第四章 桩基础的设计计算
1．本章的核心及分析方法
本节将介绍考虑桩与桩侧土共同抵抗外荷载作用时桩身的内力计算，从而解决桩的强度问题。重点是桩受横轴向力时的内力计算问题。
桩在横轴向荷载作用下桩身的内力和位移计算，国内外学者提出了许多方法。目前较为普遍的是桩侧土采用文克尔假定，通过求解挠曲微分方程，再结合力的平衡条件，求出桩各部位的内力和位移，该方法称为弹性地基梁法。
以文克尔假定为基础的弹性地基梁法从土力学观点看是不够严密的，但其基本概念明确，方法简单，所得结果一般较安全，在国内外工程界得到广泛应用。我国公路、铁路在桩基础的设计中常用的“m”法、就属此种方法，本节将主要介绍“m”法。
2．学习要求
本章应掌握桩单桩按桩身材料强度确定桩的承载力的方法，“”法计算单桩内力的各种计算参数的使用方法，多排桩的主要计算参数及其各自的含义。掌握承台计算方法,群桩设计的要点及注意事项,了解桩基设计的一般程序及步骤。本专科生均应能独立完成单排桩和多排桩的课程设计。
单排桩基桩内力和位移计算
一、基本概念
（一）土的弹性抗力及其分布规律
1．土抗力的概念及定义式
（1）概念
桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移及转角，使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力，它起抵抗外力和稳定桩基础的作用。土的这种作用力称为土的弹性抗力。
（2）定义式
（4-1）
式中： ——横向土抗力，kN/m2；
——地基系数，kN/m3；
——深度Z处桩的横向位移，m。
2．影响土抗力的因素
（1）土体性质
（2）桩身刚度
（3）桩的入土深度
（4）桩的截面形状
（5）桩距及荷载等因素
3．地基系数的概念及确定方法
（1）概念
地基系数C表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力，单位为kN/m3或MN/m3。
（2）确定方法
地基系数大小与地基土的类别、物理力学性质有关。
地基系数C值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测及后反算得到。大量的试验表明,地基系数C值不仅与土的类别及其性质有关，而且也随着深度而变化。由于实测的客观条件和分析方法不尽相同等原因，所采用的C值随深度的分布规律也各有不同。常采用的地基系数分布规律有图下所示的几种形式，因此也就产生了与之相应的基桩内力和位移的计算方法。
图4-1 地基系数变化规律
现将桩的几种有代表性的弹性地基梁计算方法概括在表下中。
桩的几种典型的弹性地基梁法 表4-1
计算方法
图 号
地基系数随深度分布
地基系数C表达式
说 明
m法
4-50a）
与深度成正比
C=mZ
m为地基土比例系数
K法
4-50b）
桩身第一挠曲零点以上抛物线变化，以下不随深度变化
C=K
K为常数
C值法
4-50c）
与深度呈抛物线变化
C=cZ0.5
c为地基土比例系数
张有龄法
4-50d）
沿深度均匀分布
C=K0
K0为常数
上述的四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同，其计算结果是有差异的。实验资料分析表明，宜根据土质特性来选择恰当的计算方法。
（二）单桩、单排桩与多排桩
1．单排桩的概念与力的分配
（1）概念
是指与水平外力H作用面相垂直的平面上，仅有一根或一排桩的桩基础。
（2）力的分配
对于单排桩，如下图所示桥墩作纵向验算时，若作用于承台底面中心的荷载为N、H、My ，当在单排桩方向无偏心时，可以假定它是平均分布在各桩上的，即
（4-2）
式中：——桩的根数。
当竖向力N在单排桩方向有偏心距e时，如图所示，即Mx=Ne，因此每根桩上的竖向作用力可按偏心受压计算，即
图4-2 单桩、单排桩及多排桩 图4-3 单排桩的计算
（4-2）
由于单桩及单排桩中每根桩桩顶作用力可按上述简单公式计算，所以归成一类。
2．多排桩概念基力的分配
（1）概念
是指在水平外力作用平面内有一根以上桩的桩基础（对单排桩作横桥向验算时也属此情况）。
（2）力的分配
不能直接应用上述公式计算各桩顶上的作用力，须应用结构力学方法另行计算。
（三）桩的计算宽度
1．定义
计算桩的内力与位移时不直接采用桩的设计宽度（直径），而是换算成实际工作条件下相当于矩形截面桩的宽度b1，b1称为桩的计算宽度。
2．采用计算宽度的原因
为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的相互遮蔽作用。
3．计算方法
根据已有的试验资料分析，现行规范认为计算宽度的换算方法可用下式表示：
···（） （4-3）
式中：（）——与外力H作用方向相垂直平面上桩的边长（宽度或直径）；
——形状换算系数，即在受力方向将各种不同截面形状的桩宽度乘以
，换算为相当于矩形截面宽度，其值见表；
——受力换算系数，即考虑到实际桩侧土在承受水平荷载时为空间受力
问题，简化为平面受力时所采用的修正系数，其值见表；
K——各桩间的相互影响系数。如图所示，当水平力作用平面内有多
根桩时，桩柱间会产生相互产生影响。为了考虑这一影响，可将桩的实际宽度（直径）乘以系数K，其值按下式决定：L1≥0.6h1时K=1.0；
当L1＜0.6h1时
计算宽度换算 表4-2
名 称
符号
基 础 形 状
形状换算系数
Kf
1.0
0.9
0.9
受力换算系数
K0
（4-4）
式中：L1——与外力作用方向平行的一排桩的桩间净距（图3-53）；
h1——地面或局部冲刷线以下桩柱的计算埋入深度，可按下式计算，但h1值不得大于桩的入土深度（），h1=3(d+1) m；
d——桩的直径，m；
——根据与外力作用方向平行的所验算的一排桩的桩数而定的系数。当=1时=1，当=2时=0.6，当=3时=0.5，当≥4时=0.45。
但桩基础中每一排桩的计算总宽度不得大于（+1），当nb1大于（+1）时，取（+1）。为边桩外侧边缘的距离。
当桩基础平面布置中，与外力作用方向平行的每排桩数不等，并且相邻桩中心距≥（b+1）时，可按桩数最多一排桩计算其相互影响系数K值，并且各桩可采用同一影响系数。
为了不致使计算宽度发生重叠现象，要求以上综合计算得出的b1≤2b。
以上的计算方法比较复杂，理论和实践的根据也是不够的，因此国内有些规范建议简化计算。圆形桩：当d≤1m时，b1=0.9（1.5d+0.5）；当d＞1m时，b1=0.9（d+1）。方形桩：当边宽b≤1m时，b1=1.5b+0.5；当边宽＞1m时，b1=b+1。而国外有些规范更为简单：柱桩及桩身尺寸直径0.8m以下的灌注桩，b1=d+1（m）；其余类型及截面尺寸的桩，b1=1.5d+0.5（m）。
（四）刚性桩与弹性桩
为计算方便起见，按照桩与土的相对刚度，将桩分为刚性桩和弹性桩。
1．弹性桩
当桩的入土深度时，这时桩的相对刚度小，必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算。其中称为桩的变形系数，
2．刚性桩
当桩的入土深度≤时，则桩的相对刚度较大，计算时认为属刚性桩，
二、“m”法计算桩的内力和位移
（一）计算参数
地基土水平抗力系数的比例系数m值宜通过桩的水平静载试验确定。但由于试验费用、时间等原因，某些建筑物不一定进行桩的水平静载试验，可采用规范提供的经验值如下表所示。
非岩石类土的比例系数m值
序 号
土 的 分 类
m或m0（MN/m4）
1
流塑粘性土IL＞1、淤泥
3～5
2
软塑粘性土1＞IL＞0.5、粉砂
5～10
3
硬塑粘性土0.5＞IL＞0、细砂、中砂
10～20
4
坚硬、半坚硬粘性土IL＜0、粗砂
20～30
5
砾砂、角砾、圆砾、碎石、卵石
30～80
6
密实粗砂夹卵石，密实漂卵石
80～120
在应用上表时应注意以下事项
1．由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即m值随荷载与位移增大而有所减小，因此，m值的确定要与桩的实际荷载相适应。一般结构在地面处最大位移不超过10mm，对位移敏感的结构、桥梁工程为6mm。位移较大时，应适当降低表列m值。
2．当基桩侧面由几种土层组成时，从地面或局部冲刷线起，应求得主要影响深度hm=2（d+1）米范围内的平均m值作为整个深度内的m值（见图4-5）对于刚性桩，hm采用整个深度h。
当hm深度内存在两层不同土时：
(4-5)
当hm深度内存在三层不同土时：
（4-6）
3．承台侧面地基土水平抗力系数Cn
Cn=m·hn （4-7）
式中：m——承台埋深范围内地基土的水平抗力系数，MN/m4；
hn——承台埋深，m。
4．地基土竖向抗力系数C0、Cb和地基土竖向抗力系数的比例系数m0
（1）桩底面地基土竖向抗力系数C0
C0=m0h （4-8）
式中：m0——桩底面地基土竖向抗力系数的比例系数，kN/m4，近似取m0=m；
h——桩的入土深度(m)，当h小于10m时，按10m计算。
（2）承台底地基土竖向抗力系数Cb
Cb=m0hn （4-9）
式中：hn——承台埋深(m)，当hn小于1m时，按1m计算。
岩石地基竖向抗力系数C0 表 3-17
单轴极限抗压强度标准值RC（MPa）
C0（MN/m3）
1
≥25
300
15000
注：当RC为表列数值的中间值时，C0采用插入法确定。
（二）符号规定
在公式推导和计算中，取4-6图所示的坐标系统，对力和位移的符号作如下规定：横向位移顺x轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩当左侧纤维受拉时为正值；横向力顺x轴方向为正值，如4-7图所示。
图4-6 桩身受力图示
（三）桩的挠曲微分方程的建立及其解
桩顶若与地面平齐（Z=0），且已知桩顶作用水平荷载及弯矩M0，此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力σzx，如图3-55所示。从材料力学中知道，梁的挠度与梁上分布荷载q之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为
（4-9）
式中：E、I——分别为梁的弹性模量及截面惯矩。
因此可以得到桩的挠曲微分方程为
（4-10）
式中：E、I——分别为桩的弹性模量及截面惯矩；
——桩侧土抗力，，C为地基系数；
——桩的计算宽度；
——桩在深度处的横向位移（即桩的挠度）。
将上式整理可得
或 （4-11）
式中：——桩的变形系数或称桩的特征值（1/m），
其余符号意义同前。
从桩的挠曲微分方程中不难看出，桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度（包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有关，是与桩土变形相关的系数。
式（4-11）为四阶线性变系数齐次常微分方程，在求解过程中注意运用材料力学中有关梁的挠度与转角、弯矩和剪力之间的关系，即
（4-12）
就可用幂级数展开的方法求出桩挠曲微分方程的解（具体解法可参考有关专著）。若地面处即=0处，桩的水平位移、转角、弯矩和剪力分别以、、和表示，则桩挠曲微分方程（式4-11）的解即桩身任一截面的水平位移的表达式为
（4-13）
利用式（4-13），对求导计算，并通过归纳整理后，便可求得桩身任截面的转角、弯矩及剪力的计算公式：
（4-14）
（4-15）
（4-16）
根据土抗力的基本假定，可求得桩侧土抗力的计算公式：
（4-17）
以上公式（4-14）、（4-15）、（4-16）、（4-17）中，Ai、Bi、Ci、Di（i=1～4）为16个无量纲系数，根据不同的换算深度已将其制成表格, 由附表可查用。
以上求算桩的内力、位移和土抗力的式（4-13）～（4-17）等五个基本公式中均含有、、M0、这四个参数。其中M0、可由已知的桩顶受力情况确定，而另外两个参数、则需根据桩底边界条件确定。由于不同类型桩的桩底边界条件不同，应根据不同的边界条件求解、。
摩擦桩、柱承桩在外荷作用下，桩底将产生转角位移时，桩底的抗力情况如图4-8所示，与之相应的桩底弯矩值为
式中：A0——桩底面积；
——桩底面积对其重心轴的惯性矩；
——基底土的竖向地基系数，。
这是一个边界条件。此外，由于忽略桩与桩底土之间的摩阻力，所以认为=0，即为另一个边界条件。
将= -及=0分别代入式(4-15)、(4-16)中得
=
=0
又
解以上联立方程即得
（4-18）
式中：、、、均为的函数，可以由、、、计算得到。对于h≥2.5的摩擦桩或h≥3.5的支承桩，几乎为零，此时这四个系数的计算公式可以简化，已制成由值查用的表格，查看附录或参考《公路桥梁基础规范》。
对于桩底嵌固于未风化岩层内有足够的深度时，可根据桩底、等于零这两个边界条件，联立求解得
（4-19）
式中、、、也都是的函数，根据值制成表格，可查阅附录或有关规范。
大量计算表明，≥4.0时，桩身在地面处的位移、转角与桩底边界条件无关，因此≥4.0时，嵌岩桩与摩擦桩（或支承桩）计算公式均可通用。
求得、后，便可连同已知的、一起代入式（4-12）～（4-17），从而求得桩在地面以下任一深度的内力、位移及桩侧土抗力。
（四）无量纲法(桩身在地面以下任一深度处的内力和位移的简捷计算方法)
按上述方法，用基本公式（4-14）、（4-15）、（4-16）、（4-17）计算、、、，其计算工作量相当繁重。当桩的支承条件入土深度符合一定要求时,可利用比较简捷计算方法来计算,即所谓的无量纲法。其主要特点一是利用边界条件求x0、时，系数采用简化公式；二是因为、都是、的函数，代入基本公式整理后，无须再计算桩顶位移x0、，而直接由已知的、求得。
对于>2.5的摩擦桩、>3.5的柱承桩，将式（4-19）代入式（4-14）～（4-17）经过整理归纳即可得
（4-19a）
（4-19b）
（4-19c）
（4-19d）
对于>2.5的嵌岩桩，将式（4-18）分别代入式（4-14）～（4-17），再经整理得
（4-20a）
（4-20b）
（4-20c）
（4-20d）
式（4-19）、（4-20）即为桩在地面下位移及内力的无量纲法计算公式，其中、、、、、、、及、、、、、、A、为无量纲系数，均为h和的函数，已将其制成表格供查用。本书摘录了一部分，见附表1～附表12。使用时，应根据不同的桩底支承条件，选择不同的计算公式，然后再按、查出相应的无量纲系数，再将这些系数代入式（4-19）或式（4-20），就可以求出所需的未知量。当≥4时，无论采用哪一个公式及相应的系数来计算，其计算结果都是接近的。
由式（4-19）及（4-20）可简捷地求得桩身各截面的水平位移、转角、弯矩、剪力以及桩侧土抗力。由此便可验算桩身强度，决定配筋量，验算桩侧土抗力及其墩台位移等。
（五）桩身最大弯矩位置和最大弯矩的确定
桩身各截面处弯矩的计算，主要是检验桩的截面强度和配筋计算（关于配筋的具体计算方法，见结构设计原理教材内容）。为此，要找出弯矩最大的截面所在的位置相应的最大弯矩值，一般可将各深度处的Mz值求出后绘制图，即可从图中求得。也可用数解法求得及值如下。
在最大弯矩截面处，其剪力等于零，因此=0处的截面即为最大弯矩所在位置。
由式（4-19d）令
则
（4-21）
式中：CQ及DQ也为与有关的系数，当≥4.0时，可按附表13查得。CQ或DQ值按式（4-21）求得后即可从附表13中求得相应的值，因为为已知，所以最大弯矩所在的位置即可求得。
由式（4-21）可得
（4-22）
将式（4-22）代入（4-19）则得
（4-23）
式中：；
由上式可知与为的函数，当≥4.0时，即可由附表13查出。
综上所述，由式（4-74）算出CQ或DQ，由附表13查出和（或），代入式（4-23）即可得最大弯矩值和所在位置。当≥4.0时，可另查有关设计手册。
（六）桩顶位移的计算
图4-9所示的为置于非岩石地基中的桩，已知桩露出地面长，若桩顶为自由端，其上作用有Q及M，顶端的位移可应用叠加原理计算。设桩顶的水平位移为，它是由下列各项组成：桩在地面处的水平位移、地面处转角所引起的桩顶的水平位移、桩露出地面段作为悬臂梁桩顶在水平力Q作用下产生的水平位移以及在作用下产生的水平位移，即
（4-24）
因逆时针为正，所以式中用负号。
桩顶转角则由地面处的转角、水平力作用下引起的转角及弯矩作用引起的转角组成，即
（4-25）
上两式中的及可按计算所得的及分别代入式（4-19a）及式（4-19b）（此时式中的无量纲系数均用时的数值）求得，即
（4-26）
（4-27）
上式中的、、、是把露出段作为下端嵌固、跨度为lo的悬臂梁计算而得，即
（4-28）
由上式算得、及、、代入式（4-26）、（4-27）再经整理归纳，便可写成如下表达式：
（4-29）
式中：Ax1、Bx1=、均为及的函数，现列于附表14～16中。
对于桩底嵌固于岩基中、桩顶为自由端的桩顶位移计算，只要按相关公式计算出时的、即可按上述方法求出桩顶水平位移及转角，其中、、、仍可按式（4-28）计算。
露出地面部分为变截面的桩的计算，可参看有关规范。单桩、单排桩基础的设计计算，首先应根据上部结构的类型、荷载性质与大小、地质与水文资料，施工条件等情况，初步拟定出桩的直径和长度。承台位置。桩的根数及排列等，然后进行验算与修正，选出最佳方案。具体计算可参见下列算例。
三、单排桩内力计算示例(略)
第三节 多排桩内力与位移计算
图4-10所示为多排桩基础，它具有一个对称面的承台，且外力作用于此对称平面内。假定承台与桩头为刚性联结。由于各桩与荷载的相对位置不尽相同，桩顶在外荷载作用下的变位就会不同，外荷载分配到各个桩顶上的荷载、、也就不同。因此，不能再用单排桩的办法计算多排桩中基桩桩顶的、、值。一般将外力作用平面内的桩看作平面框架，用结构位移法解出各桩顶上的、、后，就可以应用单桩的计算方法解决多排桩的问题了，也就是说，把多排桩的问题化成单排桩。
（一）承台变位及桩顶变位
假设承台为一绝对刚性体，现以承台底面中心点O作为承台位移的代表点。O点在外荷载、、作用下产生横轴向位移、竖向位移及转角。其中、以坐标轴正向为正，以顺时针转动为正。
桩顶嵌固于承台内，当承台在外荷载作用下产生变位时，各桩顶之间的相对位置不变，各桩桩顶的转角与承台的转角相等。设第排桩桩顶（与承台联结处）沿轴方向的线位移为，轴方向的线位移为，桩顶转角为，则有如下关系式：
（4-30）
式中：——第排桩桩顶轴线至承台中心的水平距离。
若基桩为斜桩，如图4-10所示，那么，就又有三种位移。设为第排桩桩顶处沿桩轴线方向的轴向位移，为垂直于桩轴线的横轴向位移，为桩轴线的转角，根据投影关系则应有
（4-31）
（二）单桩桩顶的刚度系数
前面已经建立了承台变位和桩顶变位之间的关系，为了建立位移方程，还必须建立桩顶变位和桩顶内力之间的关系。为此，首先引入单桩桩顶的刚度系数。
设第根桩桩顶作用有轴向力、横轴向力、弯矩，如图4-11所示，则定义为当桩顶仅仅发生种单位变位时，在桩顶引起的种内力。具体到图3-64中的变位图式，则有：
图4-10 多排桩基础 图4-11
（1）当第根桩桩顶处仅产生单位轴向位移（即）时，在桩顶引起的轴向力为，也即；
（2）当第根桩桩顶处仅产生单位横轴向位移（即）时，在桩顶引起的横轴向力为，也即；
（3）当第根桩桩顶处仅产生单位横轴向位移（即）时，在桩顶引起的弯矩为，也即；或当桩顶仅产生单位转角（即）时，在桩顶引起的横轴向力为，也即。==；
（4）当第根桩桩顶处仅产生单位转角（即）时，在桩顶引起的弯矩为，也即；
由此，第根桩桩顶变位所引发的桩顶内力分别为：
（4-32）
由此可见，只要能解出、、及、、、，就可以由上式求得、和，从而利用单桩方法求出基桩的内力。
（即）的求解：
桩顶承受轴向力而产生的轴向位移包括桩身材料的弹性压缩变形及桩底处地基土的沉降两部分。在对桩侧摩阻力作理想化假设之后，可得到
·
剩下的问题就是确定。
设外力在桩底平面处的作用面积为，则根据文克尔假定得
（4-33）
由此得桩顶的轴向变形为
（4-34）
令上式中，所求得的即为。其余的单桩桩顶刚度系数均为基桩受单位横轴向力（包括弯矩）作用的结果，可以由单桩“”法求得。其结果为：
（4-35）
式中：——系数，目前暂不计入桩顶与桩底荷载比值，对于打入桩和振动桩取
，钻、挖孔灌注桩取，柱桩则取；
——桩身横截面面积；
——桩身材料的受压弹性模量；
——桩底平面处地基土的竖向地基系数，；
——单桩桩底压力分布面积，即桩侧摩阻力以扩散到桩底时的面积，对于柱桩，为单桩的底面面积；对于摩擦桩，取下列二式计算值的较小者；
式中： ——桩周各土层内摩擦角的加权平均值；
——桩的计算直径；
——桩的中心距；
、、——无量纲系数，均是及的函数，＞的摩擦桩列于表17～表19中，其余可在有关设计手册中查取。
（三）桩群刚度系数
为了建立承台变位和荷载之间的关系，还必须引入整个桩群的刚度系数。其定义为当承台发生单位种变位时，所有桩顶（必要时包括承台侧面）引起的种反力之和。共有9个，其具体意义及算式如下。
当承台产生单位横轴向位移（）时，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和、反弯矩之和为、、：
（4-36）
式中表示桩的根数。
承台产生单位竖向位移时（），所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为、、：
（4-37）
当承台绕坐标原点产生单位转角（）时，所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为、、：
（4-38）
（四）建立平衡方程
根据结构力学的位移法，沿承台底面取脱离体，如图4-13所示。承台上作用的荷载应当和各桩顶（需要时考虑承台侧面土抗力）的反力相平衡，可列出位移法的方程如下：
（4-39）
联立求解上式可得承台位移、、的数值。这样，公式（4-39）中右端各项均为已知，从而可算得第根桩桩顶的轴向力、横轴向力及弯矩。至此，即可按单桩的“m”法计算多排桩身内力和位移。当桩柱布置不对称时，坐标原点可任意选择；当桩柱布置对称时，将坐标原点选择在对称轴上，此时有，代入式（4-39）可简化计算。如果是竖直桩，则以=0，代入前述方程，可直接求出、和：
（4-40）
(4-41)
（4-42）
当各桩直径相同时，则
（4-43）
（4-44）
（4-45）
因为此时桩均为竖直且对称，式（3-72）可写成
（4-46）
(五) 多排桩算例(略)
第三节 群桩基础竖向分析及其验算计算
试验表明，低桩承台的承台底面摩阻力和侧向土抗力对抵抗水平外力的作用是明显的，此时可考虑承台、基桩和土协同工作，使设计更加合理。但是，当承台底面以下存在可液化土、湿陷性黄土、高灵敏度软土、欠固结土、新填土、或可能出现震陷、降水、沉桩过程产生高孔隙水压和土体隆起时，则不考虑承台底的摩阻力。
如图4-14所示，承台埋入地面或最大冲刷线以下为，为承台侧面任一点距底面的距离（取绝对值），则点的位移为。设为承台底面处侧向土的地基系数，地面处为零，中间按直线变化，则承台侧面土作用在单位宽度上的水平抗力及其对垂直于平面的轴的变矩为
（4-47）
（4-48）
式中：——承台底面处侧向土的地基系数；
、、——承台底面以上侧向土水平抗力系数图形的面积、对于底面的面积矩、惯性矩：
在图4-14中，承台在垂直于力作用面方向的宽度为，则承台的计算宽度。设桩群的基桩数为，第排桩的根数为，坐标原点至桩的距离为，则承台仅发生单位竖向位移（）时，承台受到
（4-49）
当承台仅发生单位水平位移（）时，承台受到
（4-50）
当承台仅发生单位转角时（），承台受到
(4-51)
式中：——承台发生单位竖向位移时，承台底所受到的竖向抗力。其中为承台底地基土的竖向抗力系数，，＜m时按1m计算，m； 为承台底面与地基土的接触面积，，为承台的底面 面积，为各个基桩桩顶的横截面积；
——承台发生单位竖向位移时承台底所受到的水平向抗力（摩阻力），为摩擦系数；
——承台发生单位水平位移时承台侧面所受到的水平土抗力；
——承台发生单位水平位移时承台侧面受到的土抗反弯矩，或承台发生单位转角时，承台所受到的水平土抗力；
——承台发生单位转角时承台侧面所受到的土抗力反弯矩；
——承台发生单位转角时承台底面所受到的土抗力反弯矩。为承台底与地基土接触面的惯性矩。，其中为承台底面积，为 承台底面积的惯性矩。
有了前述的群桩的刚度系数，而单桩桩顶的刚度系数不发生变化，从而可以利用前述多排桩的方法，解方程（4-29）得承台的位移、、，进而得到第根桩的桩顶作用力、、，求出各桩的内力和位移。对于竖直（）而桩截面面积均相等的情况，有关规范中备有计算公式，可以直接引用计算，而不必解方程。
上述考虑承台、桩、土共同作用的计算水平荷载下的群桩，计算理论比较完整严密，考虑的因素比较全面，特别是承台埋深较大或有地下室的情况，承台和地下侧墙的承载作用能得到合理考虑，这是符合实际的，并能取得明显的技术经济效果。因此，这一方法计算的对象规定为两类，第一类是受8度或8度以上地震作用的大型桥梁或高大建筑物桩基。这类桩基不仅各单桩受力大，而且由于建筑物重心高，靠外缘的桩还可能受到力矩引起的拔力，按上述方法计算能考虑抵抗水平力的有利和不利因素，使设计更加合理。第二类是受水平力的高承台桩基。因其抵抗水平的能力差，计算粗糙可能招致损坏。如力矩荷载的大小对基桩内力的影响很大，在传统的简化公式中就无法考虑。此外，对一些承受水平力较大的剪力墙桩基，也可考虑按这种方法计算。
群桩基础承载力验算
由柱桩组成的群桩基础，群桩承载力等于单桩承载力之和，群桩基础沉降等于单桩沉降，群桩效应可以忽略不计，不需要进行群桩承载力验算。即使由摩擦桩组成的群桩基础，在一定条件下也不需要验算群桩基础的承载力。例如建筑桩基础规定根数少于3根的群桩基
础，桥梁工程规定桩距≥6倍桩径时，只要验算单桩的承载力就可以了。但当不满足规范条件要求时，除了验算单桩承载力外，还需要验算桩底持力层的承载力。
例如摩擦群桩基础当桩间中心距小于6倍桩径时，如图4-15所示，将桩基础视为相当于cdef范围内的实体基础，桩侧外力认为以φ/4角向下扩散，可按下式验算桩底平面处土层的承载力：
≤ （4-52）
式中：——桩底平面处的最大压应力，kPa；
——桩底以上土的平均容重, kN/m3；
——承台底面以上土的容重，kN/m3；
——作用于承台底面合力的竖直分
力，kN；
e ——作用于承台底面合力的竖直分力对桩底平面处计算面积重心轴的偏心
距，m；
A ——假想的实体基础在桩底平面处的计
算面积，即a×b（图3-46），m2；
W ——假想的实体基础在桩底平面处的截
面模量，m3；
L、B——承台的长度、宽度，m；
——桩底平面处的容许承载力，或承载力设计值，应经过埋深（h+l）修正；
——承台底面到桩端的距离，m；
——承台底面到地面（或最大冲刷线）的距离。对（图3-46b）所示的高承台桩
基，h=0，埋置深度即为l。
如果需要，可以将群桩基础作为一个实体基础，用分层总和法计算桩端以下持力层的沉降量。持力层下有软弱土层时，还应验算软弱下卧层的承载力。具体计算可参阅有关规范或设计手册。
由以上的介绍可见，桩基础设计计算的工作量是相当大的，因此，许多单位已经编制有计算软件可供使用。其基本步骤概括于图4-16所示的计算框图中。
T-肯定或满足；F-否定或不满足
图4-16 桩基础设计计算步骤与程序示意框图
注：①框图内“计算和确定参数”是指须参与计算的各常数及单排桩、多排桩计算需用的各种参数；
②x0是指地面或最大冲刷深度处桩的横向位移。
第四节 承台的计算
承台是桩基础的一个重要组成部分。承台应有足够的强度和刚度，以便把上部结构的荷载传递给各桩，并将各单桩联结成整体。
承台设计包括承台材料、形状、高度、底面标高和平面尺寸的确定以及强度验算，并要符合构造要求。除强度验算外，上述各项均可根据本章前叙有关内容初步拟定，经验算后若不能满足有关要求，仍须修改设计，直至满足为止。
承台按极限状态设计，一般应进行局部受压、抗冲剪、抗弯和抗剪验算。
一、桩顶处的局部受压验算
桩顶作用于承台混凝土的压力，如不考虑桩身与承台混凝土间的粘着力，局部承压时，按下式计算：
≤ （4-53）
式中：——承台内一根基桩承受的最大计算的轴向力（kN），，其中结构重要性系数、荷载组合系数、荷载安全系数可查《公路砖石及混凝土桥涵设计规范》取用Pi为桩的最大轴向力；
——材料安全系数，混凝土为1.54；
——承台内基桩桩顶横截面面积（m2）；
——混凝土抗压极限强度（kN/m2）；
——局部承压时的提高系数，规范有规定计算方法。
如验算结果不符合上式要求，应在承台内桩的顶面以上设置1～2层钢筋网，钢筋网的边长应大于桩径的2.5倍，钢筋直径不宜小于12mm，网孔为100×100mm，如图4-17。
二、桩对承台的冲剪验算
桩顶到承台顶面的厚度，应根据桩顶对承台的冲剪强度，按下式近似计算确定（参看图4-18）
≥ （4-54）
式中： ——承台受桩冲剪，破裂锥体的平均周长；
——承台内桩顶周长如图3-49，当采用破桩头联结时可按喇叭口周长计（m）；
——承台顶面受桩冲剪后预计破裂面周长（m），桩顶承台冲剪破裂线按35°向
上扩张，如图4-18；
——混凝土抗剪极限强度（kN/m2）。
一般不应小于0.5～1.0m，如不符式（4-54）要求，也应如图4-17所示，在桩顶设钢筋网。
如基桩在承台的布置范围不超过墩台边缘以刚性角（）向外扩散范围（如图4-17所示），可不验算桩对承台的冲剪强度。
三、承台抗弯及抗剪强度验算
承台应有足够的厚度及受力钢筋以保证其抗弯及抗剪切强度。承台在桩反力作用下，作为双向受弯构件尚无统一验算方法，现以图4-18，桩基础重力式桥墩为例，说明常采用的承台内力在两个方向上分别进行单向受力的近似计算方法。
（一）承台抗弯验算
按照3-49所示桩及桥墩在承台布置情况，承台最大弯矩将发生在墩底边缘截面
A-A及B-B。按单向受弯计算，该截面弯矩计算公式为
（4-55）
式中:、——分别为承台A-A、B-B截面所产生的弯矩（kN·m）；
、——对A-A、B-B截面作用基桩数，在图中=3，=5；
、——每排桩中心到截面A-A、B-B的距离（m），如襟边范围内对计算截面作用的桩超过一排时，各排桩的S应分别计算后叠加；
、——对A-A、B-B截面作用的各排桩的单桩在设计荷载作用下平均轴向受力（kN）。
在确定承台的验算截面后，可根据钢筋混凝土矩形截面受弯构件按极限状态设计法进行承台纵桥向及横桥向配筋计算或验算截面抗弯强度。
（二）承台抗剪切强度验算
承台应有足够的厚度，防止沿墩身底面边缘A-A、B-B截面处产生剪切破坏（图4-18）。在各截面剪切力分别为及，按此验算承台厚度，必要时在承台纵桥向及横桥向配置抗剪钢筋网或加大承台厚度。
在验算承台强度时，承台厚度可自顶面算至承台底层钢筋网。
桩柱式墩台，一般应将桩柱上承台视为支承在桩柱的单跨或多跨连续受弯构件计算并配筋和验算截面强度，以保证其抗弯、抗剪结构强度和位移、裂缝等。
第五节 桩基础设计
设计桩基础时，首先应该搜集必要的资料，包括上部结构型式与使用要求，荷载的性质与大小，地质和水文资料，以及材料供应和施工条件等。据此拟定出设计方案（包括选择桩基类型、桩长、桩径、桩数、桩的布置、承台位置与尺寸等），然后进行基桩和承台以及桩基础整体的强度、稳定、变形验验，经过计算、比较、修改，以保证承台、基桩和地基在强度、变形及稳定性方面满足安全和使用上的要求，并同时考虑技术和经济上的可能性与合理性，最后确定较理想的设计方案。
一、桩基础类型的选择
选择桩基础类型时，应根据设计要求和现场的条件，并考虑各种类型桩基础具有的不同特点，综合分析选择。
（一）承台底面标高的考虑
承台底面的标高应根据桩的受力情况，桩的刚度和地形、地质、水流、施工等条件确定。承台低稳定性较好，但在水中施工难度较大，因此可用于季节性河流、冲刷小的河流或旱地上其它结构物的基础。当承台埋设于冻胀土层中时，为了避免由于土的冻胀引起桩基础损坏，承台底面应位于冻结线以下不少于0.25m，对于常年有流水，冲刷较深，或水位较高，施工排水困难，在受力条件允许时，应尽可能采用高桩承台。承台如在水中或有流冰的河道，承台底面也应适当放低，以保证基桩不会直接受到撞击，否则应设置防撞装置。当作用在桩基础上的水平力和弯矩较大，或桩侧土质较差时，为减少桩身所受的内力，可适当降低承台底面标高。有时为节省墩台身圬工数量，则可适当提高承台底面标高。
（二）柱桩桩基和摩擦桩桩基的考虑
柱桩和摩擦桩的选择主要根据地质和受力情况确定。柱桩桩基础承载力大，沉降量小，较为安全可靠，因此当基岩埋深较浅时，应考虑采用柱桩桩基。若岩层埋置较深或受施工条件的限制不宜采用柱桩，则可采用摩擦桩，但在同一桩基础中不宜同时采用柱桩和摩擦桩，同时也不宜采用不同材料、不同直径和长度相差过大的桩，以避免桩基产生不均匀沉降或丧失稳定性。
当采用柱桩时，除桩底支承在基岩上（即柱承桩）外，如覆盖层较薄，或水平荷载较大，还需将桩底端嵌入基岩中一定深度成为嵌岩桩，以增加桩基的稳定性和承载能力。为保证嵌岩桩在横向荷载作用下的稳定性，需嵌入基岩的深度与桩嵌固处的内力及桩周岩石强度有关，应分别考虑弯矩和轴力要求，由要求较高的来控制设计深度。考虑弯矩时，可用下述近似方法确定。
作如图4-19所示的假设，即忽略嵌固处水平剪力影响，桩在岩层表面处弯矩MH作用下，绕嵌入深度h的处转动；偏安全地不计桩端与岩石的摩阻力；不考虑桩底抵抗弯矩，MH由桩侧岩层产生的水平抗力平衡。同时，考虑到桩侧为圆柱状曲面，其四周受力不均匀，假定最大应力为平均应力的1.27倍。
由以上假设，根据静力平衡条件（∑M=0），便可列出下式：
（4-56）
因此
（4-57）
为了保证桩在岩层中嵌固牢靠，对桩周岩层产生的最大侧向压应力不应超过岩石的侧向容许抗力（K为安全系数，K=2），所以得圆形截面柱桩嵌入岩层的最小深度计算公式如下：
（4-58）
式中：——桩嵌入岩层的最小深度，m；
——嵌岩桩嵌岩部分的设计直径，m；
——在岩层顶面处的弯矩，kN·m；
——岩石垂直极限抗压强度换算为水平极限抗压强度的折减系数，β=0.5～1.0岩层侧面节理发达的取小值，节理不发达的取大值；
——天然湿度的岩石单轴极限抗压强度，kPa。
（三）桩型与成桩工艺
桩型与工艺选择应根据结构类型、荷载性质、桩的使用功能、穿越土层、桩端持力层土类、地下水位、施工设备、施工环境、施工经验、桩的材料供应条件等，选择经济、合理、安全适用的桩型和成桩工艺。各行业的相关规范中都附有成桩工艺适用性的表格，可供选择时参考。
二、桩径、桩长的拟定
桩径与桩长的设计，应综合考虑荷载的大小、土层性质与桩周土阻力状况、桩基类型与结构特点、桩的长径比以及施工设备与技术条件等因素后确定，力争做到既满足使用要求，又造价经济，最有效地利用和发挥地基土和桩身材料的承载性能。
设计时，首先拟定尺寸，然后通过基桩计算和验算，视所拟定的尺寸是否经济合理，再行最后确定。
（一）桩径拟定
桩的类型选定后，桩的横截面（桩径）可根据各类桩的特点与常用尺寸选择确定。
（二）桩长拟定
确定桩长的关键在于选择桩端持力层，因为桩端持力层对于桩的承载力和沉降有着重要影响。设计时，可先根据地质条件选择适宜的桩端持力层初步确定桩长，并应考虑施工的可行性（如钻孔灌注桩钻机钻进的最大深度等）。
一般都希望把桩底置于岩层或坚硬的土层上，以得到较大的承载力和较小的沉降量。如在施工条件容许的深度内没有坚硬土层存在，应尽可能选择压缩性较低、强度较高的土层作为持力层，要避免使桩底坐落在软土层上或离软弱下卧层的距离太近，以免桩基础发生过大的沉降。
对于摩擦桩，有时桩底持力层可能有多种选择，此时确定桩长与桩数两者相互牵连，遇此情况，可通过试算比较，选择较合理的桩长。摩擦桩的桩长不应拟定太短，一般不应小于4m。因为桩长过短达不到设置桩基把荷载传递到深层或减小基础下沉量的目的，且必然增加桩数很多，扩大了承台尺寸，也影响施工的进度。此外，为保证发挥摩擦桩桩底土层支承力，桩底端部应尽可能达到该土层的桩端阻力的临界深度。
三、确定基桩根数及其平面布置
（一）桩的根数估算
基础所需桩的根数可根据承台底面上的竖向荷载和单桩容许承载力按下式估算：
（4-60）
式中：——桩的根数；
——作用在承台底面上的竖向荷载，kN；
——单桩容许承载力或单桩承载力设计值，kN；
——考虑偏心荷载时各桩受力不均而适当增加桩数的经验系数，可取=1.1～1.2。
估算的桩数是否合适，在验算各桩的受力状况后即可确定。
桩数的确定还须考虑满足桩基础水平承载力要求的问题。若有水平静载试验资料，可用各单桩水平承载力之和作为桩基础的水平承载力（为偏安全考虑），来校核按式（4-60）估算的桩数。但一般情况下，桩基水平承载力是由基桩的材料强度所控制，可通过对基桩的结构强度设计（如钢筋混凝土桩的配筋设计与截面强度验算）来满足，所以桩数仍按式（4-60）来估算
此外，桩数的确定与承台尺寸、桩长及桩的间距的确定相关联，确定时应综合考虑。
（二）桩间距的确定
为了避免桩基础施工可能引起土的松驰效应和挤土效应对相邻基桩的不利影响，以及桩群效应对基桩承载力的不利影响，布设桩时，应该根据土类成桩工艺以及排列确定桩的最小中心距。一般情况下，穿越饱和软土的挤土桩，要求桩中心距最大，部分挤土桩或穿越非饱和土的挤土桩次之，非挤土桩最小；对于大面积的桩群，桩的最小中心距宜适当加大。对于桩的排数为1～2排、桩数小于9根的其它情况摩擦型桩基，桩的最小中心距可适当减小。
摩擦桩的群桩中心距，从受力角度考虑最好是使各桩端平面处压力分布范围不相重叠，以充分发挥其承载能力。根据这一要求，经试验测定，中心距定为6d。但桩距如采用6d就需要很大面积的承台，因此一般采用的群桩中心距均小于6d。为了使桩端平面处相邻桩作用于土的压应力重叠不至太多，不致因土体挤密而使桩挤不下去，根据经验规定打入桩的桩端平面处的中心距不小于3d。震动下沉桩，因土的挤压更为显著，规定在桩端平面处不小于4d（d为桩的直径或边长）。
（三）桩的平面布置
桩数确定后，可根据桩基受力情况选用单排桩或多排桩桩基。多排桩的排列形式常采用行列式（图4-20a）和梅花式（图4-20b），在相同的承台底面积下，后者可排列较多的基桩，而前者有利于施工。
桩基础中桩的平面布置，除应满足前述的最小桩距等构造要求外，还应考虑基桩布置对桩基受力有利。为使各桩受力均匀，充分发挥每根桩的承载能力，设计布置时，应尽可能使桩群横截面的重心与荷载合力作用点重合或接近，通常桥墩桩基础中的基桩采取对称布置，而桥台多排桩桩基础视受力情况在纵桥向采用非对称布置。
当作用于桩基的弯矩较大时，宜尽量将桩布置在离承台形心较远处，采用外密内疏的布置方式，以增大基桩对承台形心或合力作用点的惯性距，提高桩基的抗弯能力。
此外，基桩布置还应考虑使承台受力较为有利，例如桩柱式墩台应尽量使墩柱轴线与基桩轴线重合，盖梁式承台的桩柱布置应使承台发生的正负弯矩接近或相等，以减小承台所承受的弯曲应力。
