2.3 灵敏度分析
一, 灵敏度分析的含义和内容
1,什麽是灵敏度分析？
研究线性规划模型某些参数或限制量的
变化对最优解的影响及其程度的分析过程称
为灵敏度分析或 （ 优化后分析 ） 。
2、灵敏度分析的内容：
? 目标函数的系数变化对最优解的影响；
? 约束方程右端系数变化对最优解的影响；
? 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
回答两个问题,
① 这些系数在什麽范围内发生变化时, 最优
基不变 （ 即最优解或最优解结构不变 ）？
② 系数变化超出上述范围时, 如何用最简便
的方法求出新的最优解？
二, 手工进行灵敏度分析的基本原则
1,在最优表格的基础上进行；
2、尽量减少附加计算工作量；
三, 灵敏度分析举例：
研究例 1-6
?
?
?
?
?
?
???
???
???
0,,
974
)(3
..
332m a x
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
ts
xxxZ
（原材料约束）
劳动力约束
引入非负的松弛变量 x4,x5,将该 LP化为
标准型,
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
0,,,,
974
)(3
..
00332m a x
54321
5321
4321
54321
xxxxx
xxxx
xxxx
ts
xxxxxZ
（原材料约束）
劳动力约束
用表格单纯形法求解如下：
1 0 -1 4/3 -1/3
0 1 2 -1/3 1/3
1
2
X1
X2
2
3
3/1
6/3
1 1 1 1 0
0 3 6 -1 1
3
6
X1
X5
2
0
0 1 1 -2 0-6-Z
0 0 -1 -5/3 -1/3-8-Z
2 3 3 0 00-Z
3/1
9/1
1 1 1 1 0
1 4 7 0 1
3
9
X4
X5
0
0
?j2 3 3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
Cj
b xj
XBCB
1,研究最优表格中的数据来源：
（ 1） 如果选 B=（ P1,P2） 为初始可行基,
能否从表格中直接看出 B-1？
N?
（ 2） =？
舍弃中间计算过程，
只考察初始表和最终表：
=（ -1,-5/3,-1/3）N?
1 0 -1 4/3 -1/3
0 1 2 -1/3 1/3
1
2
X1
X2
2
3
0 0 -1 -5/3 -1/3-8-Z
2 3 3 0 00-Z
3/1
9/1
1 1 1 1 0
1 4 7 0 1
3
9
X4
X5
0
0
?j2 3 3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
Cj
b xj
XBCB
2,价值系数 C发生变化的情况：
（ 1）当 cj是非基变量的价值系数 —— 它的变
化只影响 一个检验数 。为什麽？
j?
例,c3发生变化时,
=c3-z3=c3-[2× （ -1） +3× 2]=c3-4≤0，
3?
令
得 c3≤4。 即当 c3≤4时, 最优解不变；
3?否则 >0,可使用 原始单纯形法 继续迭代求出新
的最优解 。
（ 2） 当 cj是基变量的价值系数 —— 它的变化
将影响所有非基变量的检验数, 为什麽？
NBCC BNN 1????
当 cj变化时, 如能保持, 则当前解仍为
最优解, 否则 可用 单纯形法 继续迭代 求出新
的最优解 。
0?N?
将 cj看作待定参数，令 01 ??? ? NBCC BNN?
解这 n-m个不等式，可算出保持最优解不变
时 cj的变化范围 ！
例：当 c1发生变化时，仍用 c1代表 x1的价值系
数（看成待定参数），原最优表格即为：
0 1 2 -1/3 1/3
cj
xjCB XB b
c1 3 3 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
c1
3
X1
X2
1
2
1 0 -1 4/3 -1/3
-Z -c1-6 0 0 c1-3 1-4/3c1 1/3c1-1
令所有检验数小于 0,得不等式组：
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
01
3
1
0
3
4
1
03
1
1
1
c
c
c
解该不等式组得：
343 1 ?? c
说明当 时, 最优解不变 。]3,4/3[
1 ?c
当 c1<3/4时,有 应选 x4进基,x1出基 ; 0
3
41
14 ??? c?
当 c1>3时,有,可选 x3或
x5进基,x2出基,
0131,03 1513 ?????? cc ??
3,右端常数 b发生变化：
当 bi发生变化时, 将影响所有基变量的取值 。
为什麽？ 因为,
bBX B 1?? 若 bi的变化 →
① 保持 B-1b≥0,当前的基仍为最优基, 最优解的结构
不变 （ 取值改变 ） ；
② （ B-1b） i<0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶
可行基,(为什麽?),可用对偶单纯形法求出新的最优解；
③ 如何求出保持最优基不变的 bi的范围?
把 bi看作待定参数,令 B-1b≥0,求解该不等式组即可；
1 0 -1 4/3 -1/3
0 1 2 -1/3 1/3
1
2
X1
X2
2
3
0 0 -1 -5/3 -1/3-8-Z
2 3 3 0 00-Z
3/1
9/1
1 1 1 1 0
1 4 7 0 1
3
9
X4
X5
0
0
?j2 3 3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
Cj
b xj
XBCB
仍然来看上例的最优表格：
9
4
9
03
3
03
3
4
3
3
3
3
4
9
3
1
3
1
3
1
3
4
9
1
1
1
0
1
1
111
???
?
?
?
?
?
???
??
??? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
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??
b
b
b
b
b
bb
Bb
令该向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
1
3
1
3
1
3
4
1B
原 b1=3,现用待定参数 b1代替 3，
则最优表中的解答列应为：
若 b1的变化超出这个范围, 则解答列中至少有一个元
素小于 0,可用对偶单纯形法迭代求出新的最优解 。
4,系数阵 A的元素发生变化：
（ 1） 增加 1个新变量：相当于系数阵 A增加 1列
如开发出一种新产品, 已知其有关工艺参数
（ 或消耗的资源量 ） 和单位产品利润, 设该种
产品的产量为 xk,则 ck和 Pk已知, 需要进行
,是否投产, 的决策 。
如例中欲增加产品 D,单件利润
为 c6=5千元，工时消耗与材料
消耗为 ???
?
??
?
?
?
3
2
6P
相当于在原始表中增加 1列 P6,则在最优表中
P6应变成
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
3
1
3
5
3
2
3
1
3
1
3
1
3
4
6
1'
6 PBP
相应的检验数：
3
2
3
1
3
5
)3,2(5
'
666
1
66 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
PCcPBCc BB?
在此基础上继续迭代, 直至求出最优解：
2
3
CB X
B
cj
xj
b
θj
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X1
X2
1
2
1/(5/3)
2/(1/3)
-Z -8 0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3
5
3
X6
X2
3/5
9/5
3/5 0 -3/5 4/5 -1/5 1
-1/5 1 11/5 -3/5 2/5 0
-Z --42/5 -2/5 0 -3/5 -11/5 -1/5 0
2 3 3 0 0 5
1 0 -1 4/3 -1/3 5/3
0 1 2 -1/3 1/3 1/3
?-Z ?-8 0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3
-Z --42/5 / - / -11/ - /
说明新产品 D应于投产, 新的生产计划
为 X*=(0,9/5,0,0,0,3/5)T,即生产 B产品 5/9吨,
生产 D产品 3/5吨,两种资源全部用完,可得到
最大利润为 8.4 (千元 )( 42/5=8.4)。
如果算出的 σ6<0,说明新产品 D不宜投产
,否则会使产品总利润下降 ！
(2) 增加 1个约束条件：
相当于系数阵 A增加 1行
? 首先将原最优解代入新增约束检查是
否满足？ 是, 则说明新增约束不影响最
优解 。 否则再作下面的讨论：
? 将新增约束标准化, 添加到原最优表
格中 （ 相当于约束矩阵新增 1行 ） ；
? 进行 规格化 处理 —— 用矩阵的行变换
将当前基变成单位阵；
? 用适当方法（通常是对偶单纯形法）
进行迭代求出新的最优解。
如在上例中增加约束,2x1+2x2+x3≤ 5,
当前 最优解 x1=1,x2=2,x3=0不满足该约
束, 将 约束条件标准化 后 加入原最优表
格, 进行 规格化处理, 然后用 对偶单纯
形法迭代 求出新的最优解：
-Z
CB XB
cj
xj
b
2 3 3 0 0 5
X1 X2 X3 X4 X5 X6
2
3
0
X1
X2
X6
1
2
5
1 0 -1 4/3 -1/3 0
0 1 2 -1/3 1/3 0
2 2 1 0 0 1
2
3
0
X1
X2
X6
1
2
-1
1 0 -1 4/3 -1/3 0
0 1 2 -1/3 1/3 0
0 0 -1 -2 0 1
0 0 -1 -5/3 -1/3 0
比 值 --- --- 1 5/6 --- ---
2
3
0
X1
X2
X4
1/3
13/6
1/2
1 0 -5/3 0 -1/3 2/3
0 1 13/6 0 1/3 -1/6
0 0 1/2 1 0 -1/2
-Z -43/643 0 0 -1/6 0 -1/3 -5/6
-Z ?-8
（ 3） 其他情况讨论：
? 某个产品工艺参数改变；
? 新品代替原产品等；
第五次作业
P99-100,2-1,2-2,2-4；
（ 对偶单纯形法, 灵敏度分析 ）
一, 灵敏度分析的含义和内容
1,什麽是灵敏度分析？
研究线性规划模型某些参数或限制量的
变化对最优解的影响及其程度的分析过程称
为灵敏度分析或 （ 优化后分析 ） 。
2、灵敏度分析的内容：
? 目标函数的系数变化对最优解的影响；
? 约束方程右端系数变化对最优解的影响；
? 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
回答两个问题,
① 这些系数在什麽范围内发生变化时, 最优
基不变 （ 即最优解或最优解结构不变 ）？
② 系数变化超出上述范围时, 如何用最简便
的方法求出新的最优解？
二, 手工进行灵敏度分析的基本原则
1,在最优表格的基础上进行；
2、尽量减少附加计算工作量；
三, 灵敏度分析举例：
研究例 1-6
?
?
?
?
?
?
???
???
???
0,,
974
)(3
..
332m a x
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
ts
xxxZ
（原材料约束）
劳动力约束
引入非负的松弛变量 x4,x5,将该 LP化为
标准型,
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
0,,,,
974
)(3
..
00332m a x
54321
5321
4321
54321
xxxxx
xxxx
xxxx
ts
xxxxxZ
（原材料约束）
劳动力约束
用表格单纯形法求解如下：
1 0 -1 4/3 -1/3
0 1 2 -1/3 1/3
1
2
X1
X2
2
3
3/1
6/3
1 1 1 1 0
0 3 6 -1 1
3
6
X1
X5
2
0
0 1 1 -2 0-6-Z
0 0 -1 -5/3 -1/3-8-Z
2 3 3 0 00-Z
3/1
9/1
1 1 1 1 0
1 4 7 0 1
3
9
X4
X5
0
0
?j2 3 3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
Cj
b xj
XBCB
1,研究最优表格中的数据来源：
（ 1） 如果选 B=（ P1,P2） 为初始可行基,
能否从表格中直接看出 B-1？
N?
（ 2） =？
舍弃中间计算过程，
只考察初始表和最终表：
=（ -1,-5/3,-1/3）N?
1 0 -1 4/3 -1/3
0 1 2 -1/3 1/3
1
2
X1
X2
2
3
0 0 -1 -5/3 -1/3-8-Z
2 3 3 0 00-Z
3/1
9/1
1 1 1 1 0
1 4 7 0 1
3
9
X4
X5
0
0
?j2 3 3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
Cj
b xj
XBCB
2,价值系数 C发生变化的情况：
（ 1）当 cj是非基变量的价值系数 —— 它的变
化只影响 一个检验数 。为什麽？
j?
例,c3发生变化时,
=c3-z3=c3-[2× （ -1） +3× 2]=c3-4≤0，
3?
令
得 c3≤4。 即当 c3≤4时, 最优解不变；
3?否则 >0,可使用 原始单纯形法 继续迭代求出新
的最优解 。
（ 2） 当 cj是基变量的价值系数 —— 它的变化
将影响所有非基变量的检验数, 为什麽？
NBCC BNN 1????
当 cj变化时, 如能保持, 则当前解仍为
最优解, 否则 可用 单纯形法 继续迭代 求出新
的最优解 。
0?N?
将 cj看作待定参数，令 01 ??? ? NBCC BNN?
解这 n-m个不等式，可算出保持最优解不变
时 cj的变化范围 ！
例：当 c1发生变化时，仍用 c1代表 x1的价值系
数（看成待定参数），原最优表格即为：
0 1 2 -1/3 1/3
cj
xjCB XB b
c1 3 3 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
c1
3
X1
X2
1
2
1 0 -1 4/3 -1/3
-Z -c1-6 0 0 c1-3 1-4/3c1 1/3c1-1
令所有检验数小于 0,得不等式组：
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
01
3
1
0
3
4
1
03
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1
1
c
c
c
解该不等式组得：
343 1 ?? c
说明当 时, 最优解不变 。]3,4/3[
1 ?c
当 c1<3/4时,有 应选 x4进基,x1出基 ; 0
3
41
14 ??? c?
当 c1>3时,有,可选 x3或
x5进基,x2出基,
0131,03 1513 ?????? cc ??
3,右端常数 b发生变化：
当 bi发生变化时, 将影响所有基变量的取值 。
为什麽？ 因为,
bBX B 1?? 若 bi的变化 →
① 保持 B-1b≥0,当前的基仍为最优基, 最优解的结构
不变 （ 取值改变 ） ；
② （ B-1b） i<0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶
可行基,(为什麽?),可用对偶单纯形法求出新的最优解；
③ 如何求出保持最优基不变的 bi的范围?
把 bi看作待定参数,令 B-1b≥0,求解该不等式组即可；
1 0 -1 4/3 -1/3
0 1 2 -1/3 1/3
1
2
X1
X2
2
3
0 0 -1 -5/3 -1/3-8-Z
2 3 3 0 00-Z
3/1
9/1
1 1 1 1 0
1 4 7 0 1
3
9
X4
X5
0
0
?j2 3 3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
Cj
b xj
XBCB
仍然来看上例的最优表格：
9
4
9
03
3
03
3
4
3
3
3
3
4
9
3
1
3
1
3
1
3
4
9
1
1
1
0
1
1
111
???
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?
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b
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Bb
令该向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
1
3
1
3
1
3
4
1B
原 b1=3,现用待定参数 b1代替 3，
则最优表中的解答列应为：
若 b1的变化超出这个范围, 则解答列中至少有一个元
素小于 0,可用对偶单纯形法迭代求出新的最优解 。
4,系数阵 A的元素发生变化：
（ 1） 增加 1个新变量：相当于系数阵 A增加 1列
如开发出一种新产品, 已知其有关工艺参数
（ 或消耗的资源量 ） 和单位产品利润, 设该种
产品的产量为 xk,则 ck和 Pk已知, 需要进行
,是否投产, 的决策 。
如例中欲增加产品 D,单件利润
为 c6=5千元，工时消耗与材料
消耗为 ???
?
??
?
?
?
3
2
6P
相当于在原始表中增加 1列 P6,则在最优表中
P6应变成
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
3
1
3
5
3
2
3
1
3
1
3
1
3
4
6
1'
6 PBP
相应的检验数：
3
2
3
1
3
5
)3,2(5
'
666
1
66 ?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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??????
?
PCcPBCc BB?
在此基础上继续迭代, 直至求出最优解：
2
3
CB X
B
cj
xj
b
θj
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X1
X2
1
2
1/(5/3)
2/(1/3)
-Z -8 0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3
5
3
X6
X2
3/5
9/5
3/5 0 -3/5 4/5 -1/5 1
-1/5 1 11/5 -3/5 2/5 0
-Z --42/5 -2/5 0 -3/5 -11/5 -1/5 0
2 3 3 0 0 5
1 0 -1 4/3 -1/3 5/3
0 1 2 -1/3 1/3 1/3
?-Z ?-8 0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3
-Z --42/5 / - / -11/ - /
说明新产品 D应于投产, 新的生产计划
为 X*=(0,9/5,0,0,0,3/5)T,即生产 B产品 5/9吨,
生产 D产品 3/5吨,两种资源全部用完,可得到
最大利润为 8.4 (千元 )( 42/5=8.4)。
如果算出的 σ6<0,说明新产品 D不宜投产
,否则会使产品总利润下降 ！
(2) 增加 1个约束条件：
相当于系数阵 A增加 1行
? 首先将原最优解代入新增约束检查是
否满足？ 是, 则说明新增约束不影响最
优解 。 否则再作下面的讨论：
? 将新增约束标准化, 添加到原最优表
格中 （ 相当于约束矩阵新增 1行 ） ；
? 进行 规格化 处理 —— 用矩阵的行变换
将当前基变成单位阵；
? 用适当方法（通常是对偶单纯形法）
进行迭代求出新的最优解。
如在上例中增加约束,2x1+2x2+x3≤ 5,
当前 最优解 x1=1,x2=2,x3=0不满足该约
束, 将 约束条件标准化 后 加入原最优表
格, 进行 规格化处理, 然后用 对偶单纯
形法迭代 求出新的最优解：
-Z
CB XB
cj
xj
b
2 3 3 0 0 5
X1 X2 X3 X4 X5 X6
2
3
0
X1
X2
X6
1
2
5
1 0 -1 4/3 -1/3 0
0 1 2 -1/3 1/3 0
2 2 1 0 0 1
2
3
0
X1
X2
X6
1
2
-1
1 0 -1 4/3 -1/3 0
0 1 2 -1/3 1/3 0
0 0 -1 -2 0 1
0 0 -1 -5/3 -1/3 0
比 值 --- --- 1 5/6 --- ---
2
3
0
X1
X2
X4
1/3
13/6
1/2
1 0 -5/3 0 -1/3 2/3
0 1 13/6 0 1/3 -1/6
0 0 1/2 1 0 -1/2
-Z -43/643 0 0 -1/6 0 -1/3 -5/6
-Z ?-8
（ 3） 其他情况讨论：
? 某个产品工艺参数改变；
? 新品代替原产品等；
第五次作业
P99-100,2-1,2-2,2-4；
（ 对偶单纯形法, 灵敏度分析 ）
