第一章 绪论
本次教学内容:
绪论
a. 介绍数学分析的主要内容: 微积分
研究的对象: 函数(连续量)
描述什么是连续量?
Example: 时间 t与位移S
连续量随另外一个连续量连续地变化 (函数的概念).
连续量的运算体系及其数学理论 (微积分)
b. 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除)
c. 两种体系的区别.
初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念)
d. 学习方法的不同
初、高中： 从填鸭式 －> 启发式
以教师为主，强烈地依赖于教师。
大学： 从启发式 －> 个人自发
以学生本身为主，教师引导。
e. 微分问题
一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率。
Example: “瞬时”速度
积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成积累
example: 质点受力作用的位移，求力作用的功。
e、f 互为逆运算
微积分的发展历史
产生于17世纪 伽利略(Galileo 1564-1642) 落体速度的变化 惯性定律
用数学公式定量地描述物体学的规律（速度运动）（力做功）
笛卡儿（Descartes 1596-1650）和费儿玛（Fermat 1601-1665）创立的解析几何 曲线的切线 下方图形的面积
牛顿（Newton 1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz 1646-1716）在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。
从形式演算—> 严格的科学体系
哥西 (Cauchy 1789-1857)
波尔察诺（Bolzano 1781-1848）
维尔斯特拉斯（Weierstrass 1815-1897）
（用极限的概念）
戴德金（Dedekind 1831-1916）
康托（Cantor 1845-1918）
维尔斯特拉斯又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论
注意：形成过程
演算体系(极限概念刻划( 基石：实数连续统
学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，
更主要的是，培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。简单的说，拿任何一本书都能看懂，兼收并蓄。
2．实数连续统
是重点与难点
离散量的特征：有最简单的最小的单元
example: 自然数，可数
连续量
example: 时间t
不能分解成最小的单元
问题：连续量的刻划
有理数 必须研究数系
几何模型
实数轴
0
回忆集合的概念
表示方法：列举法，解析法
A={张三，李四，王五，赵六,…}
A={x|x是正偶数}={2,4,6,8,…}
S是一个数集，定义一种运算“”
S中有次序的数a与b（有时有限制）有确定的数与之对应
如果对，都有，则称对运算是封闭的。
Example1: 自然数集，对于加法和乘法封闭。并且对加法和乘法满足交换律、结合律及分配律。
是一个数系。
数系中有顺序关系（大小关系）
对任意的a与b，下列关系有且仅有一个成立
顺序关系的传递性
若
自然数，存在归纳法。
Example2 整数系
Example3 有理数系
有理数的稠密性
Th1 不存在有理数使得
把直线分割成两部分，必有唯一的分点。
Def 1, S有大小顺序分成 A, B 两类
不空；A与B都至少包含S中的一个数
不漏；S中的每个数, S=AB
不乱； A,,必有ab
A,B为取的S的一个分划，记为A|B
A称为分划的下类，B称为分划的上类.
Ex.
，
戴德金连续准则 如果有大小顺序稠密的数系 S, 对它的每一个分划，都有S中唯一的数存在，它不小于下类中的每一个数，也不大于上类中的每一个数，那么数系S连续的
,
第二次课
实数基本定理：对R的每一个分划，必有唯一的实数，它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。
证明：往证 存在唯一的实数 ，使得对任意有，对任意有.
1.先确定，先看整数，由非空知，有整数属于，若对任意整数且同时有 是空集，矛盾。所以我们知必有整数，使得，而
其次考虑
.0, .1,.2,…., .9
这时必存在是0，1,…,9中的某数，使得.,.(若=9，则.)
如此继续下去，在确定了，即：
…. , …. ,….., ….
由此确定，使得 …. ；
…. ，这样，便得到实数 …. …
2. 下证：对任意，有。
用反证法，如果不然， ，有,
设
这时必须存在非负整数，使得 ，而
有 因此
…
从而有，这与是一个分划矛盾。这就证明了对任意 ，有。
同理可证，对任意，有。
3. 下证唯一性。
（反证法），否则 ，同时对任意 ，，
对任意 有 ，不妨设，
令
显然 ，，
这与是的一个分划矛盾。
区间的表示法
闭区间
开区间
， 半开半闭区间。
实数是有理数系的连续扩充。
