第三章 第三章 晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性 第一节对称性基本概念 第二节晶体的宏观对称元素 第三节宏观对称元素组合原理 第四节晶体的三十二点群 第一节 第一节 对称性基本概念 对称性基本概念 z对称–物体或图形的相同部分有规律的重复。 z对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的 动作。 z对称元素（要素）–对称动作所借助的几何元素（点、 线、面）。 z阶–物体或图形相同部分的数目。 z晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或 离子排列的对称性为微观对称性。前者是有限大小宏 观晶体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对 称性。两者本质上是统一的，微观对称性是晶体的本 征性质，宏观对称性是微观对称性的外在表现。晶体 的对称必须满足晶体对称性定律。 第二节 第二节 晶体的宏观对称元素 晶体的宏观对称元素 z宏观对称元素(Symmetry element)和对称动作 (symmetry operation) 对称动作类型对称元素对称动作 简单 反映面 对称中心 旋转轴 反映 倒反（反演） 旋转 复合反轴旋转倒反 反映面：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面 的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到 对应的点。这一平面即为反映面。相应的对称操作为反映。 反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs 反映面的极射赤面投影 对称中心：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点 的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应 点，则该定点即为对称中心。相应的对称操作为反演。 对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：C i 对称中心的极射赤面投影 旋转轴：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一 定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。 相应的对称操作为旋转。 在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角 称为该对称轴的基转角（α）。 任何图形在旋转一周（360 o ）必然自相重复，因此有： 360/ α = n n正整数 n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分 重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。 晶体的对称性定律：晶体只能出现1，2，3，4，6 次旋转轴。 m’a = ma + 2acosα = ma + 2acos(2π/n) cos(2π/n) = (m’-m)/2 = M/2 M = 0, 1, 2, -1, -2 α = 0(360), 180, 120, 90, 60; n = 1, 2, 3, 4, 6 旋转轴的极射赤面投影 反轴：物体或图形中存在一直线，当图形绕直线旋转 一定角度后，再继之以对此直线上的一个定点进行反 演，其最后结果可使图形相同部分重合。相应的对称 操作为旋转和倒反的复合对称操作。 先旋转后倒反先倒反后旋转 宏观对称元素 对称元素 旋转轴对称中 心 反映面反轴 1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 惯用符号 L 1 L 2 L 3 L 4 L 6 C P L 3 L 4 L 6 圣佛里斯 符号 C 1 C 2 C 3 C 4 C 6 i(C i ) C s C 3i S 4 C 3h 国际符号 1 2 3 4 6 1 m 3 4 6 图示 双线或 粗线 i ii 反轴及其极射赤面投影 2 = m 3 = 3 + i 4 = 4 ? i 6 = 3 + m 镜转轴：图形绕一直线旋转一定角度后，再以垂 直于该直线的平面进行反映，相应的对称动作为 旋转和反映的复合操作。 一次镜转轴为反映面。 二次镜转轴为对称中心 三次镜转轴为三次轴和反映面的组合（六次反轴） 四次镜转轴为四次反轴 六次镜转轴为三次轴和对称中心的组合（三次反轴） 第三节 第三节 宏观对称元素组合原理 宏观对称元素组合原理 z反映面之间的组合 z反映面与旋转轴的组合 z旋转轴、对称中心、反映面的组合 z旋转轴的组合 定理一：两个反映面相交，交线必为旋转轴，其基 转角为反映面交角的二倍。 推论：基转角为2α的旋转轴可以分解为两个夹角 为α为的反映面的连续操作。P 1 ?P 2 =L n 定理二：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时 有n个反映面穿过此旋转轴。 L n + P / = L n nP / P? L n = P ? P 1 ? P 2 = I ? P 2 = P 2 定理三：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。 L 2n + C = L 2n P ⊥ C L 2 ?C = P ⊥ 推论一：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称 中心。 L 2n + P ⊥ = L 2n P ⊥ C L 2 ?P ⊥ = C 推论二：反映面和对称中心的组合，必有一垂直反映面的 二次轴。 P + C = L 2 P ⊥ C P ? C = L 2 推论三：晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次对称 轴的总数必等于对称面的总数。 定理四：如果有一反映面穿过一反轴（或有一条二次旋转 轴垂直于反轴）；当反轴轴次n为奇数，必有n个二次轴垂 直于该反轴，并有n个反映面穿过该反轴；当反轴轴次为偶 数时，必有n/2个二次轴垂直于该反轴，同时有n/2个反映面 穿过该反轴，且反映面的法线与相邻二次轴的交角为 360 o /2n。 推论：如果一条二次旋转轴与反映面斜交，反映面的法线 与二次轴的交角为 α，则垂直于反映面法线和二次轴所决 定的平面，存在一基转角为2 α的反轴。 黑色和红色分别为左、右形，实心为投影面 上方，空心为投影面下方。 n = 3 L 3 + C + P = L 3 C 3P 3L 2 L 3 + C + L 2 = L 3 C 3P 3L 2 n = 4 L 4 + P = L 4 2P 2L 2 L 4 + L 2 = L 4 2P 2L 2 i i i i 欧拉定理：通过任意两个相交旋转轴的交点，必可产生 第三个旋转轴，它的作用等于前两者的连续动作。新旋 转轴的轴次及其与二原始旋转轴的交角决定于该二原始 旋转轴的轴次及它们的交角。 L n1 ?L n2 = L n3 L n1 ?L n2 = P1 ?P2 ?P3 ?P4 = P1 ?I ?P4 = L n3 A: 1 → 2 B: 1 → 3 2 → 3 = C 欧拉公式：A，B为两个相交的旋转轴，它们的基转角分 别为2α，2β，必存在一个旋转轴C，基转角为2γ，它们之 间的关系为： cos(BC) = (cosα + cosβcosγ)/sinβsinγ cos(AC) = (cosβ +cosαcosγ)/sinαsinγ cos(AB) = (cosγ + cosαcosβ)/sinαsinβ 由于对称性定律的限制，晶体旋转轴只能为 2，3，4，6，它们的组合结果有20种，其中六种 实际存在：222，223，224，226，233，234。 推论一：两个二次轴相交，交角为α/2，则垂直于这两个 二次轴所定平面，必有一基转角为α的n次轴。 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，，则有n个二 次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基 转角的一半。 二次轴和四次 轴的组合 L 4 4L 2 第四节 第四节 晶体的三十二点群 晶体的三十二点群 z晶体点群的推导 z晶体的分类 z晶体的定向 z点群的符号 z晶体的晶型 ?晶体点群的推导 一、旋转轴的组合 1、单一旋转轴：L 1 (C 1 ), L 2 (C 2 ), L 3 (C 3 ), L 4 (C 4 ), L 6 (C 6 )。 2、高次轴与二次轴的组合： L 2 + L 2 = 3L 2 (D 2 ) L 3 + L 2 = L 3 3L 2 (D 3 ) L 4 + L 2 = L 4 4L 2 (D 4 ) L 6 + L 2 = L 6 6L 2 (D 6 ) 3、高次轴的组合： 4L 3 3L 2 (T), 4L 3 3L 4 6L 2 (O) 组合原理：欧拉定理及推论 旋转轴型的对称类型共11种。 L 3 3L 2 L 6 3L 2 4L 3 3L 4 4L 3 6L 2 L 3 3L 2 3L 2 4L 3 二、旋转轴型与反映面的组合 1、旋转轴与反映面垂直 L 1 + P ⊥ = P (Cs) L 2 + P ⊥ = L 2 PC (C 2h ) L 3 + P ⊥ = L 3 P (C 3h )L 4 + P ⊥ = L 4 PC (C 4h ) L 6 + P ⊥ = L 6 PC (C 6h )3L 2 + P ⊥ = 3L 2 3PC (D 2h ) L 3 3L 2 + P ⊥ = L 3 3L 2 4P (D 3h )L 4 4L 2 + P ⊥ = L 4 4L 2 5PC (D 4h ) L 6 6L 2 + P ⊥ = L 6 6L 2 7PC (D 6h ) 3L 2 4L 3 + P ⊥ = 3L 2 4L 3 3PC (T h ) 4L 3 3L 4 6L 2 + P ⊥ = 4L 3 3L 4 6L 2 9PC (O h ) 组合原理：定理三及推论（偶次轴）；定理四或定理二 L 3 3L 2 4P L 6 PC 3L 2 4L 3 3PC 3L 4 4L 3 6L 2 9PC L 3 3L 2 4P 3L 2 4L 3 3PC 2、反映面穿过旋转轴 1）单一轴型 L 2 + P / = L 2 2P (C 2v )L 3 + P / = L 3 3P (C 3v ) L 4 + P / = L 4 4P (C 4v ) L 6 + P / = L 6 6P (C 6v ) 组合原理：定理二 2）反映面平分相邻二次轴夹角 L 2 2L 2 + P d = L 4 2L 2 2P (D 2d ) （定理四） i L 3 3L 2 + P d = L 3 3L 2 3PC (D 3d ) （定理三及推论） 3L 2 4L 3 + P d = 3L 4 4L 3 6P (T d ) （定理四） i 3L 4 4L 3 6L 2 + P d = 3L 4 4L 3 6L 2 9PC （定理三及推论） L 6 6P L 4 2L 2 2P i L 3 3L 2 3PC 3L 4 4L 3 6P i L 4 2L 2 2P i L 3 3L 2 3PC 3）反映面垂直或穿过二次轴 L 2 2L 2 + P = 3L 2 3PC L 4 4L 2 + P = L 4 4L 2 5PC L 6 6L 2 + P = L 6 6L 2 7PC 3L 2 4L 3 + P = 3L 2 4L 3 3PC 3L 4 4L 3 6L 2 + P = 3L 4 4L 3 6L 2 9PC L 3 3L 2 + P1 = L 3 3L 2 3PC L 3 3L 2 + P2 = L 3 3L 2 4P 旋转轴和反映面的组合的对称类型有18种。 三、旋转轴与对称中心的组合 L 1 + C = C (C i ) L 3 + C = L 3 C = L 3 (C 3i ) i 旋转轴与对称中心组合的对称类型有2种。 四、四次反轴与其他对称元素的组合 L 4 + P ⊥ = L 4 PC i L 4 + P / = L 4 2L 2 2P ii L 4 + C = L 4 PC i L 4 + L 2 = L 4 2L 2 2P ii L 4 + L 3 = 3L 4 4L 3 6P L 4 + L 3 = 3L 4 4L 3 6L 2 9PC ii 四次反轴(S 4 )为独立的对称类型。 晶体共有32种宏观对称类型，即32点群。 晶体32点群的极射赤 面投影 ?晶体的分类 一、根据32点群的对称特征，可把晶体分为七个晶系： 立方晶系有四个3次轴 四方晶系唯一的高次轴为4次轴或4次反轴 六方晶系唯一的高次轴为6次轴或6次反轴 三方晶系唯一的高次轴为3次轴和3次反轴 正交晶系二次轴或反映面大于1 单斜晶系二次轴或反映面等于1 三斜晶系只有1次轴 七个晶系的晶胞形状 立方晶系a=b=c, α=β=γ=90 o 四方晶系a=b≠c, α=β=γ=90 o 六方晶系a=b≠c, α=β=90 o , γ=120 o 三方晶系a=b=c, α=β=γ≠90 o 正交晶系a≠b≠c, α=β=γ=90 o 单斜晶系a≠b≠c, α=γ=90 o , β≠90 o 三斜晶系a≠b≠c, α≠β≠γ 晶系的划分依据的是晶体的对称性（宏观或微 观），而不是根据晶胞形状划分。 二、根据晶体中高次轴的数目，晶体分为三个晶族： 1、具有四个三次轴的立方晶系为高级晶族。 2、只有一个高次轴的晶体属于中级晶族。四方晶 系，三方晶系，六方晶系均属于中级晶族。 3、无高次轴的晶体为低级晶族。三斜晶系，单斜晶 系，正交晶系属于低级晶族。 三、晶体的32点群反映了晶体的宏观对称特征，又称为32 种对称型。具有同一对称型的晶体称为一个晶类。与点群 相对应，晶体分为32晶类。 ?晶体的定向 六方晶系的四轴定向 四轴定向Miller-Bravais指数： (hkil) i = - ( h + k ) 三轴定向 ?点群的符号 续表 http://webmineral.com/crystall.shtml ?晶体的晶形 对于点群，给定一个晶面，通过点群的全部对称操作， 得到的一组面，称为晶形（单形），记为{hkl}。其中的 每一个晶面为等效晶面。由若干组单形构成的晶体外形为 聚形。 如晶面在一般位置，对称操作得到的单形为普形。如 晶面在特殊位置，得到的单形为特形。 闭形为封闭的等面多面体单形，不能形成闭合多面体 的单形为开形。 对于m3m点群，{111}晶形的等效晶面为： (111), (111), (111), (1 11), (111), (111), (111), (1 1 1) 晶形为正八面体。 {100}晶形的等效晶面为： (100)，(010)，(001)，(100)，(010)，(001) 晶形为立方体。 对于4/m点群，{111}晶形的等效晶面为： (111), (111), (111), (1 11), (111), (111), (111), (1 1 1) 晶形为普形。 {100}晶形的等效晶面为： (100)，(010)，(100)，(010)，晶形为开形。 （a）普形，闭形（b）特形，开形 （c）特形，开形（d）聚形，闭形