数项级数 一 研究级数的目的 借助级数表示很多有用的非初等函数。 解微分方程。 利用多项式来逼近一般的函数。 实数的近似计算。 例 1  例 2  数值级数 一． 收敛与发散概念 若数列，即 （1） 将（1）的项依次用加号连接起来，即 （2） 简写为称为数值级数，简称级数。称为级数（2）的项，称为（2）的第项与通项。 有限和是我们熟知的，但无限和对我们是陌生的。怎样来计算无限和呢？无限和叫做什么？因此，元很多个数的和是一个未知的新概念，它是有限和的推广。 级数的定义 考察前n项部分和或。于是，级数（2）对应着一个部分和数列，即  定义 如果级数（2）的部分和数列收敛，即 ，称级数（2）收敛，并称是级数（2）的和。记为 如果部分和数列发散，称级数（2）发散，此时级数（2）没有和。 这样，级数的收敛与发散转化为它的部分和数列的收敛与发散。于是，级数的各种性质转化为它的部分和数列的各种性质来讨论。 实质：级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式。 例 1 以等比数列为通项的几何级数的敛散性。其中 是公比。 解：1）当时，几何级数的部分和是  i）当时，极限 因此，当时几何级数收敛，其和是，即。 ii）当时，极限 因此，当时，几何级数发散。 当时 (i)时，几何级数是   即部分和数列发散。 （ii）当r=－1时，几何级数是  ，当是偶数；，当是奇数。 即部分和数列发散。 由此，（1）当时，几何级数收敛。 （2）当时，几何级数发散。 例 2   于是 例 3 证明级数收敛，并求其和。 证明： 通项可改写为  于是 例 4 证明：调和级数是发散的。 证明：由于都是正数，所以部分和数列是严格增加的，讨论子数列：  即，唯一的自然数使，且有 当时，有，则，即调和级数发散。 二 收敛级数的性质 Th 1（柯西收敛准则） 级数收敛的充要条件是： 当时，对任意，有  数列存在极限，是指对，当时，对任给的自然数  推论1 若级数收敛，则 等价命题是：如果，则级数发散。 例  则级数发散。 注意：仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件，即， 也可以发散。 例  有，而调和级数却是发散的。 从柯西收敛准则知，级数收敛等价于级数的充分远（即）的任意片段（即对任意）的绝对值可以任意小，由些可见，级数的敛散性仅与级数充分远的任意片段有关，与级数任意指定的有限和无关，从而我们有 推论 2 若去掉，增添或改变级数的有限项，则不改变级数的敛散性。 例如 去掉几何级数的前100项， 仍收敛。去掉调和级数的前100项， 仍发散。 （数列去掉前有限项仍具有收敛性与发散性）根据数列的运算定理，可得到级数的运算定理： 定理 2 若级数收敛，其和是，则级数也收敛，其和是，其中是常数。 证明： 设级数与的项部分和分别是与，有 已知，有，即级数收敛，其和是 Th 2 可写为 即收敛级数具有分配性。 Th 3 若级数与收敛，其和分别是 和，则级数 也收敛。其和是  三 同号级数 同号级数是指级数 的每一项的符号是非负或非正。如果，称级数是正项级数；如果 一般形式： 例12：设{an}串，单调下降趋于0，讨论下列级数的收敛型 （1） （2） 解（1） 当解x≠2kπ时 （k∈Z） 的部分和。由三角公式  令k ＝ 1、2、3……n，分别有   ……   当x≠2kπ时，有   即当x≠2kπ时，部分和sn有界，有Dirichlid判别法知收敛。当x＝2kπ时，sinnx＝0，于是对？收敛收敛。 _______________________________________________________________________________ 五 绝对收敛的性质 Th12 若级数收敛,其和是S，则，按顺序结合在一起，构成的新级数  也收敛，其和是S {Sk’} 满足结合律，满足交换律   级数为什么会满足交换性呢？这是因为它是条件收敛的。 Riemann证明了它一般的结果： 级数条件收敛（）则运算交换级数，可使交换后的新级数收敛到δ（）。 （一致收敛的级数满足交换律） Th13 级绝对，其和为S，则的各项，，其和也是S。 证明： 设级数的部分和是有收敛。  级数的前N项u1，u2，……，un必都在新级数中出现u1，u2，……，un，在新的数串unk1，unk2，……，unkh ,令 {k1,k2,……,kh} 显然i>=N，>=i时薪级数的部分和  中包含   于是（>=a时）有  其他证明绝对收敛，级数的 j = max{n1 ,n2 ,……nm}  即正项级数的部分和数列{}有上界则新级数绝对收敛。□ 两个级数的乘积，级数乘积的定义， 与的乘积是所有乘积（），即 （）（）＝  两个收敛级数的乘积可以发散  条件收敛的默认 Th14 与绝对收敛，其和分别是a与b，则他们的 证明：  所以有绝对收敛。