1 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达， “波粒二象性” ——借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免 借用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学 包含一套计算规则及对数学程式的物理解 释，是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确 性由实践检验 。 量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态，波函 数所遵从的方程 ——薛定谔方程 是量子力学的基本 方程。 波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设 之一。 薛定谔方程及其应用 2 薛定谔方程及其应用 一、一维自由粒子的波动方程 )( 0 ),( tkxi etx ω ΨΨ ? =由一维自由粒子波函数 k h p hE h h == == λ ων 德布罗意关系 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? = ? ? ? = ? ? = ? ΨΨ ΨΨ ΨΨ ΨΨ 2 2 2 2 )( 0 ),( x x Etxp i p x p x i E t i etx x h h h h 由一维运动自由粒子能量 m p E x 2 2 = 2 22 2 xmt i ? ? ?= ? ? ΨΨ h h 得量子客体一维运动波动方程 推广 1： 一维势场 )( 2 2 xV m p E x += Ψ ΨΨ )( 2 2 22 xV xmt i + ? ? ?= ? ? h h 薛定谔方程及其应用 3 推广 2： 三维势场 )( 2 222 rV m ppp E zyx + ++ = ),()]( 2 [ ),( 2 2 trrV mt tr i Ψ Ψ +??= ? ? h h 其中 2 2 2 2 2 2 2 zyx ? ? + ? ? + ? ? =? ——拉普拉斯算符 二、三维含时薛定谔方程 薛定谔方程及其应用 三、一维定态薛定谔方程 若一维势场中，势能函数不显含时间，则 )()(),( tfxtx ΨΨ = 代入一维薛定谔方程得 Ef t f i = d d h ΨΨ Ψ ExV xm =+? )( d d 2 2 22 h 可解得 h/ )( iEt etf ? = 薛定谔方程及其应用 4 概率幅为驻波 h/ )()()(),( iEt extfxtx ? == ΨΨΨ 概率密度 222 )()()(),(),( xtfxtxtxP ΨΨΨ === 不依赖于时间。 薛定谔方程及其应用 四、薛定谔方程的应用 ?一维无限深势阱 在一维刚性壁内运动的粒子的运动状态： vv ψ(x) ψ(x)? 2 (a)经典描述 (b)量子力学描述 (c)概率分布函数 ?牛顿力学 粒子任意时刻有确切的位置、动量和能量。 薛定谔方程及其应用 5 ?量子力学 粒子波函数具有驻波态，可由薛定谔方程求解。 由于粒子被限制在势箱内运动，将势能函数 简化为 ? ? ? ∞ << = 其它情况 ax xV 00 )( 定态薛定谔方程 axx ≥≤ ,0 ()0 2 d d 22 2 =∞?+ ψ ψ E m x h ① 0=ψ （粒子不能逸出势阱） 解①得 薛定谔方程及其应用 0 < x < a 0 2 d d 22 2 =+ ψ ψ E m x h ② 令 2 2 2 h mE k = 得 0 d d 2 2 2 =+ ψ ψ k x kxBkxAx cossin)( +=ψ通解 : 积分常数 00 =）（由 ψ 得 B = 0 kxAx sin)( =ψ 0)()0( == aψψ因为 于是 薛定谔方程及其应用 6 0)( =aψ由 得 0sin =kaA a n k π = )3,2,1( L=n 由归一化条件 1d|| 2 = ∫ ∞ ∞? xψ 1dsind 2 0 2* ==? ∫∫ ∞ ∞? x a xn Ax a π ψψ 于是： a xn a x π ψ sin 2 )( = ,...)3,2,1( =n x a n Ax π ψ sin)( = ,...)3,2,1( =n a A 2 = 薛定谔方程及其应用 Et i e a xn a tx h ? ?= π Ψ sin 2 ),( )3,2,1( L=n 显然该 解为驻波形式。 ?解的物理意义 ①无限深势阱中粒子的能量量子化 a n k π = 2 2 2 h mE k =由 得 ,...)3,2,1( =n 1 2 2 22222 22 En ma n m k E === hh π 薛定谔方程及其应用 7 也称零点能。为最小能量 1 E 式中 2 22 1 2ma E hπ = E oa n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 ,...)3,2,1( =n 1 2 2 22222 22 En ma n m k E === hh π 能量只能取一系列的分立值： () 2 22 1 2 12 ma nEEE nn hπ ? +=?= + ↑?↑ En ? ↓?↑ Ea ? 0 22 →?>> Ema ?h 回到经典情况，能量连续。 薛定谔方程及其应用 ②粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中 V = 0， 粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子： 波函数 Et i e a xn a tx h ? = π Ψ sin 2 ),( 概率密度 a xn a xtx π ψΨ 222 sin 2 |)(||),(| == ,...)3,2,1( =n 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不 等，粒子出现的概率不相同。 薛定谔方程及其应用 8 Et i e a xn a tx h ? = π Ψ sin 2 ),( a xn a xtx π ψΨ 222 sin 2 |)(||),(| == o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 oa n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x 1 E 12 4 EE = 13 9 EE = 14 16 EE = ()tx,Ψ ( ) 2 xΨ 薛定谔方程及其应用 粒子不能逸出势阱，两端为波节， 0|| 2 =Ψ 归一化条件，曲线下面积相等 阱内各位置粒子出现概率不同， 2 ||Ψ 峰值处较大 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多 经典相同，量子 → 2 ||Ψ o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 oa n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x 1 E 12 4 EE = 13 9 EE = 14 16 EE = ()tx ,Ψ ( ) 2 xΨ 薛定谔方程及其应用 9 例 1、 粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动， 处于 n=1状态 ， 。区间发现该粒子的概率求在 4 ~0 a 解： a x a π Ψ 22 sin 2 || = )d(sin 2 2 4 0 a x a xa a a ππ π ∫ = %08.9) 2 sin 4 1 2 ( 2 4 0 =?= a a x a x ππ π xP a d|| 4 0 2 ∫ = Ψ x a x a a dsin 2 2 4 0 π ∫ = 薛定谔方程及其应用 ?势垒 隧道效应 势函数： =)( xV 0 x < x 1 , x >x 2 210 xxxV ≤≤ 代入 ΨΨ Ψ ExV xm =+? )( d d 2 2 22 h 得 0 2 d d 22 2 =+ Ψ Ψ h mE x (x < x 1 , x >x 2 ) )( 21 xxx ≤≤ 0)( 2 d d 22 2 =?+ Ψ Ψ VE m x h x E E I II III V=0 O x 1 x 2 V=0 V= V 0 薛定谔方程及其应用 10 x 1 x 2 由薛定谔方程，解得三个区 域方程的解： 区域 I(x<x 1 )V=0, 解为正弦波 )sin( 1111 ?Ψ += xkA 2 1 2 h mE k = A 1 , ? 1 为常量 区域 II (x 1 < x <x 2 ), V= V 0 , 解为指数函数 xk eA 2 2 ? = C Ψ 2 0 2 )(2 h EVm k ? =A 2 为常量 x E E I II III V=0 O x 1 x 2 V=0 V= V 0 薛定谔方程及其应用 区域Ⅲ (x>x 2 ), V=0, 解为正弦波 2 1 2 h mE k = A 3 , ? 3 为常量 )sin( 313 ?+= xkA Ψ ΙΙΙ 由于区域Ⅱ和Ⅲ的波函数不为零，说明粒子 出现在该两个区域的概率不为零，可以证明 粒子穿透势垒的概率 )()(2 2 )(2 2 120 0 xxEVm dEVm e eP ??? ?? = = h h 薛定谔方程及其应用 11 例2： 已知 E=5.1eV,V 0 =6.8eV， a=750×10 - 12 m，求电子和质子的贯穿系数。 解： 电子 6 10 )(22 1045 0 ? ? ?? ×= == eeT EVma e h 质子 186 )(22 0 ? ?? == eeT EVma p h 薛定谔方程及其应用 ?扫描隧穿显微镜 加电压形成隧穿电流 ——对表面间距异常敏感 通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征 样品表面 探针表面 由于隧道效应逸出的电子，“电子云” ?STM工作原理 薛定谔方程及其应用 12 扫描隧道显微镜的 两种工作模式： ?恒高度模式 ?恒电流模式 利用针尖扫描样品的表面，通过高度变化或 电流变化获取图像。 薛定谔方程及其应用 分辨率 xy方向 0.2nm z 方向 0.005nm 在原子尺度探测 ① 具有原子级高分辨率 ②在大气压下或真空中均能工作。 ③无损探测，可获取物质表面的三维图像。 ④可进行表面结构研究 , 实现表面纳米 ( ) 级加工 m10 9? U z 薛定谔方程及其应用 13 硅表面硅原子的排列 碘原子在铂晶体上的吸附 氙原子 薛定谔方程及其应用 1959年： 费曼演讲 《在底部还有很大的空间》 从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把 物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看， 不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的 可能性……如果有一天可以按人的意志安排一个个 原子，将会产生怎样的奇迹？ 1982年：宾尼西、罗雷尔等发明扫描隧道显微镜， 为操作原子提供有力工具。 1990年：美国国际商用机器公司（ IBM）阿尔马登 研究中心科学家把 35个氙原子移动到位，组成 IBM 三个字母，加起来不到 3nm。 1990年 7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴 尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。 薛定谔方程及其应用 14 ?AFM工作原理 弥补 STM的不足，可用于非导电样品。 薛定谔方程及其应用 ?AFM装置示意图 薛定谔方程及其应用 15 ?AFM工作模 式： ?接触模式（静态模式） ?非接触模式（动态模式） ?轻敲模式 原子的操纵： 利用扫描探针显微镜（ SPM）可以移动和操 纵原子。 薛定谔方程及其应用 通过移走原子构成的图形： 薛定谔方程及其应用 16 小结求解问题的思路： 1. 写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有 E取某些特定值时才有解 本征值 本征函数 4. 讨论解的物理意义， 即求 |Ψ | 2 ， 得出粒子在空间的概率分布。 薛定谔方程及其应用 原子结构的量子理论 本节介绍薛定谔方程应用 —— 三维问题 要求： 思路， 重要结论 ?氢原子的量子力学处理方法 ?建立方程 (电子在核的库仑场中运动) 代入三维定态薛定谔方程设电子质量 m ， 0)( 2 2 2 =?+? ψψ UE m h 0) 4 ( 2 2 2 2 =++? ψ πε ψ r e E m o h 得 + - r r e U o πε4 2 ?= 势函数 17 0) 4 ( 2 2 2 2 =++? ψ πε ψ r e E m o h 0 4 2 sin 1 )(sin sin 1 )( 1 0 2 22 2 222 2 2 = ? ? ? ? ? ? ++ ? ? + ? ? ? ? + ? ? ? ? ψ πε? ψ θθ ψ θ θθ ψ r e E m rrr r rr h 式中 2 2 2 2 2 2 2 zyx ? ? + ? ? + ? ? =? 2 2 222 2 2 sin 1 )(sin sin 1 )( 1 ?θθ θ θθ ? ? + ? ? ? ? + ? ? ? ? = rrr r rr - x y z o r θ ? + 原子结构的量子理论 分离变量 )()()(),,( ?ΦθΘ?θΨ ??= rRr设 代回原方程化简， 得三个常微分方程 : )()()(),,( ?ΦθΘ?θΨ ??= rRr - x y z o r θ ? + 原子结构的量子理论 18 定常数）为分离变量过程中的待νλ,( 0]) 4 ( 2 [) d d ( d d1 2 2 2 2 2 =?++ R rr e E m r R r rr o λ πεh 0) sin () d d (sin d d sin 1 2 =?+ Θ θ ν λ θ Θ θ θθ 0 d d 2 2 =+ Φ Φ ν ? 原子结构的量子理论 ?求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标 准条件，自然引入三个量子数： n, l, m l )()()(),,( ,,,, ?θΘ?θ lll mmllnmln ΦrRrΨ ??= 主量子数 ,...3,2,1=n 角量子数 1,...2,1,0 ?= nl 可取 n 个值 磁量子数 lm l ±±±= ,...2,1,0 可取 2l +1 个值 )()(),( ,, ?θΘ?θ lll mmlml ΦY ?= 称为角谐函数 原子结构的量子理论 19 z x y O dV θ ? r dr rdθdθ r sin θ d? r s i n θ d? 概率密度 22 |)()()(||| ?ΦθΘΨ ??= rR ?θθ dddsind 2 rrV = 电子在体积元 dV中出现的概率 ?θθΘ ddsin||d||d|| 2222 ΦrrRVΨ ?=? ?电子的概率分布 VΨP d 2 = 体积元 ?d =V 径向概率 角向概率 原子结构的量子理论 (1) 径向概率分布： rrrRrP ln d|)(|)( 22 , =电子在 r — r+dr球壳中出现的概率 原子结构的量子理论 20 径 向 概 率 分 布 ： 电子在离核 r 不同处，出现的概率不等，某些极大 值与玻尔轨道半径 ，说明玻尔理论 只是量子结果不完全的近似。 处对 应 o anr 2 = 原子结构的量子理论 (2) 角向概率分布 ?θθ?θ?θ ddsin),(),( 2 , l ml YP = ?θθ?θΘ ddsin)()( 2 , l l m ml Φ?= 电子在某方向上单位立体角内出现的概率对 z 轴旋转 对称分布 om l l = = 0 1 2 ±= = l m l om l l = = 2 原子结构的量子理论 21 核外电子的角向概率分布 原子结构的量子理论 ∴ 电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能 断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出电子在核 外各处出现的概率，其形象描述 ——“电子云” )1(5)1(4)1(3)0(21 ==== llll mfmfmpmps 原子结构的量子理论 22 ——每瞬间氢原子核外电子照片的叠加 电子出现概率小处：雾点密度小 电子出现概率大处：雾点密度大 )1(5)1(4)1(3)0(21 ==== llll mfmfmpmps 原子结构的量子理论 ?量子数的物理意义 (1) n —— 主量子数，表征能量量子化 E > 0 能量可连续取值 —— 氢原子电离，电子为自由电子 E < 0 2 1 222 4 2 ) 32 ( 1 n Eme n E o =?= hεπ ,...)3,2,1( =n eV6.13 1 ?=E 玻尔理论关于能级的结论是正确的 如果考虑相对论效应 ),( lnEE = 大小排列按 ln 7.0+ 原子结构的量子理论 23 (2) l —— 角量子数，表征角动量量子化 电子云绕核分布，角向概率密度旋转对称 , 类比为玻尔理论中电子“轨道”运动， 其“轨道”角动量量子化： h)1( += llL )1,...2,1,0( ?= nl 即 hhh nnL )1(,...6,2,0 ?= 。均取很大的值时的近似只是 并不正确，玻尔理论中 ln nL , h=∴ 角量子数 l 对氢原子系统能量有影响 ),( lnEE = 原子结构的量子理论 原子内电子能级的名称 0 1 2 3 4 5 6 s p d f g h i l n 1(K) 2(L) 3(M) 4(N) 5(O) 6(P) 7(Q) 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5g 6s 6p 6d 6f 6g 6h 7s 7p 7d 7f 7g 7h 7i 大小次序 1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p,5s,4d…... 大小排列按 l7.0+n 原子结构的量子理论 24 (3) m l —— 磁量子数，表征空间量子化 h lz mL = ),...2,1,0( lm l ±±±= 电子轨道角动量 在空间取向只能沿一些不连 续的特殊方向，使 在 z方向分量 取值量子化 L v L v z L np态 12 =≥ ln例： 1,0 ±= l m hh 2)1( =+= llL h±= ,0 z L h2 Z h h? 0 ? 原子结构的量子理论 m l 0 1 2 3 -2 -3 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 -1 m l . 0 m l l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 原子结构的量子理论 25 量子 h)1( 2 += ll m e μ )1,...2,1,0( ?= nl h lzz m m e L m e 22 ==μ )1,0( lm l ±±= L 经典 2 2 r e sI π π ω μ ?=?= L m e r r 2 ?=μ ωω 2 mrJL == “轨道”磁量子数 原子结构的量子理论 玻尔磁 子： h m e B 2 =μ Blz m μμ = B ll μμ )1( += 原子结构的量子理论 26 μ θ B z e L L z z μ 原子结构的量子理论 2 1 222 4 2 ) 32 ( 1 n Eme n E o =?= hεπ 主量子数： 表征能量量子化 ...3,2,1=n eV6.13 1 ?=E 小结：氢原子系统的量子化 可取 n 个值 角量子数： 表征角动量量子化 1,...2,1,0 ?= nl h)1( += llL 对氢原子系统能量有影响 ),( lnEE = 可取 2l +1 个值h lz mL = 磁量子数： 表征角动量空间取向量子化lm l ±±±= ,...2,1,0 “轨道”磁矩量子化 B ll μμ )1( += Blz m μμ = h m e B 2 =μ 原子结构的量子理论 27 ?电子的自旋 1、史特恩 -盖拉赫实验 目的：研究角动量空间量子化 非均匀磁场沿z方向的变化率为 z B d d 原子磁矩与外磁场的相互作用势能为 BBU z μμ ?=??= r r 磁场作用于原子上的力为 z B z U F zz d d d d μ=?= 原子结构的量子理论 无空间量子化： 屏上得连成一片原子沉积 存在空间量子化： 屏上得 2l + 1条分离原子沉积 原子射线在非均匀磁场中偏转的角度为 v D mvz B mv z 1 d d μ θ = × ≈ 穿过磁场的时间力 显然， μ z 是偏转角 θ不连续变化的唯一原因。 原子结构的量子理论 28 Ag: 5s 0,0,0,5 ==== zl mln μ 分裂不是由于轨道磁矩与外场相互作用引起 实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 准直屏准直屏 原子炉原子炉 磁铁 N S 原子结构的量子理论 2、电子自旋 对应的经典模型及解释： 电子绕自身轴自旋，具有内禀角动量，分裂 是自旋磁矩与磁场相互作用的结果。 概念的提出 1924年泡利提出电子具有第四个自由度，但认为无 对应的经典模型。 荷兰物理学家的学生乌伦贝克、高斯米特提出电子自 旋模型，得到埃伦斯非特、洛仑兹、海森伯、爱因斯 坦、玻尔、托马斯等的关心和帮助。 原子结构的量子理论 29 1926年 电子自旋模型得到承认。泡利将其纳入量 子力学体系。 狄拉克建立相对论量子力学，自然得出电子具有内 禀角动量的结论。 与“轨道”角动量类比 h)1( += ssL s h ssz mL = Sm s ≤|| 取 2S+1个值 令 s L 原子结构的量子理论 由史特恩 -盖拉赫实验 2s+1=2 2 1 =s 2 1 ±= s m 自旋角动量 hh 2 3 )1( =+= ssL s h 2 1 ±= sz L ),( s ms以后由狄拉克方程导出 2 h + 2 h ? B r 原子结构的量子理论 30 ?原子的壳层结构1.决定原子中电子状态的四个量子数 n L2,1 决定电子能量的主要部分 l 0,1,….n-1 可取 n个值 决定电子“轨道”角动量 h r )1(|| += llL 对电子能量有影响 l m l±± L,1,0 个值可取 12 +l 决定“轨道”角动量在外场 中的取向 h ls mL = s m 2 1 ± 决定电子“自旋”角动量 在外场中的取向 h ssz mL = “轨道” 运动 “自旋” 运动 名称 符号 取值 物理意义 对应的经典 模型 主量子数 角量子数 磁量子数 自旋 磁量子数 原子结构的量子理论 2、电子分布遵循的两个基本原理 1) 泡利不相容原理 一个原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完 全相同的四个量子数 同一壳层 n 相同 最多 个电子 2 2n 最多同一支壳层 相同l 个电子)12(2 +l 2) 能量最小原理 正常情况下，原子中电子趋向于占有最低能级， 原子系统能量最小时最稳定 大小排列按 ln 7.0+ 原子结构的量子理论 31 n=1 ? ? ? ? ? ? ? ±= = = 2 1 0 0 s l m m l n=2 ? ? ? ? ? ? ? ±= ±= = 2 1 1,0 1 s l m m l ? ? ? ? ? ? ? ±= = = 2 1 0 0 s l m m l n=3 ? ? ? ? ? ? ? ±= = = 2 1 0 0 s l m m l ? ? ? ? ? ? ? ±= ±= = 2 1 1,0 1 s l m m l ? ? ? ? ? ? ? ±= ±±= = 2 1 2,1,0 2 s l m m l 同一壳层 n 相同 最多 个电子 2 2n 最多同一支壳层 相同l 个电子)12(2 +l 原子结构的量子理论 测量原理 ?宏观物体的测量 ①依赖于仪器与待测系统之间的互作用； ②基本假设：连续性原理 ——测量过程对 系统的干扰可无限减小； ③在设定的误差范围内，测量值独立于测 量过程。 ?量子测量 ①连续性原理不能外推到微观世界； ②量子公设 ——作用量子 h提供了测量过程 对待测系统的干扰下限； ③新的游戏规则：外部世界是观测者不可 企及的， “外在于彼 ”“内在于此 ”。 32 一、统计因果性 ?因果决定论 把在连续性假设的基础上的自然过程归结为 一串无限的因果序列，认为自然规律可用现在完 全决定过去和未来，同样的实验条件必将得到同 样的实验结果。 ?统计因果性 单个事件的测量结果有不确定性，大量事件 的统计结果（概率分布）具有稳定性与可重复 性，观测者唯一能预言的是事件发生的概率，世 界原本就是如此。 测量原理 二、波包并缩 ?算符 在数学中，算符是作用于某一函数，把它 变为另一函数的运算符号。 ?Ψ =A ? 若 nnn AΨΨ =A ? 则称 Ψ n 为算符 的函数谱 ， 为 算符的本征值谱 。 A ? { } n Ψ n A { } n A ——算符的本征方程 当测量物理系统某一物理量时，把该系统 的波函数变成该力学量的定态 ， 称为波包并缩。 )()( xx ?Ψ → 测量原理 33 测量是从波函数获取信息的过程，测量过程 中的波包并缩 由本征方程 描述。 )()( xx n ΨΨ → 测量原理 ?测量原理 通过测量，使波函数发生波包并 缩 ， 随机投影到某一本征函 数 ，测得的力学量 ，一定在本征值谱 以内，这种运算规则称为 测量第一原理 。 n ΨΨ → Ψ n Ψ A { } n A ?测量第一原理 ?测量第二原理 量子态叠加原理 ∑ = = k n nn c 1 ΨΨ 波函数发生波包并缩 n ΨΨ → 测得力学量 n A 的概率 2 nn cp = 力学量 的统计平均值 A ∑ ∑ = 2 2 n nn c Ac A 这种运算规则称为 测量第二原理 。 测量原理 34 ?量子退相干 测量后，使物理系统的本征态之间由相干 转变为不相干的现象称为量子退相干。 ?量子态叠加原理 1 Ψ 2 Ψ经典物理： 两个经典波 、 彼此独立，非 此即彼。两波叠加产生新波 21 ΨΨΨ += 量子物理： 本征态的线性叠加不产生新态， 2211 ΨΨΨ cc += 产生不确定性，量子态同时处于 、 。 1 Ψ 2 Ψ 测量原理 换言之： 设体系处于 描述的状态下，测量某力学量 所得的结果是一个确切的值 ，又设体系处于 描述的状态下，测量某力学量所得的结果是 另一个确切的值 ，则在 所描述的状态下，测量所得的结果，既可能 为 ，也可能为 ，二测得 或 的相对概 率是确定的。 1 Ψ A 1 a 2 Ψ 2 a 2211 ΨΨΨ cc += 1 a 2 a 1 a 2 a 测量原理