二,线性规划的图解法
－－－解的几何表示
1,什麽是图解法？
线性规划的图解法就是用几何作图的
方法分析并求出其最优解的过程 。
求解的思路是,先 将约束条件加以图
解, 求得满足约束条件的解的集合 （ 即可
行域 ）, 然后 结合目标函数的要求从可行
域中找出最优解 。
2,图解法举例
实施图解法，以求出 最优 生产计划 （ 最优解 ）。
例 1－ 1 maxZ=2x1+3x2
1 / 3x + 1 / 3x 1
1 / 3x + 4 / 3x 3
x,x 0
1 2
1 2
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
s.t.
由于线性规划模型中只有两个决策
变量，因此只需建立平面直角坐标系就
可以进行图解了。
?第一步,建立平面直角坐标系, 标出 坐标
原点,坐标轴的指向 和 单位长度 。
用 x1轴表示产品 A的产量, 用 x2轴表示
产品 B的产量 。
? 第二步,对约束条件加以图解。
? 第三步,画出目标函数等值线，结合目标
函数的要求求出最优解－－最优生产方案。
约束条件的图解,
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都
代表一个半平面，只要 先画出该半平面的边
界,然后 确定是哪个半平面 。
以第一个约束条件
1/3 x1+1/3 x2 ?1 为例
说明约束条件的图解过程。
怎麽画边界 怎麽确定
半平面
如果全部的劳动工时都用来生产 A 产品而不生产
B产品, 那么 A产品的最大可能产量为 3吨, 计算过
程为,1/3x1+1/3× 0?1 ?x1?3
这个结果对应着右图中的点 A(3,0),同样我们可
以找到 B产品最大可能生产量对应的点 B(0,3)。 连接
A,B两点得到约束
1/3 x1+1/3 x2 ?1
所代表的半平面
的边界,
1/3 x1+1/3 x2 ＝ 1，
即直线 AB。
X
2
5 –
4 –
l
1
3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x
1
+ ( 4 / 3 ) x
2
= 3
l
2
1 C
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 x 1
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
两个约束条件
及非负条件 x1,x2?0所代表的公共部分
－－图中阴影区，就是满足所有约束条件
和非负条件的点的集合，即 可行域 。在这
个区域中的每一个点都对应着一个可行的
生产方案。
第二个约束条件
的边界－－
直线 CD:
1/3x1+4/3 x2 =3
5 –
4 –
l 1 3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x 1 + ( 4 / 3 ) x 2 = 3
l
2
1 –
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 C
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
令 Z=2x1+3x2=c,其中 c为任选的一个常数, 在图中
画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可
行的生产方案, 即使两种产品的总利润达到 c。
这样的直线有无数条, 而且相互平行, 称这样的直线
为 目标函数等值线 。 只要 画出 两条目标函数等值线,
比如令 c＝ 0和 c=6,就能看出
目标函数值递增的方向,
用 箭头标出 这个方向 。
图中两条虚线 l1和 l2就
分别代表 目标函数等值线
2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向 。
X
2
5 –
4 –
l
1
3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x
1
+ ( 4 / 3 ) x
2
= 3
l
2
1 – x 1
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 C
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
沿着箭头 的方向 平移 目标函数等值线，使其 达到
可行域中的最远点 E,E点就是要求的最优点，它对应
的相应坐标 x1=1,x2=2 就是最有利的产品组合，即生
产 A产品 1吨,B产品 2吨能使两种产品的总利润达到
最大值 Zmax=2?1+3?2=8（千元）,x1=1,x2=2就是线
性规划模型的 最优解, Zmax=8就是相应的目标函数
最优值 。
5 –
4 –
l 1 3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x 1 + ( 4 / 3 ) x 2 = 3
l 2 1 –
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 C
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中
给出, 但是在大多数情况下, 对实际问题精
确地看出一个解答是比较困难的 。 所以, 通
常总是 用解联立方程的方法求出最优解的精
确值 。
比如 E点对应的坐标值我们可以通过求
解下面的联立方程, 即求直线 AB和 CD的交
点来求得 。
直线 AB,1/3x1+1/3x2=1
直线 CD,1/3x1+4/3x2=3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
5
4
3
2
1
x2
M ax Z = 2 x 1 + 3 x 2
s t.,
1 / 3 x + 1 / 3 x 1
1 / 3x + 4 / 3 x 3
x,x 0
1 2
1 2
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 3,0）
C=6
（ 9,0）
（ 0, 9/4 ） E（ 1,2）
C=0
（ 0,3）
对偶规划
顺便提及，每一个线性规划都有一个
“影像”（一个伴生的线性规划），称之为
线性规划的 对偶规划 。当建立一个线性规划
并达到最优目标值时，同时也就解出了对偶
规划并达到了另一个不同意义的目标。
如例 1-1是寻求一个生产计划方案，使得
在劳动力和原材料可能供应的范围内，产品
的总利润最大，它的对偶问题就是一个价格
系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成
本后，所确定的价格系统最具有竞争力。
例 1-1的对偶规划如下,
M i n W = y 1 + 3 y 2
s, t
1 / 3y + 1 / 3y 2
1 / 3y + 4 / 3y 3
y,y 0
1 2
1 2
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
它的图解见右图 。 其中 L1和 L2分别为两个
约束半平面的边界, 虚线为目标函数等值线,
可行域为图中阴影部分, 沿着与箭头 （ 目标函
数值递增的方向 ） 相反的方向 平移目标函数等
值线 （ 注意：对偶规划中
要求对目标函数极小化 ）
得 最优点为 A,
其 对应坐标为 y1=5,y2=1
其经济意义,对包工工时及原材料的单位定
价 （ 影子价格 ）, 若工厂自己不生产产品 A和 B，
将现有的工时及原材料转而接受外来加工时, 那
么 上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力
（ 包工及原材料的总价格最低 ） 。 可以看到, 当
原问题和对偶问题都取得最优解时, 这对线性规
划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin=8
考察原问题和对偶问题的解, 给作决策的管
理者另一个自由度, 比如除了研究怎样利用已有
的资源以取得最大利润的同时, 还可以 进一步探
讨 怎样通过增加更多的资源或使用不同类型的资
源来增加利润 。
将例 1-1稍作改动形成案例 1，仍使用图解法来求解。
（案例 1）某工厂生产 A,B,C三种产品，
每吨的利润分别为 2000元,3000元,1000元，
生产单位产品所需的工时及原材料如表 1－ 2所
示。若供应的原材料每天不超过 3吨，所能利
用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生
产计划，使三种产品的总利润最大？
表 1 － 2 生产单位产品所需的工时及原材料表
生产每吨产品所需资源 产 品
A B C
所需工时占总工时比例 1 / 3 1 / 3 1 / 3
所需原材料（吨） 1 / 3 4 / 3 7 / 3
M ax Z = 2 x 1 + 3 x 2 +x 3
s,t
1 / 3x + 1 / 3x + 1 / 3x 1
1 / 3x + 4 / 3x + 7 / 3x 3
x,x,x 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
?
?
?
?
?
?
?
?
设三种产品的产量分别是 x1,x2、
x3吨，由于有三个决策变量，用图解
法求解下面的线性规划时，必须首先
建立空间直角坐标系。
B点对应着该线性规划的
最优解：
X*=(1,2,0)T
即 x1=1 （ 产品 A的产量 ）
x2=2 （ 产品 B的产量 ）
x3=0 （ 产品 C的产量 ）
此时可得产品最大总利润为：
Zmax=8
由右图可知，可行域为凸五面体
OABCDE,粗虚线所围平面为目标函数等值面
，平移目标函数等值面得最优点为 B点 。
结 论
从上面用图解法求解案例 1的过程中明
显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进
行图解就麻烦得多了 。 因此, 尽管图解法具
有简单, 直观的优点, 但它的使用是有局限
性的, 对仅含有两个至多不超过三个决策变
量的线性规划才适于使用图解法, 大多数情
况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使
用图解法求解, 而对含有三个及三个以上决
策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的
通用算法－－单纯形法 来进行求解, 这将在
§ 1-3节加以介绍 。
例 1-1和案例 1所描述的都是有
唯一最优解且可行域是一个非空
有界区域的情况 。 实际上, 可行
域不仅仅只有这一种可能, 解的
情况也是各种各样的 。
讨论
用图解法求解线性规划的各种可能的结果
无穷多个最优解
例 1 － 2 m ax Z = x 1 + x 2
s, t
1 / 3x + 1 / 3x 1
1 / 3x + 4 / 3x 3
x,x 0
1 2
1 2
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
该线性规划的可行域为上图中四边形
OAED（ 即阴影 区 ）, 虚线为目标函数等值
线, 箭头为目标函数值 递增的方向 。 沿着箭
头的方向平移目标函数等值线, 发现 平移的
最终 结果是目标函数等值线将与可行域的一
条边界－ －线段 AE重合, 这个结果表明, 该
线性规划有 无穷多个最优解 －－ 线段 AE上
的所有点都是最优点, 它们都使目标函数 取
得相同的最大值 Zmax=3。
唯一最优解
例 1-3 将例 1-1中目标要求改为极小化，
目标函数和约束条件均不变，则可行域与
例 1-1相 同，目标函数等值线也完全相同，
只是在 求最优解 时，应沿着 与箭头相反的
方向 平移 目标函数等值线,求得的结果是
有 唯一最优解 x1=0,x2=0,对应着图 1-6中的
坐标原点。
无界解
例 1 - 4 m a x Z = x 1 + 2 x 2
s, t
- 2x + x 1
x,x 0
1 2
1 2
?
?
?
?
?
本例中的可行域是一个无界区域,
如图中阴影区所示 。 虚线为目函数
等值线, 沿着箭头所指的方向平移可
以使目标函数值无限制地增大, 因此
找不到最优解 。 这种情况通常称为 无, 有限最优解,
或, 最优解无界, 。 如果一个实际问题抽象成像例 1－ 4这样
的线性规划模型, 比如是一个生产计划问题, 其经济含义就是
某些资源是无限的, 产品的产量可以无限大, 解释不合理 。 此
时应重新检查和修改模型, 否则就没有实际意义 。
注意, 对于无界可行域的情况, 也可能有唯一最优解或无穷
多个最优解 。 比如目标要求为 minZ=x1+2x2或 maxZ=－ 2x1+x2，
而约束条件不变的例子 。
x1
x2
综上，用图解法求解线性规划时,各种
求解结果与各种类型的可行域之间的对应
关系 可以用下图加以描述：
解的类型 可行域类型
唯一最优解
无穷多个最优解 非空有界
最优解无界 无界
（无“有限最优解”）
无解 空集
（不存在可行域）
课堂练习 1-2,用图解法求解下面的线性规划
?
?
?
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?
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?
??
???
??
??
0,
2
22
4
..
52
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
xxM a x Z
按小组分工完成,① 画约束条件 1； ③ 画约束条件 2； ⑤
画约束条件 3； ⑦ 标明可行域； ⑨ 目标函数等值线； ⑾
说明如何得到最优解, 算出相应的目标函数最优值 。
其他 6个小组对应讲评 。
4、用图解法求解线性规划时需特别注意：
第一, 线性规划的可行域一定是凸多边形
或凸多面体, 所以下图中 所示
阴影区不可能是某个线性规划的可行域,
而 所示阴影区则有可能 。
第二,目标函数 Z=ax1+bx2的值递增的方
向与系数 a,b有关
下图表示目标函数值递增方向与其系数
a,b的关系，其中箭头所指为目标函数值
递增的方向。
a <0, b>0 b a>0, b>0
a
a <0, b <0 a>0, b <0
图解法小结
?使用条件,仅有两个至多不超过三个决
策变量的线性规划 。
?基本步骤,
?第一步 － －建立平面直角坐标系；
?第二步 －－根据约束条件和非负条件画出
可行域 。
?第三步 －－作出目标函数等值线 （ 至少两
条 ）, 结合目标函数优化要求, 平移目
标函数等值线求出最优解 。
?图解法的优缺点, 简单, 直观但有局
限性 。
第一次作业 ——
P69 习题 1,1-2； P701-3
交作业时间：
下周周二 （ 9月 17日 ）
按小组交
－－－解的几何表示
1,什麽是图解法？
线性规划的图解法就是用几何作图的
方法分析并求出其最优解的过程 。
求解的思路是,先 将约束条件加以图
解, 求得满足约束条件的解的集合 （ 即可
行域 ）, 然后 结合目标函数的要求从可行
域中找出最优解 。
2,图解法举例
实施图解法，以求出 最优 生产计划 （ 最优解 ）。
例 1－ 1 maxZ=2x1+3x2
1 / 3x + 1 / 3x 1
1 / 3x + 4 / 3x 3
x,x 0
1 2
1 2
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
s.t.
由于线性规划模型中只有两个决策
变量，因此只需建立平面直角坐标系就
可以进行图解了。
?第一步,建立平面直角坐标系, 标出 坐标
原点,坐标轴的指向 和 单位长度 。
用 x1轴表示产品 A的产量, 用 x2轴表示
产品 B的产量 。
? 第二步,对约束条件加以图解。
? 第三步,画出目标函数等值线，结合目标
函数的要求求出最优解－－最优生产方案。
约束条件的图解,
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都
代表一个半平面，只要 先画出该半平面的边
界,然后 确定是哪个半平面 。
以第一个约束条件
1/3 x1+1/3 x2 ?1 为例
说明约束条件的图解过程。
怎麽画边界 怎麽确定
半平面
如果全部的劳动工时都用来生产 A 产品而不生产
B产品, 那么 A产品的最大可能产量为 3吨, 计算过
程为,1/3x1+1/3× 0?1 ?x1?3
这个结果对应着右图中的点 A(3,0),同样我们可
以找到 B产品最大可能生产量对应的点 B(0,3)。 连接
A,B两点得到约束
1/3 x1+1/3 x2 ?1
所代表的半平面
的边界,
1/3 x1+1/3 x2 ＝ 1，
即直线 AB。
X
2
5 –
4 –
l
1
3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x
1
+ ( 4 / 3 ) x
2
= 3
l
2
1 C
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 x 1
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
两个约束条件
及非负条件 x1,x2?0所代表的公共部分
－－图中阴影区，就是满足所有约束条件
和非负条件的点的集合，即 可行域 。在这
个区域中的每一个点都对应着一个可行的
生产方案。
第二个约束条件
的边界－－
直线 CD:
1/3x1+4/3 x2 =3
5 –
4 –
l 1 3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x 1 + ( 4 / 3 ) x 2 = 3
l
2
1 –
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 C
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
令 Z=2x1+3x2=c,其中 c为任选的一个常数, 在图中
画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可
行的生产方案, 即使两种产品的总利润达到 c。
这样的直线有无数条, 而且相互平行, 称这样的直线
为 目标函数等值线 。 只要 画出 两条目标函数等值线,
比如令 c＝ 0和 c=6,就能看出
目标函数值递增的方向,
用 箭头标出 这个方向 。
图中两条虚线 l1和 l2就
分别代表 目标函数等值线
2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向 。
X
2
5 –
4 –
l
1
3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x
1
+ ( 4 / 3 ) x
2
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2
1 – x 1
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 C
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
沿着箭头 的方向 平移 目标函数等值线，使其 达到
可行域中的最远点 E,E点就是要求的最优点，它对应
的相应坐标 x1=1,x2=2 就是最有利的产品组合，即生
产 A产品 1吨,B产品 2吨能使两种产品的总利润达到
最大值 Zmax=2?1+3?2=8（千元）,x1=1,x2=2就是线
性规划模型的 最优解, Zmax=8就是相应的目标函数
最优值 。
5 –
4 –
l 1 3 B E
2 D （ 1 / 3 ） x 1 + ( 4 / 3 ) x 2 = 3
l 2 1 –
0 1 〡 2 〡 3 A 4 〡 5 〡 6 〡 7 〡 8 〡 9 〡 C
(1/3) x 1 +(1/3)x 2 =1
最优点
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中
给出, 但是在大多数情况下, 对实际问题精
确地看出一个解答是比较困难的 。 所以, 通
常总是 用解联立方程的方法求出最优解的精
确值 。
比如 E点对应的坐标值我们可以通过求
解下面的联立方程, 即求直线 AB和 CD的交
点来求得 。
直线 AB,1/3x1+1/3x2=1
直线 CD,1/3x1+4/3x2=3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
5
4
3
2
1
x2
M ax Z = 2 x 1 + 3 x 2
s t.,
1 / 3 x + 1 / 3 x 1
1 / 3x + 4 / 3 x 3
x,x 0
1 2
1 2
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（ 3,0）
C=6
（ 9,0）
（ 0, 9/4 ） E（ 1,2）
C=0
（ 0,3）
对偶规划
顺便提及，每一个线性规划都有一个
“影像”（一个伴生的线性规划），称之为
线性规划的 对偶规划 。当建立一个线性规划
并达到最优目标值时，同时也就解出了对偶
规划并达到了另一个不同意义的目标。
如例 1-1是寻求一个生产计划方案，使得
在劳动力和原材料可能供应的范围内，产品
的总利润最大，它的对偶问题就是一个价格
系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成
本后，所确定的价格系统最具有竞争力。
例 1-1的对偶规划如下,
M i n W = y 1 + 3 y 2
s, t
1 / 3y + 1 / 3y 2
1 / 3y + 4 / 3y 3
y,y 0
1 2
1 2
1 2
?
?
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它的图解见右图 。 其中 L1和 L2分别为两个
约束半平面的边界, 虚线为目标函数等值线,
可行域为图中阴影部分, 沿着与箭头 （ 目标函
数值递增的方向 ） 相反的方向 平移目标函数等
值线 （ 注意：对偶规划中
要求对目标函数极小化 ）
得 最优点为 A,
其 对应坐标为 y1=5,y2=1
其经济意义,对包工工时及原材料的单位定
价 （ 影子价格 ）, 若工厂自己不生产产品 A和 B，
将现有的工时及原材料转而接受外来加工时, 那
么 上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力
（ 包工及原材料的总价格最低 ） 。 可以看到, 当
原问题和对偶问题都取得最优解时, 这对线性规
划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin=8
考察原问题和对偶问题的解, 给作决策的管
理者另一个自由度, 比如除了研究怎样利用已有
的资源以取得最大利润的同时, 还可以 进一步探
讨 怎样通过增加更多的资源或使用不同类型的资
源来增加利润 。
将例 1-1稍作改动形成案例 1，仍使用图解法来求解。
（案例 1）某工厂生产 A,B,C三种产品，
每吨的利润分别为 2000元,3000元,1000元，
生产单位产品所需的工时及原材料如表 1－ 2所
示。若供应的原材料每天不超过 3吨，所能利
用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生
产计划，使三种产品的总利润最大？
表 1 － 2 生产单位产品所需的工时及原材料表
生产每吨产品所需资源 产 品
A B C
所需工时占总工时比例 1 / 3 1 / 3 1 / 3
所需原材料（吨） 1 / 3 4 / 3 7 / 3
M ax Z = 2 x 1 + 3 x 2 +x 3
s,t
1 / 3x + 1 / 3x + 1 / 3x 1
1 / 3x + 4 / 3x + 7 / 3x 3
x,x,x 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
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设三种产品的产量分别是 x1,x2、
x3吨，由于有三个决策变量，用图解
法求解下面的线性规划时，必须首先
建立空间直角坐标系。
B点对应着该线性规划的
最优解：
X*=(1,2,0)T
即 x1=1 （ 产品 A的产量 ）
x2=2 （ 产品 B的产量 ）
x3=0 （ 产品 C的产量 ）
此时可得产品最大总利润为：
Zmax=8
由右图可知，可行域为凸五面体
OABCDE,粗虚线所围平面为目标函数等值面
，平移目标函数等值面得最优点为 B点 。
结 论
从上面用图解法求解案例 1的过程中明
显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进
行图解就麻烦得多了 。 因此, 尽管图解法具
有简单, 直观的优点, 但它的使用是有局限
性的, 对仅含有两个至多不超过三个决策变
量的线性规划才适于使用图解法, 大多数情
况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使
用图解法求解, 而对含有三个及三个以上决
策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的
通用算法－－单纯形法 来进行求解, 这将在
§ 1-3节加以介绍 。
例 1-1和案例 1所描述的都是有
唯一最优解且可行域是一个非空
有界区域的情况 。 实际上, 可行
域不仅仅只有这一种可能, 解的
情况也是各种各样的 。
讨论
用图解法求解线性规划的各种可能的结果
无穷多个最优解
例 1 － 2 m ax Z = x 1 + x 2
s, t
1 / 3x + 1 / 3x 1
1 / 3x + 4 / 3x 3
x,x 0
1 2
1 2
1 2
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?
该线性规划的可行域为上图中四边形
OAED（ 即阴影 区 ）, 虚线为目标函数等值
线, 箭头为目标函数值 递增的方向 。 沿着箭
头的方向平移目标函数等值线, 发现 平移的
最终 结果是目标函数等值线将与可行域的一
条边界－ －线段 AE重合, 这个结果表明, 该
线性规划有 无穷多个最优解 －－ 线段 AE上
的所有点都是最优点, 它们都使目标函数 取
得相同的最大值 Zmax=3。
唯一最优解
例 1-3 将例 1-1中目标要求改为极小化，
目标函数和约束条件均不变，则可行域与
例 1-1相 同，目标函数等值线也完全相同，
只是在 求最优解 时，应沿着 与箭头相反的
方向 平移 目标函数等值线,求得的结果是
有 唯一最优解 x1=0,x2=0,对应着图 1-6中的
坐标原点。
无界解
例 1 - 4 m a x Z = x 1 + 2 x 2
s, t
- 2x + x 1
x,x 0
1 2
1 2
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本例中的可行域是一个无界区域,
如图中阴影区所示 。 虚线为目函数
等值线, 沿着箭头所指的方向平移可
以使目标函数值无限制地增大, 因此
找不到最优解 。 这种情况通常称为 无, 有限最优解,
或, 最优解无界, 。 如果一个实际问题抽象成像例 1－ 4这样
的线性规划模型, 比如是一个生产计划问题, 其经济含义就是
某些资源是无限的, 产品的产量可以无限大, 解释不合理 。 此
时应重新检查和修改模型, 否则就没有实际意义 。
注意, 对于无界可行域的情况, 也可能有唯一最优解或无穷
多个最优解 。 比如目标要求为 minZ=x1+2x2或 maxZ=－ 2x1+x2，
而约束条件不变的例子 。
x1
x2
综上，用图解法求解线性规划时,各种
求解结果与各种类型的可行域之间的对应
关系 可以用下图加以描述：
解的类型 可行域类型
唯一最优解
无穷多个最优解 非空有界
最优解无界 无界
（无“有限最优解”）
无解 空集
（不存在可行域）
课堂练习 1-2,用图解法求解下面的线性规划
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
0,
2
22
4
..
52
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
xxM a x Z
按小组分工完成,① 画约束条件 1； ③ 画约束条件 2； ⑤
画约束条件 3； ⑦ 标明可行域； ⑨ 目标函数等值线； ⑾
说明如何得到最优解, 算出相应的目标函数最优值 。
其他 6个小组对应讲评 。
4、用图解法求解线性规划时需特别注意：
第一, 线性规划的可行域一定是凸多边形
或凸多面体, 所以下图中 所示
阴影区不可能是某个线性规划的可行域,
而 所示阴影区则有可能 。
第二,目标函数 Z=ax1+bx2的值递增的方
向与系数 a,b有关
下图表示目标函数值递增方向与其系数
a,b的关系，其中箭头所指为目标函数值
递增的方向。
a <0, b>0 b a>0, b>0
a
a <0, b <0 a>0, b <0
图解法小结
?使用条件,仅有两个至多不超过三个决
策变量的线性规划 。
?基本步骤,
?第一步 － －建立平面直角坐标系；
?第二步 －－根据约束条件和非负条件画出
可行域 。
?第三步 －－作出目标函数等值线 （ 至少两
条 ）, 结合目标函数优化要求, 平移目
标函数等值线求出最优解 。
?图解法的优缺点, 简单, 直观但有局
限性 。
第一次作业 ——
P69 习题 1,1-2； P701-3
交作业时间：
下周周二 （ 9月 17日 ）
按小组交
