时间序列分析
西安交通大学经济与金融学院统计系
赵春艳
本课程内容体系：
第一章：平稳时间序列分析导论
第二章：平稳时间序列分析的基础知识
第三章：平稳时间序列模型的建立
第四章：协整理论导论
第五章：单位根过程
第六章：单位根过程的假设检验
第七章：协整理论
参考书目,
1、陆懋祖，高等时间序列经济计量学，上海人民出版
社,1999年版；
2、王振龙主编，时间序列分析，中国统计出版社，
2000；
3、王耀东等编，经济时间序列分析，上海财经大学出
版社,1996；
4、马薇，协整理论与应用，南开大学出版社,2004；
5、王少平，宏观计量的若干前沿理论与应用，南开大
学出版社,2003。
第一章 平稳时间序列分析导论
一、时间序列
1、含义：指被观察到的依时间为序排列的数
据序列。
2、特点：
（ 1）现实的、真实的一组数据，而不是数
理统计中做实验得到的。既然是真实的，它
就是反映某一现象的统计指标，因而，时间
序列背后是某一现象的变化规律。
（ 2）动态数据。
二、时间序列分析
1,时间序列分析：是一种根据动态数据揭示
系统动态结构和规律的统计方法。其 基本思
想,根据系统的有限长度的运行记录（观察
数据），建立能够比较精确地反映序列中所
包含的动态依存关系的数学模型，并借以对
系统的未来进行预报（王振龙）
2、计量经济学中的建模方法和思想
3、理论依据：尽管影响现象发展的因素无法探
求，但其结果之间却存在着一定的联系，可
以用相应的模型表示出来，尤其在随机性现
象中。
三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分
析
时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，
并产生与之相适应的分析方法：
（ 1）长期趋势变化
受某种基本因素的影响，数据依时间变化时
表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地
增长或下降。
使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、
模型拟和法等；
（ 2）季节性周期变化
受季节更替等因素影响，序列依一固
定周期规则性的变化，又称商业循环。
采用的方法：季节指数；
（ 3）循环变化
周期不固定的波动变化。
(4)随机性变化
由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析
方法就是我们要讲的时间序列分析。
确定性变化分析 趋势变化分析
周期变化分析
循环变化分析
时间序列分析
随机性变化分析 AR,MA,ARMA模型
四、发展历史
1、时间序列分析奠基人：
20世纪 40年代分别由 Norbort Wiener
和 Andrei Kolemogoner 独立给出的，他
们对发展时间序列的参数模型拟和和推
断过程作出了贡献，提供了与此相关的
重要文献，促进了时间序列分析在工程
领域的应用。
2、时间序列分析在经济领域的应用
20世纪 70年代,G.P.Box 和 G.M.Jenkins发表专
著, 时间序列分析：预测和控制,,使时间
序列分析的应用成为可能。
3、现代时间序列分析的发展趋势
（ 1）单位根检验（ 2）协整检验
2003年度诺贝尔经济学奖的获得者是美国经济
学家罗伯特,恩格尔和英国经济学家克莱夫,格
兰杰。
获奖原因：“今年的获得者发明了处理许多经
济时间序列两个关键特性的统计方法：时间
变化的变更率和非平稳性。”两人是时间序
列经济学的奠基人。
时间变化的变更率指方差随时间变化而变化的
频率，这主要是指恩格尔在 1982年发表的条
件异方差模型（ ARCH），最初主要用于研
究英国的通货膨胀问题，后来广泛用作金融
分析的高级工具；
传统的计量经济学研究中，通常假定经济数据
和产生这些数据的随机过程是平稳的。格兰
杰的贡献主要是在非平稳过程假定下所进行
的严格计量模型的建立。（协整检验）
第二章 平稳时间序列分析的基础知识
第一节 随机序列
一、随机过程
1、定义：
在数学上，随机过程被定义为一组随机变量，
即,? ?Ttz
t ?,
其中,T表示时间 t的变动范围，对每个固定的时刻 t
而言,Zt是一随机变量，这些随机变量的全体就构成
一个随机过程。
2、特征
（ 1）随机过程是随机变量的集合
（ 2）构成随机过程的随机变量是随时间产生
的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应。
二、随机序列（时间序列）
1、当
时，即时刻 t只取整数时，随机过程
可写成
此类随机过程 称为随机序列，也成时间序列。
? ?,.,,2,1,0 ???t
? ?Ttz t ?,
? ?,.,,2,1,0,???tz t
可见
（ 1）随机序列是随机过程的一种，是将连续时
间的随机过程等间隔采样后得到的序列；
（ 2）随机序列也是随机变量的集合，只是与这
些随机变量联系的时间不是连续的、而是离
散的。
三、时间序列的分布、均值、协方差 函数
1、分布函数
(1)一维分布函数,随机序列中每个随机变量的分
布函数,
F1(z),F2(z),…,F t-1(z),Ft(z)
(2)二维分布函数,随机序列中任意两个随机变量
的联合分布函数
Fi,j(zi,zj).i,j=…,-2,-1,0,1,2,…
(3)柯尔莫哥洛夫定理与有限维概率分布
柯尔莫哥洛夫定理表明,一个随机序列的特征,可
以用它的有限维分布表示出来。
2、均值函数
对随机序列中的任一随机变量取期望。
当 t取遍所有可能整数时，就形成了离散时间的函数 ut
称 ut 为时间序列的均值函数。
dzzfzzdFzEzu tttttt )()( ?? ???
3、自协方差函数和自相关函数
),())(()])([(),(,ststssttsstt zzdFuzuzuzuzEstr ?????? ??
)()(),(
)()(),(
2
2
sss
ttt
zDuzEssr
zDuzEttr
???
???
自相关函数：
当 t,s取遍所有可能的整数时，就形成了时间序
列的自相关函数，它描述了序列的自相关结
构。它的本质等同于相关系数。
),(),(
),(),(
ssrttr
strst ??
第二节 平稳时间序列
一、平稳时间序列
1、定义：时间序列 {zt}是平稳的。如果 {zt}有有
穷的二阶中心矩，而且满足：
（ 1） ut= Ezt =c;
（ 2） r(t,s) = E[(zt-c)(zs-c)] = r(t-s,0)
则称 {zt}是平稳的。
含义：
a有穷二阶矩意味着期望和自协方差存在；
b平稳时间序列任意时刻所对应的随机变量的均值相
等；
c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无
关。
二、平稳时间序列的均值、自协方差和自相关
函数
1、均值函数：平稳时间序列均值为常数，为分
析方便，假定 E zt=0，当均值不为零时，给每
个值减去均值后再求均值，即等于 0。
2,自协方差函数：平稳时间序列的自协方差
仅与时间间隔有关，而与具体时刻无关，所
以，自协方差函数仅表明时间间隔即可。
tttt
tktt
ktktttk
DZEZEZZEr
EZZEZ
EZZEZZEr
????
??
???
?
??
22
0
)(
)0(
)])([(
3、自相关函数 ρk
平稳时间序列自协方差仅与时间隔有关，当
间隔为 零时，自协方差应相等,
k
kk
r
r
rr
r
ssrttr
strst ?? ????
000),(),(
),(),(
4、自协方差与自相关函数的性质
(1) rk=r-k ρk= ρ-k k、－ k仅是时间先后
顺序上的差异，它们代表的间隔是相同的。
(2)
0
0
1,1 rr
r
r
k
k ?????
三、偏自相关函数 （ PACF)
1、偏自相关函数用来考察扣除 zt 和 zt+k之间 zt+1,
zt+2,…, zt+k-1影响之后的 zt 和 zt+k之间的相关
性。
2、偏自相关函数的定义
设 {zt}为零均值平稳序列,zt+1, zt+2,…, zt+k-1对 zt
和 zt+k 的线性估计为：
112211
112211
?
?
??????
?????
????
????
ktkttkt
ktkttt
zzzz
zzzz
???
???
?
?
φkk表示偏自相关函数，则：
)?v a r ()?v a r (
)?(),?c o v [ (
ktkttt
ktkttt
kk
zzzz
zzzz
??
??
??
??
??
3,PACF的涵义
设有 zt+1,zt+2,zt+3
)c o v ()]?(c o v [
?
,133,1
213
213
ttttt
tt
ttt
azzzz
zz
azz
????
??
??
??
?
??
?
?
4,pacf的推导
222211
2212123
33
221121
111
1112
22111
1,1,1,1
1
11
111,1
111
1
,
1
,
,.,,,2,1,
)1)((
11
????
?????
?
????
??
???
???
????
??????
??
??
??
?
??
?
?
??
???
???
?
?????
?
??
????? ??
kj
jkkkkkjjk
kj
k
j
jkj
k
j
jkkkk
四,随机序列的特征描述
（ 1）样本均值
cz
n
z
n
t
t ?? ?
? 1
1
（ 2）样本自协方差函数
? ?
? ?
kttkttktktttk
ktktttk
n
t
t
kt
kn
t
tk
kt
kn
t
tk
dzdzzzEzzEzzr
EzzEzzEr
zz
n
r
zzzz
kn
r
zzzz
n
r
????
??
?
?
?
?
?
?
?
????
???
??
??
?
?
???
??
?
?
?
)())((
))((
)(
1
))((
1
))((
1
2
1
0
1
1
或
（ 3）样本自相关函数
?
?
?
??
??
?
2
0 )(
))((
zz
zzzz
r
r
t
kttk
k
?
（ 4）样本偏自相关函数
kj
jkkkkkjjk
kj
k
j
jkj
k
j
jkkkk
,.,,,2,1,
)1)((
1,1,1,1
1
11
111,1
111
???
???
?
?????
?
??
????? ??
????
??????
??
例 1、设动态数据 16,12,15,10,9,17,11，
16,10,14，求样本均值、样本自相关函数
（ SACF）和偏自相关函数（ SPACF）（各
求前三项 ）
? ?
2221
0
3
3
0
2
2
2
1
0
1
1
)1314()1312()1316(
)1314)(1310()1315)(1312()1312)(1316(
218.0
24.0
53.0
)(
1
))((
1
)2(
13
10
1
)1(
??????
?????????
?
???
??
??
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
r
r
r
zz
n
zzzz
n
r
r
zz
t
tt
t
560.0
169.0
1
057.0
1
53.0)3(
11221121
222211
2212123
33
111
1112
22
111
????
??
??
??
?
??
?
?
?
???
????
????
?????
?
??
???
?
??
第三节 线性平稳时间序列模型
一、自回归过程 (A R (p)）
1、
ttp
ptt
PP
pp
p
ttstp
t
tptpttt
azB
zzBBBBBB
BB
aEzstaEz
a
azzzz
?
??????
??
????
?????
?
???
)(
.,,1)(
10)()3(;,0,0)2(
}){1(
,.,,
2
21
2
2211
?
????
?
??
???
模型的简化形式为：
为后项算子，，
，的根在单位圆外，即
且
为白噪声序列；
且满足：形如
2,AR(P)模型的 ACF,PACF特征
以 AR(1)为例
11
1
01)(
)1(
)1(
1
1
1
111
????
???
????
?
?
?
??
??
B
BB
azBazz
ttttt
则的根必须在单位圆外，）（
为满足平稳性，
或
接近，越来越与
，小，这种现象称为拖尾减小，且以指数速度减
间隔增大时，增大时，即序列之间的当
的
0
,1
,
.,,
)1()()()(
)1()2(
1
1
0
01
1111
k
kk
k
k
ktktktttktk
k
r
r
r
krazEzzEzzEr
A C FAR
?
?
??
?
??
??
??
??
?????
?????
?
象。，这种现象称为截尾现时，当；
的递推公式有：按照
02
0
01
0
1
0
1
1
2
1
1
2
1
3
1
222211
2212123
33
111221121
2
1
2
1
2
1
111
1112
22111
??
?
??
??
?
??
??
?
???
?
?
?
?
?
?
??
kk
k
P A C F
?
?
???
????
?????
?
?????
?
??
??
???
???
例：
如下：、个观察值计算为白噪声序列，利用
个观察值，模拟产生过程用
P A C FA C Fa
azBAR
t
tt
250}{
250,9.0,)10)(1()1( 11 ???? ??
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
?k 0.88 0.76 0.67 0.57 0.48 0.4 0.34 0.28 0.21 0.17
?kk 0.88 0.01 -0.01 0.11 0.02 -0.01 0.01 -0.02 -0.06 0.05
计算结果表明,ACF逐渐衰减，但不等于零；
PACF在 k=1后，与零接近，是截尾的。
结论,ACF呈指数衰减，是拖尾的； PACF在一
步后为零，是截尾的。
二、滑动平均模型（ MA(q)）
1、形如 zt=at-?1at-1- ?2at-2 -… - ?qat-q模型为滑动平
均模型，
其中，简化形式 zt=?(B)at
?(B)= 1-?1B- ?2B2 -… - ?qBq,满足 ?(B)= 0的根在单
位圆外，即 ?B?>1，此时该过程是可逆的。
2,MA模型的 ACF及 PACF
11
1
0)1()1(
)1(
1
1
1
111
???
????
???? ?
?
?
?
??
B
BB
aBaaz tttt
可逆性：
取期望得：两边同乘
时，当
时，当
，并取期望得：两边同乘
，
为例以
,
,
)()()(
0
)2(0
)1(
1
)()(
)(
))1(()2(
1
11
110
2
1
11
11
?
?
?
???
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
t
ttt
tttttt
a
k
kttktt
kttk
kt
ttt
a
aaz
zaEzaEzzEr
k
k
k
rk
zaEzaE
zzEr
z
aaz
MAA C F
?
?
??
?
?
是截尾的。
所以，
中，代入
k
k
k
a
aa
attt
tt
k
k
r
r
r
r
aEaaE
azE
?
?
?
?
??
????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
????
??
?
)2(0
)1(
1
)1(
)(
)()(
)(
2
1
1
0
2
1
2
2
11
2
0
0
2
1
2
111
1
(3)PACF
6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
111
1112
22
4
1
2
11
2
1
1
111
1
)1(
1
1
1
)1(
)1(
?
??
?
?
??
???
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
的递推公式有：根据 P A C F
。是减小的，呈拖尾现象从总体上看，
且增大的速度大于分子
分母增大，分子减小，
顺次减小，
kk
?
????
?
??
?
?
????
?????
?
.,,,,,1
1
)1(
21
1
3
1
2
111
8
1
2
1
3
1
2
1
3
1
222211
2212123
33
?
?
??
?
?
?
??
??
?
例：用 zt=(1-0.5B)at模拟产生 250个观察值,at为
白噪声序列，得到序列自相关和偏自相关函
数 如下：
可见,ACF在一步后截尾,PACF是拖尾的。
结论,MA(q)的 ACF是截尾的,PACF是拖尾的。
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ACF -0.44 0 0.02 -0.03 -0.01 -
0.05
0.04 -
0.03
-
0.03
0.02
PACF -0.44 -
0.24
-0.11 -0.08 -0.07 -
0.12
-
0.06
-
0.07
-0.1 -
0.08
三、自回归滑动平均模型（ AR M A (p,q)）
1、
型。称为自回归滑动平均模
的根在单位圆外。和即
平稳性和可逆性条件，
为白噪声序列；满足
0)(0)(
)2(
}){1(
.,,
.,,
11
2211
??
????
????
??
???
BB
a
aaa
zzzz
qp
t
qtqtt
ptpttt
??
??
???
q
qq
p
pp
tqtp
BBBB
BBBB
aBzB
????
????
??
?????
?????
?
...1)(
...1)(
)()(
2
21
2
21
其中：
模型的简化形式为：
2,ARMA(p,q)的 ACF和 PACF
。
的要求，为满足平稳性和可逆性
为例：以
1,1
)1(
)1()1(
)1,1(
11
11
??
???
??
??
tt
aBzB
A R M A
(2)ACF,PACF均是拖尾的
例, (1-0.9B)zt=(1-0.5B)at模拟产生 250个观察值，
ACF,PACF如下表所示：
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
acf 0.5
7
0.5 0.47 0.35 0.3
1
0.25 0.2
1
0.1
8
0.1 0.1
2
pacf 0.5
7
0.2
6
0.18 -0.03 0.0
1
-
0.01
0.0
1
0.0
1
-
0.08
0.0
5
本节介绍了三类模型的形式、特性及自相关和
偏自相关函数的特征，现绘表如下：
AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
模型方程 ?(B)=at zt=?(B)at ?(B)zt= ?(B) at
平稳性条件 ?(B)=0的根在
单位圆外
无 ?(B)=0的根在单位圆外
可逆性条件 无 ?(B)=0的根在
单位圆外
?(B)=0的根在单位圆外
自相关函数 拖尾 Q步截尾 拖尾
偏自相关函数 P步截尾 拖尾 拖尾
第三章 平稳时间序列模型的建立
第一节 模型识别与定阶
一、模型识别
1、含义：对一个观察序列，选择一个与其实际
过程相吻合的模型结构。
2、方法：利用序列的 acf,pacf识别。判断截尾、
拖尾的主观性较大，只是初步识别。
二、模型定阶
（一） a c f,p a c f方法
（ 1） M A (q):
Bartlett公式：当 k>q时,N充分大，
%45.95)21
2
(
%3.68)21
1
(
3
)).21(
1
,0(
1
2
1
2
1
2
???
???
?
?
?
?
?
?
?
q
l
lk
q
l
lk
q
l
lk
N
P
N
P
N
N
N
??
??
?
??
或
近似成立：充分大时，下面的等式
原则知，由正态分布的
的分布为渐近正态分布
)%(5.95%3.68
)21
2
(
)21
1
(
?,.,,,,?,?
1
2
1
2
,21
NMM
N
P
N
P
q
q
l
lk
q
l
lk
Mqqq
一般取或的的个数是否占
或满足
考察其中计算
，对于每一个
?
?
?
?
???
??
??
??
??
???
(2)AR（ P）：
），（时，当 NNpk kk 10?? ?
（二）残差方差图：
（ 1）残差：在多元回归 y=a1x1+ a2x2+….+ a n x n
+at,存在自变量 x的选择问题。如果 x选择不够，
模型拟合不足，表现为 y与 ?差异较大；若 x
选择多，则过度拟合,y与 ?差异减小速度很
慢。
将 (y- ?)称为残差，多元回归就是利用此确定模
型的自变量，即新增或减少变量是否会显著
影响残差。
（ 2）将该思想应用到时间序列模型定阶上。
模型的参数个数实际观察值个数
模型的剩余平方和
为此引入残差方差
模型阶数。阶数下是否显著来判定
）在不同利用（
）得到的估计值。阶数（
为根据模型为序列真值，
为例，以
?
?
?
2
2
.
?
,
?
),(
a
a
tt
tt
zz
qp
zz
qpA R M A
?
?
)()(
:),(
:)(
)(
)(
)?(
2
2
2
2
1
qPPN
Q
qpA R M A
qN
Q
qMA
PPN
Q
pAR
N
zzQ
a
a
a
N
t
tt
???
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?：对于
自回归阶数实际观察值个数
模型的剩余平方和
(3)利用 ?a2的变化规律，确定模型阶数。
随着模型阶数的增大，分母减小；
分子在不足拟合时，一直减小，速度较快；过
拟合时，分子虽减小，但速度很慢，几乎不变。
?a2取决于分子、分母减小的速度。
在不足拟合时,?a2一直减小；过拟合时,?a2却
增大。
选择 ?a2的最低点为模型的最优阶数。
（三） F 检验定阶法：
（ 1） F分布：
),(~
/
/
),(~),(~
)(~,
.,,,
21
2
1
2
2
1
2
2
1
2
21
vvF
vY
vX
F
YXvXYvXX
vXXxX
xxx
v
t
t
v
?
? ?
?
相互独立与若
则
正态分布相互独立，且服从标准，，，若
（ 2）用 F分布检验两个回归模型是否有显著差
异。
?
?
?
??
??
?
????????
?????????
?????
?????
N
t
srsrt
srsrt
N
t
rrt
rrt
xaxaxayQ
xaxaxay
S
xaxaxayQ
xaxaxay
1
2
22111
2211
1
2
22110
2211
)...(
...
)...(
...
残差平方和
模型：个变量，得到新的回归现舍弃后面
设
?
?
)(
)(~
0,.,,,0,0:
0.,,
,.,,,,,
2
22
0
211
210
21
为模型参数个数为残差方差，
：
。否则，第二个模型成立
个模型成立；若有显著影响，则第一
是否显著影响。对现检验
r
rNXQ
aaaH
aaaH
Yxxx
a
a
rsrsr
rsrsr
rsrsr
?
? ?
???
????
????
????
????
成立。则
，
）（
若
）（
成立，若
，给定显著性水平
）（
则
）独立与（且
成立，若
1
0
01
0
01
0
0
01
010
22
01
0
),(
/
/
),(
/
/
),(~
/
/
),(~
H
rNsF
rNQ
sQQ
F
rNsF
rNQ
sQQ
F
H
rNsF
rNQ
sQQ
F
QQQ
sXQQ
H
a
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(3)对于 ARMA(p,q)模型定阶
例如：在 ARMA(p,q)和 ARMA(p-1,q-1)选择。
是否成立。的关系，判定与，比较给定
）（
注：
0
0
01
22
1
22
01
22
0
1
0
)2,3(~
2/
3/
) ) ]11()1((~[
)3(~
))((~
0,0:
0,0:
HFF
qpNF
qpNQ
QQ
F
qppNXQ
XQQ
qppNXQ
H
H
a
a
a
qp
qp
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
??????
?
???
??
??
例：每隔 20分钟进行一次观察的造纸过程入口
开关调节器的观察值（第 241页,18）
1,series Mean S.D Max Min
z 32.02 0.74 34 30.7
令 z1=z –32.02
2,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
acf 0.868 0.782 0.708 0.663 0.627 0.617 0.594 0.559 0.5 0.48
pacf 0.868 0.115 0.028 0.099 0.055 0.122 0.01 –0.04 -0.099 0.1
3、定阶
（ 1） acf,pacf：
从 acf,pacf可知,acf拖尾,pacf截尾，初
步识别为 AR模型。
具体阶数：
%.45.95
2
%,45.95)
2
(
)(,.,,,,2,1
)/1,0(~,1
比例是否达到
的中小于个即
看
取
时，当若
N
M
N
P
NMMpppk
NNpkp
kk
kk
kk
?
?
?
??
?????
??
），原假设成立。（全部小于
是否成立。看
，，取若
），原假设成立。（全部小于
，
21 5 9.0
%45.95)
2
(
)13(15.,,,,,43,2
11 5 9.0
14,.,,,3,2,1 5 9.0
2
,136.121 6 0
?
??
????
?
??
???
p
N
P
NMkp
p
k
N
NN
kk
kk
kk
?
?
?
(2)残差方差：
）合适。（
，
，
，
，当
2
1 1 8.0
421 6 0
88.17
,88.174
1 1 8.0
321 6 0
19.18
,19.183
1 1 7.0
221 6 0
23.18
,23.182
1 2 2.0
121 6 0
33.19
,33.191
2
2
2
2
AR
Qp
Qp
Qp
Qp
a
a
a
a
?
??
???
?
??
???
?
??
???
?
??
???
?
?
?
?
(3)F检验：
)2(
,
3)1 5 6,2(,05.0
44.3
1 5 6/23.18
2/)23.1833.19(
)1 5 6,2(~
41 6 0/
2/)(
)2(~
)2(~1
)4(~2
0
21)1(
0
01
22
01
22
11
22
00
20
AR
FF
F
F
Q
QQ
F
XQQ
NXQARQ
NXQARQ
H
ARAR
a
a
a
优为两个模型显著差异，最
原假设不成立，
取
）剩余平方和，（为
）剩余平方和，（为
：
）是否显著差异（）与（看
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)2(
,
3)154,2(,05.0
169.0
154/19.18
2/)19.1823.18(
)154,2(~
6160/
2/)(
)2(~
)4(~2
)6(~3
0
32)2(
0
01
22
01
22
11
22
00
30
AR
FF
F
F
Q
QQ
F
XQQ
NXQARQ
NXQARQ
H
ARAR
a
a
a
最优为两个模型无显著差异，
原假设成立，
取
）剩余平方和，（为
）剩余平方和，（为
：
）是否显著差异（）与（看
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（四）最佳准则函数定阶法
1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑
用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又
考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小
值时，就是最合适的阶数。
衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方
差。残差方差 =
2、最佳准则函数包括 FPE,AIC,BIC准则。
参数个数?
??? ?
N
zzzzE tt
tt
2
2 )?()?(
3,AIC准则
(1)该准则既适合于 AR，也适合于 ARMA模型。
N
p
ppA I C
A I C
Ntx
a
a
t
2)(?ln)(
?
}1:{)2(
2
2
??
??
?
?
函数为：定义
，是拟合模型的残差方差
为随机序列，设
N
qp
ppA I C
qpA I CqpA R M A
A I C
A I C
a
?
?? 2)(?ln)(
),(),(3
2
?
定义为：模型，其）对于（
为最佳阶数。有最小值，对应的阶数因此，
减小；第二项增大的速度，第一项减小的速度大于
大时，第二项增大，当阶数增
到最小），（模型的最佳阶数时达
增大右边第一项先减小，后
随着模型阶数的增加，
? 关于 ARMA模型的定阶
1,ACF,PACF都呈现一定的拖尾性，试拟合
ARMA模型。 Pandit-Wu于 1977年提出了不同
于 Box-Jenkins的系统建模方法。该方法认为，
任一平稳序列总可以用一个 ARMA(n,n-1)表示，
AR(n),MA(m),ARMA(n,m)都是 ARMA(n,n-
1)的特例。
2、建模思想：逐渐增加模型阶数，直到剩余平
方和不再减小为止。
3、如何在不同模型之间取舍
，剩余平方和为
的
，剩余平方和为
的设
1
22
0
0
1222
2120
)32,22(
)]14(2[~
)12,2(
0;0:
Q
nnA R M A
nnNxQ
Q
nnA R M A
H
a
nn
nn
??
???
?
??
??
??
?
?
??
??
。则拒绝
，若取
0
0
01
2
01
22
1
)),16(,6(
))16(,6(~
)16(/
6/)(
)6(~
)]54()22([~
H
nNFF
nNF
nNQ
QQ
F
xQQ
nnNxQ
a
???
??
??
?
?
?
????
?
?
?
第四章 协整理论绪论
一、协整理论产生的背景
1,20世纪 70年代以前的建模技术以时间序列平
稳为前提设计的。
2、理论假定与现实的矛盾。
3、协整理论的产生 ---计量经济学方法研究的新
阶段
---Granger首先提出了伪回归问题（ 1974）；
----1978年,Engle—Granger发表论文“协整与
误差修正”，正式提出“协整”
（ cointegration）概念
二、与协整检验有关的两个问题：单位根和误
差修正模型
1、单位根：
协整检验处理的是非平稳时间序列，单位根检
验就是要说明一个时间序列的平稳性。
包括 DF和 ADF检验
2、误差修正模型（ Error Correction Model,
ECM）：
ECM由,Hendry,Srba于 1978年提出的。
三、本部分的体系
单位根检验 ----协整检验 ----误差修正模型
第五章 单位根过程
第一节 单位根过程的定义
一、随机游动过程的定义
1、随机过程 {y t,t=1,2,…},
若 y t=yt-1+εt，
其中 {εt}为独立同分布序列,E（ εt ） =0，
D（ εt ） =E（ εt 2） =σ2<∞
则称 {y t}为随机游动过程。
2、随机游动过程是一非平稳过程
(1) y t=yt-1+εt
=yt-2+εt-1+εt
=yt-3+εt-2+εt-1+εt
=….
=y0+ε1+ε2+…+ εt
E (y t)=y0
(2)D(yt)=E(yt-y0)2=E(ε1+ε2+…+ εt)2=tσ2
二、单位根过程的定义
1,随机过程 {y t,t=1,2,…},
若 y t=ρyt-1+ μt,
其中 ρ=1，
{μt }为稳定过程,E（ μ t ） =0，
Cov（ μ t, μt - s ） = μ s<∞,s=0,1,2,…
则称 {y t}为单位根过程。
- 1 0
-5
0
5
10
20 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0
y = y ( - 1 ) + u
2、单整
若一个随机过程 {y t}经过 d次差分后才能变成一
个平稳过程，则称 {y t}是 d阶单整过程，用
y t~ I (d)表示。
单位根过程实际上是 1阶单整过程。
3、单位根过程名称的由来
y t=ρyt-1+ μt,
（ 1- ρ B） y t= μt
平稳性要求 φ（ B） =（ 1- ρ B） =0
B=1/ ρ，当 ρ=1时,B=1
即有一个单位根，称为单位根过程。
当 ︱ B︳ >1时,︱ ρ ︳ <1时，就是平稳过程。
4、单位根过程与稳定过程的本质区别
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????
?
??
T
t
t
T
t
tt
T
t
t
T
t
ttt
T
t
t
T
t
tt
tt
t
ttt
y
y
y
y
y
yy
DE
y
2
2
1
2
1
2
2
1
2
11
2
2
1
2
1
2
1
)(
?
)(,0)(
,1
?
?
??
?
???
??
??
为独立同分布序列
的一致估计值。是时，当 ??
?
?
??
?
)(
)(
)?(
2
2
1
2
1
??
???
?
?
?
?
?
?
T
yE
yE
E
T
t
t
T
t
tt
)2(~
1
)?(
)1,0(~
1
)?(;?:;?:
))1(,0(~)?(
2
2
10
22
?
?
?
?
?
?
?
??
??
Nt
s
T
t
N
T
Z
HH
NT
?
??
?
??
??
????
????
未知时，当
），（）（变成了
））（，（）（时，当
00~1?
10~?1? 22
NT
NT
?
???
?
?????
第二节 与单位根过程形式接近的几种模型
一、带常数项的随机游动过程
1、
2、
是独立同分布序列,}{1,0
1
t
ttt yy
???
???
??
??? ?
)0(
.,,
.,,
)(2
)(
0
1
210
123
12
1
???
??????
?
??????
?????
???
?
?
???
??
?
yt
yt
y
y
yy
t
i
i
t
tttt
ttt
ttt
令??
????
?????
????
??
1200
1400
1600
1800
2000
2200
50 100 150 200 250 300- 2 0
0
20
40
60
80
100
120
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
y = 0, 1 + y (- 1 ) + u
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
y = - 0, 1 + y ( - 1 )+ u
深圳股票综合指数
二、长期趋势
1、形如 称为确定趋势模型。
2、前两类模型的图形接近。
3、判别单位根的必要性。
yt = 0.1 t + ut 生成的序列 图
tt rtcy ????
-5
0
5
10
15
20
25
30
50 100 150 200 250
w i t h d e t e r m i n i s t i c t r e n d
三、含随机趋势和确定性趋势的混合随机过程
1、
yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut生成的序列 图
1
}{
1
?
???? ?
?
?
????
是独立同分布序列t
ttt yty
60
80
100
120
140
160
180
400 450 500 550 600 650 700 750 800
四、近单位根过程
1、
1
1
?
?? ?
?
?? ttt yy
第六章 单位根过程的假设检验
第一节 迪基 ---福勒 (DF)检验法
一,DF检验法产生的背景
1,DF检验法是由 Dickey,Fuller在 20世纪 70,80年代
的一系列文章中建立起来的。
2、
。接受显著性水平
的标准差是的估计值，是
0
2
0
0100
1
,,
???
)1(~
?
?
:;:
:)1(
Htt
Ttt
HH
yyAR
T
TTT
T
T
T
ttt
?
?
????
?
??
????
??
?
?
?
?
??
??
?
3、这种方法不能用来检验 H0:ρ=1，当零假设成
立时,t T不再服从 t分布，因而无法得到临界
值。
此时，只能用模拟方法得到临界值。
DF检验中用到两个统计量：
T（ ρ T-1）和 t T，它们不存在小样本分布，只
有当样本容量 T足够大时，它们的极限分布才
有实际的应用价值。
二、情况一的 DF检验
1、假设数据由 产生，并在其中检验
H0:ρ=1; H1:ρ<1
2、适用于数据是非平稳且没有趋势的情况。
ttt yy ?? ?? ? 1
3、例：利用 1947年第二季度到 1989年第一季度的数据
对美国财政部债券利息率作不带常数的一阶自回归
如下：
0
1
0
10
1
59.129.0,95.1,05.0
29.0
0 1 0 5 9.0
19 9 6 9 4.0?
2
9.751.0,9.7,05.0
51.0)19 9 6 9 4.0(168)1?()1(
1:;1:
)0 1 0 5 9.0(
9 9 6 9 4.0
H
t
H
T
HH
ii
T
T
T
tt
接受
临界值为
）（
。接受
临界值为
?????
??
?
??
?????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
三、情况二的 DF检验
1、假设数据由 产生，在
一般先检验 ρ=1，若接受 H0，再检验 α=0。若 α=0，则
为,若 α ≠ 0，则为
2、情况二适用的数据图形是有趋势，但不稳定的情况。
这时，就在随机性非平稳及有漂移趋势的非平稳之
间选择。
ttt yy ?? ?? ? 1
10
10
1
0
1
??
??
??? ?
??
??
???
，：
，：
中检验
H
H
yy ttt
ttt yy ??? ? 1 ttt yy ?? ??? ? 1
3、例：仍利用美国财政部债券利率数据，估计带常数
项的一阶自回归模型：
.,89.271.1
89.2,05.0
71.1
0 1 9 3 3.0
19 6 6 9 1.01?
)2(
,7.1356.5
7.13,05.0
56.5)19 6 6 9 1.0(1 6 8)?()1(
)0 1 9 3 3.0()1 1 2.0(
9 6 6 9 1.02 1 1.0
0
0
1
1
H
t
H
T
ii
T
T
T
T
tt
???
??
??
?
?
?
?
???
??
????
??
?
?
临界值
，临界值
?
?
?
?
?
0
05.0
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
22
0
,67.481.1
67.4166,281.1
96691.0211.0
99694.0
)(
?
)(
~
)2,2(~
)2/(
?
2/
?
~
0
H
FF
yy
yy
yyR
yyR
TF
TR
RR
F
H
tt
tt
T
t
tt
T
t
tt
?
??
??
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）（，
由前知
）（
的检验：
??
?
?
四、情况三的 DF检验
1、情况三的 DF检验
（ 1）假设数据是由带常数项的单位根过程
（ 2）缺陷
1
1
1
0
1
?
?
??? ?
?
?
???
：
：
生成
H
H
yy ttt
五、情况四的 DF检验
1、；
，则为若；
，则为，若先检验
。成立，则为单位根过程若
：
：
ttt
ttt
ttt
tyy
yy
H
H
H
tyy
???
?
??
??
??
??
????
????
?
???
??
??
??
????
?
?
?
1
1
0
1
0
1
0
01
0,1
0,1
?
?
?
?
?
?
????
???
?
?
?
?
?
T
t
tt
T
t
tt
tyyR
yyR
TF
TR
RR
F
H
1
2
1
2
1
2
1
2
2
22
0
)(
?
)(
~
)3,2(~
)3/(
?
2/
?
~
0
???
??
?
）（
的检验：
（ 2）适用于序列有趋势的情况
3、例：美国 1947年一季度至 1989年第二季度 GNP的实
际值，对图中数据进行模型拟合。
解,（ 1）图中数据有明显的长期趋势；
（ 2）这类图形可能适合的模型有：
tttttt tyyyy ??????? ??????? ?? 11 和
（ 3）
)0 1 5 2.0()0 1 9 3.0()53.13(
0 2 7 5 3.09 6 2 5 2.034.27
0,1
0,1
1
1
0
1
tyy
H
H
tyy
tt
ttt
???
??
??
????
?
?
??
??
????
：
：
.,44.394.1
44.3,05.0
94.1
0 1 9 3.0
19 6 2 5 2.01?
)2(
,7.203.6
7.20,05.0
3.6)19 6 2 5 2.0(1 6 8)?()1(
0
0
1
H
t
H
T
T
T
T
T
???
??
??
?
?
?
?
???
??
????
?
临界值
，临界值
?
?
?
?
?
0
05.0
2
22
0
,45.644.2
45.6165,2
44.2
)3,2(~
)3/(
?
2/
?
~
0
H
F
F
TF
TR
RR
F
H
?
?
?
?
?
?
?
?
）（
）（
的检验,?
六,DF检验小结
第二节 增广的迪基 ---福勒 (ADF)检验法
一,ADF检验法（ Augmented Dickey—Fuller
Test）
1,ADF检验法是由迪基（ Dickey）和福勒
（ Fuller）在 1979年提出的，是 DF方法的推广。
DF假定 {εt}是独立同分布序列,ADF假定随
机扰动项 {μt}是稳定过程。
2、原理：
ADF假设数据服从有单位根的 P阶自回归过程，即
? ?
0.,,1
).,,1()(
),(}{
.,,
2
21
2
21
22111
?????
??????
?????????
????
p
P
tt
p
Pt
t
t
tptptttt
yBBByB
pARpy
yyyyy
??????
?????
?
?????
它的特征方程为：
阶自回归过程服从设随机过程
是独立同分布序列。
）（）（
这样，
令，其余根在单位圆外，有一个单位根
BBBBB
BBBB
pj
B
p
P
p
P
Pjj
P
????????
?????
??????
????
?
?
?
?
1).,,1(1
).,,1()(
1,.,,,2,1),.,,(
.,,
1
1
1
2
21
2
21
1
21
????
????
???
????
证明：
tt
p
p
P
p
pp
p
p
p
pp
p
p
p
p
pp
yB
BBB
BBB
BBBBBB
BB
BBBBBB
BBB
BBBBBB
??
???
???
??????
???
????????
???
??????
??
?????
????
?????????
????
??????????
????
????????
?
?
??
?
?
?
)(
.,,1
.,,
.,,.,,1
)(.,,
)()(.,,1
).,,(
).,,().,,1(
2
21
3
3
2
2
3221
1
1
12
3
32
2
21121
1
3
2
2
1
1
1
2
2121
tptPtttt
tptPtttt
tptPtt
ptPtttt
tt
p
P
yyyyy
yyyyy
yyy
yyyyy
yBBBBB
?????
?????
????
????
?????
??????????
?????????
?????
?????
????????
??????
??????
????
??????
?
?
1122111
1122111
13221
1122111
1
1
2
21
.,,
.,,
.,,
.,,
]1).,,1(1[ ）（）（
二、情况二的 ADF检验
1、
一致。检验统计量的极限分布这样与
和
）（
检验统计量为：
DF
T
yyyyy
T
T
P
T
tptPtttt
?
?
???
?
??????
?
?
.,,1
?
.,,
1
121
1
1122111
?
?
?
??????
????
??????????
2、例：利用 ADF检验法对美国财政部债券利率进行单
位根检验。
解,H0:ρ=1;H1:ρ<1
.,88.266.1,88.2
66.1
0 1 8 6 0.0
19 6 9 0 4.0
?
1?
.,8.1374.5,8.13
74.5
1 0 7.02 7 6.03 8 8.03 3 5.01
)19 6 9 0 4.0(1 6 4
.,,1
)1?(
)0 1 8 6 0.0()1 0 9.0()0 7 9 4.0()0 8 0 0.0()0 8 0 8.0()0 7 8 8.0(
9 6 9 0 4.01 9 5.01 0 7.02 7 6.03 8 8.03 3 5.0
0
0
121
14321
H
t
H
T
iiiiii
T
T
T
p
T
tttttt
????
??
?
?
?
?
????
??
????
?
?
???
?
??????????
?
?????
临界值为
临界值为
?
?
???
?
第七章 协整理论
第一节 协整理论的建立和意义
一、协整理论的建立
1,1987年,Engle---Granger发表论文“协整与
误差修正，描述、估计与检验”，正式提出
“协整”概念。
Johansen(1995 )等人逐步发展完善。
2、意义
20世纪 70年代以前的建模方法都假定时间序列
是平稳的，而现实的时间序列数据绝大多数
是非平稳的，这就会带来伪回归、参数估计
精度降低等问题。
传统的计量经济学面临三大问题：
? 如何检验时间序列的非平稳性；
? 如何修正和检验传统的计量经济模型；
? 如何把时间序列变量引入经济计量分析领域。
20世纪 70年代以后，上述问题逐步得到解决：
? 1976年，迪基 —福勒提出了检验非平稳时序
的方法,DF检验法； 1979,1980又提出 ADF；
? 当经济时间序列是非平稳时，可能存在伪回
归问题，由变量间的统计关系推断它们之间
是否存在因果关系十分困难。协整理论应运
而生，为了识别在非平稳时间序列中是否真
正存在因果关系；
? 误差修正模型（ ECM）产生。 ECM由
Davidson,Hendry,Srba于 1978年提出。它是
对传统计量模型形式的一次改革。
? Granger认为，如果变量间存在协整关系，它
们可以等价地用误差修正模型形式表示。
二、伪回归 —协整理论产生的根源
1、伪回归：对两个无任何联系的变量拟合模型，
所有的统计检验都能通过。
2、原因：单位根
3、证明：
)3(
0)(
)2(),0(~,
)1(),0(~,
)1(
10
2
21
2
11
ttt
tt
tt
tttt
tttt
xy
xy
vuE
iinvvxx
iinuuyy
???
?
?
???
?
??
??
?
?
进行回归得：、对
游走模型：考虑两个不相关的随机
（ 2）为分析方便，设回归模型不含截距项。
)()(
)5(
021\
)4(
0)(
)2(),0(~,
)1(),0(~,
2
2
2
1
1
1
1
1
00
1
2
21
2
11
??????
????
??
??
?
??
??
??
??
?
?
tttV a r
vuxy
xyxy
xy
xy
vuE
iinvvxx
iinuuyy
t
t
i
i
t
i
ittt
tt
ttt
tt
tt
tttt
tttt
当
）产生，并假定）（由（
进行回归得：、对
????
???
??
?
?
(3)从分布理论上认识伪回归
Phillips证明,当两个变量服从单位根时,t,F检验的分
布已经发生改变，需要用维纳过程和泛函中心极限
定理来解释它们的分布。
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
2122
2/12/12
2
1
)()(
)(
)(
?
4
xTxT
xTyTxyT
xx
xxy
t
tt
t
tt
?
）进行参数估计有：对（
????
?
??
?
?
?
vu
vuvutt
vv
vvt
uu
drrwrwxyT
drrwxT
drrwxT
drrwyT
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
1
1
1
0
2
1
0
21
1
0
222
1
0
2/1
?
)()(
)(
)]([
)(
的表达式中有：带入
由维纳过程的性质知
结论：在理论上 β1应该收敛于 0，但是，在单位
根情况下，它收敛于一个非退化的分布。因
此，基于 β1的常规统计推断全部失效。
同理,F检验,T-1F----非退化分布
t检验,T-1/2t----非退化分布
第二节 两变量协整关系的检验
一、协整概念
1、单整（ integration）
一个具有非确定性分量的时间序列 X t，如果 d次
差分后是平稳序列，则称 X t是 d阶单整的，
记为 X t ~I（ d）
2、协整
向量，时，可能存在多个协整
是唯一的，时，协整向量当
为协整向量。是协整的，
则认为
其中，
使得
），（若存在一个向量，
阶单整的，都是若
2
2
,.,,,,,
),.,,,,,(,0
)(~
,,.,,,
,.,,,,,
21
21
21
21
?
?
??
?
?
?
?
k
k
xxx
xxxXb
bdIXz
dxxx
kttt
ktttt
tt
k
kttt
?
?
?
????
3、几点说明：
? 目前的协整研究是基于 d=1展开的；
? 协整关系可以表述为：若两个时间序列变量
是非平稳的，但它们的某种线性组合是平稳
的，则存在协整关系；
? 协整概念同经济学中的长期均衡概念有本质
上的联系；
? 只有当两个变量的单整阶数相同时，才可能
存在协整关系。
? 从定义看，将因、自变量放在一起，它们的
组合等于某个值，而这个值实际上就是随机
扰动项，因此，是否存在协整关系就是检验
残差项是否平稳。
二、两变量的 Engle---Granger检验
1,EG检验是协整检验的开创性研究。
2、
），伪回归。（
），协整关系成立，（若
的单整性第二步，检验
），得估计模型（第一步，用
满足：假定两变量
1~?
0~?
?
??1
)1(
\
Iu
Iu
u
xyu
xyO L S
uxy
xy
t
t
t
ttt
tt
ttt
tt
?
?
?
??
?
??
3,EG检验的缺陷
? 仿真试验表明，即使样本长度为 100时，协整
向量的 OLS估计仍是有偏的。一般应该用极
大似然估计。
? EG检验一般只假定有一个协整关系，这就可
能忽略其他协整关系。
4、协整关系的检验可归为三类：
类型一、自变量、因变量回归模型不带常数和时间趋
势，
中情况一。查表
检验单整性，、用对残差
估计模型参数，用
5.4
?
.,,
33221
A D FDFu
O L S
uyryryry
t
tntnttt
?????
类型二、回归方程含常数项
中情况二。查表
检验单整性，、用对残差
估计模型参数，用
5.4
?
.,,
33221
A D FDFu
O L S
uyryryry
t
tntnttt
?????? ?
类型三、回归方程含常数 项，且 {yt}是带非 零常数的
单位根向量
中情况三。查表
检验单整性，、用对残差
估计模型参数，用
5.4
?
.,,
33221
A D FDFu
O L S
uyryryry
t
tntnttt
?????? ?
第三节 多变量协整关系的检验
一,Johansen的协整检验
1、对于多变量之间的协整关系,Johansen
（ 1988）以及 Johansen与 Juselius(1990)提出了
一种向量自回归模型进行检验的方法。
二、向量自回归过程（ Vector autoregressive
process）
1,20世纪 90年代,Hendry吸纳、整合了协整理
论、误差修正模型等，创立了动态计量经济
学。在该理论中阐明为什么协整检验要从建
立向量自回归过程开始。
2,Hendry认为，应该从经济理论和数据提供的
信息为基础进行建模。
从能够代表数据生成过程的自回归分布滞后模
型开始 ——对模型中变量进行单整和协整检
验，逐步回归，剔除明显不显著的变量，得
到简化的模型 ——将简化模型写成误差修正
模型形式，得到包含长期均衡与短期波动的
简单模型。
3、数据生成过程（ Data Generating Process,
DGP）
是要描述已经得到的变量观测值是如何产生的。
? 时间序列是随机变量的集合,整个时间序列的
数据生产过程可以用所有随机变量的联合概
率密度函数来表示。
? 对于只能得到实际值的时间序列而言，得到
联合概率密度函数是很困难的。如果能够将
概率密度函数简单化，而又不失其中的信息，
则是可取的。
这就是动态计量经济学的约化理论。在经过一
系列约化处理后，概率密度函数就转化为如
下模型：
y t为内生变量,z t 为外生变量，模型称为自回
归分布滞后模型（ autoregressive distributed
lag,ADL）。
? ADL是 Jorgenson(1966)提出的，从其形式看，
它是用解释变量及被解释变量的若干滞后期
值来描述当期被解释变量的模型。
),0(~,2
10
0 ????? Nyrzy tt
p
i
iti
q
i
itit ???? ??
?
?
?
?
? 向量自回归过程就是在 ADL模型基础上扩展
的，它已成为协整检验的基础，是分析多变
量时间序列的有力工具。
4、向量自回归过程
n维随机向量 y t服从 p阶向量自回归过程，记 Var(p)，则
??
?
??
??
??????
???
)()(,0)(
}{
),.,,,2,1(
)1(.,,
2211
tttt
t
s
tptpttt
EDE
n
nnps
n
yyyy
????
?
?
?
?????
维独立同分布随机向量为
维矩阵，为
维常数向量，为其中，
ps
yLLLI
Var
psss
p
tt
p
pn
,.,,2,1
].,,[
.,,
).,,(
1
)2(
21
21
2
21
?
??????
????
??????
?
????
????
?????
令
）等价地表示为：（
的变形
tptptttt
tptptttt
t
p
pn
t
p
pn
p
pn
p
pn
yyyyy
yyyyy
yLLLLLI
yLLLI
LLLLLI
LLLI
??????
??????
????
???
????
???
??????????
??????????
???????
????
???????
?????
??????
??????
?
?
?
?
1122111
1122111
1
1
2
21
2
21
1
1
2
21
2
21
.,,
.,,
)]1)(.,,()[(
).,,
)2)(1)(.,,()(
.,,
这样，（
三,JJ检验
1、
2、具体步骤
第一步：用 OLS估计 Δyt的一个（ p-1）阶 Var
V a rpyO L S
n O L Sn
uyyyy
t
i
tptpttt
）阶的（估计用
系数估计矩阵；为
1
??.,,???
1
1122110
?
?
?????????
?
?????
?
????
tptpttt vyyyy ??.,,??? 1122111 ???????? ?????? ????
第二步：计算典型相关系数
利用 OLS估计得到残差,计算样本协方差矩阵。
求矩阵
的特征值。
???
??
???
????
uvvuttuv
ttuuttvv
vu
T
uu
T
vv
T;??
1
??
1;??
1
???? ?? uvuuvuvv 11
tt vu ?\?
这些特征值按从大到小的顺序排列为：
设定似然函数为：
当存在 h个协整关系时，对数似然函数是 h个最大特征
值的函数，即：
n??? ?.,,?? 21 ???
?
?
??
n
i
iT
1
)1l n (
2
1
?
?
?
??
h
i
iT
1
)1l n (
2
1
?
第三步：协整关系的检验
（ 1） JJ检验之一：特征值轨迹检验
H0,Xt中有 r个独立的协整关系
H1,Xt中有多于 r个独立的协整关系
（ r=0,1,…, n-1）
构造统计量：
当 H0成立时，
?
??
???
n
ri
ir T
1
)1l n ( ??
0?r?
（ 2） JJ检验之一：最大特征值检验
若已知 λr+1=0，则可推出
λr+2=λr+3=…= λn-1=0
因此，有最大特征值检验方法。
.
)1l n (
1
0
1
H
H
T
r
r
rr
临界值，；临界值，
?
?
??? ?
?
?
??
第四步：计算参数的最大似然估计值
????
?
????
?
?
?
??
??
1,.,,,2,1,
?
?
?
~~
?
?,.,,,?,?
~
~
1??
?,.,,,?,?
00
0
0
0
21
21
??
????
??
?
?
?
?
?
?
估计为：
估计为的
估计为：的则
）（
）矩阵个正规化向量作一个（将前
使得建议正规化这些向量，
征向量个最大特征值相应的特是令
d e M L E
pi
M L E
AA
M L E
aaaA
Ahnh
aa
J o h a n s e n
haaa
iii
i
uv
h
ivvi
n
例,1973.1~1989.10美、意月度消费者物价指数 pt,pt*，
汇率 st，检验它们之间是否存在协整关系。
解,1、将
tt
kttttt
tttt
tttt
vu
XXXXX
pspX
XTtpsp
??
.,,
),(
,),.,,,2,1(
1211
*
*
和作回归，得到残差
，，，对和并分别以
、
列入随机向量矩阵和、
?????
????
?
?
?
2、利用样本数据可得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5 8 9 9.34 6 9.18 0 8.1
4 6 9.29 5 9.28 1 4.1
8 3 8.04 9 9.04 8 5.0
45.1 5 2 50 3 6.7 0 98 1 2.8 0 5
0 3 6.7 0 90 8 3.4 2 46 9 9.3 7 0
8 1 2.8 0 56 9 9.3 7 03 6 6.4 2 7
1 7 9 9.00 3 1 9 8.00 1 5 4.0
0 3 1 9 8.06 8 6.40 3 1 6.0
0 1 5 4.00 3 1 6.00 4 3 5.0
uu
vv
uu
矩阵
的特征值为,λ1=0.1105,λ2=0.05603,λ3=0.03039
3、检验
H0:系统中无协整关系（ r=0）
H1:系统中有一个协整关系（ r>0）
???? ?? uvuuvuvv 11
0
10
,78.2012.22
,78.207
12.22)1l n (
H
T
拒绝
，临界值为查表
?
???? ??
85.38
)]0 3 0 3 9.01l n ()0 5 6 0 3.01l n ()1 1 0 5.01[ l n (1 8 9
)1l n (
3
1
0
?
???????
??? ?
?i
iT ??
查表 6,α=0.05，情况三，临界值为 29.509,
38.85>29.509,拒绝 H0。
(2)
整关系。最终选择认为有一个协
。接受，临界值为
。，至少有两个协整关系拒绝
临界值为
0
21
0
3
2
1
10
,149.1014
9.10)1l n (
2.1573.16,2.15
73.16
)1l n (
1:;1:
H
T
H
T
rHrH
i
i
?
????
?
?
???
??
?
?
??
??
4、协整向量
最大特征值 λ1=0.1105对应的特征向量就是协整向量，
有
*
1
1
11
56.004.0
)56.004.01(?
1
)4 2 2 0.00 2 8 0.07 5 7 9.0(?
1??
ttt
vv
psp ??
???
?
??
?
?
?
?
?
即
，得将其第一个元素规范为
?
?
??
第四节 误差修正模型 (ECM)
一、协整系统的表述;)(,0)(
)1(.,,
)(
,,.,,,2,1
)1(~,),,.,,,,(1
2211
21
????
??????
?
??
???
tti
tptpttt
in
DEnn
yyyy
pV A Ry
yni
Iyyyyy
???
?????
矩阵，是其中，
形式，即有若
为向量单位根过程。称
且、若
)2(.,,
1
1,.,,,2,1],.,,[
.,,
)(
1
.,,)(
11111
2
1
21
2
21
tptpttt
psss
p
tt
n
P
pn
yyyy
ps
yL
nI
LLLIL
???
???
????
???
????
??????????
????????
????
??
?????
?????
??
）可表示为：则（
令
）可表示为：阶单位阵，则（为
2、
）（即
表示，即可以用假定
令
因此有
有
，其余大于等于）的特征方程有一个根故（
为向量单位根过程，由于
3)(
)(.,,
)(,
)(
),0(~),1(~
.,,
,1,1
,0.,,
111
2211
21
2
21
????
?????????
?
?
????
???
?????
??????
?????
??
??
?????
???
??????
???
ttt
tptptttt
ttt
t
tt
np
ji
p
pn
t
Luy
Lu
MAuyu
yE
IyIy
I
jiLL
LLLI
y
?
0
1
0
)(
)4)(1()()(,0)(
,1
)()()((1
)(
1
)()()()(1
3
?????
????
?
???????
???
??????
?
?????
????
?
?????
??
???
?
?
t
t
i
it
t
tt
tt
tt
Ltyy
LLLL
L
LLLL
yL
LLLyLL
L
这样，
）上式左边为（
））（
）得：由（
）（
）有）右乘（（以
假定 yt的元素之间存在 k个独立的协整关系，且协整向
量为
）得：由（
则
令
）（
对应的协整向量矩阵为
3
.,, )(
)(
)(
)0(~
.,,,
,
21
0
0
11
2,1
????
?
???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
jjj
j
jtjt
ti
t
i
t
i
i
tt
t
k
i
Lu
Lu
IyA
A
???
???
????
??
???
?
0)(
1,1)(4
50)(0
)0(~
)()(
)(
0
1
0
0
1
0
?
???
????
?
??????????
?????
?
?
?
?
LL
LLLL
LAA
IyA
ALAtAyAyA
Ltyy
t
t
t
i
it
t
t
i
it
??
??
??
?????
?????
）（
，当）（）由（
）（，
的充要条件是：
故
),.,,,2,1(
).,,(
0)1(
,01
10)1(1
0)1(0)(
1
21
ni
bAb
A
i
A
ALA
y
ikii
ii
i
ii
t
?
??
??
?
?
?
?
????
?????
????
??
??
????
???
??
?
线性表示，即可由为协整向量，因此，
个行向量，由）的第（是令
）（）（
的协整充要条件）的行向量亦满足（因此，
)6(.,,
.,,
)1(
].,,[
,2
)(),.,,(
1
11111
111110
210
1
21
tptptt
tptpttt
pnn
t
k
yyyAB
yyyy
AB
II
y
kBrbbbB
AB
??
??
?
????
?
???????????
????????????
?????
?????????
??
??
?????
?????
?
即有误差修正形式：
令
）两端同减式（
）（最后由
二,Granger表述定理
设 yt是 n维 I(1)随机过程，若 yt中有 k个协整关系，即存
在 n*k阶矩阵 A,r(A)=k,使得
）给出。（等价地由误差修正形式
），使得（）（，满足矩阵
），且存在）表述为式（（的若
）（且
6
21
1
01),0(~
ABBkn
pV A Ry
AIyAz
t
tt
???
????
?
?
三、误差修正模型（ ECM）
1,ECM的主要形式是由 Davidson,Hendry,Srba和
Yeo于 1978年提出。它将变量之间的短期与长期联
系有机地结合在一起。
2,ECM的形式
（ 1）对于（ 1,1）阶自回归分布滞后模型
)2()
1
)(1(
)
1
)(1(
)()1(
)1(
)1(
)1(
1
2
31
1210
1
2
31
1210
1311210
1312111110
131210
1
131210
tttt
tttt
tttt
ttttttt
t
ttttt
t
ttttt
zyz
zyz
zyz
zyzzzy
z
zyzy
y
zyzy
?
?
??
???
?
?
??
???
??????
???????
?????
?????
?
?
?
??????
?
?
?
??????
????????
?????????
?
???????
?????
??
??
??
????
??
?
??
右边出现
两边同减
式（ 2）为误差修正模型，
为误差修正项。
（ 2）对模型的理解
? ECM的被解释变量是 Δyt，因此，实际上是一
个短期模型，反映了 yt的短期波动 Δyt是如何
被决定的。
? 若 y与 z之间存在长期均衡关系，即 y=az，在
式（ 1）中，若
)
1
( 1
2
31
1 ?? ?
??
tt zy ?
??
zEz ?
则，不考虑常数项
衡。分：短期波动、长期均的波动可以分解为两部于是，被解释变量
衡对短期波动的影响。所以，它反映了长期均
形式接近。这与误差修正项
得：两边同取期望，设
t
tt
t
ttttt
y
zy
zy
zyzy
yyE
zyzy
?
?
?
?
?
?
?
???
?
????
??
??
1
2
31
1
2
31
321
13121
1
1
)(
?
??
?
??
???
????
? 误差修正模型的含义：
——Δy t受另一变量的 Δz t的影响；
——受（ yt-1- ）的影响。均值对一序列而言是
恒定的，实际序列值与均值离差对 Δy t的的影
响，表示一种恒定力量对 Δy t的作用，称为长
期均衡影响。
? 表明 是由 决定的，也就是
说,y与 z之间有长期均衡关系，它们的均值之
间才会存在稳定关系。
y
zy
2
31
1 ?
??
?
??
y
y z
西安交通大学经济与金融学院统计系
赵春艳
本课程内容体系：
第一章：平稳时间序列分析导论
第二章：平稳时间序列分析的基础知识
第三章：平稳时间序列模型的建立
第四章：协整理论导论
第五章：单位根过程
第六章：单位根过程的假设检验
第七章：协整理论
参考书目,
1、陆懋祖，高等时间序列经济计量学，上海人民出版
社,1999年版；
2、王振龙主编，时间序列分析，中国统计出版社，
2000；
3、王耀东等编，经济时间序列分析，上海财经大学出
版社,1996；
4、马薇，协整理论与应用，南开大学出版社,2004；
5、王少平，宏观计量的若干前沿理论与应用，南开大
学出版社,2003。
第一章 平稳时间序列分析导论
一、时间序列
1、含义：指被观察到的依时间为序排列的数
据序列。
2、特点：
（ 1）现实的、真实的一组数据，而不是数
理统计中做实验得到的。既然是真实的，它
就是反映某一现象的统计指标，因而，时间
序列背后是某一现象的变化规律。
（ 2）动态数据。
二、时间序列分析
1,时间序列分析：是一种根据动态数据揭示
系统动态结构和规律的统计方法。其 基本思
想,根据系统的有限长度的运行记录（观察
数据），建立能够比较精确地反映序列中所
包含的动态依存关系的数学模型，并借以对
系统的未来进行预报（王振龙）
2、计量经济学中的建模方法和思想
3、理论依据：尽管影响现象发展的因素无法探
求，但其结果之间却存在着一定的联系，可
以用相应的模型表示出来，尤其在随机性现
象中。
三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分
析
时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，
并产生与之相适应的分析方法：
（ 1）长期趋势变化
受某种基本因素的影响，数据依时间变化时
表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地
增长或下降。
使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、
模型拟和法等；
（ 2）季节性周期变化
受季节更替等因素影响，序列依一固
定周期规则性的变化，又称商业循环。
采用的方法：季节指数；
（ 3）循环变化
周期不固定的波动变化。
(4)随机性变化
由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析
方法就是我们要讲的时间序列分析。
确定性变化分析 趋势变化分析
周期变化分析
循环变化分析
时间序列分析
随机性变化分析 AR,MA,ARMA模型
四、发展历史
1、时间序列分析奠基人：
20世纪 40年代分别由 Norbort Wiener
和 Andrei Kolemogoner 独立给出的，他
们对发展时间序列的参数模型拟和和推
断过程作出了贡献，提供了与此相关的
重要文献，促进了时间序列分析在工程
领域的应用。
2、时间序列分析在经济领域的应用
20世纪 70年代,G.P.Box 和 G.M.Jenkins发表专
著, 时间序列分析：预测和控制,,使时间
序列分析的应用成为可能。
3、现代时间序列分析的发展趋势
（ 1）单位根检验（ 2）协整检验
2003年度诺贝尔经济学奖的获得者是美国经济
学家罗伯特,恩格尔和英国经济学家克莱夫,格
兰杰。
获奖原因：“今年的获得者发明了处理许多经
济时间序列两个关键特性的统计方法：时间
变化的变更率和非平稳性。”两人是时间序
列经济学的奠基人。
时间变化的变更率指方差随时间变化而变化的
频率，这主要是指恩格尔在 1982年发表的条
件异方差模型（ ARCH），最初主要用于研
究英国的通货膨胀问题，后来广泛用作金融
分析的高级工具；
传统的计量经济学研究中，通常假定经济数据
和产生这些数据的随机过程是平稳的。格兰
杰的贡献主要是在非平稳过程假定下所进行
的严格计量模型的建立。（协整检验）
第二章 平稳时间序列分析的基础知识
第一节 随机序列
一、随机过程
1、定义：
在数学上，随机过程被定义为一组随机变量，
即,? ?Ttz
t ?,
其中,T表示时间 t的变动范围，对每个固定的时刻 t
而言,Zt是一随机变量，这些随机变量的全体就构成
一个随机过程。
2、特征
（ 1）随机过程是随机变量的集合
（ 2）构成随机过程的随机变量是随时间产生
的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应。
二、随机序列（时间序列）
1、当
时，即时刻 t只取整数时，随机过程
可写成
此类随机过程 称为随机序列，也成时间序列。
? ?,.,,2,1,0 ???t
? ?Ttz t ?,
? ?,.,,2,1,0,???tz t
可见
（ 1）随机序列是随机过程的一种，是将连续时
间的随机过程等间隔采样后得到的序列；
（ 2）随机序列也是随机变量的集合，只是与这
些随机变量联系的时间不是连续的、而是离
散的。
三、时间序列的分布、均值、协方差 函数
1、分布函数
(1)一维分布函数,随机序列中每个随机变量的分
布函数,
F1(z),F2(z),…,F t-1(z),Ft(z)
(2)二维分布函数,随机序列中任意两个随机变量
的联合分布函数
Fi,j(zi,zj).i,j=…,-2,-1,0,1,2,…
(3)柯尔莫哥洛夫定理与有限维概率分布
柯尔莫哥洛夫定理表明,一个随机序列的特征,可
以用它的有限维分布表示出来。
2、均值函数
对随机序列中的任一随机变量取期望。
当 t取遍所有可能整数时，就形成了离散时间的函数 ut
称 ut 为时间序列的均值函数。
dzzfzzdFzEzu tttttt )()( ?? ???
3、自协方差函数和自相关函数
),())(()])([(),(,ststssttsstt zzdFuzuzuzuzEstr ?????? ??
)()(),(
)()(),(
2
2
sss
ttt
zDuzEssr
zDuzEttr
???
???
自相关函数：
当 t,s取遍所有可能的整数时，就形成了时间序
列的自相关函数，它描述了序列的自相关结
构。它的本质等同于相关系数。
),(),(
),(),(
ssrttr
strst ??
第二节 平稳时间序列
一、平稳时间序列
1、定义：时间序列 {zt}是平稳的。如果 {zt}有有
穷的二阶中心矩，而且满足：
（ 1） ut= Ezt =c;
（ 2） r(t,s) = E[(zt-c)(zs-c)] = r(t-s,0)
则称 {zt}是平稳的。
含义：
a有穷二阶矩意味着期望和自协方差存在；
b平稳时间序列任意时刻所对应的随机变量的均值相
等；
c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无
关。
二、平稳时间序列的均值、自协方差和自相关
函数
1、均值函数：平稳时间序列均值为常数，为分
析方便，假定 E zt=0，当均值不为零时，给每
个值减去均值后再求均值，即等于 0。
2,自协方差函数：平稳时间序列的自协方差
仅与时间间隔有关，而与具体时刻无关，所
以，自协方差函数仅表明时间间隔即可。
tttt
tktt
ktktttk
DZEZEZZEr
EZZEZ
EZZEZZEr
????
??
???
?
??
22
0
)(
)0(
)])([(
3、自相关函数 ρk
平稳时间序列自协方差仅与时间隔有关，当
间隔为 零时，自协方差应相等,
k
kk
r
r
rr
r
ssrttr
strst ?? ????
000),(),(
),(),(
4、自协方差与自相关函数的性质
(1) rk=r-k ρk= ρ-k k、－ k仅是时间先后
顺序上的差异，它们代表的间隔是相同的。
(2)
0
0
1,1 rr
r
r
k
k ?????
三、偏自相关函数 （ PACF)
1、偏自相关函数用来考察扣除 zt 和 zt+k之间 zt+1,
zt+2,…, zt+k-1影响之后的 zt 和 zt+k之间的相关
性。
2、偏自相关函数的定义
设 {zt}为零均值平稳序列,zt+1, zt+2,…, zt+k-1对 zt
和 zt+k 的线性估计为：
112211
112211
?
?
??????
?????
????
????
ktkttkt
ktkttt
zzzz
zzzz
???
???
?
?
φkk表示偏自相关函数，则：
)?v a r ()?v a r (
)?(),?c o v [ (
ktkttt
ktkttt
kk
zzzz
zzzz
??
??
??
??
??
3,PACF的涵义
设有 zt+1,zt+2,zt+3
)c o v ()]?(c o v [
?
,133,1
213
213
ttttt
tt
ttt
azzzz
zz
azz
????
??
??
??
?
??
?
?
4,pacf的推导
222211
2212123
33
221121
111
1112
22111
1,1,1,1
1
11
111,1
111
1
,
1
,
,.,,,2,1,
)1)((
11
????
?????
?
????
??
???
???
????
??????
??
??
??
?
??
?
?
??
???
???
?
?????
?
??
????? ??
kj
jkkkkkjjk
kj
k
j
jkj
k
j
jkkkk
四,随机序列的特征描述
（ 1）样本均值
cz
n
z
n
t
t ?? ?
? 1
1
（ 2）样本自协方差函数
? ?
? ?
kttkttktktttk
ktktttk
n
t
t
kt
kn
t
tk
kt
kn
t
tk
dzdzzzEzzEzzr
EzzEzzEr
zz
n
r
zzzz
kn
r
zzzz
n
r
????
??
?
?
?
?
?
?
?
????
???
??
??
?
?
???
??
?
?
?
)())((
))((
)(
1
))((
1
))((
1
2
1
0
1
1
或
（ 3）样本自相关函数
?
?
?
??
??
?
2
0 )(
))((
zz
zzzz
r
r
t
kttk
k
?
（ 4）样本偏自相关函数
kj
jkkkkkjjk
kj
k
j
jkj
k
j
jkkkk
,.,,,2,1,
)1)((
1,1,1,1
1
11
111,1
111
???
???
?
?????
?
??
????? ??
????
??????
??
例 1、设动态数据 16,12,15,10,9,17,11，
16,10,14，求样本均值、样本自相关函数
（ SACF）和偏自相关函数（ SPACF）（各
求前三项 ）
? ?
2221
0
3
3
0
2
2
2
1
0
1
1
)1314()1312()1316(
)1314)(1310()1315)(1312()1312)(1316(
218.0
24.0
53.0
)(
1
))((
1
)2(
13
10
1
)1(
??????
?????????
?
???
??
??
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
r
r
r
zz
n
zzzz
n
r
r
zz
t
tt
t
560.0
169.0
1
057.0
1
53.0)3(
11221121
222211
2212123
33
111
1112
22
111
????
??
??
??
?
??
?
?
?
???
????
????
?????
?
??
???
?
??
第三节 线性平稳时间序列模型
一、自回归过程 (A R (p)）
1、
ttp
ptt
PP
pp
p
ttstp
t
tptpttt
azB
zzBBBBBB
BB
aEzstaEz
a
azzzz
?
??????
??
????
?????
?
???
)(
.,,1)(
10)()3(;,0,0)2(
}){1(
,.,,
2
21
2
2211
?
????
?
??
???
模型的简化形式为：
为后项算子，，
，的根在单位圆外，即
且
为白噪声序列；
且满足：形如
2,AR(P)模型的 ACF,PACF特征
以 AR(1)为例
11
1
01)(
)1(
)1(
1
1
1
111
????
???
????
?
?
?
??
??
B
BB
azBazz
ttttt
则的根必须在单位圆外，）（
为满足平稳性，
或
接近，越来越与
，小，这种现象称为拖尾减小，且以指数速度减
间隔增大时，增大时，即序列之间的当
的
0
,1
,
.,,
)1()()()(
)1()2(
1
1
0
01
1111
k
kk
k
k
ktktktttktk
k
r
r
r
krazEzzEzzEr
A C FAR
?
?
??
?
??
??
??
??
?????
?????
?
象。，这种现象称为截尾现时，当；
的递推公式有：按照
02
0
01
0
1
0
1
1
2
1
1
2
1
3
1
222211
2212123
33
111221121
2
1
2
1
2
1
111
1112
22111
??
?
??
??
?
??
??
?
???
?
?
?
?
?
?
??
kk
k
P A C F
?
?
???
????
?????
?
?????
?
??
??
???
???
例：
如下：、个观察值计算为白噪声序列，利用
个观察值，模拟产生过程用
P A C FA C Fa
azBAR
t
tt
250}{
250,9.0,)10)(1()1( 11 ???? ??
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
?k 0.88 0.76 0.67 0.57 0.48 0.4 0.34 0.28 0.21 0.17
?kk 0.88 0.01 -0.01 0.11 0.02 -0.01 0.01 -0.02 -0.06 0.05
计算结果表明,ACF逐渐衰减，但不等于零；
PACF在 k=1后，与零接近，是截尾的。
结论,ACF呈指数衰减，是拖尾的； PACF在一
步后为零，是截尾的。
二、滑动平均模型（ MA(q)）
1、形如 zt=at-?1at-1- ?2at-2 -… - ?qat-q模型为滑动平
均模型，
其中，简化形式 zt=?(B)at
?(B)= 1-?1B- ?2B2 -… - ?qBq,满足 ?(B)= 0的根在单
位圆外，即 ?B?>1，此时该过程是可逆的。
2,MA模型的 ACF及 PACF
11
1
0)1()1(
)1(
1
1
1
111
???
????
???? ?
?
?
?
??
B
BB
aBaaz tttt
可逆性：
取期望得：两边同乘
时，当
时，当
，并取期望得：两边同乘
，
为例以
,
,
)()()(
0
)2(0
)1(
1
)()(
)(
))1(()2(
1
11
110
2
1
11
11
?
?
?
???
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
t
ttt
tttttt
a
k
kttktt
kttk
kt
ttt
a
aaz
zaEzaEzzEr
k
k
k
rk
zaEzaE
zzEr
z
aaz
MAA C F
?
?
??
?
?
是截尾的。
所以，
中，代入
k
k
k
a
aa
attt
tt
k
k
r
r
r
r
aEaaE
azE
?
?
?
?
??
????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
????
??
?
)2(0
)1(
1
)1(
)(
)()(
)(
2
1
1
0
2
1
2
2
11
2
0
0
2
1
2
111
1
(3)PACF
6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
111
1112
22
4
1
2
11
2
1
1
111
1
)1(
1
1
1
)1(
)1(
?
??
?
?
??
???
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
的递推公式有：根据 P A C F
。是减小的，呈拖尾现象从总体上看，
且增大的速度大于分子
分母增大，分子减小，
顺次减小，
kk
?
????
?
??
?
?
????
?????
?
.,,,,,1
1
)1(
21
1
3
1
2
111
8
1
2
1
3
1
2
1
3
1
222211
2212123
33
?
?
??
?
?
?
??
??
?
例：用 zt=(1-0.5B)at模拟产生 250个观察值,at为
白噪声序列，得到序列自相关和偏自相关函
数 如下：
可见,ACF在一步后截尾,PACF是拖尾的。
结论,MA(q)的 ACF是截尾的,PACF是拖尾的。
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ACF -0.44 0 0.02 -0.03 -0.01 -
0.05
0.04 -
0.03
-
0.03
0.02
PACF -0.44 -
0.24
-0.11 -0.08 -0.07 -
0.12
-
0.06
-
0.07
-0.1 -
0.08
三、自回归滑动平均模型（ AR M A (p,q)）
1、
型。称为自回归滑动平均模
的根在单位圆外。和即
平稳性和可逆性条件，
为白噪声序列；满足
0)(0)(
)2(
}){1(
.,,
.,,
11
2211
??
????
????
??
???
BB
a
aaa
zzzz
qp
t
qtqtt
ptpttt
??
??
???
q
p
pp
tqtp
BBBB
BBBB
aBzB
????
????
??
?????
?????
?
...1)(
...1)(
)()(
2
21
2
21
其中：
模型的简化形式为：
2,ARMA(p,q)的 ACF和 PACF
。
的要求，为满足平稳性和可逆性
为例：以
1,1
)1(
)1()1(
)1,1(
11
11
??
???
??
??
tt
aBzB
A R M A
(2)ACF,PACF均是拖尾的
例, (1-0.9B)zt=(1-0.5B)at模拟产生 250个观察值，
ACF,PACF如下表所示：
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
acf 0.5
7
0.5 0.47 0.35 0.3
1
0.25 0.2
1
0.1
8
0.1 0.1
2
pacf 0.5
7
0.2
6
0.18 -0.03 0.0
1
-
0.01
0.0
1
0.0
1
-
0.08
0.0
5
本节介绍了三类模型的形式、特性及自相关和
偏自相关函数的特征，现绘表如下：
AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
模型方程 ?(B)=at zt=?(B)at ?(B)zt= ?(B) at
平稳性条件 ?(B)=0的根在
单位圆外
无 ?(B)=0的根在单位圆外
可逆性条件 无 ?(B)=0的根在
单位圆外
?(B)=0的根在单位圆外
自相关函数 拖尾 Q步截尾 拖尾
偏自相关函数 P步截尾 拖尾 拖尾
第三章 平稳时间序列模型的建立
第一节 模型识别与定阶
一、模型识别
1、含义：对一个观察序列，选择一个与其实际
过程相吻合的模型结构。
2、方法：利用序列的 acf,pacf识别。判断截尾、
拖尾的主观性较大，只是初步识别。
二、模型定阶
（一） a c f,p a c f方法
（ 1） M A (q):
Bartlett公式：当 k>q时,N充分大，
%45.95)21
2
(
%3.68)21
1
(
3
)).21(
1
,0(
1
2
1
2
1
2
???
???
?
?
?
?
?
?
?
q
l
lk
q
l
lk
q
l
lk
N
P
N
P
N
N
N
??
??
?
??
或
近似成立：充分大时，下面的等式
原则知，由正态分布的
的分布为渐近正态分布
)%(5.95%3.68
)21
2
(
)21
1
(
?,.,,,,?,?
1
2
1
2
,21
NMM
N
P
N
P
q
q
l
lk
q
l
lk
Mqqq
一般取或的的个数是否占
或满足
考察其中计算
，对于每一个
?
?
?
?
???
??
??
??
??
???
(2)AR（ P）：
），（时，当 NNpk kk 10?? ?
（二）残差方差图：
（ 1）残差：在多元回归 y=a1x1+ a2x2+….+ a n x n
+at,存在自变量 x的选择问题。如果 x选择不够，
模型拟合不足，表现为 y与 ?差异较大；若 x
选择多，则过度拟合,y与 ?差异减小速度很
慢。
将 (y- ?)称为残差，多元回归就是利用此确定模
型的自变量，即新增或减少变量是否会显著
影响残差。
（ 2）将该思想应用到时间序列模型定阶上。
模型的参数个数实际观察值个数
模型的剩余平方和
为此引入残差方差
模型阶数。阶数下是否显著来判定
）在不同利用（
）得到的估计值。阶数（
为根据模型为序列真值，
为例，以
?
?
?
2
2
.
?
,
?
),(
a
a
tt
tt
zz
qp
zz
qpA R M A
?
?
)()(
:),(
:)(
)(
)(
)?(
2
2
2
2
1
qPPN
Q
qpA R M A
qN
Q
qMA
PPN
Q
pAR
N
zzQ
a
a
a
N
t
tt
???
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?：对于
自回归阶数实际观察值个数
模型的剩余平方和
(3)利用 ?a2的变化规律，确定模型阶数。
随着模型阶数的增大，分母减小；
分子在不足拟合时，一直减小，速度较快；过
拟合时，分子虽减小，但速度很慢，几乎不变。
?a2取决于分子、分母减小的速度。
在不足拟合时,?a2一直减小；过拟合时,?a2却
增大。
选择 ?a2的最低点为模型的最优阶数。
（三） F 检验定阶法：
（ 1） F分布：
),(~
/
/
),(~),(~
)(~,
.,,,
21
2
1
2
2
1
2
2
1
2
21
vvF
vY
vX
F
YXvXYvXX
vXXxX
xxx
v
t
t
v
?
? ?
?
相互独立与若
则
正态分布相互独立，且服从标准，，，若
（ 2）用 F分布检验两个回归模型是否有显著差
异。
?
?
?
??
??
?
????????
?????????
?????
?????
N
t
srsrt
srsrt
N
t
rrt
rrt
xaxaxayQ
xaxaxay
S
xaxaxayQ
xaxaxay
1
2
22111
2211
1
2
22110
2211
)...(
...
)...(
...
残差平方和
模型：个变量，得到新的回归现舍弃后面
设
?
?
)(
)(~
0,.,,,0,0:
0.,,
,.,,,,,
2
22
0
211
210
21
为模型参数个数为残差方差，
：
。否则，第二个模型成立
个模型成立；若有显著影响，则第一
是否显著影响。对现检验
r
rNXQ
aaaH
aaaH
Yxxx
a
a
rsrsr
rsrsr
rsrsr
?
? ?
???
????
????
????
????
成立。则
，
）（
若
）（
成立，若
，给定显著性水平
）（
则
）独立与（且
成立，若
1
0
01
0
01
0
0
01
010
22
01
0
),(
/
/
),(
/
/
),(~
/
/
),(~
H
rNsF
rNQ
sQQ
F
rNsF
rNQ
sQQ
F
H
rNsF
rNQ
sQQ
F
QQQ
sXQQ
H
a
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(3)对于 ARMA(p,q)模型定阶
例如：在 ARMA(p,q)和 ARMA(p-1,q-1)选择。
是否成立。的关系，判定与，比较给定
）（
注：
0
0
01
22
1
22
01
22
0
1
0
)2,3(~
2/
3/
) ) ]11()1((~[
)3(~
))((~
0,0:
0,0:
HFF
qpNF
qpNQ
F
qppNXQ
XQQ
qppNXQ
H
H
a
a
a
qp
qp
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
??????
?
???
??
??
例：每隔 20分钟进行一次观察的造纸过程入口
开关调节器的观察值（第 241页,18）
1,series Mean S.D Max Min
z 32.02 0.74 34 30.7
令 z1=z –32.02
2,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
acf 0.868 0.782 0.708 0.663 0.627 0.617 0.594 0.559 0.5 0.48
pacf 0.868 0.115 0.028 0.099 0.055 0.122 0.01 –0.04 -0.099 0.1
3、定阶
（ 1） acf,pacf：
从 acf,pacf可知,acf拖尾,pacf截尾，初
步识别为 AR模型。
具体阶数：
%.45.95
2
%,45.95)
2
(
)(,.,,,,2,1
)/1,0(~,1
比例是否达到
的中小于个即
看
取
时，当若
N
M
N
P
NMMpppk
NNpkp
kk
kk
kk
?
?
?
??
?????
??
），原假设成立。（全部小于
是否成立。看
，，取若
），原假设成立。（全部小于
，
21 5 9.0
%45.95)
2
(
)13(15.,,,,,43,2
11 5 9.0
14,.,,,3,2,1 5 9.0
2
,136.121 6 0
?
??
????
?
??
???
p
N
P
NMkp
p
k
N
NN
kk
kk
kk
?
?
?
(2)残差方差：
）合适。（
，
，
，
，当
2
1 1 8.0
421 6 0
88.17
,88.174
1 1 8.0
321 6 0
19.18
,19.183
1 1 7.0
221 6 0
23.18
,23.182
1 2 2.0
121 6 0
33.19
,33.191
2
2
2
2
AR
Qp
Qp
Qp
Qp
a
a
a
a
?
??
???
?
??
???
?
??
???
?
??
???
?
?
?
?
(3)F检验：
)2(
,
3)1 5 6,2(,05.0
44.3
1 5 6/23.18
2/)23.1833.19(
)1 5 6,2(~
41 6 0/
2/)(
)2(~
)2(~1
)4(~2
0
21)1(
0
01
22
01
22
11
22
00
20
AR
FF
F
F
Q
F
XQQ
NXQARQ
NXQARQ
H
ARAR
a
a
a
优为两个模型显著差异，最
原假设不成立，
取
）剩余平方和，（为
）剩余平方和，（为
：
）是否显著差异（）与（看
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)2(
,
3)154,2(,05.0
169.0
154/19.18
2/)19.1823.18(
)154,2(~
6160/
2/)(
)2(~
)4(~2
)6(~3
0
32)2(
0
01
22
01
22
11
22
00
30
AR
FF
F
F
Q
F
XQQ
NXQARQ
NXQARQ
H
ARAR
a
a
a
最优为两个模型无显著差异，
原假设成立，
取
）剩余平方和，（为
）剩余平方和，（为
：
）是否显著差异（）与（看
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（四）最佳准则函数定阶法
1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑
用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又
考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小
值时，就是最合适的阶数。
衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方
差。残差方差 =
2、最佳准则函数包括 FPE,AIC,BIC准则。
参数个数?
??? ?
N
zzzzE tt
tt
2
2 )?()?(
3,AIC准则
(1)该准则既适合于 AR，也适合于 ARMA模型。
N
p
ppA I C
A I C
Ntx
a
a
t
2)(?ln)(
?
}1:{)2(
2
2
??
??
?
?
函数为：定义
，是拟合模型的残差方差
为随机序列，设
N
qp
ppA I C
qpA I CqpA R M A
A I C
A I C
a
?
?? 2)(?ln)(
),(),(3
2
?
定义为：模型，其）对于（
为最佳阶数。有最小值，对应的阶数因此，
减小；第二项增大的速度，第一项减小的速度大于
大时，第二项增大，当阶数增
到最小），（模型的最佳阶数时达
增大右边第一项先减小，后
随着模型阶数的增加，
? 关于 ARMA模型的定阶
1,ACF,PACF都呈现一定的拖尾性，试拟合
ARMA模型。 Pandit-Wu于 1977年提出了不同
于 Box-Jenkins的系统建模方法。该方法认为，
任一平稳序列总可以用一个 ARMA(n,n-1)表示，
AR(n),MA(m),ARMA(n,m)都是 ARMA(n,n-
1)的特例。
2、建模思想：逐渐增加模型阶数，直到剩余平
方和不再减小为止。
3、如何在不同模型之间取舍
，剩余平方和为
的
，剩余平方和为
的设
1
22
0
0
1222
2120
)32,22(
)]14(2[~
)12,2(
0;0:
Q
nnA R M A
nnNxQ
Q
nnA R M A
H
a
nn
nn
??
???
?
??
??
??
?
?
??
??
。则拒绝
，若取
0
0
01
2
01
22
1
)),16(,6(
))16(,6(~
)16(/
6/)(
)6(~
)]54()22([~
H
nNFF
nNF
nNQ
F
xQQ
nnNxQ
a
???
??
??
?
?
?
????
?
?
?
第四章 协整理论绪论
一、协整理论产生的背景
1,20世纪 70年代以前的建模技术以时间序列平
稳为前提设计的。
2、理论假定与现实的矛盾。
3、协整理论的产生 ---计量经济学方法研究的新
阶段
---Granger首先提出了伪回归问题（ 1974）；
----1978年,Engle—Granger发表论文“协整与
误差修正”，正式提出“协整”
（ cointegration）概念
二、与协整检验有关的两个问题：单位根和误
差修正模型
1、单位根：
协整检验处理的是非平稳时间序列，单位根检
验就是要说明一个时间序列的平稳性。
包括 DF和 ADF检验
2、误差修正模型（ Error Correction Model,
ECM）：
ECM由,Hendry,Srba于 1978年提出的。
三、本部分的体系
单位根检验 ----协整检验 ----误差修正模型
第五章 单位根过程
第一节 单位根过程的定义
一、随机游动过程的定义
1、随机过程 {y t,t=1,2,…},
若 y t=yt-1+εt，
其中 {εt}为独立同分布序列,E（ εt ） =0，
D（ εt ） =E（ εt 2） =σ2<∞
则称 {y t}为随机游动过程。
2、随机游动过程是一非平稳过程
(1) y t=yt-1+εt
=yt-2+εt-1+εt
=yt-3+εt-2+εt-1+εt
=….
=y0+ε1+ε2+…+ εt
E (y t)=y0
(2)D(yt)=E(yt-y0)2=E(ε1+ε2+…+ εt)2=tσ2
二、单位根过程的定义
1,随机过程 {y t,t=1,2,…},
若 y t=ρyt-1+ μt,
其中 ρ=1，
{μt }为稳定过程,E（ μ t ） =0，
Cov（ μ t, μt - s ） = μ s<∞,s=0,1,2,…
则称 {y t}为单位根过程。
- 1 0
-5
0
5
10
20 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0
y = y ( - 1 ) + u
2、单整
若一个随机过程 {y t}经过 d次差分后才能变成一
个平稳过程，则称 {y t}是 d阶单整过程，用
y t~ I (d)表示。
单位根过程实际上是 1阶单整过程。
3、单位根过程名称的由来
y t=ρyt-1+ μt,
（ 1- ρ B） y t= μt
平稳性要求 φ（ B） =（ 1- ρ B） =0
B=1/ ρ，当 ρ=1时,B=1
即有一个单位根，称为单位根过程。
当 ︱ B︳ >1时,︱ ρ ︳ <1时，就是平稳过程。
4、单位根过程与稳定过程的本质区别
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
????
?
??
T
t
t
T
t
tt
T
t
t
T
t
ttt
T
t
t
T
t
tt
tt
t
ttt
y
y
y
y
y
yy
DE
y
2
2
1
2
1
2
2
1
2
11
2
2
1
2
1
2
1
)(
?
)(,0)(
,1
?
?
??
?
???
??
??
为独立同分布序列
的一致估计值。是时，当 ??
?
?
??
?
)(
)(
)?(
2
2
1
2
1
??
???
?
?
?
?
?
?
T
yE
yE
E
T
t
t
T
t
tt
)2(~
1
)?(
)1,0(~
1
)?(;?:;?:
))1(,0(~)?(
2
2
10
22
?
?
?
?
?
?
?
??
??
Nt
s
T
t
N
T
Z
HH
NT
?
??
?
??
??
????
????
未知时，当
），（）（变成了
））（，（）（时，当
00~1?
10~?1? 22
NT
NT
?
???
?
?????
第二节 与单位根过程形式接近的几种模型
一、带常数项的随机游动过程
1、
2、
是独立同分布序列,}{1,0
1
t
ttt yy
???
???
??
??? ?
)0(
.,,
.,,
)(2
)(
0
1
210
123
12
1
???
??????
?
??????
?????
???
?
?
???
??
?
yt
yt
y
y
yy
t
i
i
t
tttt
ttt
ttt
令??
????
?????
????
??
1200
1400
1600
1800
2000
2200
50 100 150 200 250 300- 2 0
0
20
40
60
80
100
120
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
y = 0, 1 + y (- 1 ) + u
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
y = - 0, 1 + y ( - 1 )+ u
深圳股票综合指数
二、长期趋势
1、形如 称为确定趋势模型。
2、前两类模型的图形接近。
3、判别单位根的必要性。
yt = 0.1 t + ut 生成的序列 图
tt rtcy ????
-5
0
5
10
15
20
25
30
50 100 150 200 250
w i t h d e t e r m i n i s t i c t r e n d
三、含随机趋势和确定性趋势的混合随机过程
1、
yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut生成的序列 图
1
}{
1
?
???? ?
?
?
????
是独立同分布序列t
ttt yty
60
80
100
120
140
160
180
400 450 500 550 600 650 700 750 800
四、近单位根过程
1、
1
1
?
?? ?
?
?? ttt yy
第六章 单位根过程的假设检验
第一节 迪基 ---福勒 (DF)检验法
一,DF检验法产生的背景
1,DF检验法是由 Dickey,Fuller在 20世纪 70,80年代
的一系列文章中建立起来的。
2、
。接受显著性水平
的标准差是的估计值，是
0
2
0
0100
1
,,
???
)1(~
?
?
:;:
:)1(
Htt
Ttt
HH
yyAR
T
TTT
T
T
T
ttt
?
?
????
?
??
????
??
?
?
?
?
??
??
?
3、这种方法不能用来检验 H0:ρ=1，当零假设成
立时,t T不再服从 t分布，因而无法得到临界
值。
此时，只能用模拟方法得到临界值。
DF检验中用到两个统计量：
T（ ρ T-1）和 t T，它们不存在小样本分布，只
有当样本容量 T足够大时，它们的极限分布才
有实际的应用价值。
二、情况一的 DF检验
1、假设数据由 产生，并在其中检验
H0:ρ=1; H1:ρ<1
2、适用于数据是非平稳且没有趋势的情况。
ttt yy ?? ?? ? 1
3、例：利用 1947年第二季度到 1989年第一季度的数据
对美国财政部债券利息率作不带常数的一阶自回归
如下：
0
1
0
10
1
59.129.0,95.1,05.0
29.0
0 1 0 5 9.0
19 9 6 9 4.0?
2
9.751.0,9.7,05.0
51.0)19 9 6 9 4.0(168)1?()1(
1:;1:
)0 1 0 5 9.0(
9 9 6 9 4.0
H
t
H
T
HH
ii
T
T
T
tt
接受
临界值为
）（
。接受
临界值为
?????
??
?
??
?????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
三、情况二的 DF检验
1、假设数据由 产生，在
一般先检验 ρ=1，若接受 H0，再检验 α=0。若 α=0，则
为,若 α ≠ 0，则为
2、情况二适用的数据图形是有趋势，但不稳定的情况。
这时，就在随机性非平稳及有漂移趋势的非平稳之
间选择。
ttt yy ?? ?? ? 1
10
10
1
0
1
??
??
??? ?
??
??
???
，：
，：
中检验
H
H
yy ttt
ttt yy ??? ? 1 ttt yy ?? ??? ? 1
3、例：仍利用美国财政部债券利率数据，估计带常数
项的一阶自回归模型：
.,89.271.1
89.2,05.0
71.1
0 1 9 3 3.0
19 6 6 9 1.01?
)2(
,7.1356.5
7.13,05.0
56.5)19 6 6 9 1.0(1 6 8)?()1(
)0 1 9 3 3.0()1 1 2.0(
9 6 6 9 1.02 1 1.0
0
0
1
1
H
t
H
T
ii
T
T
T
T
tt
???
??
??
?
?
?
?
???
??
????
??
?
?
临界值
，临界值
?
?
?
?
?
0
05.0
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
22
0
,67.481.1
67.4166,281.1
96691.0211.0
99694.0
)(
?
)(
~
)2,2(~
)2/(
?
2/
?
~
0
H
FF
yy
yy
yyR
yyR
TF
TR
RR
F
H
tt
tt
T
t
tt
T
t
tt
?
??
??
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）（，
由前知
）（
的检验：
??
?
?
四、情况三的 DF检验
1、情况三的 DF检验
（ 1）假设数据是由带常数项的单位根过程
（ 2）缺陷
1
1
1
0
1
?
?
??? ?
?
?
???
：
：
生成
H
H
yy ttt
五、情况四的 DF检验
1、；
，则为若；
，则为，若先检验
。成立，则为单位根过程若
：
：
ttt
ttt
ttt
tyy
yy
H
H
H
tyy
???
?
??
??
??
??
????
????
?
???
??
??
??
????
?
?
?
1
1
0
1
0
1
0
01
0,1
0,1
?
?
?
?
?
?
????
???
?
?
?
?
?
T
t
tt
T
t
tt
tyyR
yyR
TF
TR
RR
F
H
1
2
1
2
1
2
1
2
2
22
0
)(
?
)(
~
)3,2(~
)3/(
?
2/
?
~
0
???
??
?
）（
的检验：
（ 2）适用于序列有趋势的情况
3、例：美国 1947年一季度至 1989年第二季度 GNP的实
际值，对图中数据进行模型拟合。
解,（ 1）图中数据有明显的长期趋势；
（ 2）这类图形可能适合的模型有：
tttttt tyyyy ??????? ??????? ?? 11 和
（ 3）
)0 1 5 2.0()0 1 9 3.0()53.13(
0 2 7 5 3.09 6 2 5 2.034.27
0,1
0,1
1
1
0
1
tyy
H
H
tyy
tt
ttt
???
??
??
????
?
?
??
??
????
：
：
.,44.394.1
44.3,05.0
94.1
0 1 9 3.0
19 6 2 5 2.01?
)2(
,7.203.6
7.20,05.0
3.6)19 6 2 5 2.0(1 6 8)?()1(
0
0
1
H
t
H
T
T
T
T
T
???
??
??
?
?
?
?
???
??
????
?
临界值
，临界值
?
?
?
?
?
0
05.0
2
22
0
,45.644.2
45.6165,2
44.2
)3,2(~
)3/(
?
2/
?
~
0
H
F
F
TF
TR
RR
F
H
?
?
?
?
?
?
?
?
）（
）（
的检验,?
六,DF检验小结
第二节 增广的迪基 ---福勒 (ADF)检验法
一,ADF检验法（ Augmented Dickey—Fuller
Test）
1,ADF检验法是由迪基（ Dickey）和福勒
（ Fuller）在 1979年提出的，是 DF方法的推广。
DF假定 {εt}是独立同分布序列,ADF假定随
机扰动项 {μt}是稳定过程。
2、原理：
ADF假设数据服从有单位根的 P阶自回归过程，即
? ?
0.,,1
).,,1()(
),(}{
.,,
2
21
2
21
22111
?????
??????
?????????
????
p
P
tt
p
Pt
t
t
tptptttt
yBBByB
pARpy
yyyyy
??????
?????
?
?????
它的特征方程为：
阶自回归过程服从设随机过程
是独立同分布序列。
）（）（
这样，
令，其余根在单位圆外，有一个单位根
BBBBB
BBBB
pj
B
p
P
p
P
Pjj
P
????????
?????
??????
????
?
?
?
?
1).,,1(1
).,,1()(
1,.,,,2,1),.,,(
.,,
1
1
1
2
21
2
21
1
21
????
????
???
????
证明：
tt
p
p
P
p
pp
p
p
p
pp
p
p
p
p
pp
yB
BBB
BBB
BBBBBB
BB
BBBBBB
BBB
BBBBBB
??
???
???
??????
???
????????
???
??????
??
?????
????
?????????
????
??????????
????
????????
?
?
??
?
?
?
)(
.,,1
.,,
.,,.,,1
)(.,,
)()(.,,1
).,,(
).,,().,,1(
2
21
3
3
2
2
3221
1
1
12
3
32
2
21121
1
3
2
2
1
1
1
2
2121
tptPtttt
tptPtttt
tptPtt
ptPtttt
tt
p
P
yyyyy
yyyyy
yyy
yyyyy
yBBBBB
?????
?????
????
????
?????
??????????
?????????
?????
?????
????????
??????
??????
????
??????
?
?
1122111
1122111
13221
1122111
1
1
2
21
.,,
.,,
.,,
.,,
]1).,,1(1[ ）（）（
二、情况二的 ADF检验
1、
一致。检验统计量的极限分布这样与
和
）（
检验统计量为：
DF
T
yyyyy
T
T
P
T
tptPtttt
?
?
???
?
??????
?
?
.,,1
?
.,,
1
121
1
1122111
?
?
?
??????
????
??????????
2、例：利用 ADF检验法对美国财政部债券利率进行单
位根检验。
解,H0:ρ=1;H1:ρ<1
.,88.266.1,88.2
66.1
0 1 8 6 0.0
19 6 9 0 4.0
?
1?
.,8.1374.5,8.13
74.5
1 0 7.02 7 6.03 8 8.03 3 5.01
)19 6 9 0 4.0(1 6 4
.,,1
)1?(
)0 1 8 6 0.0()1 0 9.0()0 7 9 4.0()0 8 0 0.0()0 8 0 8.0()0 7 8 8.0(
9 6 9 0 4.01 9 5.01 0 7.02 7 6.03 8 8.03 3 5.0
0
0
121
14321
H
t
H
T
iiiiii
T
T
T
p
T
tttttt
????
??
?
?
?
?
????
??
????
?
?
???
?
??????????
?
?????
临界值为
临界值为
?
?
???
?
第七章 协整理论
第一节 协整理论的建立和意义
一、协整理论的建立
1,1987年,Engle---Granger发表论文“协整与
误差修正，描述、估计与检验”，正式提出
“协整”概念。
Johansen(1995 )等人逐步发展完善。
2、意义
20世纪 70年代以前的建模方法都假定时间序列
是平稳的，而现实的时间序列数据绝大多数
是非平稳的，这就会带来伪回归、参数估计
精度降低等问题。
传统的计量经济学面临三大问题：
? 如何检验时间序列的非平稳性；
? 如何修正和检验传统的计量经济模型；
? 如何把时间序列变量引入经济计量分析领域。
20世纪 70年代以后，上述问题逐步得到解决：
? 1976年，迪基 —福勒提出了检验非平稳时序
的方法,DF检验法； 1979,1980又提出 ADF；
? 当经济时间序列是非平稳时，可能存在伪回
归问题，由变量间的统计关系推断它们之间
是否存在因果关系十分困难。协整理论应运
而生，为了识别在非平稳时间序列中是否真
正存在因果关系；
? 误差修正模型（ ECM）产生。 ECM由
Davidson,Hendry,Srba于 1978年提出。它是
对传统计量模型形式的一次改革。
? Granger认为，如果变量间存在协整关系，它
们可以等价地用误差修正模型形式表示。
二、伪回归 —协整理论产生的根源
1、伪回归：对两个无任何联系的变量拟合模型，
所有的统计检验都能通过。
2、原因：单位根
3、证明：
)3(
0)(
)2(),0(~,
)1(),0(~,
)1(
10
2
21
2
11
ttt
tt
tt
tttt
tttt
xy
xy
vuE
iinvvxx
iinuuyy
???
?
?
???
?
??
??
?
?
进行回归得：、对
游走模型：考虑两个不相关的随机
（ 2）为分析方便，设回归模型不含截距项。
)()(
)5(
021\
)4(
0)(
)2(),0(~,
)1(),0(~,
2
2
2
1
1
1
1
1
00
1
2
21
2
11
??????
????
??
??
?
??
??
??
??
?
?
tttV a r
vuxy
xyxy
xy
xy
vuE
iinvvxx
iinuuyy
t
t
i
i
t
i
ittt
tt
ttt
tt
tt
tttt
tttt
当
）产生，并假定）（由（
进行回归得：、对
????
???
??
?
?
(3)从分布理论上认识伪回归
Phillips证明,当两个变量服从单位根时,t,F检验的分
布已经发生改变，需要用维纳过程和泛函中心极限
定理来解释它们的分布。
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
2122
2/12/12
2
1
)()(
)(
)(
?
4
xTxT
xTyTxyT
xx
xxy
t
tt
t
tt
?
）进行参数估计有：对（
????
?
??
?
?
?
vu
vuvutt
vv
vvt
uu
drrwrwxyT
drrwxT
drrwxT
drrwyT
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
1
1
1
0
2
1
0
21
1
0
222
1
0
2/1
?
)()(
)(
)]([
)(
的表达式中有：带入
由维纳过程的性质知
结论：在理论上 β1应该收敛于 0，但是，在单位
根情况下，它收敛于一个非退化的分布。因
此，基于 β1的常规统计推断全部失效。
同理,F检验,T-1F----非退化分布
t检验,T-1/2t----非退化分布
第二节 两变量协整关系的检验
一、协整概念
1、单整（ integration）
一个具有非确定性分量的时间序列 X t，如果 d次
差分后是平稳序列，则称 X t是 d阶单整的，
记为 X t ~I（ d）
2、协整
向量，时，可能存在多个协整
是唯一的，时，协整向量当
为协整向量。是协整的，
则认为
其中，
使得
），（若存在一个向量，
阶单整的，都是若
2
2
,.,,,,,
),.,,,,,(,0
)(~
,,.,,,
,.,,,,,
21
21
21
21
?
?
??
?
?
?
?
k
k
xxx
xxxXb
bdIXz
dxxx
kttt
ktttt
tt
k
kttt
?
?
?
????
3、几点说明：
? 目前的协整研究是基于 d=1展开的；
? 协整关系可以表述为：若两个时间序列变量
是非平稳的，但它们的某种线性组合是平稳
的，则存在协整关系；
? 协整概念同经济学中的长期均衡概念有本质
上的联系；
? 只有当两个变量的单整阶数相同时，才可能
存在协整关系。
? 从定义看，将因、自变量放在一起，它们的
组合等于某个值，而这个值实际上就是随机
扰动项，因此，是否存在协整关系就是检验
残差项是否平稳。
二、两变量的 Engle---Granger检验
1,EG检验是协整检验的开创性研究。
2、
），伪回归。（
），协整关系成立，（若
的单整性第二步，检验
），得估计模型（第一步，用
满足：假定两变量
1~?
0~?
?
??1
)1(
\
Iu
Iu
u
xyu
xyO L S
uxy
xy
t
t
t
ttt
tt
ttt
tt
?
?
?
??
?
??
3,EG检验的缺陷
? 仿真试验表明，即使样本长度为 100时，协整
向量的 OLS估计仍是有偏的。一般应该用极
大似然估计。
? EG检验一般只假定有一个协整关系，这就可
能忽略其他协整关系。
4、协整关系的检验可归为三类：
类型一、自变量、因变量回归模型不带常数和时间趋
势，
中情况一。查表
检验单整性，、用对残差
估计模型参数，用
5.4
?
.,,
33221
A D FDFu
O L S
uyryryry
t
tntnttt
?????
类型二、回归方程含常数项
中情况二。查表
检验单整性，、用对残差
估计模型参数，用
5.4
?
.,,
33221
A D FDFu
O L S
uyryryry
t
tntnttt
?????? ?
类型三、回归方程含常数 项，且 {yt}是带非 零常数的
单位根向量
中情况三。查表
检验单整性，、用对残差
估计模型参数，用
5.4
?
.,,
33221
A D FDFu
O L S
uyryryry
t
tntnttt
?????? ?
第三节 多变量协整关系的检验
一,Johansen的协整检验
1、对于多变量之间的协整关系,Johansen
（ 1988）以及 Johansen与 Juselius(1990)提出了
一种向量自回归模型进行检验的方法。
二、向量自回归过程（ Vector autoregressive
process）
1,20世纪 90年代,Hendry吸纳、整合了协整理
论、误差修正模型等，创立了动态计量经济
学。在该理论中阐明为什么协整检验要从建
立向量自回归过程开始。
2,Hendry认为，应该从经济理论和数据提供的
信息为基础进行建模。
从能够代表数据生成过程的自回归分布滞后模
型开始 ——对模型中变量进行单整和协整检
验，逐步回归，剔除明显不显著的变量，得
到简化的模型 ——将简化模型写成误差修正
模型形式，得到包含长期均衡与短期波动的
简单模型。
3、数据生成过程（ Data Generating Process,
DGP）
是要描述已经得到的变量观测值是如何产生的。
? 时间序列是随机变量的集合,整个时间序列的
数据生产过程可以用所有随机变量的联合概
率密度函数来表示。
? 对于只能得到实际值的时间序列而言，得到
联合概率密度函数是很困难的。如果能够将
概率密度函数简单化，而又不失其中的信息，
则是可取的。
这就是动态计量经济学的约化理论。在经过一
系列约化处理后，概率密度函数就转化为如
下模型：
y t为内生变量,z t 为外生变量，模型称为自回
归分布滞后模型（ autoregressive distributed
lag,ADL）。
? ADL是 Jorgenson(1966)提出的，从其形式看，
它是用解释变量及被解释变量的若干滞后期
值来描述当期被解释变量的模型。
),0(~,2
10
0 ????? Nyrzy tt
p
i
iti
q
i
itit ???? ??
?
?
?
?
? 向量自回归过程就是在 ADL模型基础上扩展
的，它已成为协整检验的基础，是分析多变
量时间序列的有力工具。
4、向量自回归过程
n维随机向量 y t服从 p阶向量自回归过程，记 Var(p)，则
??
?
??
??
??????
???
)()(,0)(
}{
),.,,,2,1(
)1(.,,
2211
tttt
t
s
tptpttt
EDE
n
nnps
n
yyyy
????
?
?
?
?????
维独立同分布随机向量为
维矩阵，为
维常数向量，为其中，
ps
yLLLI
Var
psss
p
tt
p
pn
,.,,2,1
].,,[
.,,
).,,(
1
)2(
21
21
2
21
?
??????
????
??????
?
????
????
?????
令
）等价地表示为：（
的变形
tptptttt
tptptttt
t
p
pn
t
p
pn
p
pn
p
pn
yyyyy
yyyyy
yLLLLLI
yLLLI
LLLLLI
LLLI
??????
??????
????
???
????
???
??????????
??????????
???????
????
???????
?????
??????
??????
?
?
?
?
1122111
1122111
1
1
2
21
2
21
1
1
2
21
2
21
.,,
.,,
)]1)(.,,()[(
).,,
)2)(1)(.,,()(
.,,
这样，（
三,JJ检验
1、
2、具体步骤
第一步：用 OLS估计 Δyt的一个（ p-1）阶 Var
V a rpyO L S
n O L Sn
uyyyy
t
i
tptpttt
）阶的（估计用
系数估计矩阵；为
1
??.,,???
1
1122110
?
?
?????????
?
?????
?
????
tptpttt vyyyy ??.,,??? 1122111 ???????? ?????? ????
第二步：计算典型相关系数
利用 OLS估计得到残差,计算样本协方差矩阵。
求矩阵
的特征值。
???
??
???
????
uvvuttuv
ttuuttvv
vu
T
uu
T
vv
T;??
1
??
1;??
1
???? ?? uvuuvuvv 11
tt vu ?\?
这些特征值按从大到小的顺序排列为：
设定似然函数为：
当存在 h个协整关系时，对数似然函数是 h个最大特征
值的函数，即：
n??? ?.,,?? 21 ???
?
?
??
n
i
iT
1
)1l n (
2
1
?
?
?
??
h
i
iT
1
)1l n (
2
1
?
第三步：协整关系的检验
（ 1） JJ检验之一：特征值轨迹检验
H0,Xt中有 r个独立的协整关系
H1,Xt中有多于 r个独立的协整关系
（ r=0,1,…, n-1）
构造统计量：
当 H0成立时，
?
??
???
n
ri
ir T
1
)1l n ( ??
0?r?
（ 2） JJ检验之一：最大特征值检验
若已知 λr+1=0，则可推出
λr+2=λr+3=…= λn-1=0
因此，有最大特征值检验方法。
.
)1l n (
1
0
1
H
H
T
r
r
rr
临界值，；临界值，
?
?
??? ?
?
?
??
第四步：计算参数的最大似然估计值
????
?
????
?
?
?
??
??
1,.,,,2,1,
?
?
?
~~
?
?,.,,,?,?
~
~
1??
?,.,,,?,?
00
0
0
0
21
21
??
????
??
?
?
?
?
?
?
估计为：
估计为的
估计为：的则
）（
）矩阵个正规化向量作一个（将前
使得建议正规化这些向量，
征向量个最大特征值相应的特是令
d e M L E
pi
M L E
AA
M L E
aaaA
Ahnh
aa
J o h a n s e n
haaa
iii
i
uv
h
ivvi
n
例,1973.1~1989.10美、意月度消费者物价指数 pt,pt*，
汇率 st，检验它们之间是否存在协整关系。
解,1、将
tt
kttttt
tttt
tttt
vu
XXXXX
pspX
XTtpsp
??
.,,
),(
,),.,,,2,1(
1211
*
*
和作回归，得到残差
，，，对和并分别以
、
列入随机向量矩阵和、
?????
????
?
?
?
2、利用样本数据可得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5 8 9 9.34 6 9.18 0 8.1
4 6 9.29 5 9.28 1 4.1
8 3 8.04 9 9.04 8 5.0
45.1 5 2 50 3 6.7 0 98 1 2.8 0 5
0 3 6.7 0 90 8 3.4 2 46 9 9.3 7 0
8 1 2.8 0 56 9 9.3 7 03 6 6.4 2 7
1 7 9 9.00 3 1 9 8.00 1 5 4.0
0 3 1 9 8.06 8 6.40 3 1 6.0
0 1 5 4.00 3 1 6.00 4 3 5.0
uu
vv
uu
矩阵
的特征值为,λ1=0.1105,λ2=0.05603,λ3=0.03039
3、检验
H0:系统中无协整关系（ r=0）
H1:系统中有一个协整关系（ r>0）
???? ?? uvuuvuvv 11
0
10
,78.2012.22
,78.207
12.22)1l n (
H
T
拒绝
，临界值为查表
?
???? ??
85.38
)]0 3 0 3 9.01l n ()0 5 6 0 3.01l n ()1 1 0 5.01[ l n (1 8 9
)1l n (
3
1
0
?
???????
??? ?
?i
iT ??
查表 6,α=0.05，情况三，临界值为 29.509,
38.85>29.509,拒绝 H0。
(2)
整关系。最终选择认为有一个协
。接受，临界值为
。，至少有两个协整关系拒绝
临界值为
0
21
0
3
2
1
10
,149.1014
9.10)1l n (
2.1573.16,2.15
73.16
)1l n (
1:;1:
H
T
H
T
rHrH
i
i
?
????
?
?
???
??
?
?
??
??
4、协整向量
最大特征值 λ1=0.1105对应的特征向量就是协整向量，
有
*
1
1
11
56.004.0
)56.004.01(?
1
)4 2 2 0.00 2 8 0.07 5 7 9.0(?
1??
ttt
vv
psp ??
???
?
??
?
?
?
?
?
即
，得将其第一个元素规范为
?
?
??
第四节 误差修正模型 (ECM)
一、协整系统的表述;)(,0)(
)1(.,,
)(
,,.,,,2,1
)1(~,),,.,,,,(1
2211
21
????
??????
?
??
???
tti
tptpttt
in
DEnn
yyyy
pV A Ry
yni
Iyyyyy
???
?????
矩阵，是其中，
形式，即有若
为向量单位根过程。称
且、若
)2(.,,
1
1,.,,,2,1],.,,[
.,,
)(
1
.,,)(
11111
2
1
21
2
21
tptpttt
psss
p
tt
n
P
pn
yyyy
ps
yL
nI
LLLIL
???
???
????
???
????
??????????
????????
????
??
?????
?????
??
）可表示为：则（
令
）可表示为：阶单位阵，则（为
2、
）（即
表示，即可以用假定
令
因此有
有
，其余大于等于）的特征方程有一个根故（
为向量单位根过程，由于
3)(
)(.,,
)(,
)(
),0(~),1(~
.,,
,1,1
,0.,,
111
2211
21
2
21
????
?????????
?
?
????
???
?????
??????
?????
??
??
?????
???
??????
???
ttt
tptptttt
ttt
t
tt
np
ji
p
pn
t
Luy
Lu
MAuyu
yE
IyIy
I
jiLL
LLLI
y
?
0
1
0
)(
)4)(1()()(,0)(
,1
)()()((1
)(
1
)()()()(1
3
?????
????
?
???????
???
??????
?
?????
????
?
?????
??
???
?
?
t
t
i
it
t
tt
tt
tt
Ltyy
LLLL
L
LLLL
yL
LLLyLL
L
这样，
）上式左边为（
））（
）得：由（
）（
）有）右乘（（以
假定 yt的元素之间存在 k个独立的协整关系，且协整向
量为
）得：由（
则
令
）（
对应的协整向量矩阵为
3
.,, )(
)(
)(
)0(~
.,,,
,
21
0
0
11
2,1
????
?
???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
jjj
j
jtjt
ti
t
i
t
i
i
tt
t
k
i
Lu
Lu
IyA
A
???
???
????
??
???
?
0)(
1,1)(4
50)(0
)0(~
)()(
)(
0
1
0
0
1
0
?
???
????
?
??????????
?????
?
?
?
?
LL
LLLL
LAA
IyA
ALAtAyAyA
Ltyy
t
t
t
i
it
t
t
i
it
??
??
??
?????
?????
）（
，当）（）由（
）（，
的充要条件是：
故
),.,,,2,1(
).,,(
0)1(
,01
10)1(1
0)1(0)(
1
21
ni
bAb
A
i
A
ALA
y
ikii
ii
i
ii
t
?
??
??
?
?
?
?
????
?????
????
??
??
????
???
??
?
线性表示，即可由为协整向量，因此，
个行向量，由）的第（是令
）（）（
的协整充要条件）的行向量亦满足（因此，
)6(.,,
.,,
)1(
].,,[
,2
)(),.,,(
1
11111
111110
210
1
21
tptptt
tptpttt
pnn
t
k
yyyAB
yyyy
AB
II
y
kBrbbbB
AB
??
??
?
????
?
???????????
????????????
?????
?????????
??
??
?????
?????
?
即有误差修正形式：
令
）两端同减式（
）（最后由
二,Granger表述定理
设 yt是 n维 I(1)随机过程，若 yt中有 k个协整关系，即存
在 n*k阶矩阵 A,r(A)=k,使得
）给出。（等价地由误差修正形式
），使得（）（，满足矩阵
），且存在）表述为式（（的若
）（且
6
21
1
01),0(~
ABBkn
pV A Ry
AIyAz
t
tt
???
????
?
?
三、误差修正模型（ ECM）
1,ECM的主要形式是由 Davidson,Hendry,Srba和
Yeo于 1978年提出。它将变量之间的短期与长期联
系有机地结合在一起。
2,ECM的形式
（ 1）对于（ 1,1）阶自回归分布滞后模型
)2()
1
)(1(
)
1
)(1(
)()1(
)1(
)1(
)1(
1
2
31
1210
1
2
31
1210
1311210
1312111110
131210
1
131210
tttt
tttt
tttt
ttttttt
t
ttttt
t
ttttt
zyz
zyz
zyz
zyzzzy
z
zyzy
y
zyzy
?
?
??
???
?
?
??
???
??????
???????
?????
?????
?
?
?
??????
?
?
?
??????
????????
?????????
?
???????
?????
??
??
??
????
??
?
??
右边出现
两边同减
式（ 2）为误差修正模型，
为误差修正项。
（ 2）对模型的理解
? ECM的被解释变量是 Δyt，因此，实际上是一
个短期模型，反映了 yt的短期波动 Δyt是如何
被决定的。
? 若 y与 z之间存在长期均衡关系，即 y=az，在
式（ 1）中，若
)
1
( 1
2
31
1 ?? ?
??
tt zy ?
??
zEz ?
则，不考虑常数项
衡。分：短期波动、长期均的波动可以分解为两部于是，被解释变量
衡对短期波动的影响。所以，它反映了长期均
形式接近。这与误差修正项
得：两边同取期望，设
t
tt
t
ttttt
y
zy
zy
zyzy
yyE
zyzy
?
?
?
?
?
?
?
???
?
????
??
??
1
2
31
1
2
31
321
13121
1
1
)(
?
??
?
??
???
????
? 误差修正模型的含义：
——Δy t受另一变量的 Δz t的影响；
——受（ yt-1- ）的影响。均值对一序列而言是
恒定的，实际序列值与均值离差对 Δy t的的影
响，表示一种恒定力量对 Δy t的作用，称为长
期均衡影响。
? 表明 是由 决定的，也就是
说,y与 z之间有长期均衡关系，它们的均值之
间才会存在稳定关系。
y
zy
2
31
1 ?
??
?
??
y
y z
