μx=21600× 0.02+16800× 0.10+… +0× 0.02=13,032
σx2=0.02× (21600－ 13032)2+… +0.02×
(0－ 13032)2=11,962.176,σx=3,458.6
● 随机变量的线性函数例 Y=0.75X+135
则 E(Y)=0.75 E(X)+135
一般,若 Y=aX+b
则 E(Y)=a E(X)+b
σy2=a2σx2
● 协方差 讨论两个平行变量 X,Y之间的关联
COV(X,Y)= ∑pi(xi － μx)( yi － μy)= σxy2
(注：可类比回归中的 (xi － x )( yi － y ))
可用 COV(X,Y)检查 X与 Y是否独立
● 两随机变量和 （ P123）
如 Z=5X+8Y
一般 Z=aX+bY
可得出 E(Z)=a E(X)+b E(Y)
σz2=a2σx2+b2σy2+2abσxy2
● 凸组合
Z=αX+(1－ α)Y,称 Z为 X与 Y的凸组合,其中 0≤α≤1。
此时,σz2=α2σx2+(1-α)2σy2+2α(1-α)σxy2
P128画有曲线,为下凸,表示存在最佳 α使 σz2最小
α
σz2
● P532例的计算用 Table9.1的实测数据建模 min Var(R)=190P2+110R2+150I2+
2× 34PR+2× 103PI－ 2× 27RI
s.t,P+R+I=1.0
1.80P+1.35R+1.65I≥1.60
P,R,I≥0
可用软件求解，得 P=0.285,R=0.309,I=0.406
其最优收益方差为 8.585。 P,R,I即为投往三处的份额。
● 若希望控制组合风险在 11.5%之内,则有相应的问题：
max 1.80P+1.35R+1.65I
s.t,P+R+I=1.0
190P2+110R2+150I2+68PR+206PI
－ 54RI≤11.52
P,R,I≥0
可得 P=0.635,R=0.061,I=0.304
其最大收益为 1.727
● 其他非线性优化的例子
● P534
max 130W+100P→( 130－ 2W)W+(100－ 4P)P
目标被修改的原因：产量对价格有影响
● P536 例 9.3 选址问题
A,B,C,D四处有需求 9,7,2,5,选一处,使之与 4处最,贴近,。
P537 下,用加权距离和为最小化的目标得 x=6.95,y=7.47
● 例 P538 min 同上
s.t,选址在梯形域内
9-3 几何初步
● 例 min f(x,y)=
s.t,(x-2)2+(y-9)2≤49
x≥2
y≤13
x+y≤24
P541图 9.5 可见：最优点在边角处。
（思考：是否对任何凸目标函数都如此）
● 局部最优与全局最优 K－ T条件
9-4 关于搜索最优解的说明
● 一维搜索
0.618法,两分法
● 二维搜索最速下降法 （ 牛顿法 ）
● 不动点原理
