第十章 波动和声
（ Chapter 10 Waves & Sounds）
前言
波的基本概念
平面简谐波方程
波动方程与波速
平均能流密度 ? 声强与声压
波的叠加和干涉 ? 驻波
多普勒效应
§ 1 前 言
一、本章的基本内容及研究方法
波动是很普遍的现象，在我们周围常见的波有：水波、声、
光、无线电波，还有宇宙深处许多天体的有韵律的辐射也是波。
人类就生活在这各种各样波的“海洋”之中。近代物理证明，
波动不仅存在于宏观世界中，甚至对于单个的电子、质子、中
子等微观粒子而言，它们也具有波的性质，称之为物质波。不
过，物质波与宏观世界中的波有完全不同的本质。尽管各种类
型波的性质不同，但它们有相似的波动微分方程和波函数，且
都具有波动特有的现象，如折射、反射、平涉和衍射等。
本章的内容可分为三个主要部分：第一，以波动本质 ——
位相依次传播为中心的有关波动的基本概念，平面简谐波的运
动学方程的建立及方程的物理意义；第二，波的能量；第三，
波的叠加和驻波，另外介绍了多普勒效应。全章的重点是波动
的物理图象，平面简谐波运动学方程是建立在位相传播这个物
理图象上的，不理解位相传播是波动的本质，就很难真正领会
波的运动学方程及其物理意义，波动的能量特征、波的叠加和
驻波的特点都离不开位相和位相传播这个概念，我们研究机械
波的目的是通过对具有直观性的机械波的研究，认识波动的基
本规律。这对于我们研究其它形式的波是十分重要的。
二、本章的基本要求
1、理解波动的本质及其物理图象，建立正确的波动概念；
2、掌握描述波动的基本物理量（波长、波速、波的频率）的
物理意义和相互关系；
3、掌握平面简谐波的概念及其方程，理解波的空间周期性和
时间周期性的含义；
4、了解波的能量传播特征及能量密度和能流密度的物理意义
及数学表达式；
5、了解波的叠加原理及波干涉的一般概念；
6、掌握驻波产生的条件，理解驻波方程的导出及驻波的特点；
7、了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
三、本章的思考题及练习题
1,思考题：教材 330-331页；
2,练习题,10.2.5 10.5.1 10.5.3 10.5.5 10.7.2
§ 2 波的基本概念
一、波是振动状态的传播
波是与振动密切相关性的。在宏观上，可将气体、液体或
固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。
当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时，邻近质元作用的弹
性回复力就会使它发生振动；同时，这些邻近质元又受到该质
元的弹性力作用，也会振动起来，于是振动就会由近及远、由
此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。
各个质元仅在各自的平衡位置附近振动，传播开去的只是 振动
或振动状态。由于位相可以反映振动状态，所以也可以说波动
是位相的传播，顺着波传播的指向看过去，位相依次滞后,这
反映了振动的传播需要时间，振动的传播速度叫作波速，不要
把波速与质点的振动速度混淆起来！
形成机械波有两个条件,波源、介质 。但光波可以在真空
中传播。
二、多种多样的波
● 按物理性质分,机械波、电磁波等。
● 按波的传播方向和振动方向间的关系分,横波、纵波、混
合波（水波及地震波）；在气、液、固介质内部能形成纵波，
而横波通常是在固体内部传播的，也能沿液体表面传播。
● 按照传播的空间维数分,一维（沿弦的波）、二维的（表
面波）和三维的；
● 按波源扰动的时间分,脉冲波、持续波；
● 按波传播过程中波面形状分,平面波、球面波、柱面波等。
三、描述波传播的几个物理量
1,波阵面（波前）,在某一时刻，振动到达的各点构成的面
（位相相同）；
2,波射线,波的传播方向，用带有箭头的线表示。在各向同
性的媒质中，波线总是与波阵面垂直；
3,波长,同一波线上两个相邻的相位差为 2π，即振动状态相
同的相邻两质点之间的距离，通常用 λ表示。波长反映了波的
空间周期性，即每经过一个波长，媒质中的各点的振动状态重
复一次；
4,周期,波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线
上某点所需的时间，用 T 表示。周期反映了波的时间周期性，
即每经过一个周期，媒质中各点的振动状态重复一次；
5,波速,振动状态在媒质中传播的速度，用 或 表示。由于
振动状态由相位决定，所以波速也可以说是相位在媒质中的传
播速度，因此又可称为相速。
??? ??
T
v
v u
长度表示式中所以由于 ?
?
??
?
??
?
? 2,2,
2
,
2
???? k
k
vv
长度上波的数目，称为 波数,有的称它为角波数，而波数为
即单位长度内完整的波的数目，用 或 表示。也可以看作
是在波的传播方向上每经过一个单位距离后波位相的改变量，
单位是 m-1，它在波动中是一个很有用的物理量。
?/1
? v~
§ 3 平面简谐波方程
若平面波的波源作简谐振动，则在波已传到的区域中各质
元都按波源振动的频率作简谐振动,这样的波就称为平面简
谐波 。可以证明，其它复杂的波可视为平面简谐波的叠加。
思考问题的方法,因为同一波面上各质元的位相相同，所以要
描述某一波面上各质元的振动状态，只需任意选择其上一点作
为代表，描述这个“代表点”的振动状态，就是描述了波面上
所有质元的运动。波射线上的各点，可以看作是各波面的“代
表点”。若能描述波射线上各点的振动状态，也就是描述了媒
质中各质元的运动，用这样的方法，把描述空间各点的运动转
变为讨论一直线上各点的运动，问题得到了简化。
问题,能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动。现在就
无吸收媒质（ A不变）中平面简谐波情形来讨论这一问题。
具体过程,取 x 轴沿某一波射线，只要能写出同时表达轴上各
点振动的表达式，就是沿轴的这一条波线上的波的表达式。
1 2
P1 P2
O x
下面根据振动状态（相位）以波速 v 沿 x 轴传播的观点讨论一
条波线上的简谐波。
设波向 x 轴正方向传播，取平衡位置在坐标原点 O 处的质
元作参考。设它在时刻 t 的振动位移为（振动方程）
)0(c o s0 ?? ?? 初相tAy
x
现在问：在时刻 t,平衡位置坐标为 x 的一点处的质元位移等
于什么？
在 x 处的振动状态是 O 处振动状态经过一段时间 后传到
的，所以 x 处的相位比 O 处相位落后。
具体地说，在 t 时刻 O 处的相位是,在 x 处的相位就应是 O
处在 t 时刻以前的 时刻的相位。
故 x 处的振动表达式,
v
x??
t?
??t
)(c o s
v
xtAy
x ?? ?
因 x 是任意的值，所以上式适用于向 x 轴正方向传播的波所传
到的任意一点，去掉下标 x 可得平面简谐波的表达式
)(),(c o s
v
x
v
xtAy
x
??? ???? 初相
也称为简谐行波表达式（行波一词表明是在传播中的波）若波
是向 x 轴负方向传播，则在 x 处 t 时刻的相位应是 O 处在
时刻的相位。
??t
)(),(c o s v xvxtAy x ??? ??? 初相
● 平面简谐波方程的多种形式
下面这些形式是经常遇到的，对于向 x 轴正向传播的波取
,-”，向 x 轴负向传播的波取,+”。
)(c o s)(
2
c o s
);c o s (
);(2c o s
);(2c o s
);
2
c o s ()(c o s
xvtkAxvtAy
kxtAy
x
tAy
x
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x
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v
x
tAy
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?
?
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?
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?
?
?
?
??
● 进一步阐明波动方程的意义
波动方程是含有两个变量（ x,t）的运动学方程，理解它的
物理意义，可以分作三步来认识,
? 首先令 x 取任意定值 x0,y 将只是 t 的函数，这时波动方程
表示的是 x0 处质点在作 SHM 的情形。 y-t
曲线，想象出一部反映质元 x0 围绕自己平衡位置往复运动的
“电影”（动态的）；
? 再令 t 取任意定值 t0，得,它表示各个质
元在给定时刻的位移,y-x曲线称作波形图，也就是媒质在特定
时刻 t0 的“全景照片“（静止的）；
? 最后，如果 x 和 t 都在变化，那么波动方程表示波线上各
个不同质点在不同时刻的位移，或更形象地说，这个波动方程
中包括了不同时刻的波形，亦即反映了波形的传播。说明如下：
在某一时刻 t1 得到一条余弦曲线 y-x，而在另一时刻 得
)c o s ( 0kxtAy ?? ?
)c o s ( 0 kxtAy ?? ?
tt ??1
到另一条余弦曲线，分别如图
中的实线和虚线所示。当 t = t1
时，可知组成波形的各个质点
的位移为
)(c o s 1
v
xtAy ?? ?
式中 t1 为给定值,x 为变值。
y
x
O
x
v
tv
x
??
?
当 时，组成波形的各个质点的位移为 ttt ???
1
)(c o s)(c o s
)(c o s
11
1
v
tvx
ttA
v
x
tAy
v
x
ttAy
??
??????
????
??
?
在 时刻，位于 处质点的位移恰好等于在 t1 时
刻，位于 x 处质点的位移，也就是讲，在 时间内，整个波
tt ??1 tvx ??
t?
因为
形沿波的传播方向移动了一段路程 。
波速 v 就是整个波形向前传播的速度。或者从相位来说，
在 t1 时刻，位于 x 处的相位等于
tv?
,),( 11 时刻在 tt
v
xt ????
).()( 11
v
xt
v
tvxtttvx ????????? ??处质点的相位等于位于
两者相位相等，这表明在 时间内，这一振动相位从 x 处传到
处，所以波速也叫相速。
t?
tvx ??
)c o s ( 0?? ?? tAy
波速为 v,写出简谐波的表达式。
[例题 ] 均匀无吸收媒质中有平面
简谐波向 x 轴负方向传播。已知在 x
= x0处质元的振动式为
xx
0xO
y
v
[解 ] 波在 x 处（如图）的相位应比 x0 处落后
所以这里的初相 应为 )( 0 xxv ?
?
x?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
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???
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0
0
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0
0
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)(
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?
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?
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v
xx
tA
v
xx
tAy
v
xx
x
故
得到的结果可以用下法检查其合理性。令 可得题给的 x0
处振动式，令 x = 0,可得在坐标原点处的振动与 x0 处振动的
相位差
0xx ?
v
x
x
0
00
???? ?????
?
即 O点相位落后,这是合理的。
v
x0?
§ 4 波动方程与波速
前面从振动状态传播角度，即运动学角度，得出了简谐行
波的表达式，还可以从动力学角度分析媒质中质元的受力与形
变，从而得到 动力学方程即波动的微分方程,其解就是前面的
波动方程。我们不作这样的分析（数理方程中出现），而是通
过求偏导数得出这样的方程,
)(
1
)(c o s),(c o s
)(c o s
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
波动的动力学方程
t
y
vx
y
v
x
t
v
A
x
y
v
x
tA
t
y
v
x
tAy
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
???
?
?
??
?
它并不是包罗万象的，它的适用范围仅限于线性的无色散、无
耗散介质中的经典波动，超出这一范围，形式五花八门，无法
归纳成少数几种标准形式。
相速跟频率无关的波叫作无色散的波。“色散”一词是从
光学借用来的，各种不同色彩（即各种不同频率）的光波在一
些介质，例如水滴或玻璃中的相速各不相同。色散 —— 就是复
杂波在一定条件下分解为各种频率成分的现象。 色散现象是由
于在介质中光速随波长而变，以后在物理学中把“色散”的概
念推而广之，凡波速与波长有关的现象，都叫做“色散”,
与 k 的依赖关系 称为色散关系。
?
)(k?
这个方程普遍地适用于各种平面线性波。只不过方程中的波速
是按波的类型由媒质的弹性和媒质的密度决定。例如,
固体内的横波
沿固体细棒传播的纵波
紧张柔软绳上传播的横波
液体或气体内的纵波
?Gv ?
?Yv ?
?Tv ?
?Bv ?
§ 5 平均能流密度 ? 声强与声压
一、媒质中波的能量分布
由于波的本质是振动状态的传播，而能量是对状态的描述，
因此，波传播的过程，也就是能量的传播过程。这是波动的一
个重要特征。
以横波为例，研究体元 的动能、形变势能以及总能的
变化规律。
dV?
)(s i n
v
xtA
t
yu ???
?
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)(s i n
2
1
2
1 2222
v
xtAdVmudE
k ??? ???
)(s i n
)(s i n
2
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2
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222
2222
v
x
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v
x
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x
y
N d VdE
k
N
v
p
????
????
?
?
?
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???
???
?
?
即动能、势能及总机械能也以波的形式在传播。
单位体积媒质所具有的能量叫能量密度,用 表示。 ?
22
0
222
222
2
1
)(s i n
1
平均能量密度
—)(s i n
Adt
v
x
tA
T
v
x
tA
dV
dE
T
??????
????
? ???
???
?
况表示媒质中能量分布情
它表示在传播波的媒质中，单位体积媒质在一周期内所具有的
平均能量。
二、平均能流密度（波的强度）
它是一个矢量，其大小等于单位
时间内通过与波传播方向垂直的单位
面积的能量，方向沿波的传播方向，
用 I 表示。
在 时间内通过 S 的能量
S
tvx ???
x
tsvE ??? ?
v
vI
22
2
2
1
I:
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A
mWv
st
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I
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???
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?
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对于平面简谐波有
单位所以故
球面简谐波的波动式,
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1
2
2
1 Arr
r
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A
A 处的振幅为设由于 ??
t?
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,
00
00
v
r
t
r
rA
y
r
rA
AAr
??
?
?
则处振幅为任意
三、声强与声强级
声强：声波平均能流密度的大小。
声强级：试验表明，人耳听觉并非与声强成正比，而是与
声强的对数大致成正比。采用 作为声强标准,
声强 I 与 I0 之比的对数称为声强 I 的声强级。
2120 /10 mWI ??
][lg10][lg
00
分贝贝尔
I
I
I
IIL ??
四、声压、声强和声压的关系
声压：在有声波传播的空间，某一点在某一瞬时的压强 p 与没
有声波时压强 p0的差，叫作该点处该瞬时的声压,dp = p - p0
声压波方程（沿 x 轴传播）,
,
2
)(c o s
IRUvup
v
x
tAvvup
???
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?
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?
?
?
????
比较
?
?
????
把乘积 用 z 表示,称为媒质的特性阻抗，决定于媒质
的性质（ 都由媒质性质决定）。 对机械波而言,z 大者
称为波密介质； z 小者称为波疏介质。 对光波而言，光的折射
率 n大的介质，称为波密介质； n小者称为波疏介质。
研究声波产生、传播和接收，以及声波对物质作用的理论
称为声学，它已成为一个独立的分支学科。
v? vz ??
v,?
五、波的反射和透射 ? 半波损失
若介质的波阻抗 z 处处相同，则对波的传播来说，介质是
均匀的。一个机械波在无限大的均匀介质中传播时是不会发生
反射的，但遇到两介质的分界面，由于两者的波阻抗不同，就
会在介面处发生波的反射和折射。
对于垂直入射的情况，从理论上可得到入射波 i,反射波 r
和折射波 t 在界面点的位移 yi,yr 和 yt 之间有如下关系,
it
ir
y
zz
z
y
y
zz
zz
y
21
1
21
21
2
?
?
?
?
?
O
B
B
1 2
x
作定性分析,
●,即在均匀的介质中不会发生
波的反射。
●,这种极端情
况相当于介质 2是一种刚性壁，这种情况发生,半波损失,，
一般只要,就有这种现象发生。
●,例如一根棒，它的一
端是自由的，即置于真空或空气中，这种情况发生 全波反射,
一般只要,就有这种现象发生。此外 怎样
理解？折射波的强度
可见折射波事实上是不存在的，由这一点可推断，在波的反射
和折射中保持守恒关系的是波的强度：,而不是波
的振幅。 注意,如果波不是垂直入射到介质界面，情况就要复
杂得多，结论也不是如此简单。
itr yyyzz ????,021
0,122 ???????? tir yyyzzz 或
12 zz ?
ir yyzzz ????? 212 0 或
12 zz ? it yy 2?
00,
2
1
2
1
2
22
2
22
2 ???? ttttt IzAzvAI 有???
tri III ??
§ 6 波的叠加和干涉 ? 驻波
一、波的叠加 ? 群速
● 波的叠加原理包含两个内容，一是波传播的独立性，二是
波的可叠加性。具体来说,
1、几列波相遇之后，仍然保持它们各自的特性（频率、波长、
振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象
没有遇到其它波一样。
2、在相迂区域内任一点的振动位移，为各列波单独存在时在该
点所引起的振动位移的矢量和。它最初是从实验和观察中总结
出来的，从理论上看，波的叠加原理与波动方程为线性微分方
程是一致的。
● 传递信息的载波通常是复杂波（谐波不携带任何信息），
按 Fourier 分解观点，它是由频率在一定范围内的一系列简谐
波叠加而成，有时也将它称为“波包”。对于无色散的波，各
种不同频率的谐波以同一速度传播，波包当然也以同一速度传
播，但是当波包通过有色散的介质时，其中各个单色分量将以
不同的波速前进，整个波包在向前传播的同时，形状也逐渐改
变。通常把振幅最大的地方称为波包中心,将波包中心前进的
速度叫做群速,记作,即信息的传递速度。实际上，载波
往往
是频率很近的一系列谐波的叠加，群速为 。
gv
dk
dv
g
??
二、波的干涉
● 基本概念和规律
一般而言，几列波在空间相遇，其迭加的合成波是很复杂的。
我们现在只讨论一种典型而有重要的情形,频率相同、振动方
向相同、相位相同或相位差恒定的两列波的迭加 。这样的两个
波在空间任一点相遇时，该点的合振动是具有一定振幅的简谐
振动。 相遇区域内某些地方振动始终加强，而另一些地方振动
始终减弱，并形成稳定的、有规律的振动强弱分布的现象，这
种现象称为波的干涉现象。产生干涉现象的波称为相干波。
● 理论分析
设有两个相干波源 S1,S2，它们的振动方向都垂直于图面，波
源的振动方程为,
S1
S2
r2
r1
P
)c o s (
)c o s (
222
111
??
??
??
??
tAy
tAy
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?
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?
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???
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2
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1
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c o s
2
c o s
r
tAy
r
tAy
p
p
在 P点的两个分振动为,
:
c o s2
c o s2
)c o s (
/)(2
21
21
2
2
2
1
21
1212
考虑两种特殊情况
则有确定不变的振幅确定空间点
这一项称为干涉项把
点质元的合振动为
点的相位差为在
。，P
。AA
AAAAA
tAyyyP
rrP
?
?
??
?????
?
????
????
?????
（ 1）在 此处合振幅
最大，振动加强，这称为相长干涉，或说干涉相长；
（ 2）在
此处合振幅最小，振动减弱，这称为发生了相消干涉，特别是
,此处不振动。
一般情况,A 介于以上两值之间。这样从理论上解释了 重
叠区域形成固定不变的强弱分布 。因为简谐波的强度与振幅的
平方成正比，所以得
21,),2,1,0(2 AAAkk ?????? 处 ???
||,),2,1,0()12( 21 AAAkk ??????? 处 ???
0,21 ?? AAA 时
????? c o s2 2121 IIIII
因此,从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区
域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而
是作了重新分布，并且这种新的强度分布是时间上稳定的、空
间上强弱相间具有周期性的一种分布。
峰 谷
谷
峰
相消 相长
平
面
波
1
平面波 2
对于非相干叠加，可以证明，其合成波的强度恰等于分波强度
之和，即 I = I1 + I2。
[例题 ] 两个同频率波源 S1和 S2相距,两波源振动的初相差
为 。在通过 S1和 S2的直线上,S2外侧各点的合振
幅为多大？ S1外侧各点的合振幅又为多大？设两列波在 S1S2直
线上各点的振幅不随传播距离变化，都等于 A0。
4
?
221
??? ??
[解 ] 设 S2外侧的任一点 P距 S1、
S2的距离分别为 r1和 r2，则在 P
点两波传来振动的相位差
S1 S2
S2 S1
P
Q
4/?
4/?
r2
r1
r1
r2 ?
???? )(2 12
12
rr ?????
0
22
4
,
2
1212
?????
??????
??
?
??
??
故
因 rr
即两列波在任一 P 点的振动都是同相的，故在 S2 外侧任一点
合振幅为 A=2A0，在两波源连线上向 S2 外侧传播的波叠加后
是一列加强了的波。
在 S1外侧，取任一点 Q，同样求两列波在 Q点的相位差,
则由于这里,可得,即两列
波传到 S1外侧任一点的振动都是反相的，且振幅相等，故合振
幅 A=0，即在两波源连线上没有向 S1外侧传播的波。
412
??? rr
??
???? ??????
22
这个例题具体地说明了波的干涉使两波源单独存在时波在空间
传播的情况发生了显著的改变，这表现了波动性的特征。
三、驻波
两列振幅相等沿相反方向传播的相干波将形成驻波 。
我们把两列波以相同的相位相遇的某一点作为坐标原点，
并取该处 的时刻为计时零点，则两列波可写成,0??
)(c o s
2
c o s2
)
2
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)
2
c o s (
21
2
1
驻波方程txAyyy
xtAy
xtAy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
式中 x 与 t 被分隔开，完全失去了行波的特征。下面分析驻波
的特征,
1、合成后各点都以 作简谐振动，但各处振幅不同,x 点振幅 ?
xAxA
?
?2c o s2)( ?
2、在
?,
2
3
,,
2
,0
2
,
2
)(,,2)(1
2
c o s
?
?
?
??
?
?
?
?
????????
??
n
xnx
l o o pAxAx 是波腹振幅最大的那点
3、在
?,
4
5
,
4
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,
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??????????
??
n
xnx
n o d exAx 是波节始终没有振动的那点
4、相邻的波腹或相邻波节之间的距离为,波腹与相邻波
节之间的距离为 。
5,跟坐标无关，这就是说，所有各点振动的位相相同，
“步调”一致，并没有依次滞后的现象，即并无波形传播的现
象,
因此叫作 驻波 （与行波对照），关于,现在从
x = 0 出发，沿 x 轴正向考察。
总之，每越过一个节点，振幅就变一次符号，对于“负”
振幅可写为
2/?
4/?
t?cos
?
? xA 2c o s2
)c o s (2c o s2c o s2c o s2 ??
?
??
?
? ?????? txAtxAy
所以相邻波节之间各点具有相同位相，波节两侧则相位相反，
综观各点它们同时达到最大偏离（有正向，也有负向），同时
通过平衡位置。
注,驻波的振动，并不是各质元没有相互联系地各自作能量守
恒的简谐振动，在驻波振动中，任一质元的机械能还是变化的，
在波腹与波节间有往复的能量传播，段与段之间在能量上是隔
离的，能量并不传播向任何一个方向。在设计激光谐振腔和用
微观粒子的波粒二象性解释玻尔量子化条件时都要用到驻波的
概念。
四、弦与空气柱的本征振动（驻波的两个实例）
1、弦振动
[例题 ] 长度为 L，两端固定的弦上，设波速为 v,求弦的固有
频率。
[解 ]
LnvvnLnL 2///22/ ?????? ????由
n =1 时，频率 称为弦的基频,n =2,3,… 时各频率
各称为弦的 n 次谐频，一般情形，弦上能激起的驻
波可以是基频的驻波和各次谐频的驻波的叠加。
当驱动力频率接近某一固有频率时，系统将被激发，产生
振幅很大的驻波，这也是一种共振现象，例如桥梁在风力下的
共振，实质上就属于这类共振。
2、空气柱的振动
当声波被限制在管子、圆筒或共它空腔内部时，可以获得
共振，形成稳定驻波由管端情况（边界条件）决定。
Lv 2/1 ??
1?? nn ?
§ 7 多普勒效应
当列车进站时，我们听到汽笛声不仅越来越大，而且音调
升高；列车离去时，汽笛声不仅越来越小，而且音调降低。反
之，若声源未动而观察者运动，或者声源和观察者都在运动，
也会发生观测频率与波源频率不一致的现象。 由于波源或观察
者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象，称为多普勒
效应,是奥地利物理学家多普勒（ J.C.Doppler 1803-1853）在
1842年发现的，对机械波来说，所谓运动或静止都是相对于媒
质的。下面分几种情况来推导多普勒频移公式。为了简单，首
先讨论波源 S或接收器（探测者 D）的运动方向与波的传播方
向共线的情况。
?
?
v
?
推导的出发点是,
一、波源静止，接收器运动
设接收器以速度 向着波源运动，则波动相对于接收器
的速度变为,于是接收器接收到的频率为
??? Dvvv ?????
符号为正代表接收器作接近波源的运动，这时接收到
的频率较波源频率高； 符号为负代表接收器作远离波源的
运动，这时接收到的频率较波源频率低。
二、接收器静止，波源运动
设波源以速度 向着接收器运动，它发出的球面波波
面不再同心。下图所示两圆是时间相隔一个周期 T的两个波面。
Dv
Dvvv ???
从而它与波源频率之比为
??
?
?
?
?
??
?
? ???????
v
v
v
vv DD 1
Dv
Dv
Sv
vs 符号为正代表波源作接近接收器的运动，接收到的频率较波
源频率高； vs符号为负代表波源作远离接收器的运动，接收到
的频率较波源频率低，但频率升高或降低的数量与一的情形不
同。
., S S?
?
??
对于迎面而来的接收器来说,
有效的波长为,
? ?Tvv
Tv
S
S
??
??? ??
于是接收器接收到的频率为,
? ?
?
?
?
SS vv
v
Tvv
vv
?
?
?
?
?
??
式中 vD,vS 的符号为正代表波源和接收器相向运动； vD,vS
符号为负代表两者相背运动。
如果波源和接收器是沿着波传播方向的垂直方向运动，则
不难推知,即没有多普勒效应发生。又如果波源和接
收器的运动是任意方向的，那么只要把上述公式中 vD 和 vS理解
为波源和接收器沿两者连线方向的速度分量即可。不过随着两
者的运动，在不同时刻 vD 和 vS的分量也不同，这种情况下接收
器收到的频率将随着时间变化。
?? ??
三、波源和接收器皆运动
这时将一、二两情形同时考虑，其有效波速和有效波长都
发生了变化，接收器接收到的频率为,
?
?
?
s
D
S
D
vv
vv
Tvv
vvv
?
?
?
?
?
?
?
?
??
)(
[例题 ] 一静止波源向一飞行物发射频率为 的
超声波，飞行物以速度 v 离开波源飞出，站在波源处相对波
源静止的观察者测得波源发射波与飞行物反射波两振动合成
的拍频为,已知声速 u = 340m/s 。试推算飞行物
的运动速度。
k H zs 30??
Hzb 100??
。 飞行物
波源
v
[解 ] 飞行物接收到的超声波的频率
su
vu ?? ???
飞行物又作为“波源”反射出频率为 的波。观察者收到此
超声波的频率
波源发射波与飞行物反射波两振动合成的拍频
由此算得飞行物的速度
??
ss vu
vu
u
vu
vu
u
vu
u ????
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v
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vu
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??? 21
smuv
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b /57.0
2
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?
（ Chapter 10 Waves & Sounds）
前言
波的基本概念
平面简谐波方程
波动方程与波速
平均能流密度 ? 声强与声压
波的叠加和干涉 ? 驻波
多普勒效应
§ 1 前 言
一、本章的基本内容及研究方法
波动是很普遍的现象，在我们周围常见的波有：水波、声、
光、无线电波，还有宇宙深处许多天体的有韵律的辐射也是波。
人类就生活在这各种各样波的“海洋”之中。近代物理证明，
波动不仅存在于宏观世界中，甚至对于单个的电子、质子、中
子等微观粒子而言，它们也具有波的性质，称之为物质波。不
过，物质波与宏观世界中的波有完全不同的本质。尽管各种类
型波的性质不同，但它们有相似的波动微分方程和波函数，且
都具有波动特有的现象，如折射、反射、平涉和衍射等。
本章的内容可分为三个主要部分：第一，以波动本质 ——
位相依次传播为中心的有关波动的基本概念，平面简谐波的运
动学方程的建立及方程的物理意义；第二，波的能量；第三，
波的叠加和驻波，另外介绍了多普勒效应。全章的重点是波动
的物理图象，平面简谐波运动学方程是建立在位相传播这个物
理图象上的，不理解位相传播是波动的本质，就很难真正领会
波的运动学方程及其物理意义，波动的能量特征、波的叠加和
驻波的特点都离不开位相和位相传播这个概念，我们研究机械
波的目的是通过对具有直观性的机械波的研究，认识波动的基
本规律。这对于我们研究其它形式的波是十分重要的。
二、本章的基本要求
1、理解波动的本质及其物理图象，建立正确的波动概念；
2、掌握描述波动的基本物理量（波长、波速、波的频率）的
物理意义和相互关系；
3、掌握平面简谐波的概念及其方程，理解波的空间周期性和
时间周期性的含义；
4、了解波的能量传播特征及能量密度和能流密度的物理意义
及数学表达式；
5、了解波的叠加原理及波干涉的一般概念；
6、掌握驻波产生的条件，理解驻波方程的导出及驻波的特点；
7、了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
三、本章的思考题及练习题
1,思考题：教材 330-331页；
2,练习题,10.2.5 10.5.1 10.5.3 10.5.5 10.7.2
§ 2 波的基本概念
一、波是振动状态的传播
波是与振动密切相关性的。在宏观上，可将气体、液体或
固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。
当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时，邻近质元作用的弹
性回复力就会使它发生振动；同时，这些邻近质元又受到该质
元的弹性力作用，也会振动起来，于是振动就会由近及远、由
此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。
各个质元仅在各自的平衡位置附近振动，传播开去的只是 振动
或振动状态。由于位相可以反映振动状态，所以也可以说波动
是位相的传播，顺着波传播的指向看过去，位相依次滞后,这
反映了振动的传播需要时间，振动的传播速度叫作波速，不要
把波速与质点的振动速度混淆起来！
形成机械波有两个条件,波源、介质 。但光波可以在真空
中传播。
二、多种多样的波
● 按物理性质分,机械波、电磁波等。
● 按波的传播方向和振动方向间的关系分,横波、纵波、混
合波（水波及地震波）；在气、液、固介质内部能形成纵波，
而横波通常是在固体内部传播的，也能沿液体表面传播。
● 按照传播的空间维数分,一维（沿弦的波）、二维的（表
面波）和三维的；
● 按波源扰动的时间分,脉冲波、持续波；
● 按波传播过程中波面形状分,平面波、球面波、柱面波等。
三、描述波传播的几个物理量
1,波阵面（波前）,在某一时刻，振动到达的各点构成的面
（位相相同）；
2,波射线,波的传播方向，用带有箭头的线表示。在各向同
性的媒质中，波线总是与波阵面垂直；
3,波长,同一波线上两个相邻的相位差为 2π，即振动状态相
同的相邻两质点之间的距离，通常用 λ表示。波长反映了波的
空间周期性，即每经过一个波长，媒质中的各点的振动状态重
复一次；
4,周期,波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线
上某点所需的时间，用 T 表示。周期反映了波的时间周期性，
即每经过一个周期，媒质中各点的振动状态重复一次；
5,波速,振动状态在媒质中传播的速度，用 或 表示。由于
振动状态由相位决定，所以波速也可以说是相位在媒质中的传
播速度，因此又可称为相速。
??? ??
T
v
v u
长度表示式中所以由于 ?
?
??
?
??
?
? 2,2,
2
,
2
???? k
k
vv
长度上波的数目，称为 波数,有的称它为角波数，而波数为
即单位长度内完整的波的数目，用 或 表示。也可以看作
是在波的传播方向上每经过一个单位距离后波位相的改变量，
单位是 m-1，它在波动中是一个很有用的物理量。
?/1
? v~
§ 3 平面简谐波方程
若平面波的波源作简谐振动，则在波已传到的区域中各质
元都按波源振动的频率作简谐振动,这样的波就称为平面简
谐波 。可以证明，其它复杂的波可视为平面简谐波的叠加。
思考问题的方法,因为同一波面上各质元的位相相同，所以要
描述某一波面上各质元的振动状态，只需任意选择其上一点作
为代表，描述这个“代表点”的振动状态，就是描述了波面上
所有质元的运动。波射线上的各点，可以看作是各波面的“代
表点”。若能描述波射线上各点的振动状态，也就是描述了媒
质中各质元的运动，用这样的方法，把描述空间各点的运动转
变为讨论一直线上各点的运动，问题得到了简化。
问题,能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动。现在就
无吸收媒质（ A不变）中平面简谐波情形来讨论这一问题。
具体过程,取 x 轴沿某一波射线，只要能写出同时表达轴上各
点振动的表达式，就是沿轴的这一条波线上的波的表达式。
1 2
P1 P2
O x
下面根据振动状态（相位）以波速 v 沿 x 轴传播的观点讨论一
条波线上的简谐波。
设波向 x 轴正方向传播，取平衡位置在坐标原点 O 处的质
元作参考。设它在时刻 t 的振动位移为（振动方程）
)0(c o s0 ?? ?? 初相tAy
x
现在问：在时刻 t,平衡位置坐标为 x 的一点处的质元位移等
于什么？
在 x 处的振动状态是 O 处振动状态经过一段时间 后传到
的，所以 x 处的相位比 O 处相位落后。
具体地说，在 t 时刻 O 处的相位是,在 x 处的相位就应是 O
处在 t 时刻以前的 时刻的相位。
故 x 处的振动表达式,
v
x??
t?
??t
)(c o s
v
xtAy
x ?? ?
因 x 是任意的值，所以上式适用于向 x 轴正方向传播的波所传
到的任意一点，去掉下标 x 可得平面简谐波的表达式
)(),(c o s
v
x
v
xtAy
x
??? ???? 初相
也称为简谐行波表达式（行波一词表明是在传播中的波）若波
是向 x 轴负方向传播，则在 x 处 t 时刻的相位应是 O 处在
时刻的相位。
??t
)(),(c o s v xvxtAy x ??? ??? 初相
● 平面简谐波方程的多种形式
下面这些形式是经常遇到的，对于向 x 轴正向传播的波取
,-”，向 x 轴负向传播的波取,+”。
)(c o s)(
2
c o s
);c o s (
);(2c o s
);(2c o s
);
2
c o s ()(c o s
xvtkAxvtAy
kxtAy
x
tAy
x
T
t
Ay
x
tA
v
x
tAy
??
?
??
??
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
● 进一步阐明波动方程的意义
波动方程是含有两个变量（ x,t）的运动学方程，理解它的
物理意义，可以分作三步来认识,
? 首先令 x 取任意定值 x0,y 将只是 t 的函数，这时波动方程
表示的是 x0 处质点在作 SHM 的情形。 y-t
曲线，想象出一部反映质元 x0 围绕自己平衡位置往复运动的
“电影”（动态的）；
? 再令 t 取任意定值 t0，得,它表示各个质
元在给定时刻的位移,y-x曲线称作波形图，也就是媒质在特定
时刻 t0 的“全景照片“（静止的）；
? 最后，如果 x 和 t 都在变化，那么波动方程表示波线上各
个不同质点在不同时刻的位移，或更形象地说，这个波动方程
中包括了不同时刻的波形，亦即反映了波形的传播。说明如下：
在某一时刻 t1 得到一条余弦曲线 y-x，而在另一时刻 得
)c o s ( 0kxtAy ?? ?
)c o s ( 0 kxtAy ?? ?
tt ??1
到另一条余弦曲线，分别如图
中的实线和虚线所示。当 t = t1
时，可知组成波形的各个质点
的位移为
)(c o s 1
v
xtAy ?? ?
式中 t1 为给定值,x 为变值。
y
x
O
x
v
tv
x
??
?
当 时，组成波形的各个质点的位移为 ttt ???
1
)(c o s)(c o s
)(c o s
11
1
v
tvx
ttA
v
x
tAy
v
x
ttAy
??
??????
????
??
?
在 时刻，位于 处质点的位移恰好等于在 t1 时
刻，位于 x 处质点的位移，也就是讲，在 时间内，整个波
tt ??1 tvx ??
t?
因为
形沿波的传播方向移动了一段路程 。
波速 v 就是整个波形向前传播的速度。或者从相位来说，
在 t1 时刻，位于 x 处的相位等于
tv?
,),( 11 时刻在 tt
v
xt ????
).()( 11
v
xt
v
tvxtttvx ????????? ??处质点的相位等于位于
两者相位相等，这表明在 时间内，这一振动相位从 x 处传到
处，所以波速也叫相速。
t?
tvx ??
)c o s ( 0?? ?? tAy
波速为 v,写出简谐波的表达式。
[例题 ] 均匀无吸收媒质中有平面
简谐波向 x 轴负方向传播。已知在 x
= x0处质元的振动式为
xx
0xO
y
v
[解 ] 波在 x 处（如图）的相位应比 x0 处落后
所以这里的初相 应为 )( 0 xxv ?
?
x?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
???
?
??
0
0
0
0
0
0
)(
c o s
)(
c o s
)(
?
?
?
?
??
?
??
v
xx
tA
v
xx
tAy
v
xx
x
故
得到的结果可以用下法检查其合理性。令 可得题给的 x0
处振动式，令 x = 0,可得在坐标原点处的振动与 x0 处振动的
相位差
0xx ?
v
x
x
0
00
???? ?????
?
即 O点相位落后,这是合理的。
v
x0?
§ 4 波动方程与波速
前面从振动状态传播角度，即运动学角度，得出了简谐行
波的表达式，还可以从动力学角度分析媒质中质元的受力与形
变，从而得到 动力学方程即波动的微分方程,其解就是前面的
波动方程。我们不作这样的分析（数理方程中出现），而是通
过求偏导数得出这样的方程,
)(
1
)(c o s),(c o s
)(c o s
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
波动的动力学方程
t
y
vx
y
v
x
t
v
A
x
y
v
x
tA
t
y
v
x
tAy
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
???
?
?
??
?
它并不是包罗万象的，它的适用范围仅限于线性的无色散、无
耗散介质中的经典波动，超出这一范围，形式五花八门，无法
归纳成少数几种标准形式。
相速跟频率无关的波叫作无色散的波。“色散”一词是从
光学借用来的，各种不同色彩（即各种不同频率）的光波在一
些介质，例如水滴或玻璃中的相速各不相同。色散 —— 就是复
杂波在一定条件下分解为各种频率成分的现象。 色散现象是由
于在介质中光速随波长而变，以后在物理学中把“色散”的概
念推而广之，凡波速与波长有关的现象，都叫做“色散”,
与 k 的依赖关系 称为色散关系。
?
)(k?
这个方程普遍地适用于各种平面线性波。只不过方程中的波速
是按波的类型由媒质的弹性和媒质的密度决定。例如,
固体内的横波
沿固体细棒传播的纵波
紧张柔软绳上传播的横波
液体或气体内的纵波
?Gv ?
?Yv ?
?Tv ?
?Bv ?
§ 5 平均能流密度 ? 声强与声压
一、媒质中波的能量分布
由于波的本质是振动状态的传播，而能量是对状态的描述，
因此，波传播的过程，也就是能量的传播过程。这是波动的一
个重要特征。
以横波为例，研究体元 的动能、形变势能以及总能的
变化规律。
dV?
)(s i n
v
xtA
t
yu ???
?
?? ??
)(s i n
2
1
2
1 2222
v
xtAdVmudE
k ??? ???
)(s i n
)(s i n
2
1
)(
2
1
222
2222
v
x
tAdVdEdEdE
v
x
tAdV
x
y
N d VdE
k
N
v
p
????
????
?
?
?
?
???
???
?
?
即动能、势能及总机械能也以波的形式在传播。
单位体积媒质所具有的能量叫能量密度,用 表示。 ?
22
0
222
222
2
1
)(s i n
1
平均能量密度
—)(s i n
Adt
v
x
tA
T
v
x
tA
dV
dE
T
??????
????
? ???
???
?
况表示媒质中能量分布情
它表示在传播波的媒质中，单位体积媒质在一周期内所具有的
平均能量。
二、平均能流密度（波的强度）
它是一个矢量，其大小等于单位
时间内通过与波传播方向垂直的单位
面积的能量，方向沿波的传播方向，
用 I 表示。
在 时间内通过 S 的能量
S
tvx ???
x
tsvE ??? ?
v
vI
22
2
2
1
I:
):(,
A
mWv
st
E
I
??
??
?
???
??
?
?
?
对于平面简谐波有
单位所以故
球面简谐波的波动式,
,,00
1
2
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r
r
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A 处的振幅为设由于 ??
t?
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,
00
00
v
r
t
r
rA
y
r
rA
AAr
??
?
?
则处振幅为任意
三、声强与声强级
声强：声波平均能流密度的大小。
声强级：试验表明，人耳听觉并非与声强成正比，而是与
声强的对数大致成正比。采用 作为声强标准,
声强 I 与 I0 之比的对数称为声强 I 的声强级。
2120 /10 mWI ??
][lg10][lg
00
分贝贝尔
I
I
I
IIL ??
四、声压、声强和声压的关系
声压：在有声波传播的空间，某一点在某一瞬时的压强 p 与没
有声波时压强 p0的差，叫作该点处该瞬时的声压,dp = p - p0
声压波方程（沿 x 轴传播）,
,
2
)(c o s
IRUvup
v
x
tAvvup
???
?
?
?
?
?
?
????
比较
?
?
????
把乘积 用 z 表示,称为媒质的特性阻抗，决定于媒质
的性质（ 都由媒质性质决定）。 对机械波而言,z 大者
称为波密介质； z 小者称为波疏介质。 对光波而言，光的折射
率 n大的介质，称为波密介质； n小者称为波疏介质。
研究声波产生、传播和接收，以及声波对物质作用的理论
称为声学，它已成为一个独立的分支学科。
v? vz ??
v,?
五、波的反射和透射 ? 半波损失
若介质的波阻抗 z 处处相同，则对波的传播来说，介质是
均匀的。一个机械波在无限大的均匀介质中传播时是不会发生
反射的，但遇到两介质的分界面，由于两者的波阻抗不同，就
会在介面处发生波的反射和折射。
对于垂直入射的情况，从理论上可得到入射波 i,反射波 r
和折射波 t 在界面点的位移 yi,yr 和 yt 之间有如下关系,
it
ir
y
zz
z
y
y
zz
zz
y
21
1
21
21
2
?
?
?
?
?
O
B
B
1 2
x
作定性分析,
●,即在均匀的介质中不会发生
波的反射。
●,这种极端情
况相当于介质 2是一种刚性壁，这种情况发生,半波损失,，
一般只要,就有这种现象发生。
●,例如一根棒，它的一
端是自由的，即置于真空或空气中，这种情况发生 全波反射,
一般只要,就有这种现象发生。此外 怎样
理解？折射波的强度
可见折射波事实上是不存在的，由这一点可推断，在波的反射
和折射中保持守恒关系的是波的强度：,而不是波
的振幅。 注意,如果波不是垂直入射到介质界面，情况就要复
杂得多，结论也不是如此简单。
itr yyyzz ????,021
0,122 ???????? tir yyyzzz 或
12 zz ?
ir yyzzz ????? 212 0 或
12 zz ? it yy 2?
00,
2
1
2
1
2
22
2
22
2 ???? ttttt IzAzvAI 有???
tri III ??
§ 6 波的叠加和干涉 ? 驻波
一、波的叠加 ? 群速
● 波的叠加原理包含两个内容，一是波传播的独立性，二是
波的可叠加性。具体来说,
1、几列波相遇之后，仍然保持它们各自的特性（频率、波长、
振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象
没有遇到其它波一样。
2、在相迂区域内任一点的振动位移，为各列波单独存在时在该
点所引起的振动位移的矢量和。它最初是从实验和观察中总结
出来的，从理论上看，波的叠加原理与波动方程为线性微分方
程是一致的。
● 传递信息的载波通常是复杂波（谐波不携带任何信息），
按 Fourier 分解观点，它是由频率在一定范围内的一系列简谐
波叠加而成，有时也将它称为“波包”。对于无色散的波，各
种不同频率的谐波以同一速度传播，波包当然也以同一速度传
播，但是当波包通过有色散的介质时，其中各个单色分量将以
不同的波速前进，整个波包在向前传播的同时，形状也逐渐改
变。通常把振幅最大的地方称为波包中心,将波包中心前进的
速度叫做群速,记作,即信息的传递速度。实际上，载波
往往
是频率很近的一系列谐波的叠加，群速为 。
gv
dk
dv
g
??
二、波的干涉
● 基本概念和规律
一般而言，几列波在空间相遇，其迭加的合成波是很复杂的。
我们现在只讨论一种典型而有重要的情形,频率相同、振动方
向相同、相位相同或相位差恒定的两列波的迭加 。这样的两个
波在空间任一点相遇时，该点的合振动是具有一定振幅的简谐
振动。 相遇区域内某些地方振动始终加强，而另一些地方振动
始终减弱，并形成稳定的、有规律的振动强弱分布的现象，这
种现象称为波的干涉现象。产生干涉现象的波称为相干波。
● 理论分析
设有两个相干波源 S1,S2，它们的振动方向都垂直于图面，波
源的振动方程为,
S1
S2
r2
r1
P
)c o s (
)c o s (
222
111
??
??
??
??
tAy
tAy
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
2
222
1
111
2
c o s
2
c o s
r
tAy
r
tAy
p
p
在 P点的两个分振动为,
:
c o s2
c o s2
)c o s (
/)(2
21
21
2
2
2
1
21
1212
考虑两种特殊情况
则有确定不变的振幅确定空间点
这一项称为干涉项把
点质元的合振动为
点的相位差为在
。，P
。AA
AAAAA
tAyyyP
rrP
?
?
??
?????
?
????
????
?????
（ 1）在 此处合振幅
最大，振动加强，这称为相长干涉，或说干涉相长；
（ 2）在
此处合振幅最小，振动减弱，这称为发生了相消干涉，特别是
,此处不振动。
一般情况,A 介于以上两值之间。这样从理论上解释了 重
叠区域形成固定不变的强弱分布 。因为简谐波的强度与振幅的
平方成正比，所以得
21,),2,1,0(2 AAAkk ?????? 处 ???
||,),2,1,0()12( 21 AAAkk ??????? 处 ???
0,21 ?? AAA 时
????? c o s2 2121 IIIII
因此,从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区
域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而
是作了重新分布，并且这种新的强度分布是时间上稳定的、空
间上强弱相间具有周期性的一种分布。
峰 谷
谷
峰
相消 相长
平
面
波
1
平面波 2
对于非相干叠加，可以证明，其合成波的强度恰等于分波强度
之和，即 I = I1 + I2。
[例题 ] 两个同频率波源 S1和 S2相距,两波源振动的初相差
为 。在通过 S1和 S2的直线上,S2外侧各点的合振
幅为多大？ S1外侧各点的合振幅又为多大？设两列波在 S1S2直
线上各点的振幅不随传播距离变化，都等于 A0。
4
?
221
??? ??
[解 ] 设 S2外侧的任一点 P距 S1、
S2的距离分别为 r1和 r2，则在 P
点两波传来振动的相位差
S1 S2
S2 S1
P
Q
4/?
4/?
r2
r1
r1
r2 ?
???? )(2 12
12
rr ?????
0
22
4
,
2
1212
?????
??????
??
?
??
??
故
因 rr
即两列波在任一 P 点的振动都是同相的，故在 S2 外侧任一点
合振幅为 A=2A0，在两波源连线上向 S2 外侧传播的波叠加后
是一列加强了的波。
在 S1外侧，取任一点 Q，同样求两列波在 Q点的相位差,
则由于这里,可得,即两列
波传到 S1外侧任一点的振动都是反相的，且振幅相等，故合振
幅 A=0，即在两波源连线上没有向 S1外侧传播的波。
412
??? rr
??
???? ??????
22
这个例题具体地说明了波的干涉使两波源单独存在时波在空间
传播的情况发生了显著的改变，这表现了波动性的特征。
三、驻波
两列振幅相等沿相反方向传播的相干波将形成驻波 。
我们把两列波以相同的相位相遇的某一点作为坐标原点，
并取该处 的时刻为计时零点，则两列波可写成,0??
)(c o s
2
c o s2
)
2
c o s (
)
2
c o s (
21
2
1
驻波方程txAyyy
xtAy
xtAy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
式中 x 与 t 被分隔开，完全失去了行波的特征。下面分析驻波
的特征,
1、合成后各点都以 作简谐振动，但各处振幅不同,x 点振幅 ?
xAxA
?
?2c o s2)( ?
2、在
?,
2
3
,,
2
,0
2
,
2
)(,,2)(1
2
c o s
?
?
?
??
?
?
?
?
????????
??
n
xnx
l o o pAxAx 是波腹振幅最大的那点
3、在
?,
4
5
,
4
3
,
4
)
24
1
(,)
2
1
(
2
)(,,0)(0
2
c o s
?
?
?
??
?
?
?
?
??????????
??
n
xnx
n o d exAx 是波节始终没有振动的那点
4、相邻的波腹或相邻波节之间的距离为,波腹与相邻波
节之间的距离为 。
5,跟坐标无关，这就是说，所有各点振动的位相相同，
“步调”一致，并没有依次滞后的现象，即并无波形传播的现
象,
因此叫作 驻波 （与行波对照），关于,现在从
x = 0 出发，沿 x 轴正向考察。
总之，每越过一个节点，振幅就变一次符号，对于“负”
振幅可写为
2/?
4/?
t?cos
?
? xA 2c o s2
)c o s (2c o s2c o s2c o s2 ??
?
??
?
? ?????? txAtxAy
所以相邻波节之间各点具有相同位相，波节两侧则相位相反，
综观各点它们同时达到最大偏离（有正向，也有负向），同时
通过平衡位置。
注,驻波的振动，并不是各质元没有相互联系地各自作能量守
恒的简谐振动，在驻波振动中，任一质元的机械能还是变化的，
在波腹与波节间有往复的能量传播，段与段之间在能量上是隔
离的，能量并不传播向任何一个方向。在设计激光谐振腔和用
微观粒子的波粒二象性解释玻尔量子化条件时都要用到驻波的
概念。
四、弦与空气柱的本征振动（驻波的两个实例）
1、弦振动
[例题 ] 长度为 L，两端固定的弦上，设波速为 v,求弦的固有
频率。
[解 ]
LnvvnLnL 2///22/ ?????? ????由
n =1 时，频率 称为弦的基频,n =2,3,… 时各频率
各称为弦的 n 次谐频，一般情形，弦上能激起的驻
波可以是基频的驻波和各次谐频的驻波的叠加。
当驱动力频率接近某一固有频率时，系统将被激发，产生
振幅很大的驻波，这也是一种共振现象，例如桥梁在风力下的
共振，实质上就属于这类共振。
2、空气柱的振动
当声波被限制在管子、圆筒或共它空腔内部时，可以获得
共振，形成稳定驻波由管端情况（边界条件）决定。
Lv 2/1 ??
1?? nn ?
§ 7 多普勒效应
当列车进站时，我们听到汽笛声不仅越来越大，而且音调
升高；列车离去时，汽笛声不仅越来越小，而且音调降低。反
之，若声源未动而观察者运动，或者声源和观察者都在运动，
也会发生观测频率与波源频率不一致的现象。 由于波源或观察
者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象，称为多普勒
效应,是奥地利物理学家多普勒（ J.C.Doppler 1803-1853）在
1842年发现的，对机械波来说，所谓运动或静止都是相对于媒
质的。下面分几种情况来推导多普勒频移公式。为了简单，首
先讨论波源 S或接收器（探测者 D）的运动方向与波的传播方
向共线的情况。
?
?
v
?
推导的出发点是,
一、波源静止，接收器运动
设接收器以速度 向着波源运动，则波动相对于接收器
的速度变为,于是接收器接收到的频率为
??? Dvvv ?????
符号为正代表接收器作接近波源的运动，这时接收到
的频率较波源频率高； 符号为负代表接收器作远离波源的
运动，这时接收到的频率较波源频率低。
二、接收器静止，波源运动
设波源以速度 向着接收器运动，它发出的球面波波
面不再同心。下图所示两圆是时间相隔一个周期 T的两个波面。
Dv
Dvvv ???
从而它与波源频率之比为
??
?
?
?
?
??
?
? ???????
v
v
v
vv DD 1
Dv
Dv
Sv
vs 符号为正代表波源作接近接收器的运动，接收到的频率较波
源频率高； vs符号为负代表波源作远离接收器的运动，接收到
的频率较波源频率低，但频率升高或降低的数量与一的情形不
同。
., S S?
?
??
对于迎面而来的接收器来说,
有效的波长为,
? ?Tvv
Tv
S
S
??
??? ??
于是接收器接收到的频率为,
? ?
?
?
?
SS vv
v
Tvv
vv
?
?
?
?
?
??
式中 vD,vS 的符号为正代表波源和接收器相向运动； vD,vS
符号为负代表两者相背运动。
如果波源和接收器是沿着波传播方向的垂直方向运动，则
不难推知,即没有多普勒效应发生。又如果波源和接
收器的运动是任意方向的，那么只要把上述公式中 vD 和 vS理解
为波源和接收器沿两者连线方向的速度分量即可。不过随着两
者的运动，在不同时刻 vD 和 vS的分量也不同，这种情况下接收
器收到的频率将随着时间变化。
?? ??
三、波源和接收器皆运动
这时将一、二两情形同时考虑，其有效波速和有效波长都
发生了变化，接收器接收到的频率为,
?
?
?
s
D
S
D
vv
vv
Tvv
vvv
?
?
?
?
?
?
?
?
??
)(
[例题 ] 一静止波源向一飞行物发射频率为 的
超声波，飞行物以速度 v 离开波源飞出，站在波源处相对波
源静止的观察者测得波源发射波与飞行物反射波两振动合成
的拍频为,已知声速 u = 340m/s 。试推算飞行物
的运动速度。
k H zs 30??
Hzb 100??
。 飞行物
波源
v
[解 ] 飞行物接收到的超声波的频率
su
vu ?? ???
飞行物又作为“波源”反射出频率为 的波。观察者收到此
超声波的频率
波源发射波与飞行物反射波两振动合成的拍频
由此算得飞行物的速度
??
ss vu
vu
u
vu
vu
u
vu
u ????
?
???
?
??
?
???
ssssb vu
v
vu
vu
vu
vu ?????
?
??
?
??
?
?
?
???
?
??? 21
smuv
bs
b /57.0
2
?
?
?
??
?
