第2章 波 动 (Wave)
前言：
1.振动在空间的传播过程叫做波动。
波动是一种重要的运动形式。
2.常见的波有两大类:
(1)机械波：机械振动在媒质中的传播。
电磁波：变化电场和变化磁场在空间中的
传播。
·此外，在微观中波动的概念也很重要。
3.各种波的本质不同，传播机理不同，但其基
本传播规律相同。
本章讨论：机械波(Mechanical wave)的特征和有关规律，具体为，
(1)波动的基本概念；
(2)与波的传播特性有关的原理、现象 和规律；
(3)与波的叠加特性有关的原理、现象和规律。
§1 机械波的产生和传播
一、机械波的产生
1.产生条件：(1)波源； (2)媒质
2.弹性波：机械振动在弹性媒质中的传播
(如弹性绳上的波)。
弹性媒质的质元之间以弹性力(elastic force)
相联系。
3.简谐波：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动，此种波称为简谐波(simple harmonic wave)。
以下我们主要讨论简谐波。
二、波的传播
1.波是振动状态的传播
以弹性绳上的横波为例，由图可见：
由图可见：
(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近
振动，并未“随波逐流”。波的传播不是
媒质质元的传播。
(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元
振动(依靠质元间的弹性力)。
(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于
“下游”某处出现，这就是“波是振动状
态的传播”的含义。
(4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相
点。相邻的同相点间的距离叫做波长(wave-
length)( ，它们的相位差是2(。
2.波是相位的传播
·由于振动状态是由相位决定的，“振动状态
的传播”也可说成是“相位的传播”，即
某时刻某点的相位将在
较晚时刻重现于“下游”某处。
·于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落
后。
图中b点比a点的相位落后
即a点在t时刻的相位(或振动状态)经(t的
时间传给了与它相距为(x的b点，或b点
在t +(t时刻的相位(或振动状态)与a点在t
时刻的情况相同( 即波的传播速度)。
三、波形曲线(波形图)
1.波形曲线(((x曲线)
波形曲线(wave form
curve) 是((x关系
曲线)，
·(－质元的位移
·x－质元平衡位置的坐标
·(--x曲线反映某时刻t各质元位移( 在空间
的分布情况。
(t时刻用照相机为所有质元拍的团体相)
·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同
时刻对应有不同的波形曲线。每过一个周期
(质元振动一次)，波形向前传播一个波长的距
离。
·在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方
向。
·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位
移情况。
2.注意区别波形曲线和振动曲线
波形曲线：(( x曲线
振动曲线：(( t曲线，反映某一质元的位
移随t的变化。
(用摄像机为“舞姿优美”的某质元拍的一段
特写镜头)。
·在振动曲线上应标明是哪个质元的振动曲
线。
3.要求：应掌握，
(1)由某时刻的波形曲线
(画出另一时刻的波形曲线；
(2)由某时刻的波形曲线
(确定某些质元的振动趋势
(画出这些质元的振动曲线；
(3)由某质元的振动曲线
(画出某时刻的波形曲线。
重要原则：不管是在波形曲线还是振动曲线上，同一质元在同一时刻的振动位移应相同 (可用此原则检验所画曲线是否正确)。
练习：
1.已知t = 0时刻的波形曲线如下图，
(1)画出t +(T/4)， t +(T/2)， t +(3T/4)
各时刻的波形曲线。
(2)在题图上用小箭
头示出a、b、c、d各质元的振动趋势，并
分别画出它们的振动曲线。
2.已知x=0处质元
的振动曲线如图，
画出t = 0时刻的
波形曲线(设波沿
+x方向传播)。
四、波的特征量
1.波长(：两相邻同相点间的距离。
波长—也即波形曲线上一个完整波形的长
度，或 一个振动周期内波传过的距离。
2.波的频率( ：即媒质质点(元)的振动频率。
·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的
波的个数。
·通常情况下有
波的频率( = 波源的振动频率(s
3.波速u：波速是振动状态的传播速度，数值
上等于单位时间内振动状态传播的距离。
·波速u主要决定于媒质的性质和波
的类型(横波、纵波)。
·因振动状态由相位决定，所以波速也就是相
位传播的速度，称相速度(phase velocity)。
·要注意区分波速u
和 媒质质元的振动速度 。
五、横波和纵波
横波(transverse wave)：
质元振动方向 ( 波的传播方向
纵波(longitudinal wave)：
质元振动方向 ‖波的传播方向
演示：横波、纵波模型
§2 一维简谐波的表达式
一、一维简谐波的表达式
一维简谐波的表达式也称波函数(wave
function)
讨论：沿+x方向传播的一维简谐波
(波速u，振动角频率为()
假设：媒质无吸收(质元振幅均为A)
已知：参考点a的振动表达式为
(a(t) = Acos((t ( (a)
求写：任一点p的振动表达式
比较：p点和a点的振动
·其A和 (均各相同
·但p点比a点相位落后
任一点p的振动表达式为
一维简谐波的表达式
它即是任一点的振动表达式，反映任一点
(位置在x)在任一时刻t的位移。
★如果选 原点为参考点 (即d = 0)，
且其 初相 (a为零，
则可得表达式为
此情形下波的表达式还有几种形式：
练习：如果波沿 - x方向传播，请写出波的
表达式？
二、一维简谐波表达式的物理意义
由 ((x, t) ( (cos((t -kx)
从几方面讨论：
1.固定x ：如令x = x0，则波的表达式变为
((x0, t) = Acos((t - kx0)
·即x0处质元的振动表达式(初相是-kx0)，
·由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。
2.固定t：如令t = t0，则波的表达式变为
((x, t0) ( (cos((t0 ( kx)
·反映t0时刻各不同x处质元的位移状况。
·由它画出的曲线即t0时刻的波形曲线。
3.如看定某一相位，即令((t - kx) =常数
(x，t均为变量)，则此相位在不同时刻出现
于不同位置，它的传播速度(相速度) 可由上
式的微分得出为
4.表达式也反映了波是振动状态的传播。
可以验证有
((x+(x, t+(t) = ((x, t)
其中(x = u(t。上式说明t时刻x处质元
的振动状态在t +(t时传到了x +(x处。
5.表达式还反映了
波的时间、空间双重周期性。
(1)周期T代表了时间周期性
·由质元运动看：每个质元振动周期为T
·由波形看：t时刻和t +T时刻的波形曲
线完全重合。
(2)波长(代表了空间周期性
·由质元看：相隔(的两点振动状态完全相同
(同相点)。
·由波形看：波形在空间以(为“周期” 分
布着。(称波的“空间周期”。
时间、空间两方面的周期性以相速u联
系起来：
三、平面波和球面波
1.波的几何描述
·波线(wave line)：沿波传播方向的射线。
·波面(wave surface)：波在同一时刻到达的
各点组成的面。一个波面上各点是同时开
始振动的，具有相同的相位，波面又称同
相面。
·波前(波阵面) (wave front)：最前沿的波面。
·平面波(plane wave)：波面是一些平行平面
的波。
·球面波(spherical wave)：波面是一些同心
球面(可以是球面的一部分)的波。
在各向同性的媒质中 波线 ( 波面。
2.平面简谐波的表达式
若平面简谐波(plane simple harmonic wave)
沿+x向传播，空间任一点p(x, y, z)的振动相
位只和x与t有关，而和它空间坐标无关。
前面讲的一维简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。
3.球面简谐波的表达式
·设一各向同性的点波源，在各向同性媒质
中向四面八方发出球面波。
·各点的频率仍决定于波源，
·但振幅和各点到波源的距离r成反比(原因
见波的能量部分)，其表达式为
式中A0为距波源r0处的振幅。
§3 波动方程和波速
本节对媒质的波动行为作动力学分析，导
出连续弹性媒质中波所遵守的运动微分方
程(波动方程(wave function)。
一、平面波波动方程
1.一般形式
·此即沿x向传播的平面波(不限于平面简谐
波)的动力学方程，等号右端项的系数即波
速u的平方。
·前面所讲的平面简谐波的表达式是此波动
方程的解(可用代入法检验)。
2.弹性绳上的横波
·波动方程：
·波速： T -绳的初始张力
( -绳的线密度
3.固体棒中的纵波
·波动方程：
·波速： Y -杨氏弹性模量
( -体密度
·相应形变：长变
4.固体中的横波
·波动方程：
·波速： G -切变模量
∵ Ｇ <Ｙ，固体中u横波< u纵波
·相应形变：切变
思考：如果发生地
震，你在家中会有
怎样的震感?
5.流体中的声波
·波动方程：
·波速：
k -体积模量
(0 -无声波时的流体密度
理想气体：
式中 ((摩尔质量
·相应形变：容变
可见，波速取决于
媒质的性质(弹性和惯性，材料对不同
的形变有不同的抵抗能力即表现出不同的弹性)；
·波的类型(横波、纵波)。
二、固体棒中纵波的波动方程(推导)
思路：·由胡克定律(应力、应变关系)
·由牛顿第二定律
1.某截面处的应力、应变关系
在棒上取长为(x的一小段质元，
·t时刻， x处截面的位移：((x, t)
x +(x处截面的位移：((x+(x, t)
·波引起的(x段的平均应变：
·当(x(0时，得x处截面t时刻的应变
为
·x处截面的应力为
·由胡克定律有
x处截面的应力 、应变关系
(待下面用)
2.波动方程
·在棒上取质元(x，其质心位移为((x, t)
·由牛顿定律有，
·将前述应力、应变结果代入有
·令(x(0，并取极限即得所求波动方程
§4 波的能量
·前已讲：波是振动状态的传播，
相位的传播，
外观上有波形在传播。
·现讨论：随着波的传播 能量也在传播。
·对于“流动着”的能量，要由能量密度
和能流密度两个概念来描述。
一、弹性波的能量 能量密度
·波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。
·对一块弹性媒质，
因振动 ( 有振动动能；
因形变 ( 有形变势能，
两者之和称此媒质中弹性波的能量。
(一)弹性波的能量密度
1.动能密度
·取细长棒上质元 (x，其动能为
·动能密度
2.势能密度
考虑一棒的长变，
·棒长：l ，截面：S
·两端拉力：由0 ( F
·相应形变：增至(l，形变 ( 拉力。
·拉力作功： ，它等于棒形变(l
时的弹性势能。
·势能密度：
·棒中有纵波时，各小段反复地拉、压，某
时某地的wp由当时当地的应力和应变决定。
由胡克定律势能密度为：
3.能量密度
(二)平面简谐波的能量密度
·设沿x轴传播的平面简谐波为
((x, t) = Acos((t - kx)
1.能量密度
·可得
·可见，wk、wp、w 均随(x, t)变化。
2.物理意义
(1)固定x，即看定一个质元。
·wk、wp均随t周期性变化(角频率2()，
且 wk = wp，两者 同相同大。
·此质元某时处于平衡位置时 ，
速度最大( wk最大，
变形最大( wp最大，
·此质元某时处于位移最大处时，
速度为0 ( wk=0
变形为0 ( wp=0
和弹簧振子的情况不同，这里没有动能和
势能的相互转化。
·w随t而变，并不守恒，这是由于此质元和
周围媒质有能量交换(由于弹性力的作用)。每一质元都从上游接收能量，又向下游传
去。
波在传输能量!
(2)固定t，即看定某一时刻。
·此时wk、wp随x周期分布，
( = 0的质元， 其wk、wp最大，
( 最大的质元，其wk、wp为0。
·此时能量是“一堆一堆”地集中于位移为零
的那些质元处。
·随着波形的传播，能量也向前传播，其传播
速度也是u(波速)。
二、能流(能通量) 波的强度
1.能流(能通量)
·如图柱体，厚为
u(波速)、面积为
S((于传播方向)。
·能流(能通量)：
单位时间内通过S面的能量，即
wuS
·能流密度(能通量密度)：垂直于传播方向的
单位面积上的能流，即wu
·平面简谐波的能流密度为
wu = (u(2A2sin2((t - kx)
它随 (x, t) 而变。
2.波的强度
波的强度(intensity of wave)：能流密度的
时间平均值。
·数值上等于单位时间内通过垂直于波的传播
方向的单位面积的平均能量(一个周期内的能量平均值)。
·平面简谐波的强度为
单位：W/m2，
·媒质的特性阻抗： Z = (u，
是反映媒质特性的一个常量。
·可见，对于弹性媒质中的简谐波
波的强度 I ( A2，(2，( u
·均匀媒质中，(u不随地点变，
(强度 I ( A2
三、平面波、球面波的能流(略)
四、声强级
1.正常人听声范围
20 < ( < 20000 Hz
I下 < I < I上
( =1000 Hz时，
I下 = 10-12 W/m2
I上 = 1 W/m2
2.声强级
·通常，以1000 Hz时的I下作为基准声强I0，
其它声强I与它来比较。
·但常遇到的I 和I0数量级悬殊，多采用对
数尺度。
·声强级(sound intensity level)
(L无量纲) 规定单位：分贝(db)
·引起痛觉：120 db；繁忙街道：70 db；
正常谈话： 60 db； 耳语： 20 db；
树叶沙沙响：10 db。
§5 惠更斯原理
·前面讨论了波动的基本概念,
现在讨论：与波的传播特性有关的原理、
现象和规律。
·波在传播过程中，由于某些原因，
其传播方向、频率和振幅有可能改变。
(这和各向同性、均匀、无限媒质中一维简
谐波的情况不尽相同)。
·惠更斯原理(Huygens’ principle)给出的方法
(惠更斯作图法) 是一种处理波传播方向的普
遍方法。
一、惠更斯原理
1.原理
·媒质中波传到的各点，都可看作开始发射子
波(wavelet)(次级波)的子波源(是点波源)，
·在以后的任一时刻，这些子波面的包络面就
是实际的波在该时刻的波前。
2.应用：已知t时刻的波面(t +(t时刻的
波面，从而可得出波的传播方向。
·实例如图(下图中媒质均匀各向同性，各 子波都是以波速u向外扩展的球面波)。
3.不足
(1)不能说明子波为何不能倒退。
(2)涉及波在传播过程中的强度问题，因而
对某些波动现象(如干涉等)不能说明。
二、波的衍射
1.现象：波传播过程中当遇到障碍物时，能绕
过障碍物的边缘而传播的现象(偏离了直线传播)称作波的衍射(wave diffraction) 。
2.作图：可用惠更斯原理作图。
(长波、短波是以波长与障碍物的线度相比
较而言的)
思考：★如果你家住在
大山后面，广播和电
视哪个更容易接收到？
(若广播台、电视台都在山左侧)
★a(女)、b(男) 在说
话，c在墙后较容
易听到谁的声音？
(当然，c不应该这样去听)。
三、波的反射和折射
1.波的反射(reflection of wave)
波的反射的作图法请自学。
2.波的折射(refraction of wave)
根据惠更斯原理，用作图法可讨论，由已知
的入射波波前求出折射波波前，从而求出折
射波的传播方向。
作图法共分四步：
(1)画出入射波的
波前AB
设t1时刻入射
波到A点，波
前为AB；t2 时刻入射波到C点，
BC=u1(t2-t1)
(2)画子波的波面
画出A、D、C各点向媒质2所发子波在t2
时刻(C到界面的时刻)的子波面，图中
AE=u2(t2-t1)
(3)画子波波面的包络面(图中的EFC)，此即
媒质2 中的波前。
(4)由入射点画通过切点(包络面与子波面的切
点)的直线，此即折射波的传播方向。由图
有，波的折射定律
i1--入射角， i2--折射角
*四、入射波、反射波、透射波的振幅关系和
位相关系(可选讲)
·惠更斯原理只能给出波的传播方向。
·现讨论：各波的振幅关系、相位关系。
(只讨论波垂直界面入射的情形，此情形的
折射波称透射波)
(一)振幅关系
1.波的表达式
坐标如图，且适当
选择时间零点，有
入射波 (1 = A1cos((t - k1x)， (x (o)
反射波 (1(= A1(cos((t + k1x)， (x(0)
透射波 (2 = A2cos((t - k2x), (x(0)
2.边界条件
(1)振动位移连续：界面两侧质点的位移相等。
[(1 + (1(]x=0 = [(2]x=0
·两媒质保持接触；
·一媒质不能进入另一媒质(不可入性)。
(2)应力连续：界面两侧媒质应力相等。
3.振幅关系
将各表达式代入上式，并用Y = (u2得，
式中 Z1=(1u1 ，Z2=(2u2
4.反射系数与透射系数
(1)反射系数：反射波强度与入射波强度之比。
反射系数(reflection coefficient)
(2)透射系数：透射波强度与入射波强度之比 。
透射系数(transmission coefficient)
讨论：由R、T表示式有，
·R + T = 1 ，反映能量守恒。
·式中Z1、Z2互换， R、T不变
(即入射波从媒质1(2或从2(1， 其R、T
结果不变)。
·如Z1 >> Z2， 或Z2 >> Z1，有
R ( 1 (能量几乎全部反射)
T ( 0 ( 几乎无透射)
·如Z1 ( Z2，则R ( 0 (几乎无反射)
T ( 1 (几乎全部透射)
☆空气--水 T = 0.1 %
空气--钢 T = 0.004 %
水--钢 T = 12 %
实例：你在医院做过B超吗？做B超时，大夫为什么在B超探头和你的身体之间抹上油？
(二)相位关系
1.反射波
由
(1)若Z1 < Z2，则A1(和A1反号。
·因振幅只能为正，所以反射波的表达式可写
为 (1(= |A1(| cos((t + k1x + ()
·这说明在界面x = 0处，
(1((0, t) 和 (1(0, t) 反号
即界面处由反射波和入射波引起的两振动
反相，这称作
反射波有相位突变(phase jump) (，或
波在反射时有半波损失(half-wave loss)。
(2)若Z1 > Z2， 则A1(和A1同号，说明
“反射波和入射波同相”
即两波在界面x =0处引起的两振动同相，
没有相位突变 (。
2.透射波
由
A2总与A1同号，无相位突变。
3.形象说明
下图中，波从媒质1入射，波在界面上的反
射和透射情况如图。
§6 多普勒效应
多普勒效应(Doppler Effect)：当波源S或
接收器(观察者)R，或S、R都相对媒质运
动时，接收器所测得的频率(R不等于波源
振动频率(S 的现象(对机械波)。
一、机械波的多普勒效应
·参考系：媒质。
·设S和R的运动沿二者连线。
·符号规定：
S和R相互
靠近时(S > 0, (R > 0
·三个频率：
(S：波源振动频率，即波源单位时间所发波的
个数。
(：波的频率，即媒质质元的振动频率，(数值
上等于单位时间内通过波线上一固定点完整波形的个数)。
(R：接收频率，即单位时间内接收器所接收到
的波的个数。
分四种情况讨论：
1.波源和接收器都静止 ((S = 0，(R = 0)
(R = ( = (S
2.波源静止，接收器运动((S= 0，设(R > 0)
此情况下，( = (S ，
但 (R ( (
·由于R向着静止
的S运动，单位
时间内R所接收的波分布在u +(R范围内，其个数为
可见，R向S靠近时((R > 0)，有 (R > (S
3.接收器静止，波源运动((R = 0，设(S > 0)
·此情况下，(R = (， 但 ( ( (S
·S运动 ( 运动前方波长缩短
S发出“波头”后，前进(STS再发“波尾”
·实际波长 = S不动时的波长 ( (STS
·可见，S向R靠近((S > 0)时， 则(R > (S
4.接收器、波源都运动(设 (S 、(R均 > 0)
·此情况下， (S ( ( ( (R
·综合2、3两情况有，
·S、R相互靠近((S >0、(R >0)时，
(R >(S
S、R相互远离((S <0、(R <0)时，
(R < (S
演示：多普勒效应
讨论：几个问题：
(1)如果S和R同向运动如图，请分析(R和(S
的关系(分(S > (R，(S = (R，(S < (R 三种情
况考虑) 。
(2)若S和R的运动不在二者连线上
·此时只要把原
式中的(S 、(R
换为它们在S、
R连线上的分量即可，
·纵向多普勒效应：S和R在二者连线上运
动(或在连线上有运动分量)时所产生的多普
勒效应。
横向多普勒效应：S和R垂直于二者连线
运动(横向运动)时所产生的多普勒效应。
由上式，当S和R横向运动时
((S = (R = (/2)，有(R = (S
可见，机械波没有横向多普勒效应；
只有纵向多普勒效应。
(3)若波源速度超过波速((S>u)，将产生以S
为顶点的圆锥形的波。锥形的顶角为
实例：超音速飞机会
在空气中激起冲击
波(shock wave)。
飞行速度与声速的
比值称马赫数(Mach number)。马赫数
(S /u决定了(角。
实例：当您在昆明湖荡双桨时，不远处有一
高速机动船驶过，您会有何感觉？
(V字形二维“锥形波”—“舷波”)
实例：切仑柯夫辐射(Cherenkov radiation)：
带电粒子在媒质中运动时，若其速度超过媒质中的光速(< c)，会辐射圆锥形的电磁波。
二、多普勒效应的应用(几例)
1.测量天体相对地球的视线速度
·恒星的可辨认的谱线有显著的“红移”(red
shift) (频率变低 波长变长)。
·由红移可得恒星的退行速度(retreating
velocity)。
根据“大爆炸”(big bang)理论，现今已知
的宇宙是约2×1010年前的一次“大爆炸”
形成的。“爆炸”后的产物以不同速度飞
散而“膨胀”为宇宙，且在继续“膨胀”。
2.光谱线的多普勒增宽(由发光原子的热运动
引起)。
3.技术上，多普勒效应可用于测量运动物体的
视线速度(如测飞机接近雷达的速度，汽车的
行驶速度，人造地球卫星的跟踪)，以及流体
的流速(如“激光流速仪”的应用)。
·医学上“D超”：利用超声波的多普勒效应
检查人体的内脏、血管的运动和血液的流
速、流量等情况。
图片：
§7 波的叠加
研究：媒质中有几列波同时在传播时，
所发生的……。
一、波传播的独立性
媒质中同时有几列波时，
每列波都将保持自己原有的特性
(传播方向、振动方向、频率等)，
不受其它波的影响，和其它波不存在一样。
实例：
·红绿光束空间交叉相遇
(红是红、绿是绿，…)
·听乐队演奏
(仍可辨出不同乐器的音色、旋律)
·空中无线电波很多(仍能分别接收各个电台)
二、波的叠加原理
·波的叠加原理(superposition principle of
wave)：在几列波相遇而互相交叠的区域中，
某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。
·只有小振幅的波才服从叠加原理
§8 驻波(standing wave)
驻波---波形不传播，是媒质质元的一种集体
振动形态。
一、驻波的形成
驻波是由两列 频率相同、振动方向相同、
且振幅相等，但传播方向相反的行波叠加而成的。
图中红线即驻波的波形曲线。可见，驻波波
形原地起伏变化。
驻波波形不传播
---“驻”字的第一层含义。
二、驻波表达式
·两列行波的表达式
(1(x, t) = Acos((t + (1 - kx)
(2(x, t) = Acos((t + (2 + kx)
·适当选择坐标原点和时间零点，使 (1、(2
均等于零，则表达式变为
(1(x, t) = Acos((t - kx)
(2(x, t) = Acos((t + kx)
·两行波叠加
((x, t) = (1(x, t) + (2(x, t)
得驻波表达式：
二、驻波的特点
1.频率特点：由图及式知，
各质元以同一频率作简谐振动。
2.振幅特点：
(1)各点的振幅|2Acos kx|和位置x有关，
振幅在空间按余弦规律分布。
(2)波节：有些点始终静止，这些点称作波节
(node)。
·波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，
相互抵消，故波节处静止不动。
·由cos kx＝0得波节位置
·两相邻波节间的距离为 ( /2。
(3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹
(antinode)。
·波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，
相互加强，故波腹处振幅最大。
·由|cos kx|＝1得波腹位置
·两相邻波腹间的距离亦为 ( /2。
3.相位特点
驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长
(/2)，
·同一分段中的各质元振动相位相同；
·相邻分段中的质元振动相位相反。
驻波相位不传播
---“驻”字的第二层含义。
4.能量特点
·驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹
间的(/4的范围内，
在此范围内有能量的
反复流动，但能量不
能越过波腹和波节传
播(理由略)。
·驻波没有单向的能量传输。
驻波不传播能量
---“驻”字的第三层含义。
三、实际中驻波的形成
实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成。
1.波在固定端的反射
(如一端固定的弹性绳)
·密媒质：特性阻抗(u相对较大，
疏媒质：特性阻抗(u相对较小。
·图中固定点左边相当于特性阻抗为无限大的密媒质，
( 反射比R = 1 ；
( 反射波振幅 = 入射波振幅；
( 无透射波。
·反射波有相位突变 (
(反射波和入射波分别引起的边界点的两
振动反相，叠加后相消；
(反射点是波节(和固定点情况吻合)。
2.波在自由端的反射
·反射波无相位突变
(反射波和入射波分别引起的边界点的两
振动同相，叠加后加强；
(反射点是波腹。
四、驻波现象举例
1.两端固定的弦(有界弦)上的驻波
(1)简正模式：两端固定的弦(如琴弦)在被激励后，其上存在一些特定的振动模式，称作简正模式(normal mode)。
弦上只存在一些特定的振动频率
(1(基频) 、(2(二次谐频)、(3(三次谐频)、
…(如图)。
(2)简正模式就是驻波
(3)边界条件的作用
·弦上实际存在的波既要满足波动方程又要
满足边界条件。
·在有界弦上之所以只存在一些特定的振动
模式，是边界条件要求的结果。
·凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波
(如振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各种正
在发声的乐器等)。
演示：驻波现象
录象：驻波(清华大学)
2.微观物理中的驻波
(1)驻波概念与玻尔角动量量子化条件
·由德布罗意波长和驻波概念推出轨道角动
量量子化条件。
·电子的德布罗意波长
·若电子在氢原子中能稳定运动，电子绕核回
转一周的周长必须是其相应波长的整数倍。
此即玻尔给出的角动量量子化条件
可见，一个波要被束缚起来，就必须是一个驻波，而驻波的条件就是角动量量子化条
件。
(2)一维无限深势阱
中粒子的波函数
由薛定谔方程可
解得阱中波函数
( (图中红线) 具
有驻波形式的解。
§9 波的干涉
一、干涉现象和
相干条件
1.干涉现象：
当两列(或几列)
满足一定条件
(相干条件)的波
在某区域同时传播时，则此区域中某些点
的振动始终加强，某些点的振动始终减弱，
在空间形成一幅稳定的强度分布图样。
2.相干条件
·相干波源：满足下列条件的两个(或多个)
波源称相干波源。
(1)频率相同
(2)有恒定的相位差 相干条件(coherent
(3)振动方向相同 condition)
·相干波(coherent wave)：相干波源发的波。
二、波场的强度分布
1.波场中任一点的合振动
·相干波源： S1、S2
·波源的振动：
(10 = A10cos((t +(10)
(20 = A20cos((t +(20)
为分析简便，设振动方向 ( 屏面。
·p点两分振动
(1 = A1cos((t + (10 - kr1)
(2 = A2cos((t + (20 - kr2)， 式中
相位差：
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1)
((决定于两因素：波源相位差 (20 - (10
波程差 r2 - r1
可见，p点两分振动：
频率相同；
振动方向相同；
相位差恒定(不随t变)。
·p点合振动
合振幅
A = (A12+A22 +2A1A2cos(()1/2
2.波场中的强度分布
(以振幅的平方示强度)
·I1：(1单独存在时p点的强度
I2：(2单独存在时p点的强度
·相干叠加： I ( I1+ I2
存在干涉项(interference term)
2(I1I2)1/2cos((
(其正、负决定于(()
·非相干叠加：不满足相干条件时的叠加
I = I1+ I2 (无干涉项)
I = A12+A22
3.加强、减弱条件
关心：何处加强？ 何处减弱？
(1)加强条件
·p点两振动同相时加强---相长干涉
(constructive interference)
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1) = ( 2m(
(m = 0，1，2，…)
·即波程差r2 - r1满足下式的地点加强
·加强处的强度
Imax = I1 + I2 + 2(I1I2)1/2 (相长)
= (A1 + A2)2
若 A1 = A2，则 Imax = 4 I1
·特殊：当(10 = (20时， 加强条件
即：波程差等于波长的整数倍，或半波长的
偶数倍 的点加强。
(2)减弱条件
·p点两振动反相时减弱---相消干涉
(destructive interference)
(( = ((20 - (10) - k(r2 - r1) = ( (2m +1)(
(m = 0，1，2，…)
·即波程差r2 -r1满足下式的地点减弱
·减弱处的强度
Imin= I1+ I2 - 2(I1I2)1/2 (相消)
= (A1 - A2)2
若 A1=A2 ，则 Imin= 0
·特殊：当(10 = (20时， 减弱条件
即：波程差等于半波长的奇数倍的点减弱。
可见，波的干涉的问题，也就是波场中任一
点处同方向同频率振动合成的问题。
思考：你能说出相干三条件中每一条件的重
要性吗？ 缺一可以吗？
*§9 相速度和群速度(可选讲)
波的调制
1.理想的简谐波
·时间、空间上无限延续(波列无限长)
·(单一(单色波)
·不能传递信号(语言、音乐信息)
2.调制
·欲能传递信息，需对简谐波进行调制，即按某种规律去改变作为载波的简谐波。
·载波：被调制的简谐行波。
·调制(modulation)：调幅、调频、调相。
下图是两种调幅波 (简谐波的振幅被一定的
函数所调制)。
·调幅波不再是简谐波，由傅里叶变换，它可以表示为多个(有限多个或无限多个)频率在
狭窄频段内的简谐波的叠加。
·调幅波又称波群 (wave group ) 或
波包 (wave packet)，
调制曲线代表波群的整体轮廓
·波群整体移动的速度叫群速度。
二、空间拍---最简单的调幅波
空间拍：由两列频率相近的简谐波叠加而
成。
·设两简谐波为，
(1(x, t) = Acos((1t - k1x)
(2(x, t) = Acos((2t - k2x)
·叠加得合成波
引入记号：
：称平均角频率；(m：称调制角频率
因(1 ( (2， 有 ，
则合成波可表示为，
·合成波特点:
(1)是“振幅” 缓变的近似简谐波
(2)固定一地点，如令x = 0，则有
此即时间拍。
(3)固定一时刻，如令t = 0，则有
((x, 0) = 2Acos(kmx) cos( kx )
= Am cos( kx )
此称空间拍。
·下图为t = 0时 (1、(2和 ((x , 0)的曲线
其中(c)图的曲线是(b)图的包迹曲线
各处振动强度A2m(x)示于(d)图。
三、群速度
1.色散 (简介)
·色散(dispersion)：媒质折射率随波的频率而
变的现象。
∵
(也可说：媒质中简谐波(单色波)的波速随频
率而变的现象。
·正常色散：随(((n( 或 随(((u(
反常色散：随(((n( 或 随(((u(
2.相速度
·(1(x, t) 的相速度
·(2(x, t) 的相速度
·((x, t) 的相速度：因((x, t)的表达式为
相速度
它即上图(b)中“小波峰”的移动速度，虽然
它们有高有矮(振幅随x，t缓变)，但移动速
度相同。
·如媒质无色散，则
·如媒质有色散，则
若(1 ( (2，有
即平均相速。
3.群速度
·群速度(group velocity) ：波群的整体移动
速度(即上图c中包迹移动的速度)，它代表
能量和信号的传播速度。
·由
包迹的形状和运动决定于
Am(x, t) = 2Acos((mt - kmx)
跟踪此包迹上一个点(如最高点)，即令
(mt - kmx = const.
则包迹曲线移动速度---群速度为
如频差((很小，因而(k也很小，群速度
可写为
·若已知媒质中( ( k的关系，
即可算出ug 。
·群速度ug的另一形式(推导略)：
若已知u ( (关系，可得ug。在u ( ( 色散
曲线图上可说明u和ug的关系。
4.相速度和群速度的关系
·若媒质无色散
((/k) = u = const. (u和(无关)
( ( = uk
于是 群速 = 相速
此情形下，(1(x, t) 波速u相同，
(2(x, t)
((x, t)也以u移动，且移动中波形不变，故
包迹移动速度ug 也是u。
·若媒质有色散， ( ( ((k(，
则
群速 ( 相速。
5.形象说明
记号：( --(1的波峰， (-- (2的波峰，
★ -- (的波峰， --包迹最高点
t1时刻：( (位置重合，
(的波峰★也即包迹的最高点 。
t2时刻：(和(位置错开，
(的波峰 ★位于(和(中间，
它不再是包迹的最高点，
因而 ★和 也不再重合。
自t1至t2，
(1移过距离 u1 (t
(2移过距离 u2 (t
( 移过距离u (t
包迹最高点 移过的距离是ug(t
其中： (t = (t2 - t1)
第2章结束
说说讨厌的速度问题
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作者: kubo1111??发布日期: 2006-3-15 ?? 查看数: 64?? 出自: http://www.cqzg.cn
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科普一下 说说讨厌的速度问题 我们先从大量宣称推翻相对论的物理学爱好者容易犯的错误说起. 这类人中的 很大部分是从量子力学中找出了和相对论基本原理矛盾的的证据, 进而开始了 他们漫长的不被理解的探索过程. 他们根据波粒子二象性: P=h*k(其实是\bar_{h}) E=h*w 已经波速的性质: v=w/k=(h*w)/(h*k)=E/P 通过这个关系把波速和粒子特性参量(能量动量)联系在一起了. 于是他就作了下面的事情: 根据相对论, E=m*c^2,其中m是所谓动质量; P=m*v 于是就得到矛盾: v=(c/v)*c,远远的比光速要快. 上面的问题出在哪里呢? 问题出在波粒二象对应后, 速度v=w/k不是粒子速度, 其实这是波的相速度. 在具体介绍相速度概念之前, 先看看上面推导的另外一个荒谬处. 这回我们 不管相对论, 看看经典力学的情况. 这时候P=(1/2)*m*v^2,P=m*v, 于是根据 上面的推导, 必然有矛盾荒谬的结论: v=(1/2)*v 如果v=w/k真的是粒子速度, 那你只好说经典力学也不正确, hehe... 实际上 问题出在(w/k)究竟是个什么东西上. 今后为了方便, 暂且以V_s表示w/k. 频率和波数都是属于波动的物理量,那么被它们定义的V_s很显然也是表达 波动现象某种特征运动的速度. 波动的物理图象里面可以定义的速度有两 种: 1. 位相的传播速度; 2. 波形状(profile)的传播速度. 位相表示波动在时空中的简谐分布模式, 一般可以表达为一个位相因子: Exp[i(kx-wt)] 其中Phi(x,t)=(kx-wt)就是所谓位相了. 这个东西对物理量的强度没有贡献(物理量的强度一般是求模, Exp[i(kx-wt)]的模是 1). 位相分布在时空中, 如果你沿着时间轴考察特定位相Phi(x,y)=const.的传播, 就可以得到速度 V_s=w/k 这就是V_s被称作相速度的原因. 同时也正是因为位相因子对物理量强度没有贡献(因此 对能量没有贡献), 于是不能成为能量信号的传播速度, 和狭义相对论的速度限制 就不是一个概念了. 波的profile传播可以携带信息. 为了讲这个概念, 必须介绍群速度概念. 涉及 一些不好输入的数学公式, 这里就简单叙述了. 想象一个初始的波形空间分布, 我们考虑从它出发未来时刻的波形演化问题. 如果我们用许丁格方程来决定这初始波形的演化, 这就是波函数的演化问题了. 许丁格方程决定了演化的唯一方式. 对初始波形作一个富里叶变换, 假设各个分波时间频率([频率)和空间分布 频率(波数)不独立. 如果波数k分布在某值q附近狭窄范围内,就可以把频率 作线性展开为: w(k)=w(q)+V_g*(k-q) 其中V_g=(d/dk)w(k) at k=q. 显然以上省略了高价项的贡献. 经过系列演算, 如果把初始波形写成 P(x)Exp[iqx] 的profile+空间相位因子的形式, 那么波函数随时间演化具有下面的形式: P(x-V_g*t)*Exp[i(x-V_s*t)] 的形式. 以上立刻看出, profile以V_g=(d/dk)w(k)传播, 而相位以V_s=w/k传播, 两者在数学上和物理上都是本质不同的. 既然V_g表示了波形的传播, 就把 它称为群速度. 量子力学里面抛弃了物质颗粒的概念,经典粒子速度在量子力学里就是几率密度 分布的传播速度, 也就是群速度了. 现在看看群速度是不是也会导致经典力学关系和相对论力学关系出现矛盾: 1.经典力学. E=p^2/(2*m) But P=h*k, E=h*w(波粒对应), => w=(h*k^2)/(2*m) 于是可以求群速度: V_g=(d/dk)w(k)=(hk)/m=p/m 而根据经典力学, p/m正好就是粒子速度, 于是在波粒对应下, 我们证明了 群速度就是粒子速度, 没有矛盾. 2. 相对论. 利用相对论著名关系: E^2=c^2*P^2+(m*c^2)^2, 可以推知 (d/dP)E=(P*c^2)/E=(m*v*c^2)/(m*c^2)=v 以上m是动质量, v 是相对论下的粒子速度. 但是根据波粒对应, E=h*w, P=h*k, 立刻可知: (d/dP)E=(d/dk)w=V_g 结束语: 以上给了一点科普, 指出波粒对应下的速度对应关系是 粒子速度<--->波动群速度. 然后证明了这个对应关系在经典力学和相对论下的谐和一致性. 介绍群速度时的关键一点是色散关系w(k)的线性展开. 如果w(k)是严格的 线性函数, 那么初始波形可以永远传播, 在量子力学几率波的情形就是 粒子的物理特征永远存在. 但是如果不是严格的线性关系, 那么这个波形 会渐渐扭曲变形, 最终完全散开.在量子力学的几率波情形, 就是粒子的 物理特征最终消失. 通过Taylor展开的分析, 可以得出一个波形(粒子物理特征) 存在的时间上限, 大概约等于: (m*h)/(动量不确定性宽度)^2=(位置不确定性)/(速度不确定性) 于是再次证明, 相对论下的粒子速度正好是波粒对应下的群速度.
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