第三章 地图的数学基础
教学目的和要求：
1.掌握地图投影的基本概念及其分类，以及投影变形等基本知识。
2.掌握一些常见地图投影的构成、变形分布规律及其应用。
3.了解地图投影选择和识别方法。
本章重点：地图投影的相关概念、地图投影分类、常见投影的特点及分类。
本章难点：地图投影的概念、地图投影的选择。
教学时数：13学时
[第一讲 4学时]
第一节 地图投影的概念
地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。
地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。
我们作为师范院校的学生，是非投影专业的，学习投影的目的和要求与投影专业的学生有着很大区别，我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用的最基本投影的性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。
一、地球的形状和大小
地球作为地图投影的投影对象，有其独特的形状和大小，我们在地球概论课里已经讲过，这里不再细述。地球的形状是个球体，准确地说使地球替他是一个近似于旋转的椭圆体，称为地球椭球体，测绘工作中采用地球椭球体。
地球椭球体的大小，由于推求所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同，我国1952年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基托球体，它的长半径（赤道半径）a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率 d=a-b/a=1：298.3这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。
由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，若制作1：1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。
二、地图表面和地球球面的矛盾
地图是将地球球面上各个地理要素按照一定的数学法则，运用符号系统并经过制图综合缩绘于平面上的图形，这就是说地图通常是绘在平面介质上的，而地球椭球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱，正如生活中剥桔子皮那样，剥开的桔皮是断裂的，不能拼成一个完整的平面，若硬把桔皮拼在一起，就会产生褶皱，无论是将球面沿经线或月牙切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。
三、地图投影的概念
球面上任一点的位置是用地理坐标（φ、λ）表示的，而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标是x,横坐标是y）表示的，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。
球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，所以实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网后，就可以将球面上的地理事物，按照其所在的经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。由此看来，地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。
四、地图投影的方法
几何投影（透视投影）
投影在日常生活中的例子是很多的，如电影、幻灯片就是利用点光源把胶片上的影象投影到屏幕上的例子。几何投影和此类似，假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。
[演示经纬网投影]
2.解析法
随着科学生产的发展，几何透视法远远不能满足编制各种类型地图的需要，这样推动了地图投影的发展，出现了解析法。所谓解析法就是不借助于几何投影面（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系。
X=f1(φ、λ)
Y=f2(φ、λ)
函数的f1f2具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系式，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。
第二节 地图投影的变形
一、变形的概念
由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投影方法，尽管得到经纬网的形状不同但它们与球面上的经纬网形状不完全相似的。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物。也必然发生了变形，为了正确使用地图，必须了解投影后产生得变形，所以投影变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。
二、研究变形的方法
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现两者是不会相同的。为了研究变形方便首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：
1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，在极地成为一点。换句话说纬线长度不等，赤道最长，随着纬度增高，极地为零。
2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。
3.经线和纬线是相互垂直的。
4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而从赤道向两极逐渐缩小。
5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
[观看地图上的投影]
同学们打开课本看有关各种投影后经纬线形式插图或打开世界地图，经投影后经纬网的形状和地球仪上的大不相同，进一步比较会发现有的图在长度、面积、角度等方面发生了变形，也即产生了误差。如果我们对球面上经纬线网格的形状有明确的认识，就可以看出地图网格变形的大致情况，同时也就可以看出地理内容变形的大致情况。
三、投影变形的相关概念
长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图所示。
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：
μ=ds’/ds
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：根据解析几何中阿波隆尼亚定理
m2+n2=a2+b2
m·n·sinθ=a·b
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比（μ）与1之差，用表v示长度变形则：v=μ-1
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。
2.主比例尺和局部比例尺
平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小如，制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。由于投影时有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。
注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。
3.主方向
由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后不一定正交，例如设o是球面上两条互相垂直的微小线段，过o作两条垂线ac和 bd，投影后a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc为直角投影后分别为锐角a’o’b’和钝角b’o’c’。
设想ac、bd二垂线相对位置保持不便，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角boc转到了cob的位置它的投影由原来的钝角变为锐角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。
在主方向上，具有极大和极小长度比。例如我们讲过的高斯-克吕格投影，经纬线投影后均保持垂直。所以该投影中，经纬线方向就是主方向。经纬线投影后位正交，经纬线方向均为主方向。但也有一些投影经纬网斜交，主方向与经纬线方向并不一致。
变形椭圆
在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆（投影演示），下面我们用数学方法验证一下。
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)圆上一点，圆心曲线方程为
x2+y2=1
o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向长度比为a和b，则:
x’/x= a, y’/y= b
则:x =x’/a, y =y’/b
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
x2/a2+y2/b2=1
这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影的变形，故叫做变形椭圆。
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为b<μ<a，椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形。椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。
5.面积比与面积变形
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=12π为例，以P表示面积比，则：
P=dF’/dF=abπ/π=ab
上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：
P=mn
若经纬线方向不是主方向时，则面积比
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。
面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1
面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
6.角度变形
投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。
[公式验证]
见教材53页。
7.等变形线
在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。
等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。
等变形线通常是用点虚线来表示的。（看投影图上的等变形线）
第三节 地图投影的分类
地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。
一、按变形性质分类
地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三种。
1.等角投影（正形投影）
角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件是：
w=0
sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0
a=b，m=n
等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。
2.等积投影
投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。等积投影的条件是：
Vp=p―１＝０ p=1
因为 p=ab
所以a=1/b或b=1/a
由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。
3.任意投影
任意投影是即不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。
在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，其条件是m=1。即误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。
如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：
①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。
②任意投影不能保持等积等角特性。
③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。
二、按构成方法分类
1.几何投影
几何投影是把地球椭圆面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类：
⑴方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
⑵圆住投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。
⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。
2.非几何投影
不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。
[重要内容提示]
1.地图投影、投影变形、变形椭圆、长度比、长度变形、面积比、面积变形、角度变形、主方向、主比例尺、局部比例尺、等变形线的概念。
2.地图投影的分类
（1）按构成方法分类
（2）按变形性质分类
[思考题]
见教材85页。
[第二讲 4学时]
第四节 方位投影
一、方位投影的概念和种类
方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。本节只介绍常用的切方位投影，将地球半径视为R的球体。
方位投影可分为透视方位投影和非透视方位投影两类。
1.透视方位投影
利用透视法把地球表面投影到平面上的方法称为透视投影。
透视方位投影的点光源或视点位于垂直于投影面的地球直径及其延长线上，由于视点位置不同，因而有不同的透视方位投影（演示）
①当视点（光源）位于地球球心时，即视点距投影面距离为R时，称为中心射方位投影或球心投影。
②当视点或光源位于地球表面时，即视点到投影面距离为2R时，称为平社方位投影或球面投影。
③当视点或光源位于无限远时，投影线（光线）成为平行线，称为正射投影。
根据投影面和地球球相切位置的不同，透视投影可分为三类：
①当投影面切于地球极点时，称为正轴投影。
②当投影面切于赤道时，称为横轴方位投影。
③当投影面切于既不在极点也不在赤道时，称为斜轴方位投影。
2.非透视方位投影
非透视方位投影是借助于透视投影的方式，而附加上一定的条件，如加上等积、等距等条件所构成的投影。
在这类投影中有等距方位投影和等积方位投影。
二、正射正轴方位投影
1.投影条件
视点位于无穷远，故投影平行直线。投影面假定切于极点。
2.特点
纬线投影为一组同心圆，而且没有误差。经线投影为相交于纬线同心圆圆心的直线束，并且经线间夹角等于相应的经差。经线投影后缩短，即经线方向上的长度比小于1。长度变形为负值。并且在经线方向上，自投影中心向外误差逐渐增大。在纬度为φ=45度的纬线上各点的经线方向上，长度误差达29.3%，在φ=30度的纬线上各点沿经线方向上的误差达50%。当φ=45度时，纬线上各点的最大角度变形为19度45分，φ=30度时为38度57分。
此投影误差表现形式为，自投影中心向外，纬线间隔逐渐减小。面积经线长度等变形成为同心圆。
3.正轴正射方位投影的作图法
正射方位投影经纬网的作法简单，关键是求纬线投影半径ρ，下面介绍一下半径ρ求法：
图略
如图所示A是球面上的一点，过A点作纬圈半径为CA，CA投影到平面上后为C’A’，两者长度相等，由图中可知，过A点的纬圈投影半径为：
ρ=Rcosφ
有了纬线投影半径ρ，就可以画出经纬线网。根据按一定的纬度差，根据ρ作许多同心圆，即为纬线，然后再按规定的经差作自圆心放射的直线来，即为经线。这样正射方位投影的经纬网就做成了。
正射投影由于视点位于无穷远，和我们观察天体时的情况相似，故它常用来编制星图。
三、平射正轴方位投影
平射正轴方位投影又叫等角方位投影或球面投影。
1.投影条件
视点位于球面上，投影面切于极点。
2.特点
①纬线投影为以极点为圆心的扩大3倍的同心圆，即纬线方向上的长度比大于1。 赤道上的长度变形比原来扩大1倍。
②经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线夹角等于相应的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方向上的长度变形比原来扩大1倍。
③这种投影的误差分布规律是，由投影中心向外逐渐增大。
④经纬线投影后，仍保持正交，所以经纬线方向就是主方向，又因为m = n，即主方向长度比相等，由此可见球面投影完全满足等角投影条件，所以球面投影为等角投影。
⑤没有角度变形，但面积变形较大，在投影边缘面积变形是中心的四倍。
四 正轴等距方位投影
等距正轴方位投影属于非透视投影，它是借助于正轴方位投影的方式，而附加上等距的条件，即投影后经线保持正长，经线上纬距保持相等。
1、经纬网的构成
纬线投影后为同心圆，经线投影为交于纬线同心的直线束，经纬线投影后正交，经纬线方向为主方向。
2、特点
（1）经线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。
（2）纬线投影后扩大，且自投影中心向外，经线扩大的程度是增加的，如当φ=30度时，在纬线方向扩大的程度比原来多21%，当φ=0度时，达57%，面积纬线长度等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。
在此投影中，球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的长半径和纬线方向一致，短半径与经线方向一致，并且等于微圆半径r 又由于自投影中心，纬线扩大的程度越来越大，所以变形椭圆的长半径也越来越长，椭圆就越来越扁了。
等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不等角。
等距正轴方位投影常用来做两极的投影。
五 等积横轴方位投影
在该投影中，投影面切于赤道上，面积没有误差，通过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都是对称于中央经线和赤道的曲线。
其特点是在中央经线上从中心向南向北，纬线间隔是逐渐缩小的，在赤道上，自投影中心向西，向东，经线间隔也是逐渐缩小的。
该投影常用于制东西半球。
六 等积斜轴方位投影
该投影中，投影面切于两极和赤道间的任意一点上，投影的条件是面积保持不变。
在这种投影中，中央经线投影为直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影曲线。其特点是在中央经线上自投影中心向上、向下纬线间隔是逐渐缩小的，若中央经线上的纬线间隔相当，那就是等距斜轴方位投影。若间隔是逐渐增大的，是等角斜轴方位投影。
等积和等距斜轴方位投影，常用作大洲图，水陆半球图，地震图，航空图和导弹发射图。
七 横轴和斜轴方位投影的变形分布规律
横轴和斜轴方位投影的变形大小和分布规律与正轴投影完全一致，在横轴和斜轴投影中，由于投影面的中心点不在地理坐标的极点上，如果仍用地理坐标决定地面点的位置，而将这一点投影到平面上，就变得复杂了。但是如果我们在地球表面上重新建立一种新的坐标系，使新坐标系的极点在投影面的中心点上，这样对于横轴和斜轴投影来说，投影面与新极点的关系，也就和正轴投影的投影面与地理极的关系一样了，这样问题就简单多了，正轴的公式就可以应用到横轴和斜轴投影中去，而只是地面上点的位置用不同的坐标系表示而异。
先介绍建立这种球面坐标系的方法，设在地球球面上选择一点p作为球面坐标系的极。投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大图，命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬线圈，如图，这样等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正轴方位投影时，情况完全一致。
所以无论是正轴方位投影还是横轴方位投影或是斜轴方位投影，他们的误差分布规律是一致的。他们的等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆，所不同的是在横轴和斜轴方位投影中，主方向和等高圈垂直圈一致，而经纬线方向不是主方向。
八 几种方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，其纬线为以中心圆心的同心圆，经线为放于投影心的放射状直线，夹角相等。
横轴投影，赤道与中央经线为垂直的直线，其他经纬线为曲线。
斜轴投影，除中央经线为直线外，其余的经纬线均为曲线。
然后根据中央经线上经纬线图的间隔变化，判别变形性质。
等角方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐缩小，等距方位投影，在中央经线上纬线间隔相等。
如上可判断方位投影的变形性质及推断出投影的名称。
总结：
方位投影的特点是：在投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。
绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，而且分布比较均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此，方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
第五节 圆柱投影
一、圆柱投影的概念和种类
假定以圆柱面作为投影面，把地球体上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影。
当圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和地球体相割时称为割圆柱投影。
由于圆柱和地球体相切相割的位置不同，圆柱投影又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。
正轴圆柱投影——圆柱的轴和地球的地轴一致；横轴圆柱投影——圆柱的轴和地轴垂直并通过地心；斜轴圆柱投影——圆柱的轴通过地心，和地轴不垂直不重合。
在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假定视点在球心，正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是：
1、经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。
2、纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离视投影条件而异。
3、和圆柱面相切的赤道弧长或相隔的两条纬线的弧长为正长无变形。
圆柱投影按变形性质可分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意圆柱投影。
二、等角正轴切圆柱投影（墨卡托投影）
等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。
在墨卡托投影中，赤道投影为正长，纬线投影成和赤道等长的平行线段，即离赤道越远，纬线投影的长度也越大，为了保持等角条件，必须把地图上的每一点的经线方向上的长度比和纬线方向上的长度比相等。所以随着纬线长度比的增加，相应经线方向上的长度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，从赤道向两极，纬线间隔越来越大。
在墨卡托投影中，面积变形最大，如在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来了。
墨卡托投影被广泛应用于航海和航空方面，这是因为等角航线（或称斜航线），在此投影中表现为直线，所谓等角航线，就是地球表面上与经线相交或相同角度的曲线，或者说地球上两点间的一条等方位线，就是说船只要按照等角航向航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。由于经线是收敛于两极的，所以地球表面上的等角航线是除经线和纬线以外，以极点为渐近点的旋转曲线，因墨卡托投影是等角投影，而且经线投影为平行直线，那末两点间的那两条等方位螺旋线在投影中只能是连接该两点的一条直线。
等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。
但是等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线它各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。
远航时，完全沿着等角航线航行，走的是一条较远路线，是不经济的，但船只不必时常改变方向，大圆航线是一条最近的路线，但船只航行时要不断改变方向，如从非洲的好望角到澳大利亚的墨尔本，沿等角航线航行，航程是6020海里，沿大圆航线航行5450海里，二者相差570海里（约1000公里）。
实际上在远洋航行时，一般把大圆航线展绘到墨卡托投影的海图上，然后把大圆航线分成几段，每一段连成直线，就是等角航线。船只航行时，总的情况来说，大致是沿大圆航线航行。因而走的是一条较近路线，但就每一段来说，走的又是等角航线，不用随时改变航向，从而领航十分方便。
三、等距正轴切圆柱投影
1、投影条件
圆柱面切于赤道，故赤道的投影为正长，经线投影后的长度为正长。
2、特点及误差分析
赤道投影后为正长无变形，纬线投影后，均变成于赤道等长的平行线段，因此离赤道越远，纬线投影后产生的误差也就越大，经线投影后为正长，为垂直于纬线的一组平行线，经线方向长度比为1，经线上纬线间隔相等，该投影的主方向就是经纬线方向。
用误差椭圆来分析投影误差规律和特点，误差椭圆的短半径和经线方向一致，且等于球面微圆的半径，长半径和纬线方向一致，且离开赤道越远伸长的就越多，误差越大。面积变形、角度变形是离开赤道逐渐增大的。
3、用作图法绘制等距圆柱投影
等距正轴切圆柱投影的经纬线网可用作图法绘出，绘一横线作为赤道的投影，按主比例尺计算出规定的经差所对应的赤道弧长。按此长度在赤道上截取各经线的交点，过各点做赤道的垂线，根据投影条件，经线按主比例尺计算其投影长度，再在垂线上截取，即得经线投影。按规定的纬差在经线上截取相应的子午线弧长，连接各经线上纬差相等的各点，即为纬线的投影。
当规定的经差和纬差相等时，经纬线网投影呈正方形网格，因此等距正轴切圆柱投影又简称圆柱投影或方格投影。
第六节 圆锥投影
一、圆锥投影的概念和种类
圆锥投影是假定的以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线间开展为平面而成，当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。
按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥投影，但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360度，在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为有圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比但比经差小。
在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线。叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。
在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向两边逐渐增大，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。
构成圆锥投影需确定画纬线的半径ρ和经线间的夹角δ，ρ是纬度的函数用公式表示为ρ=f(ф)。δ 是经差λ的函数。用公式表示为δ=сλ..с对于不同的圆锥投影它是不同的。但对于某一具体的圆锥投影，它的值是相同的。当с=1时，为方位投影，с=0时，为圆柱投影。
圆锥投影按变形性质分为等角等积和等距圆锥投影三种，下面介绍几种具体的圆锥投影。
二、等角圆锥投影
等角圆锥投影的条件是在地图上没有角度变形，w=0为了保持等角条件，每一点经线长度比与纬线长度比相等。m = n。
1.在等角切圆锥投影上，相切的纬线没有变形长度比为1。其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快些。经线为过纬线圆心的一束直线。由于m=n所以在纬线方向上扩大多少，就在经线上扩大多少。这样才能使经纬线方向上的长度比相等。所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐增大的。
2.在等角割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线。长度比为1，没有变形。两条标准纬线之间纬线长度比小于1，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形式离开标准纬线向负的方向增大。两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，离开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的。等角圆锥投影面积变形大
双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。例如“中国地图集”各分省图就是用的这种投影。“世界地图集”大部分分国地图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。此外西方国家出版的许多挂图地图集中已广泛采用等角圆锥投影。
三 等积圆锥投影
等积圆锥投影的条件是地图上面积比不变。
1 在等积切圆锥投影上，相切的纬线没有变形，长度比为1，其他纬线投影后均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形也就越大。所以投影后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大多少倍，那么在经线方向上就的缩小多少。所以在等积切圆锥投影图上，纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐缩小的。
2 等积割圆锥投影中，两条纬线为标准纬线其长度比等于1，两条标准纬线之间，纬线长度比小于1。要保持面积不变因而，经线长度必要相应扩大，所以在两条标准纬线之间，纬线间隔愈向中间就越大。在两条标准纬线之外纬线长度比大于1。要保持等积，经线长度相应的缩小。并且经线方向上缩小的程度和相应纬线上扩大的程度相等。因此在两条标准纬线向外，纬线间是逐渐缩小的。等积圆锥投影上面积没有变形，但角度变形比较大，离开标准纬线越远角度变形也就越大。等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图。及社会经济地图或某些自然图。当制图区域所跨纬度较大时，常采用双双标准纬线等积圆锥投影。如它是绘制我国地图时常采用投影之一，其他国家出版的许多图集也采用该投影。
四 等距圆锥投影
等距圆锥投影的条件是经线投影后保持正长，即经线方向上的长度比是1。没有变形。在标准纬线上也均无变形。除此以外其他纬线均有变形。
1 等距切圆锥投影，从标准纬线向南向北纬线长度比大于1，离开标准纬线越远纬线长度变形、面积变形、角度变形也越大。
2 等距割圆锥投影上，两条标准纬线内纬线长度比小于1，面积变形向负方向增大，两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，面积变形向正方向增加。角度变形离标准线越远变形越大。等距圆锥投影，在面积变形方面比等角圆锥投影要小，在角度变形上比等积圆锥投影要小这种投影图上最明显的特点是：纬线间隔相等。这种投影变形均匀常用于编制各种教学用图和中国大陆交通图。
五 圆锥投影和方位、圆柱投影之间的关系
方位投影和圆柱投影都可看成是圆锥投影的特例，圆锥体的顶角越大就越按近方位投影。当圆锥顶角为180度时，就是方位投影，相反如果圆锥体的顶角小到0度，则圆锥就变成了圆柱。就得到了圆柱投影。圆锥、圆柱和方位投影的经纬线形势虽不相同，但投影变形的规律无论是正轴、横轴和斜轴，变形的形式是相似的。变形的性质都能从纬线投影上的间距表现出来。判别以上投影的性质时，却可根据纬线间距的增大或减小和相等的情况来确定。
总 结： 圆锥投影的特点：纬线是同心圆弧，经线是放射状直线束，经纬线互相垂直，经纬线方向是主方向。等变形线是平行与纬线的同心圆弧，离开标准纬线越远变形越大。
该投影适合绘制中纬度沿东西方向延伸地区的地图。
思考题：
编制中国教学地图为什么多采用等距圆锥投影？
[重要内容提示]
1.方位投影的概念、变形分布规律、适合制图的区位和形状。
2.圆柱投影的概念、变形分布规律、适合制图的区位和形状。
3.圆锥投影的概念、变形分布规律、适合制图的区位和形状。
4.正、横、斜轴方位投影的特点和应用。
5.墨卡托投影的特点和应用。
5.正轴圆锥投影的特点和应用。
[思考题]
见教材85页。
[第三讲 2学时]
第七节 其他投影
一 多圆锥投影
1 概念
在切圆锥投影中，离开标准纬线越远，变形越大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边远未显出产生相当大的变形，因此采用双标准纬线圆锥投影比单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线则变形会更小些多圆锥投影就是由这样的设想建立的。假设有许多圆锥与球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影与这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥间开展平并在中央经线上排接起来就得到了所谓多圆锥投影。在多圆锥投影中，由圆锥顶点不是一个所以纬线投影未同轴圆弧。圆心在中央经线上，中央经线投影为直线。其他经线投影为对称中央经线的曲线。由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它经常用于编制世界地图。
2普通多圆锥投影
普通多圆锥投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于1外，其余经线长度比均大于1，这个投影在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线离开中央经线越远变形越大，这个投影适于做南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影做美国海岸附近地区的地图。普通多圆锥投影的另一个用途就是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的投影图贴在预制的球胎上，就是一个地球仪。
3. 国际百万分之一地图投影
它是由普通多圆锥改良成的。过去长时期国际上用它编制百万分之一的分幅地图，这是1909年伦敦国际地理学会议决定的，故又名国际百万分之一地图投影。
国际百万分之一地图具体规定是在纬度0-60范围内按纬差4度经差6度分幅；在经度60-76度范围内按纬差4度经差12度分幅；在纬度76-88度范围内按纬差4度经差24度分幅；每幅单独投影，每幅的南北两条边纬线是同轴圆弧其圆心位于中央经线上，将这两条纬线按经差1度等分。过相应分点连成的直线即为各条经线。其他纬线是4等分各经线后，将相应分点连成的平滑曲线，经纬网的密度为1度。这种投影南北两条边纬线长度比等于1，其余纬线长度比均小于1。此中央纬线长度比为最小。在安经差6度的分幅中，距中央经线经差为正负2度，在按经差12度的分幅中距中央经线经差为正负4度，在按经差24度的分幅中，距中央经线经差为正负8度的经线长度比等于1。中央经线长度比小于1，边缘经线长度比大于1，这种投影按变形性质来说属于任意投影，由于每一幅图包括的范围不大，因而变形很小。在我国范围内长度变形不超过0.06%，面积变形不超过0.12%角度最大变形不超过5分。故总的来说，这种投影精度还是很高的，但因他不具有等角条件故现被等角圆锥投影所取代。
4.等差分纬线多圆锥投影
这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。是我国编制“世界地图”常用的一种投影。
这种投影的特点是赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线是对称于赤道的圆轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线每一条纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩小按等差递减。在中央经线上纬线的间隔中间一两边也缩小，极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。
这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10%以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部，中央经线纬线度44度。交点处没有角度变形我国境内绝大部分地区的角度变形最大在10度以内，少数地区在13度左右，我国位于地图的中央部位，图形较正确图形上太平洋保持完整，利于显示我国与邻近国家的水陆联系，地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。
二、伪圆柱投影
伪圆柱投影是在圆柱投影经纬线形状的基础上，规定其纬线投影的形状与圆柱投影相似即纬线为平行直线，但经线则不同除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的纬线。经线的形状自是任意曲线。但通常选择为正弦曲线或椭圆曲线。按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影。因为投影后经纬线不正交。只有等积和任意投影两种。下面分别介绍几个伪圆柱投影。
1.桑生投影
它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于1650年所创。纬线为间隔相等的平行线经线为对称与中央经线的正弦曲线，在每一条纬线上经线间隔相等。这种投影的所有纬线长度比均等于1。纬线长度无变形，中央经线长度比等于1，其他经线长度比均大于1，而且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经线是两条没有变形的线离开这两条线变形越大。所以这两种投影适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。
2.摩尔魏特投影
是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由德国人摩尔魏特于1805年设计而得名。纬线为间隔不等的平行线，在中央经线上从赤道向南、北纬线间隔逐渐缩小，中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负90度的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半。在赤道上经线间隔相等。在这种投影上没有面积变形。长度和角度都有变形赤道长度比等于0.9，中央经线和南北纬40度的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐渐增大，在国外出版的一些地图中，这种投影常用在地图集和地理课本的封面上，英国1962年出版的飞利浦世界地图集中的世界地图采用这种投影。
2.古德投影
从伪圆柱投影的变形情况来看离中央经线越远变形越大，为了减小远离中央经线部分的变形增大，美国地理学家古德于1923年提出了一种方瓣方法，就是在地图上几个主要制图区域的中央都定一条中央经线，将地图分为几个部分，按同一主比例尺及统一的经纬差展绘地图，然后沿赤道拼接起来，这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。这种分瓣方法可用以上两种投影及其它伪圆投影。如适用于世界地图摩尔魏特——古德的投影，为了摆正大陆的完态性，则在海洋部分断裂，古德分瓣方法如下：北美洲，中央经线为西经100度。南美洲中央经线为西经60度。非洲中央经线东经20度。澳大利亚中央经线为东经150度，如果为了完态的表示海洋则可在大陆部分断开。
在国外出版的世界地图集中的世界地图经常采用这种投影，如美国出版的古德世界地图集中的世界各种自然地图，大多采用古德投影。
三、伪圆锥投影
伪圆锥投影是对圆锥投影的经纬线形状加以改变而成的。纬线形状类似圆锥投影为同心圆弧，圆心位于中央经线上，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。按投影的变形性质，伪圆锥投影没有等角投影，因为这种经纬线不直交，伪圆锥投影只有等积投影和任意投影，最常用的是等积伪圆锥投影。
下面介绍介绍等积伪圆锥投影。它是由法国水利工程师彭纳于1952年首先提出并应用于法国地形图而得名。彭纳投影的纬线为同心圆弧，其长度比等于1，中央经线为直线其长度比等于1，其他经线为对称于中央经线的曲线。在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等，中央经线与所有的纬线正交，中央纬线与所有的经线正交。彭纳投影没有面积变形，中央经线和中纬线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。
彭纳投影主要用于编制小比例尺的大洲图。
第八节 地图投影的辨认和选择
一、地图投影的辨认
地图投影是地图的数学基础，它直接影响地图的使用，地图是地理工作者不可缺少的工具，有很多地理知识是从地图上获得的，如果在使用地图时不了解投影的特性往往会得出错误的结论。例如：在小比例尺等角或等积投影图上式算距离，在等角投影图上对比不同地区的面积以及在等积投影图上观察各地区的形状特征等都会得出错误结论。目前国内外出版的地图，大部分都注明投影的名称。有的还附有有关投影的资料，这对于使用地图当然是很方便的。但是也有一些地图没注明投影的名称和有关说明。因此，需要我们运用有关地图投影的知识来判别投影。地图投影的辨认，主要是对小比例尺地图而言，大比例持往往是属于国家地形图系列，投影资料一般易于查知。另外由于大比例尺地图包括的地区范围小，不管采用什么投影，变形都是很小的，使用时可忽略不计。地图投影的辨认是一项比较复杂的工作，有时比计算一个具体投影还要困难，同时，也不是所有的投影都能采用辨别的方法。但辨认一般的常用投影并不是很困难的通常按下列步骤进行辨认。
1.根据地图上经纬线的形状确定投影类型。
首先对地图经纬线网作一般观察，应用所学过的各类投影的特点确定其投影是属于哪一类型，如方位、圆柱、圆锥还是伪圆锥、伪圆柱投影等。判别经纬线形状的方法如下：
直线只要用直尺比量便可确认，判断曲线是否为圆弧可将透明纸覆盖在曲线之上，在透明纸上沿曲线按一定间隔定出三个以上的点，然后沿曲线移动透明纸，使这些点位于曲线的不同位置，如这些点处处都与曲线吻合，则证明曲线是圆弧，否则就是其他曲线。判别同心圆弧与同轴圆弧，则可以量测相邻圆弧间的垂线距离，若处处相等则为同心圆弧，否则是同轴圆弧。正轴投影是最容易判断的，如纬线是同心圆，经线是交于同心圆的直线束，肯定是方位投影，如果经纬线都是平行直线，则是圆柱投影，若纬线是同心圆弧，经线是放射状直线，则是圆锥投影。
2.根据图上量测的经纬线长度的数值确定其变形性质。
当已确定投影的种类后，为了进一步判定投影性质，量测和分析纬线间距的变化就能判定出投影的性质。如确定为圆锥投影，那么只需量出一条经线上纬线间隔从投影中心向南北方向的变化就可以判别变形性质，如果相等，则为等距投影；逐渐扩大为等角投影，逐渐缩短为等积投影。如果中间缩小南北两变变大的为等角割圆锥投影；中间变大而两边逐渐变小为等积割圆锥投影。有些投影的变化性质从经纬线网形状上分析就能看出，例如，经纬线不成直角相交，肯定不会是等角性质；在同一条纬度带内，经差相同的各个梯形面积，如果差别较大当然不可能是等积投影；在一条直经线上检查相同纬差的各段经线长度若不相等，肯定不是等距投影。当然这只是问题的一个方面，同时还必须考虑其他条件。如等角投影经纬线一定是正交的，但经纬线正交的投影不一定都是等角的。因此要把判别经纬网形状和必要的量算工作结合起来。熟悉常用地图投影的经纬线形状特征，掌握这些资料，将大大的有助于辨认各种投影。
二、地图投影的选择
无论是编绘地图还是使用地图，对地图投影的选择是非常重要的。这里所讲的地图投影选择，主要是指中小比例尺地图，不包括国家基本比例尺地图。在选择地图投影时，受到许多地图因素的影响，这就需要正确处理好主要矛盾和次要矛盾的关系，一般的讲，在选择投影时，需要考虑如下几个条件：
1.制图区域的地理位置、形状和范围
制图区域的位置、形状、大小都直接影响地图投影的选择，任何一幅地图都希望变形减小到最小程度，这就要求投影的等变形线基本符合制图区域的轮廓，以保证制图中心地区和靠近中心的地区变形较小。例如制图区域是圆形或两极地区和东、西半球图多采用方位投影；南北延伸的国家，如智利，易采用横轴圆柱投影或多圆锥投影；东西延伸且位于中纬度地区的国家，如中国，采用正轴圆锥投影。赤道附近的东西延伸国家易采用正轴圆柱投影。
2. 制图比例尺
不同比例尺地图对精度的要求不同，导致选择也不相同。
3.地图内容
地图内容不同对地图投影要求也不一样。例如经济图一般多采用等积投影，因为等积投影能进行地面要素面积的正确对比，从而有利于掌握经济要素的分布情况，如分布图、人口图、地质图、土壤图等多采用等积投影。航海图、航空图、军用图、气象图等多采用等角投影。因为等角投影能正确的表示方向，如风、洋流等。并且在小范围内保持图形和实地相似。
4.地图的出版方式
对于单幅地图来说，选择投影就比较简单，但如果它是地图集中的或一组图中的一幅，就需要考虑它和其余地图的相互关系，使他们比较协调一致。例如同一地区的一组自然地图可用同一投影，地图集中的各分幅地图最好用同一系统或同类性质的地图投影。
5. 地图的用途
地图的用途不一样对投影的要求也不同。如航海图，航空图方向正确，多采用等角投影。如航海图多采用墨卡托投影。教学挂图常要求图上各种变形都不太大，因此多采用任意投影。在教学图中也因对象不同投影的选择也不一样，例如对中小学生来说，为了给学生较完态的地理概念，一般不采用分瓣投影方案，对于大学生来讲，应提高地图的精度，尽量减小投影变形以便于图上量算和比较。
第九节 地图比例尺的含义和表示
由于地图投影的原因会造成地图上各处的缩小比例不一致性，因此，进行地图投影时，应考虑地图投影对地图比例尺的影响。电子地图出现后传统的比例尺概念发生新变化，在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概括程度、数据精度等都与比例尺密切相关，而在计算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比例尺的特征。
一、地图比例尺的含义。
当制图区域比较小，景物缩小的比例也比较小时，由于采用了各方面变形都比较小的地图投影，因此，图面上各处长度缩小的比例都可以看成是相等的。在这种情况下，地图比例尺的含义，具体指的是图上长度与相应地面之间的长度比例。
当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比例尺含义，其实质指的是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，通常称之为地图主比例尺。地图经过投影后，体现在地图上只有个别的点或线才没有长度变形。换句话说，只有在这些没有变形的点或线上，才可以用地图上注明的主比例尺进行量算。
二、地图比例尺的表示
1.比例尺的表示
传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式：数字式比例尺、文字式比例尺、图解式比例尺。
（1）数字式比例尺
（2）文字式比例尺
（3）图解比例尺可分为直线比例尺、斜分比例尺和复式比例尺。
直线比例尺，是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的地面距离。
斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。
斜分比例尺是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜线，横分划及其注记与直线比例尺相同。使用该比例尺时，先在图上用量角规卡出欲量线段的长度，然后再到复合比例尺上去比量。比量时应注意：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加0.01基本单位；量角规的两脚务必位于同一水平线上。
复式比例尺，又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。
2.特殊比例尺
（1）变比例尺
当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。
（2）无级别比例尺
是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体积等数据，并且根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大这些数据，因此没有必要将地图数据固定在某一比例尺上。
[重要内容提示]
1.多圆锥投影的概念
2.普通多圆锥投影、等差分纬线投影、桑逊投影、彭纳投影的特点和应用
3.地图投影判别的方法
4.地图投影的选择依据
5.地图比例尺的含义变化、表现形式和特殊比例尺
[思考题]
见教材85页
[地图投影实习 3学时]
实习 地图投影的判别
一、目的
辨认各类地图投影是为了了解地图投影的变形性质和分布特点，以便于正确使用地图。通过实习学会判别地图投影的方法。
二、用具
地图集、两脚规、直尺、钱币。
三、要求
从地图集中选择一些常见的地图投影加以辨认，具体包括世界图、东西半球、南北半球、大洲图和一些分国图。要求将辨认的结果填入记录表格内。
四、实习内容
世界地图集
页码 图幅名称 投影名称（答案）
1 世界地形 等积横轴方位投影
2 世界政区图 等差分纬线多圆锥投影
3 世界交通 墨卡托投影
5 亚洲地形 彭纳投影
23 印度尼西亚 等距正轴圆柱投影
62 亚洲政区 彭纳投影
66 北美洲地形 等积斜轴方位投影
85 北冰洋南极洲 等距正轴方位投影
88 苏联西部 等角圆锥投影
