第三章 平面任意力系
平面任意力系实例
1、力的平移定理
FdFMM BB ?? )( ?
§ 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
可以把作用在刚体上点 A的力
F平行移到任一点 B,但必须同时
附加一个力偶，这个附加力偶的
矩等于原来的力 F对新作用点 B的
矩,
2、平面任意力系向作用面内一点简化 · 主矢和主矩
1 1 1 1()OF F M M F???
r r r
2 2 2 2()OF F M M F? ??
r r r
()n n n O nF F M M F? ??r r r
??
R i iF F F??????
r r r
)( iOiO FMMM ??? ??
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关,
RiFF? ? ?
rr主矢 )(?? iOO FMM ?主矩
''R x ix ix xF F F F? ? ?? ? ?
''R y iy iy yF F F F? ? ?? ? ?
主矢大小 22 )()( iyixR FFF ?????
方向
c o s( ',) ixR
R
FFi
F
??
?
r r
c o s( ',) iyR
R
F
Fj
F
?
?
?
r r
作用点 作用于简化中心上
主矩 )( iOO FMM ???
平面固定端约束
= =
=≠
3,平面任意力系的简化结果分析
=
0??RF 0?OM 合力作用线过简化中心
( ) ( )o R O O iM F M M F?? ?合力矩定理
R
O
F
Md
?? ORM F d?? RRFFF???
0??RF 0?OM
合力，作用线距简化中心
R
O FM ?
若为 O1点，如何?
0??RF 0?OM
合力偶
与简化中心的位置无关
0??RF 0?OM
平衡
与简化中心的位置无关
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
00ROFM? ??r
§ 3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
?? ? ???? )()()( 22 iOOyxR FMMFFF因为
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两
个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以
及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零,
0
0
0
x
y
O
F
F
M
? ?
??
??
?
???
?
?
?
平面任意力系的平衡方程
一般式
平面任意力系的平衡方程另两种形式
二矩式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
B
A
x
M
M
F
两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
C
B
A
M
M
M
三个取矩点，不得共线
2、平面平行力系的平衡方程
? ? 0xF 0000 ???? ?
? ? 0xF 0c o sc o sc o s 321 ??????? ?FFF
? ? 0yF 0s i ns i ns i n 321 ??????? ?FFF
两点连线不得与各力平行
?
?
?
?
?
?
?
0
0
B
A
M
M
各力不得与投影轴垂直
?
?
?
?
?
?
?
0
0
A
y
M
F
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
§ 3-3 物体系的平衡 ·静定和超静定问题
§ 3-4 平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，
它在受力后几何形状不变。
节点：桁架中杆件的铰链接头。
1、各杆件为直杆,各杆轴线位于同一平面内；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上,且位于桁架几何平面内；
4、各杆件自重不计或平均分布在节点上。
桁架中每根杆件均为二力杆
关于平面桁架的几点假设：
理想桁架
总杆数 m n总节点数
32 ?? nm
3 2 ( 3 )mn? ? ?
32 ?? nm 平面复杂（超静定）桁架
32 ?? nm 平面简单（静定）桁架
32 ?? nm 非桁架（机构）
节点法与截面法
1、节点法
2、截面法
例 3-1
已知：
1 4 5 0k N,P ? 2 2 0 0k N,P ? 1 3 0 0k N,F ? 2 7 0k N ;F ?
求：
合力作用线方程
力系向 O点的简化结果
合力与 OA的交点到点 O的距离 x，
解：
（ 1） 主矢：
12
1 2 2
c o s 2 3 2,9 k N
sin 6 7 0,1 k N
x
y
F F F
F P P F
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
22' ( ) ( ) 7 0 9, 4k N
R x yF F F? ? ???
c o s ( ',) 0, 3 2 8 3,c o s ( ',) 0, 9 4 4 6'' yxRR
RR
FFF i F j
FF? ? ? ? ?
??rrrr
( ',) 7 0, 8 4,( ',) 1 8 0 1 9, 1 6RRF i F j? ? ? ? ? ?o o orrrr
主矩：
1 1 2( ) 3 1, 5 3, 9 2 3 5 5 k N mOOM M F F P P? ? ? ? ? ? ? ??
r
（ 2）求合力及其作用线位置,
'
2355 3, 3 1 9 7
7 0 9, 4
O
R
Md
F? ? ? m
? ?00 3,5 1 4c o s 9 0 7 0,8 4
dx ??
?
m
（ 3）求合力作用线方程
? ? ''O O R R y R x R y R xM M F x F y F x F y F? ? ? ? ? ? ? ? ?? r
? ? ? ?2 3 5 5 6 7 0, 1 2 3 2, 9xy? ? ? ?
6 0 7, 1 2 3 2, 9 2 3 5 5 0xy? ? ?
例 3-2
已知,AC=CB= l,P=10kN;
求,铰链 A和 DC杆受力,
解,取 AB梁，画受力图,
? ? 0xF
? ? 0yF
c o s 4 5 0A x CFF?? o
s i n 4 5 0A y CF F P? ? ?o
0AM ?? c o s 4 5 2 0CF l P l? ? ? ?o
解得 kN10,kN20,kN28.28 ????? AyAx
C FFF
例 3-3
已知：
1 10,P ? kN 2 4 0,P ? kN
尺寸如图；
求,轴承 A,B处的约束力,
解,取起重机，画受力图,
? ? 0xF
? ? 0yF
0AM ??
0A x BFF??
12 0AyF P P? ? ?
125 1,5 3,5 0BF P P? ? ? ? ? ? ?
解得
50AyF ? kN 31BF ?? kN 31AxF ? kN
例 3-4
已知：,,,;P q a M q a?
求,支座 A,B处的约束力,
解：取 AB梁，画受力图,
? ? 0xF
0AM ??
? ? 0yF
0AxF ? 解得 0AxF ?
4 2 2 0BF a M P a q a a? ? ? ? ? ? ? ?
31
42BF P q a??
20A y BF q a P F? ? ? ? ?
3
42Ay
PF qa??
例 3-5 已知,2 0,M ??k N m1 0 0,P ? kN
4 0 0,F ? kN2 0 k N m,q ? 1;l ? m
求,固定端 A处约束力,
解,取 T型刚架，画受力图,
其中
1
1 3 3 0
2F q l? ? ? kN
? ? 0xF
0AM ??
? ? 0yF
01 s in 6 0 0AxF F F? ? ?
3 1 6,4AxF ? kN
060c o s ??? ?FPF Ay
0360s in60c o s1 ???????? lFlFlFMM A ??
kN300?AyF mkN1 1 8 8 ???AM
已知：,2 0 0,7 0 0
21 kNkN ?? PP
AB=4m；
求,（ 1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重 P3；
（ 2） P3=180kN,轨道 AB给起重机轮子的约束力。
解,取起重机，画受力图,
满载时，,0?AF?
为不安全状况
? ? 0BM
01028 21m i n3 ???? PPP
解得 P3min=75kN
例 3-6
37 5 k N 3 5 0k NP??
P3=180kN时
? ? 0AM 041424 213 ???? BFPPP
FB=870kN
0iyF ?? 0321 ????? PPPFF BA
FA=210kN
空载时，,0?BF? 为不安全状况
? ? 0AM 4P3max-2P1=0
解得 F3max=350kN
例 3-7 已知,OA=R,AB= l,,F? 不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡 ;
求, 力偶矩 M 的大小，轴承 O处
的约束力，连杆 AB受力，
冲头给导轨的侧压力,
解, 取冲头 B,画受力图,
0yF ?? 0c o s ?? ?BFF
22c o s Rl
FlFF
B ??? ?
0xF ?? 0s in ?? ?BN FF
22ta n Rl
FRFF
N ??? ?
取轮,画受力图,
? ? 0ixF s i n 0O x AFF ???
22Ox
FRF
lR
??
?
? ? 0iyF c o s 0O y AFF ???
OyFF??
0OM ?? 0c o s ??? MRF A ?
FRM ?
例 3-8 已知, F=20kN,q=10kN/m,2 0k N m,M ?? l=1m;
求, A,B处的约束力,
解, 取 CD梁,画受力图,
0CM ??
s in 6 0 c o s 3 0 2 02B lF l q l F l? ? ? ? ? ?oo
FB=45.77kN
3 2,8 9k NAxF ?
0yF ??
s i n 6 0 2 c o s 3 0 0A y BF F q l F? ? ? ?oo
2,3 2 k NAyF ??
? ? 0AM
2 2 s i n 6 0 3 c o s 3 0 4 0ABM M q l l F l F l? ? ? ? ? ? ? ?oo
1 0,3 7 k N mAM ??
取整体,画受力图,
0xF ??
c o s 6 0 s in 3 0 0A x BF F F? ? ?oo
例 3-9
已知, P2=2P1,P=20P1, r,R=2r,20 ;? ? o
求,物 C 匀速上升时，作用于 小 轮上的力偶矩 M；
轴承 A,B处的约束力,
解, 取塔轮及重物 C,画受力图,
? ? 0BM 0P r F R?? 110PrFPR??
0ta n 20rF
F ?
由
0 1ta n 2 0 3,6 4rF F P??
0xF ?? 0?? rBx FF
13,6 4BxFP?
0yF ??
2 0ByF P P F? ? ? ?
132 PF By ?
取小轮, 画受力图,
0xF ??
0yF ??
? ? 0AM ' 0M F r? ? ?
rPM 110?
0Ax rFF ???
164.3 PF Ax ??
1 0AyF F P?? ? ?
19 PF Ay ??
例 3-10
已知, P=60kN,P1=20kN,P2=10kN,风载 F=10kN,
尺寸如图 ;
求, A,B处的约束力,
解, 取整体,画受力图,
? ? 0AM 052461012 21 ?????? FPPPPF By
kN5.77?ByF
0yF ?? 02 21 ????? PPPFF ByAy
kN5.72?AyF
0xF ?? 0??? BxAx FFF
A x B xF F F??
取吊车梁,画受力图,
? ? 0DM 0248 21' ??? PPF E
' 1 2,5 k N
EF ?
取右边刚架,画受力图,
? ? 0CM
? ? 04106 ???? EBxBy FPFF
kN5.17?BxF
kN5.7?AxF
例 3-11
已知,DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各构件自
重不计,045,? ?
求,A,E支座处约束力及 BD杆受力,
取整体,画受力图,解,
? ? 0EM
02522 ?????? lPlF A
PF A 8 25??
0xF ??
045c o s 0 ?? AEx FF
0yF ??
045s in 0 ??? AEy FPF
PFEx 85? PFEy 813?
取 DCE杆,画受力图,
? ? 0CM
02245c o s 0 ??????? lFlFlF ExKDB
PF DB 8 23?
(拉 )
例 3-12
已知, P=10kN,尺寸如图；
求, 桁架各杆件受力,
解, 取整体，画受力图,
0xF ??
0yF ??
? ? 0BM
0?BxF
042 ?? AyFP 5kNAyF ?
0??? PFF ByAy 5kNByF ?
kN66.82 ?F (拉 )
030c o s 012 ?? FF0xF ??
kN101 ??F (压 )
030s in 01 ?? FF Ay0yF ??
取节点 A,画受力图,
取节点 C,画受力图,
0xF ?? 030c o s30c o s 0'104 ?? FF
0yF ?? ? ? 030s in 04'13 ???? FFF
kN104 ??F (压 ) kN103 ?F (拉 )
取节点 D,画受力图,
0xF ?? 0'25 ?? FF
kN66.85 ?F (拉 )
例 3-13
已知, 1 0k N,
EP ? 7 kN,GP ?
各杆长度均为 1m;
求, 1,2,3杆受力,
解, 取整体,求支座约束力,
0xF ?? 0?AxF
? ? 0BM 2 3 0E G A yP P F? ? ?
9kNAyF ?
0yF ?? 0A y B y E GF F P P? ? ? ?
8kNByF ?
用截面法,取桁架左边部分,
? ? 0EM 0130c o s1 01 ?????? AyFF
0yF ?? 02 s i n 6 0 0A y EF F P? ? ? ?
kN4.101 ?F (压 )
kN15.12 ?F (拉 )
0xF ?? 060c o s 0231 ??? FFF
kN81.93 ?F (拉 )
例 3-14
已知：
1 4k N,P ? 2 1 0k N,P ?
尺寸如图；
求,BC杆受力及铰链 A受力,
解,取 AB 梁，画受力图,
0xF ?? c o s 3 0 0A x TFF?? o
0yF??
12 s i n 3 0 0A y TF P P F? ? ? ?o
0AM??
21s in 3 0 6 4 3 0TF P P? ? ? ?o
1 7,3 3 k NTF ? 5,3 3 k NAyF ? 5kNAxF ?
又可否列下面的方程？
21
12
0 c o s 3 0 0
0 sin 3 0 6 4 3 0
0 6 3 2 0
ix A x T
AT
B A y
F F F
M F P P
M F P P
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ?
?
o
o（ 2）
21
12
12
0 sin 30 6 4 3 0
0 6 3 2 0
0 3 4 0
AT
B A y
C A x
M F P P
M F P P
M F A C P P
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
o
可否列下面的方程?
例 3-15 已知,P=10kN,a,杆、轮重不计；
求,A,C支座处约束力,
解,取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图,
0CM?? 4 8,5 0A x Ta F a P F a? ? ?
解得 20
AxF ?? kN
00x A x C xF F F? ? ? ?
20CxF ? kN解得
0yF?? 0A y C y TF F F P? ? ? ?
10AyF ?? kN
取 BDC 杆（不带着轮） 取 ABE（ 带着轮） 取 ABE杆（不带着轮）
取 BDC杆（带着轮）
1
0
4 3 4 0
B
C y T T C x
M
a F F a F a F a
??
? ? ? ? ? ? ?
解得
15kNCyF ?
例 3-16 已知,P,a,各杆重不计；
求,B 铰处约束力,
解,取整体，画受力图
0CM?? 20ByFa? ? ?
解得 0
ByF ?
取 DEF杆，画受力图
0DM?? s in 4 5 2 0EF a F a? ? ? ?o
0xF?? 'c o s 4 5 0E D xFF ??o
0EM?? ' 20DxF a F a? ? ? ?
' c o s 4 5 2D x EF F F?? o' 2DxFF?
对 ADB杆受力图
0AM??
20B x D xF a F a? ? ? ?
得 BxFF??
s in 4 5 2EFF?o
例 3-17 已知,a,b,P,各杆重不计,C,E处光滑；
求证,AB杆始终受压，且大小为 P.
解,取整体，画受力图,
0xF?? 0AxF ?
0EM?? ( ) 0AyP b x F b? ? ? ? ?
得 ()
Ay
PF b x
b??
取销钉 A,画受力图
0xF?? 0A x A D C xFF??
0ADCxF ?得
0yF?? 0A B A y A D C yF F F? ? ?
取 ADC杆，画受力图,
取 BC,画受力图,
0BM?? ' 0CF b P x? ? ?
得 'C xFP
b?
0DM?? ' 022A D Cy CbbFF? ? ? ?
得 '
A D C y C
xF F P
b??
解得 (ABFP?? 压）
例 3-18
已知,q,a,M,
2,M q a?且
P作用于销钉 B上；
求,固定端 A处的约束力和销
钉 B对 BC杆,AB杆的作用
力,
解,取 CD杆，画受力图,
0DM??
02Cx aF a q a? ? ? ?
得 1
2CxF qa?
BCyF qa?解得
0CM?? 0B C yM F a??
1
2B C xF qa?
' 0B C x C xFF??0xF??
取 BC杆（不含销钉 B),画受力图,
取销钉 B,画受力图,
0xF?? '' 0A B x B C xFF??
0yF?? '' 0A B y B C yF F P? ? ?
解得 ' 1
2ABxF qa?
'AByF P qa??
则
1
2ABxF q a??
()AByF P q a? ? ?
取 AB杆（不含销钉 B）,画受力图,
0xF?? 1 302A x A B xF q a F? ? ? ? ?
解得 AxF qa??
0yF?? 0A y A B yFF??
解得
AyF P q a??
0AM??
1 3 3 0
2A A B x A B yM q a a F a F a? ? ? ? ? ? ? ? ?
解得 ()
AM P q a a??
例 3-19
已知,荷载与尺寸如图；
求,每根杆所受力,
解,取整体，画受力图,
0xF?? 0AxF ?
0BM?? 8 5 8 1 0 6 1 0 4 1 0 2 0AyF? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
得 20
AyF ? kN
0yF?? 4 0 0A y B yFF? ? ?
得 20
ByF ? kN
求各杆内力
取节点 A 0
0
y A D
x A C
FF
FF
? ? ???
? ? ? ??
?
取节点 C
0
00
x CF
y CD
FF
FF
? ? ???
? ? ? ? ??
?
取节点 D
0
,
0
y
D F D E
x
F
FF
F
????
??
????
取节点 E
0
0
y E G
x E F
FF
FF
? ? ???
? ? ? ??
?
LL
求,１，２，３杆所受力,
解,求支座约束力
0AM ??
AyF?
0yF ??
ByF?
0yF ??
从 1,2,3杆处截取左边部分
2F?
0CM ?? 1F?
0xF ??
3F?
例 3-20
已知,P1,P2,P3,尺寸如图,
取节点 D
0xF ??
0yF ??
5F?
4F?
若再求４,５杆受力
由直角曲杆 ABC,DE,直杆 CD及滑轮组成的结构
如图所示, AB杆上作用有水平均布载荷 q。 不计各构件
的重量, 在 D处作用一铅垂力 F,在滑轮上悬吊一重为
P的重物, 滑轮的半径 r = a,且 P = 2F,CO=OD。
求支座 E及固定端 A的约束力 。
平面任意力系实例
1、力的平移定理
FdFMM BB ?? )( ?
§ 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
可以把作用在刚体上点 A的力
F平行移到任一点 B,但必须同时
附加一个力偶，这个附加力偶的
矩等于原来的力 F对新作用点 B的
矩,
2、平面任意力系向作用面内一点简化 · 主矢和主矩
1 1 1 1()OF F M M F???
r r r
2 2 2 2()OF F M M F? ??
r r r
()n n n O nF F M M F? ??r r r
??
R i iF F F??????
r r r
)( iOiO FMMM ??? ??
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关,
RiFF? ? ?
rr主矢 )(?? iOO FMM ?主矩
''R x ix ix xF F F F? ? ?? ? ?
''R y iy iy yF F F F? ? ?? ? ?
主矢大小 22 )()( iyixR FFF ?????
方向
c o s( ',) ixR
R
FFi
F
??
?
r r
c o s( ',) iyR
R
F
Fj
F
?
?
?
r r
作用点 作用于简化中心上
主矩 )( iOO FMM ???
平面固定端约束
= =
=≠
3,平面任意力系的简化结果分析
=
0??RF 0?OM 合力作用线过简化中心
( ) ( )o R O O iM F M M F?? ?合力矩定理
R
O
F
Md
?? ORM F d?? RRFFF???
0??RF 0?OM
合力，作用线距简化中心
R
O FM ?
若为 O1点，如何?
0??RF 0?OM
合力偶
与简化中心的位置无关
0??RF 0?OM
平衡
与简化中心的位置无关
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
00ROFM? ??r
§ 3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
?? ? ???? )()()( 22 iOOyxR FMMFFF因为
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两
个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以
及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零,
0
0
0
x
y
O
F
F
M
? ?
??
??
?
???
?
?
?
平面任意力系的平衡方程
一般式
平面任意力系的平衡方程另两种形式
二矩式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
B
A
x
M
M
F
两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
C
B
A
M
M
M
三个取矩点，不得共线
2、平面平行力系的平衡方程
? ? 0xF 0000 ???? ?
? ? 0xF 0c o sc o sc o s 321 ??????? ?FFF
? ? 0yF 0s i ns i ns i n 321 ??????? ?FFF
两点连线不得与各力平行
?
?
?
?
?
?
?
0
0
B
A
M
M
各力不得与投影轴垂直
?
?
?
?
?
?
?
0
0
A
y
M
F
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
§ 3-3 物体系的平衡 ·静定和超静定问题
§ 3-4 平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，
它在受力后几何形状不变。
节点：桁架中杆件的铰链接头。
1、各杆件为直杆,各杆轴线位于同一平面内；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上,且位于桁架几何平面内；
4、各杆件自重不计或平均分布在节点上。
桁架中每根杆件均为二力杆
关于平面桁架的几点假设：
理想桁架
总杆数 m n总节点数
32 ?? nm
3 2 ( 3 )mn? ? ?
32 ?? nm 平面复杂（超静定）桁架
32 ?? nm 平面简单（静定）桁架
32 ?? nm 非桁架（机构）
节点法与截面法
1、节点法
2、截面法
例 3-1
已知：
1 4 5 0k N,P ? 2 2 0 0k N,P ? 1 3 0 0k N,F ? 2 7 0k N ;F ?
求：
合力作用线方程
力系向 O点的简化结果
合力与 OA的交点到点 O的距离 x，
解：
（ 1） 主矢：
12
1 2 2
c o s 2 3 2,9 k N
sin 6 7 0,1 k N
x
y
F F F
F P P F
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
22' ( ) ( ) 7 0 9, 4k N
R x yF F F? ? ???
c o s ( ',) 0, 3 2 8 3,c o s ( ',) 0, 9 4 4 6'' yxRR
RR
FFF i F j
FF? ? ? ? ?
??rrrr
( ',) 7 0, 8 4,( ',) 1 8 0 1 9, 1 6RRF i F j? ? ? ? ? ?o o orrrr
主矩：
1 1 2( ) 3 1, 5 3, 9 2 3 5 5 k N mOOM M F F P P? ? ? ? ? ? ? ??
r
（ 2）求合力及其作用线位置,
'
2355 3, 3 1 9 7
7 0 9, 4
O
R
Md
F? ? ? m
? ?00 3,5 1 4c o s 9 0 7 0,8 4
dx ??
?
m
（ 3）求合力作用线方程
? ? ''O O R R y R x R y R xM M F x F y F x F y F? ? ? ? ? ? ? ? ?? r
? ? ? ?2 3 5 5 6 7 0, 1 2 3 2, 9xy? ? ? ?
6 0 7, 1 2 3 2, 9 2 3 5 5 0xy? ? ?
例 3-2
已知,AC=CB= l,P=10kN;
求,铰链 A和 DC杆受力,
解,取 AB梁，画受力图,
? ? 0xF
? ? 0yF
c o s 4 5 0A x CFF?? o
s i n 4 5 0A y CF F P? ? ?o
0AM ?? c o s 4 5 2 0CF l P l? ? ? ?o
解得 kN10,kN20,kN28.28 ????? AyAx
C FFF
例 3-3
已知：
1 10,P ? kN 2 4 0,P ? kN
尺寸如图；
求,轴承 A,B处的约束力,
解,取起重机，画受力图,
? ? 0xF
? ? 0yF
0AM ??
0A x BFF??
12 0AyF P P? ? ?
125 1,5 3,5 0BF P P? ? ? ? ? ? ?
解得
50AyF ? kN 31BF ?? kN 31AxF ? kN
例 3-4
已知：,,,;P q a M q a?
求,支座 A,B处的约束力,
解：取 AB梁，画受力图,
? ? 0xF
0AM ??
? ? 0yF
0AxF ? 解得 0AxF ?
4 2 2 0BF a M P a q a a? ? ? ? ? ? ? ?
31
42BF P q a??
20A y BF q a P F? ? ? ? ?
3
42Ay
PF qa??
例 3-5 已知,2 0,M ??k N m1 0 0,P ? kN
4 0 0,F ? kN2 0 k N m,q ? 1;l ? m
求,固定端 A处约束力,
解,取 T型刚架，画受力图,
其中
1
1 3 3 0
2F q l? ? ? kN
? ? 0xF
0AM ??
? ? 0yF
01 s in 6 0 0AxF F F? ? ?
3 1 6,4AxF ? kN
060c o s ??? ?FPF Ay
0360s in60c o s1 ???????? lFlFlFMM A ??
kN300?AyF mkN1 1 8 8 ???AM
已知：,2 0 0,7 0 0
21 kNkN ?? PP
AB=4m；
求,（ 1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重 P3；
（ 2） P3=180kN,轨道 AB给起重机轮子的约束力。
解,取起重机，画受力图,
满载时，,0?AF?
为不安全状况
? ? 0BM
01028 21m i n3 ???? PPP
解得 P3min=75kN
例 3-6
37 5 k N 3 5 0k NP??
P3=180kN时
? ? 0AM 041424 213 ???? BFPPP
FB=870kN
0iyF ?? 0321 ????? PPPFF BA
FA=210kN
空载时，,0?BF? 为不安全状况
? ? 0AM 4P3max-2P1=0
解得 F3max=350kN
例 3-7 已知,OA=R,AB= l,,F? 不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡 ;
求, 力偶矩 M 的大小，轴承 O处
的约束力，连杆 AB受力，
冲头给导轨的侧压力,
解, 取冲头 B,画受力图,
0yF ?? 0c o s ?? ?BFF
22c o s Rl
FlFF
B ??? ?
0xF ?? 0s in ?? ?BN FF
22ta n Rl
FRFF
N ??? ?
取轮,画受力图,
? ? 0ixF s i n 0O x AFF ???
22Ox
FRF
lR
??
?
? ? 0iyF c o s 0O y AFF ???
OyFF??
0OM ?? 0c o s ??? MRF A ?
FRM ?
例 3-8 已知, F=20kN,q=10kN/m,2 0k N m,M ?? l=1m;
求, A,B处的约束力,
解, 取 CD梁,画受力图,
0CM ??
s in 6 0 c o s 3 0 2 02B lF l q l F l? ? ? ? ? ?oo
FB=45.77kN
3 2,8 9k NAxF ?
0yF ??
s i n 6 0 2 c o s 3 0 0A y BF F q l F? ? ? ?oo
2,3 2 k NAyF ??
? ? 0AM
2 2 s i n 6 0 3 c o s 3 0 4 0ABM M q l l F l F l? ? ? ? ? ? ? ?oo
1 0,3 7 k N mAM ??
取整体,画受力图,
0xF ??
c o s 6 0 s in 3 0 0A x BF F F? ? ?oo
例 3-9
已知, P2=2P1,P=20P1, r,R=2r,20 ;? ? o
求,物 C 匀速上升时，作用于 小 轮上的力偶矩 M；
轴承 A,B处的约束力,
解, 取塔轮及重物 C,画受力图,
? ? 0BM 0P r F R?? 110PrFPR??
0ta n 20rF
F ?
由
0 1ta n 2 0 3,6 4rF F P??
0xF ?? 0?? rBx FF
13,6 4BxFP?
0yF ??
2 0ByF P P F? ? ? ?
132 PF By ?
取小轮, 画受力图,
0xF ??
0yF ??
? ? 0AM ' 0M F r? ? ?
rPM 110?
0Ax rFF ???
164.3 PF Ax ??
1 0AyF F P?? ? ?
19 PF Ay ??
例 3-10
已知, P=60kN,P1=20kN,P2=10kN,风载 F=10kN,
尺寸如图 ;
求, A,B处的约束力,
解, 取整体,画受力图,
? ? 0AM 052461012 21 ?????? FPPPPF By
kN5.77?ByF
0yF ?? 02 21 ????? PPPFF ByAy
kN5.72?AyF
0xF ?? 0??? BxAx FFF
A x B xF F F??
取吊车梁,画受力图,
? ? 0DM 0248 21' ??? PPF E
' 1 2,5 k N
EF ?
取右边刚架,画受力图,
? ? 0CM
? ? 04106 ???? EBxBy FPFF
kN5.17?BxF
kN5.7?AxF
例 3-11
已知,DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各构件自
重不计,045,? ?
求,A,E支座处约束力及 BD杆受力,
取整体,画受力图,解,
? ? 0EM
02522 ?????? lPlF A
PF A 8 25??
0xF ??
045c o s 0 ?? AEx FF
0yF ??
045s in 0 ??? AEy FPF
PFEx 85? PFEy 813?
取 DCE杆,画受力图,
? ? 0CM
02245c o s 0 ??????? lFlFlF ExKDB
PF DB 8 23?
(拉 )
例 3-12
已知, P=10kN,尺寸如图；
求, 桁架各杆件受力,
解, 取整体，画受力图,
0xF ??
0yF ??
? ? 0BM
0?BxF
042 ?? AyFP 5kNAyF ?
0??? PFF ByAy 5kNByF ?
kN66.82 ?F (拉 )
030c o s 012 ?? FF0xF ??
kN101 ??F (压 )
030s in 01 ?? FF Ay0yF ??
取节点 A,画受力图,
取节点 C,画受力图,
0xF ?? 030c o s30c o s 0'104 ?? FF
0yF ?? ? ? 030s in 04'13 ???? FFF
kN104 ??F (压 ) kN103 ?F (拉 )
取节点 D,画受力图,
0xF ?? 0'25 ?? FF
kN66.85 ?F (拉 )
例 3-13
已知, 1 0k N,
EP ? 7 kN,GP ?
各杆长度均为 1m;
求, 1,2,3杆受力,
解, 取整体,求支座约束力,
0xF ?? 0?AxF
? ? 0BM 2 3 0E G A yP P F? ? ?
9kNAyF ?
0yF ?? 0A y B y E GF F P P? ? ? ?
8kNByF ?
用截面法,取桁架左边部分,
? ? 0EM 0130c o s1 01 ?????? AyFF
0yF ?? 02 s i n 6 0 0A y EF F P? ? ? ?
kN4.101 ?F (压 )
kN15.12 ?F (拉 )
0xF ?? 060c o s 0231 ??? FFF
kN81.93 ?F (拉 )
例 3-14
已知：
1 4k N,P ? 2 1 0k N,P ?
尺寸如图；
求,BC杆受力及铰链 A受力,
解,取 AB 梁，画受力图,
0xF ?? c o s 3 0 0A x TFF?? o
0yF??
12 s i n 3 0 0A y TF P P F? ? ? ?o
0AM??
21s in 3 0 6 4 3 0TF P P? ? ? ?o
1 7,3 3 k NTF ? 5,3 3 k NAyF ? 5kNAxF ?
又可否列下面的方程？
21
12
0 c o s 3 0 0
0 sin 3 0 6 4 3 0
0 6 3 2 0
ix A x T
AT
B A y
F F F
M F P P
M F P P
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ?
?
o
o（ 2）
21
12
12
0 sin 30 6 4 3 0
0 6 3 2 0
0 3 4 0
AT
B A y
C A x
M F P P
M F P P
M F A C P P
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ??
o
可否列下面的方程?
例 3-15 已知,P=10kN,a,杆、轮重不计；
求,A,C支座处约束力,
解,取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图,
0CM?? 4 8,5 0A x Ta F a P F a? ? ?
解得 20
AxF ?? kN
00x A x C xF F F? ? ? ?
20CxF ? kN解得
0yF?? 0A y C y TF F F P? ? ? ?
10AyF ?? kN
取 BDC 杆（不带着轮） 取 ABE（ 带着轮） 取 ABE杆（不带着轮）
取 BDC杆（带着轮）
1
0
4 3 4 0
B
C y T T C x
M
a F F a F a F a
??
? ? ? ? ? ? ?
解得
15kNCyF ?
例 3-16 已知,P,a,各杆重不计；
求,B 铰处约束力,
解,取整体，画受力图
0CM?? 20ByFa? ? ?
解得 0
ByF ?
取 DEF杆，画受力图
0DM?? s in 4 5 2 0EF a F a? ? ? ?o
0xF?? 'c o s 4 5 0E D xFF ??o
0EM?? ' 20DxF a F a? ? ? ?
' c o s 4 5 2D x EF F F?? o' 2DxFF?
对 ADB杆受力图
0AM??
20B x D xF a F a? ? ? ?
得 BxFF??
s in 4 5 2EFF?o
例 3-17 已知,a,b,P,各杆重不计,C,E处光滑；
求证,AB杆始终受压，且大小为 P.
解,取整体，画受力图,
0xF?? 0AxF ?
0EM?? ( ) 0AyP b x F b? ? ? ? ?
得 ()
Ay
PF b x
b??
取销钉 A,画受力图
0xF?? 0A x A D C xFF??
0ADCxF ?得
0yF?? 0A B A y A D C yF F F? ? ?
取 ADC杆，画受力图,
取 BC,画受力图,
0BM?? ' 0CF b P x? ? ?
得 'C xFP
b?
0DM?? ' 022A D Cy CbbFF? ? ? ?
得 '
A D C y C
xF F P
b??
解得 (ABFP?? 压）
例 3-18
已知,q,a,M,
2,M q a?且
P作用于销钉 B上；
求,固定端 A处的约束力和销
钉 B对 BC杆,AB杆的作用
力,
解,取 CD杆，画受力图,
0DM??
02Cx aF a q a? ? ? ?
得 1
2CxF qa?
BCyF qa?解得
0CM?? 0B C yM F a??
1
2B C xF qa?
' 0B C x C xFF??0xF??
取 BC杆（不含销钉 B),画受力图,
取销钉 B,画受力图,
0xF?? '' 0A B x B C xFF??
0yF?? '' 0A B y B C yF F P? ? ?
解得 ' 1
2ABxF qa?
'AByF P qa??
则
1
2ABxF q a??
()AByF P q a? ? ?
取 AB杆（不含销钉 B）,画受力图,
0xF?? 1 302A x A B xF q a F? ? ? ? ?
解得 AxF qa??
0yF?? 0A y A B yFF??
解得
AyF P q a??
0AM??
1 3 3 0
2A A B x A B yM q a a F a F a? ? ? ? ? ? ? ? ?
解得 ()
AM P q a a??
例 3-19
已知,荷载与尺寸如图；
求,每根杆所受力,
解,取整体，画受力图,
0xF?? 0AxF ?
0BM?? 8 5 8 1 0 6 1 0 4 1 0 2 0AyF? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
得 20
AyF ? kN
0yF?? 4 0 0A y B yFF? ? ?
得 20
ByF ? kN
求各杆内力
取节点 A 0
0
y A D
x A C
FF
FF
? ? ???
? ? ? ??
?
取节点 C
0
00
x CF
y CD
FF
FF
? ? ???
? ? ? ? ??
?
取节点 D
0
,
0
y
D F D E
x
F
FF
F
????
??
????
取节点 E
0
0
y E G
x E F
FF
FF
? ? ???
? ? ? ??
?
LL
求,１，２，３杆所受力,
解,求支座约束力
0AM ??
AyF?
0yF ??
ByF?
0yF ??
从 1,2,3杆处截取左边部分
2F?
0CM ?? 1F?
0xF ??
3F?
例 3-20
已知,P1,P2,P3,尺寸如图,
取节点 D
0xF ??
0yF ??
5F?
4F?
若再求４,５杆受力
由直角曲杆 ABC,DE,直杆 CD及滑轮组成的结构
如图所示, AB杆上作用有水平均布载荷 q。 不计各构件
的重量, 在 D处作用一铅垂力 F,在滑轮上悬吊一重为
P的重物, 滑轮的半径 r = a,且 P = 2F,CO=OD。
求支座 E及固定端 A的约束力 。
