II、分析部分
第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析
能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1 线性连续系统的能控性
3.1.1 概述
如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x(to)转移到任一状态，则称该系统在时刻to是能控的。
如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻to是能观测的。
前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1节涉及到能控性，3.2节将讨论能观测性。
上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。
3.1.2 定常系统状态能控性的代数判据
考虑线性连续时间系统
Σ： (3.1）
其中，（单输入），且初始条件为。
如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔to≤t≤t1内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.1）描述的系统在t = to时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。
下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即to=0。
由上一章的内容可知，式(3.1)的解为
利用状态能控性的定义，可得
或
(3.2)
将写为A的有限项的形式，即
(3.3)
将式(3.3)代入式（3.2），可得
(3.4)
记
则式(3.4)成为
(3.5)
如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足式（3.5）。这就要求n×n维矩阵
的秩为n。
由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当n×n维矩阵Q满秩，即
时，由式（3.1）确定的系统才是状态能控的。
上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为
式中，，那么可以证明，状态能控性的条件为n×nr维矩阵
的秩为n，或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵
能控性矩阵。
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[例3.1] 考虑由下式确定的系统：
由于
即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。
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[例3.2] 考虑由下式确定的系统：
对于该情况，
即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。
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3.1.3 状态能控性条件的标准形判据
关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。
考虑如下的线性系统
(3.6)
式中，。
如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P，使得
注意，如果A的特征值相异，那么A的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例如，具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵P的每一列是与λi (i=1,2, …，n)有联系的A的一个特征向量。
设
x = P z (3.7)
将式(3.7)代入式(3.6)，可得
(3.8)
定义
则可将式（3.8）重写为
如果n×r维矩阵( 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一来控制。由于状态能控的条件是A的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（3.8）的矩阵转换成对角线形式。
如果式（3.6）中的矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ4,λ4,λ6,…,λn,并且有n - 3个互异的特征向量，那么A的Jordan标准形为
其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan块。
假设能找到一个变换矩阵S，使得
如果利用
x = S z (3.9)
定义一个新的状态向量z，将式（3.9）代入式（3.6）中，可得到
(3.10)
从而式（3.6）确定的系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当（1）式（3.10）中的矩阵J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan块最后一行相对应的的任一行元素不全为零；（3）对应于不同特征值的的每一行的元素不全为零时，则系统是状态能控的。
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[例3.3] 下列系统是状态能控的：
下列系统是状态不能控的：
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3.1.4 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件
状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。
状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。
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[例3.4] 考虑下列传递函数：
显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。
当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为
由于
即能控性矩阵的秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。
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3.1.5 输出能控性
在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。
考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统
式中，。
如果能找到一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔to≤t≤t1内，使任一给定的初始输出y(to)转移到任一最终输出y(t1)，那么称由式（3.11）和（3.12）所描述的系统为输出能控的。
可以证明，系统输出能控的充要条件为：当且仅当m×(n+1)r维输出能控性矩阵
的秩为m时，由式（3.11）和（3.12）所描述的系统为输出能控的。注意，在式（3.12）中存在Du项，对确定输出能控性是有帮助的。
3.2 线性连续系统的能观测性
现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式
式中，。
如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间隔to≤t≤t1内，由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设to=0。
能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。
在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3.13）和（3.14）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式
则
从而
由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3.13）和(3.14)所描述的零输入系统就可以了。
3.2.1 定常系统状态能观测性的代数判据
考虑由式（3.13）和(3.14)所描述的线性定常系统。将其重写为
易知，其输出向量为
将写为A的有限项的形式，即
因而
或
(3.15)
显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t≤t1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由式（3.15）唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nm×n维能观测性矩阵
的秩为n。
由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式（3.13）和（3.14）所描述的线性定常系统，当且仅当n×nm维能观测性矩阵
的秩为n，即时，该系统才是能观测的。
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[例3.5] 试判断由式
所描述的系统是否为能控和能观测的。
[解] 由于能控性矩阵
的秩为2，即，故该系统是状态能控的。
对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于
的秩为1，即，故该系统是输出能控的。
为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于
的秩为2，，故此系统是能观测的。
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3.2.2 用传递函数矩阵表达的能观测性条件
类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。
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[例3.6] 证明下列系统是不能观测的。
式中
[解] 由于能观测性矩阵
注意到
即，故该系统是不能观测的。
事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1(s)和U (s)之间的传递函数为
又Y (s)和X1(s)之间的传递函数为
故Y(s)与U(s)之间的传递函数为
显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。
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3.2.3 注释
当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。
3.2.4 状态能观测性条件的标准形判据
考虑由式（3.13）和（3.14）所描述的线性定常系统，将其重写为
设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，
式中，为对角线矩阵。定义
式（3.16）和(3.17)可写为如下对角线标准形
因此
或
如果m×n维矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。这是因为，如果CP的第i列含全为零的元素，则在输出方程中将不出现状态变量，因而不能由y
上述判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式（3.16）和(3.17)化为对角线标准形的情况。
如果不能将式（3.16）和(3.17)变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵S，将其中的系统矩阵A变换为Jordan标准形。
式中， J为Jordan标准形矩阵。
定义
则式（3.16）和(3.17)可写为如下Jordan标准形
因此
系统能观测的充要条件为：（1） J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵CS列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。
为了说明条件(2），在例3.7中，对应于每个Jordan块的第一行的CS列之元素用下划线表示。
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[例3.7] 下列系统是能观测的：
显然，下列系统是不能观测的：
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3.2.5 对偶原理
下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。
考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：
式中，。
以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：
式中，。
对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。
为了验证这个原理，下面写出系统S1和S2的状态能控和能观测的充要条件。
对于系统S1：
1. 状态能控的充要条件是n×nr维能控性矩阵
的秩为n。
2. 状态能观测的充要条件是n×nm维能观测性矩阵
的秩为n。
对于系统S2:
1. 状态能控的充要条件是n×nm维能控性矩阵
的秩为n。
2. 状态能观测的充要条件是n×nr维能观测性矩阵
的秩为n。
对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检检和判断。
简单地说，对偶性有如下关系：
习题
3.1 考虑由下式定义的系统
式中
试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？
3.2 下列能控标准形
式中
是状态能控和状态能观测的吗？
3.3 考虑如下系统
式中
除了明显地选择外，试找出使该系统状态不能观测的一组，和。
